Marek Walesiak UOGÓLNIONA MIARA ODLEGŁOŚCI GDM W STATYSTYCZNEJ ANALIZIE WIELOWYMIAROWEJ Z WYKORZYSTANIEM PROGRAMU R

Transkrypt

1 Marek Walesiak UOGÓLNIONA MIARA ODLEGŁOŚCI GDM W STATYSTYCZNEJ ANALIZIE WIELOWYMIAROWEJ Z WYKORZYSTANIEM PROGRAMU R Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonoicznego we Wrocławiu Wrocław 0

2 Senacka Koisja Wydawnicza Zdzisław Pisz (przewodniczący), Andrzej BqIc, Krzysztof Jajuga. Andrzej MaI)IsiaJc. Waldear Podgórski, Mieczysław Przybyła, Aniela Styś, Stanisław Urban Recenzent Andrzej Sokołowski Redakcja wydawnicza Dorota Pitulec Redakcja techniczna Barbara Łopuslewicz Korekta Barbara Cibis Skład i łaanie Beata Mazur Projekt okładki Beala Dębska Na okładce wykorzystano zdjęcie z zasobów 3 Royality Free Tytuł dofinansowano ze środków na działalność statutową Katedry Ekonoetrii i Infonnatyki Uniwersytetu Ekonoicznego we Wrocławiu Kopiowanie i powielanie w jakiejkolwiek fonnie wyaga pisenej zgody Wydawcy CI Copyńght by Uniwersytet Ekonoiczny we Wrocławiu Wrocław 0 I ł ISBN Druk: Drukarnia lotem

3 SPIS TREŚCI WSTĘP l. PODSTAWOWE ZAGADNIENIA STATYSTYCZNEJ ANALIZY WIELO WYMIAROWEJ...,..... Zagadnienia wstępne..... Typy skal poiarowych i ich charakterystyka Transforacja nonnalizacyjna i ujednolicanie ziennych Poiar podobieństwa obiektów w świetle skal poiaru i wag ziennych Strategie postępowania w poiarze odjegłości dla danych porządkowych 3. UOGÓLNIONA MIARA ODLEGŁOŚCI GDM...: Wprowadzenie Uogólniony współczynnik korelacji Charakterystyka uogólnionej iary odległości Silne i słabe strony uogólnionej iary odległości Postać uogólnionej iary odległości dla ziennych z różnych skal poiaru Postać uogólnionej iary odległości dla zróżnicowanych wag ziennych Kwadrat odległości euklidesowej a współczynnik korelacji liniowej Pearsona i cosinus kąta iędzy wektorai GDM a współczynnik korelacji liniowej Pearsona i cosinus kąta iędzy wektorai OBSZARY ZASTOSOWAŃ UOGÓLNIONEJ MIARY ODLEGŁOŚCI GDM W STATYSTYCZNEJ ANALIZIE WIELOWYMIAROWEJ ł. Wyznaczanie acierzy odległości w procesie klasyfikacji obiektów Ocena podobieństwa wyników klasyfikacji zbioru obiektów w czasie Uogólniona iara odległości ODM jako syntetyczny iernik rozwoju w etodach porządkowania liniowego Ocena podobieństwa wyników porządkowania liniowego zbioru obiektów w czasie UOGÓLNIONA MIARA ODLEGŁOŚCI GDM W ŚWIETLE WYBRA NYCH EKSPERYMENTÓW SYMULACYJNYCH Losowe generowanie danych o znanej strukturze klas w pakiecie ciustersirn

4 6 SPIS TREŚCI 4.. Analiza porównawcza etod klasyfikacji dla danych o znanej strukturze klas Ocena wybranych procedur analizy skupień dla danych porządkowych 9 5. WYBRANE ZASTOSOWANIA UOGÓLNIONFJ MIARY ODLEGŁO- ŚCI GDM Z WYKORZYSTANIEM PROGRAMU R Porządkowanie liniowe zbioru obiektów na podstawie danych porządkowych z rynku nieruchoości Porządkowanie liniowe zbioru obiektów na podstawie danych etrycznych dotyczących warunków zaieszkiwania ludności w iastach Ocena podobieństwa wyników porządkowania liniowego zbioru obiektów w czasie na podstawie danych etrycznych dotyczących warunków zaieszkiwania ludności w iastach, ł Analiza skupień zbioru obiektów opisanych danyi porządkowyi z rynku nieruchoości Analiza skupień zbioru obiektów opisanych danyj etrycznyi dotyczącyi zanieczyszczenia powietrza... ".. LITERATURA J8 SKOROWIDZ... 5 SPIS RYSUNKÓW... 9 SPIS TABEL

5 WSTĘP Prezentowana książka stanowi podsuowanie rozważań autora zawartych w wielu opracowaniach dotyczących iary odległości, która została w pierwotnej wersji zaproponowana dla ziennych porządkowych [Walesiak 993a, s ], a następnie dla danych etrycznych [Walesiak 00a] i noinalnych [Walesiak 003c]. Podstawowe części książki zostały opublikowane.in. w Arguenta Oeconoica, Przeglądzie Statystyczny, Badaniach Operacyjnych i Decyzjach, Pracach Naukowych Akadeii Ekonoicznej we Wrocławiu (obecnie Uniwersytetu Ekonoicznego we Wrocławiu) oraz były referowane na konferencjach naukowych, w ty na konferencji Sekcji Klasyfikacji i Analizy Danych PTS (zob. [Walesiak, Bąk, Jajuga 00; Walesiak 003b; 004b; 0b; Walesiak, Dudek 009a; 00b]), konferencji Światowej Federacji Towarzystw Klasyfikacyjnych IFCS (zob. [Walesiak, Dziechciarz, Bąk 998; Walesiak, Dudek 00a]) oraz Nieieckiego Towarzystwa Klasyfikacyjnego (zob. [Jajuga, Walesiak, Bąk 003]). Dotychczas uogólniona iara odległości zaprezentowana została w zwartej postaci w dwóch wydaniach książkowych Wydawnictwa AE we Wrocławiu (zob. [Walesiak 00b; 006]). Obecna onografia zawiera istotne ziany i uzupełnienia wynikające w znacznej ierze z oprograowania iary GDM w pakiecie clustersi prograu R. Całkowicie nowe są podrozdziały.5, 3. i 3.3 oraz rozdziały czwarty i piąty. Praca składa się z pięciu rozdziałów. W rozdziale pierwszy przedstawiono podstawowe zagadnienia statystycznej analizy wielowyiarowej. Wyjaśniono w ni takie podstawowe pojęcia, jak obiekt, zienna, acierz i kostka danych. Scharakteryzowano typy skal poiarowych oraz zagadnienie transforacji noralizacyjnej i ujednolicania ziennych z punktu widzenia skal poiarowych. Ponadto zaprezentowano szeroką klasyfikację iar podobieństwa obiektów z uwzględnienie probleatyki ważenia ziennych oraz skal ich poiaru. Rozdział kończą rozważania dotyczące strategii postępowania w poiarze odległości dla danych porządkowych. W rozdziale drugi przedstawiono szczegółową charakterystykę uogólnionej iary odległości GDM (Generalised Distance Measure). W konstrukcji iary odległości GDM wykorzystano ideę uogólnionego współczynnika korelacji, który obejuje współczynnik korelacji liniowej Pearsona i współczynnik korelacji ziennych porządkowych tau Kendalla. W związku z ty w części pierwszej tego rozdziału zaprezentowano uogólniony współczynnik korelacji. W dalszej części scharakteryzowano uogólnioną iarę odległości GDM dla jednakowych i zróżnicowanych wag ziennych. Następnie wskazano silne i słabe strony uogólnionej iary odległości. Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:55

6 8 WSTĘP Rozważania teoretyczne zilustrowano licznyi przykładai poglądowyi. Zaprezentowano postać uogólnionej iary odległości GDM uwzględniającą zienne ierzone na skali etrycznej, porządkowej, noinalnej oraz zienne z różnych skal poiaru. Ponadto przedstawiono analizę związków iędzy kwadrate odległości euklidesowej a współczynnikie korelacji liniowej Pearsona i cosinuse kąta iędzy wektorai oraz iędzy uogólnioną iarą odległości GDM a współczynnikie korelacji liniowej Pearsona i cosinuse kąta iędzy wektorai. W rozdziale trzeci zaprezentowano obszary zastosowań uogólnionej iary odległości w statystycznej analizie wielowyiarowej. Podstawowyi obszarai zastosowań tej iary są wyznaczanie acierzy odległości w procesie klasyfikacji zbioru obiektów oraz zastosowanie iary GDM jako syntetycznego iernika rozwoju w etodach porządkowania liniowego. Ponadto w rozdziale ty zaprezentowano etody oceny podobieństwa wyników klasyfikacji zbioru obiektów oraz oceny podobieństwa wyników porządkowania liniowego zbioru obiektów w czasie. Rozdział czwarty zawiera rezultaty wybranych eksperyentów syulacyjnych pozwalających ocenić zachowanie się uogólnionej iary odległości GDM przy różnych strukturach danych. W pierwszy podrozdziale scharakteryzowano zagadnienie losowego generowania danych o znanej strukturze klas w pakiecie clustersi. W drugi podrozdziale przedstawiono analizę porównawczą etod klasyfikacji dla danych o znanej strukturze klas dla trzech typów danych. W dwóch pierwszych eksperyentach wykorzystano dane etryczne oraz porządkowe o znanej strukturze klas obiektów wygenerowane z wykorzystanie z funkcji cluster.gen pakietu clustersi. W eksperyencie trzeci zbiory danych utworzono z wykorzystanie funkcji pakietu lbench (spirals, siley, cassini) oraz zbiorów własnych (wors, w3, skad). W podrozdziale trzeci, na podstawie porządkowych danych syulacyjnych wygenerowanych z wykorzystanie z funkcji cluster.gen pakietu clustersi, przeprowadzono ocenę przydatności wybranych procedur analizy skupień obejujących iarę odległości GDM, dziewięć etod klasyfikacji oraz osie indeksów służących ustaleniu liczby klas. W rozdziale piąty zaprezentowano wybrane zastosowania uogólnionej iary odległości GDM i GDM w statystycznej analizie wielowyiarowej z wykorzystanie prograu R. Znaczna część skryptów wykorzystuje pakiet clustersi. Zastosowania dotyczyły porządkowania liniowego i analizy skupień zbioru obiektów na podstawie danych porządkowych z rynku nieruchoości oraz porządkowania liniowego na podstawie danych etrycznych dotyczących warunków zaieszkiwania ludności w iastach i analizy skupień obiektów opisanych danyi etrycznyi dotyczącyi zanieczyszczenia powietrza. Ponadto dokonano oceny podobieństwa wyników porządkowania liniowego zbioru obiektów w czasie na podstawie danych etrycznych dotyczących warunków zaieszkiwania ludności w iastach. Pracę zayka zestawienie wykorzystywanej literatury, spis rysunków i tabel oraz skorowidz rzeczowy. Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:55

7 WSTĘP 9 Wersję instalacyjną prograu R oraz dodatkowe pakiety (w ty pakiet clustersi autorstwa Marka Walesiaka i Andrzeja Dudka) ożna pobrać ze strony: Wszystkie skrypty zawarte w książce przetestowano, używając wersji.4. prograu R. Na stronie internetowej znajdują się pliki zawierające wykorzystywane dane oraz skrypty realizujące zastosowania zaieszczone w książce. Książka jest przeznaczona dla pracowników naukowych zajujących się zastosowanie etod statystycznej analizy wielowyiarowej w każdej dziedzinie wiedzy, w ty w badaniach ekonoicznych. Ponadto odbiorcai książki ogą być słuchacze wyższych uczelni studiujący zagadnienia statystycznej analizy wielowyiarowej i jej zastosowań. Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:55

8 Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:55

9 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA STATYSTYCZNEJ ANALIZY WIELOWYMIAROWEJ. ZAGADNIENIA WSTĘPNE Terin statystyczna analiza wielowyiarowa odnosi się do grupy etod statystycznych, za poocą których jednoczesnej analizie poddane są poiary na przynajniej dwóch ziennych opisujących każdy obiekt badania. Do podstawowych pojęć statystycznej analizy wielowyiarowej zalicza się pojęcia: obiekt i zienna. Główny zagadnienie jest określenie eleentarnej jednostki badawczej, czyli obiektu badania. Obiekty są rozuiane w sensie zarówno dosłowny, jak i przenośny. Obiekte jest więc w badaniach określona rzecz, osoba, kategoria abstrakcyjna lub zdarzenie. Konkretnyi przykładai obiektów są: konsuent X, produkt Y, arka saochodu S, pacjent P, gina G, przedsiębiorstwo F, rzeka R, rynek testowy T, hiperarket H, rynek zbytu Z, gospodarstwo doowe D, idea filozoficzna I. Zbiór n obiektów badania będzie oznaczany przez A= { Ai} = { A,, A}. n Zienna w statystycznej analizie wielowyiarowej jest charakterystyką opisującą zbiorowość obiektów. W ujęciu foralny zienna M j to odwzorowanie (por. [Borys 984, s. 87]): M : A Q ( j =,, ), (.) j gdzie: Q zbiór obrazów (liczb rzeczywistych, kategorii), liczba ziennych. Metody statystycznej analizy wielowyiarowej (SAW) zwykle wyagają, aby realizacje ziennych były liczbai rzeczywistyi zachodzi więc potrzeba kodowania ziennych wyrażonych w forie kategorii. Jeśli w odwzorowaniu (.) zbiór obrazów jest zbiore kategorii, to należy go przekodować na zbiór liczb rzeczywistych. Można wykorzystać następujące sposoby kodowania ziennych (zob. [Walesiak 0d]):. Jeśli dana zienna a tylko dwie kategorie, ożna ją zaienić na tzw. zienną sztuczną (np. zero-jedynkową). Jedneu wariantowi nadaje się wartość, a drugieu wartość 0 lub. Na przykład dla ziennej płeć kodowanie będzie następujące: kobieta, ężczyzna 0 lub. Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:55

10 . PODSTAWOWE ZAGADNIENIA STATYSTYCZNEJ ANALIZY WIELOWYMIAROWEJ. Jeśli zienna a więcej niż dwie kategorie, to stosujey sposób zaiany polegający na zastosowaniu zespołu ziennych sztucznych (np. zero-jedynkowych). W odelu z wyraze wolny obowiązuje zasada, według której liczba wprowadzonych ziennych sztucznych usi być niejsza o jeden od liczby pozioów (kategorii) danej ziennej. Załóży, że dla ziennej wykształcenie występują trzy warianty (kategorie): podstawowe, zasadnicze zawodowe, średnie. Należy w ty przypadku wprowadzić dwie zienne sztuczne, np. zdefiniowane następująco: Wykształcenie M j M j + podstawowe 0 0 zasadnicze zawodowe 0 średnie 0 W odelu bez wyrazu wolnego wprowadza się tyle ziennych sztucznych, ile jest pozioów (kategorii) danej ziennej. Na przykład dla danych kwartalnych wprowadzay 4 zienne zero-jedynkowe o następujący kodowaniu: Kodowanie zero-jedynkowe ziennych uożliwia funkcja factduy pakietu StatMatch prograu R. 3. Poszczególny kategorio ożna przypisać kolejne liczby naturalne. Nie a tutaj znaczenia, czy kategorie ożna uporządkować według stopnia intensywności oddziaływania (zienna porządkowa), czy też nie ożna ich uporządkować (zienna noinalna). Na przykład dla ziennej porządkowej organizacja pracy, obejującej kategorie bardzo dobra, dobra, słaba, zła, ożna zastosować kodowanie: zła słaba dobra 3 bardzo dobra 4 Znajoość w analizie statystycznej zbioru obiektów i ziennych pozwala zapisać acierz danych, w której dowolny eleent oznacza się przez x ij (i =,, n; j =,, ). Jest to obserwacja j-tej ziennej w i-ty obiekcie. Wielowyiarowa obserwacja (-wyiarowa) będzie zapisywana w forie wektora (por. [Jajuga 993, s. ]): x i = [x i, x i,..., x i ] T. (.) Jeśli do dwóch wyiarów (obiekty, zienne) wprowadzi się wyiar czasu, to otrzyuje się tzw. kostkę danych. Pojęcia tego używają w swoich pracach.in. lub Kwartał M M M M I II III IV M j M j Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:56

11 .. TYPY SKAL POMIAROWYCH I ICH CHARAKTERYSTYKA 3 Žukowska, Mučnik [976, s. 5]; Jajuga [987, s. 4-6; 993, s. -3]; Grabiński [99, s. 9]. Dowolną liczbę w kostce danych oznacza się przez x ijt. Jest to wartość j-tej ziennej w i-ty obiekcie w okresie t (i =,, n; j =,, ; t =,, T). W celu uproszczenia zapisu do wszystkich wzorów w pracy będzie stosowana zasada, według której indeks pasywny (stały) będzie poijany. W badaniach epirycznych wykorzystujących etody statystycznej analizy wielowyiarowej nie wychodzi się poza trzeci wyiar. Wiąże się to nie tylko z brakie odpowiednich danych statystycznych, ale również z ty, że w dalszych etapach analizy wielowyiarowej pierwotne dane podlegają syntetyzacji. Ponadto w razie liczby wyiarów większej od trzech kłopotliwa staje się interpretacja wyników końcowych. Trójwyiarowe ujęcie w postaci kostki danych pozwala stosować w badaniach następujące scheaty badawcze: a) ujęcie całościowe, w który wykorzystuje się całą kostkę danych analizowany jest zbiór n obiektów w T okresach ze względu na ziennych; b) ujęcie cząstkowe kostka a trzy wyiary, więc ożliwe do uzyskania są trzy różne jej przekroje: przekrój czas zienna, w który jeden z obiektów jest analizowany w T okresach ze względu na ziennych, przekrój obiekt czas, w który n obiektów jest analizowanych w T okresach ze względu na jedną zienną, przekrój obiekt zienna, w który n obiektów jest analizowanych ze względu na ziennych w jedny okresie. W dalszej części pracy będą wykorzystywane dwa ujęcia: całościowe oraz cząstkowe w przekroju czas zienna i obiekt zienna z koncepcji kostki danych. Ujęcie cząstkowe w przekroju obiekt czas nie będzie rozpatrywane, ponieważ jest to zagadnienie analizy jednowyiarowej.. TYPY SKAL POMIAROWYCH I ICH CHARAKTERYSTYKA W klasyczny ujęciu przez poiar rozuie się przyporządkowanie liczb obiekto zgodnie z określonyi regułai w taki sposób, aby liczby odzwierciedlały relacje zachodzące iędzy tyi obiektai (por. np. [Pawłowski 969, s. 54; Choynowski 97, s. 7]). Podstawą teorii poiaru jest pojęcie skali. DEFINICJA (por. [Adas, Fagot, Robinson 965, s. 0-0; Walesiak 990b, s. 37]). Taką uporządkowaną czwórkę U =< A; G; H; F >, że a) A to niepusty zbiór obiektów, H zbiór liczb rzeczywistych, G klasa funkcji odwzorowujących A w H, F klasa funkcji odwzorowujących H w H, b) dla wszystkich g G i f F, f g G, Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:56

12 4. PODSTAWOWE ZAGADNIENIA STATYSTYCZNEJ ANALIZY WIELOWYMIAROWEJ c) F zawiera przekształcenie H na H, a ponadto dla każdego fk, fl F złożenie fk fl F, nazywa się skalą poiaru. W teorii poiaru rozróżnia się cztery podstawowe skale poiaru, wprowadzone przez Stevensa [946]. Definiując w odniesieniu do skali ilorazowej dopuszczalne przekształcenie, Stevens nie określił, do którego zbioru należy x w funkcji (.6), tzn. czy należy do całego zbioru liczb rzeczywistych, zbioru liczb rzeczywistych dodatnich, czy rzeczywistych nieujenych. Dopiero definicja Adasa, Fagota i Robinsona usunęła tę usterkę. DEFINICJA (por. [Adas, Fagot, Robinson 965, s. 03; Walesiak 99, s ]). U = <A; G; H; F> jest skalą noinalną wtedy i tylko wtedy, gdy F jest zbiore wszystkich funkcji f odwzorowujących H w H (H = R) takich, że f funkcja wzajenie jednoznaczna. (.3) DEFINICJA 3 (por. [Adas, Fagot, Robinson 965, s. 03; Walesiak 99, s. 4]). U = <A; G; H; F> jest skalą porządkową wtedy i tylko wtedy, gdy F jest zbiore wszystkich funkcji f odwzorowujących H w H (H = R) takich, że f funkcja ściśle onotonicznie rosnąca. (.4) DEFINICJA 4 (por. [Adas, Fagot, Robinson 965, s. 03; Walesiak 990b, s. 37]). U = <A; G; H; F> jest skalą interwałową (przedziałową) wtedy i tylko wtedy, gdy H jest zbiore wszystkich liczb rzeczywistych R i F jest zbiore funkcji f takich, że dla dodatniego b dla wszystkich x R. f( x) = bx+ a, f( x) R (.5) DEFINICJA 5 (por. [Adas, Fagot, Robinson 965, s. 03; Walesiak 990b, s. 38]). U = <A; G; H; F> jest skalą ilorazową (stosunkową) wtedy i tylko wtedy, gdy H jest zbiore liczb rzeczywistych dodatnich R + i F jest zbiore funkcji f takich, że dla dodatniego b dla wszystkich x R +. f( x) = bx, f( x) R + (.6) Skale poiaru są uporządkowane od najsłabszej do najocniejszej: noinalna, porządkowa (rangowa), przedziałowa (interwałowa), ilorazowa (stosunkowa). Skale przedziałową i ilorazową zalicza się do skal etrycznych, natoiast noinalną i porządkową do nieetrycznych. Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:56

13 .. TYPY SKAL POMIAROWYCH I ICH CHARAKTERYSTYKA 5 Z przytoczonych definicji -5 wynika, że z type skali wiąże się grupa przekształceń, ze względu na które skala zachowuje swe własności. Dopuszczalnyi przekształceniai są więc te, które nie naruszają zasobu inforacji zawartej dla ierzonej ziennej. Skala U jest ocniejsza od skali U wtedy i tylko wtedy, gdy jej dopuszczalne przekształcenie jest zdegenerowany przypadkie dopuszczalnego przekształcenia skali U (por. [Walenta 97, s. 5]). Podstawowe własności skal poiaru zawiera tab... Typ skali Noinalna Porządkowa Przedziałowa Ilorazowa Tabela.. Podstawowe własności skal poiaru Dozwolone przekształcenia ateatyczne z = f(x), f(x) dowolne przekształcenie wzajenie jednoznaczne z = f(x), f(x) dowolna ściśle onotonicznie rosnąca funkcja z = bx + a (b > 0), z R dla wszystkich x zawartych w R, wartość zerowa na tej skali jest zwykle przyjowana arbitralnie lub na podstawie konwencji* z = bx (b > 0), z R + dla wszystkich x zawartych w R +, naturalny początkie skali ilorazowej jest wartość zerowa (zero lewostronnie ogranicza zakres skali) * Por. [Ackoff 969, s. 40]. Dopuszczalne relacje równości ( xa = xb), różności ( x x ) powyższe oraz większości ( xa > xb) i niejszości ( x < x ) powyższe oraz równości różnic i przedziałów x x = x x ) ( A B C D powyższe oraz równości xa x C ilorazów = xb xd Dopuszczalne operacje arytetyczne zliczanie zdarzeń (liczba relacji równości, różności) zliczanie zdarzeń (liczba relacji równości, różności, większości, niejszości) powyższe oraz dodawanie i odejowanie powyższe oraz nożenie i dzielenie Źródło: opracowanie własne na podstawie prac [Stevens 959, s. 5 i 7; Adas, Fagot, Robinson 965; Walesiak 995, s. 89-9; Walesiak, Bąk 000, s. 7]. Jedna z podstawowych reguł teorii poiaru ówi, że jedynie rezultaty poiaru w skali ocniejszej ogą być transforowane na liczby należące do skali słabszej (por. np. [Steczkowski, Zeliaś 98, s. 7; 997, s. 9; Wiśniewski 986; 987; Walesiak 990b, s. 40]). Transforacja skal polegająca na ich wzacnianiu nie jest ożliwa, ponieważ z niejszej ilości inforacji nie ożna uzyskać większej jej ilości. W literaturze (por. [Anderberg 973, s ; Pociecha 986]) podawane są pewne aproksyacyjne etody przekształcania skal słabszych w silniejsze, opierające się na pewnych dodatkowych inforacjach. Stosując zaś dozwolone przekształ- A B A B Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:56

14 6. PODSTAWOWE ZAGADNIENIA STATYSTYCZNEJ ANALIZY WIELOWYMIAROWEJ cenie wartości na skali, zachowujey niezienność typu skali przyjętej dla danej ziennej. Inna z reguł teorii poiaru ówi, że etody ilościowe, które ożna stosować do wyników poiaru w skali słabszej, stosuje się również do liczb uzyskanych z ierzenia na pozioie ocniejszy. Wynika to z tego, że skala ocniejsza zawiera w sobie dopuszczalne relacje skali słabszej. Typ skali, ze względu na dopuszczalne przekształcenia, deterinuje stosowanie rozaitych technik statystyczno-ekonoetrycznych. Technikai statystycznyi dopuszczalnyi dla danego typu skali są takie techniki, które dostarczają wyników (w sensie relacji) nieziennych względe dopuszczalnych przekształceń (por. np. [Walenta 97, s. 6]). W artykule Handa [996] dyskutowany jest proble relacji iędzy skalai poiaru a dopuszczalnyi dla nich technikai statystycznyi. Pokazano w ni przykłady, które są źródłe kontrowersji w wypadku ścisłego stosowania reguł poiaru. Pierwsze zestawienie typowych technik statystycznych przydatnych w poiarze dokonywany na skalach różnych rodzajów zaprezentował Stevens [959, s. 7]. W pracy Walesiaka [996, s. 3-4] przedstawiono typowe etody i techniki wykorzystywane w statystycznej analizie wielowyiarowej, których stosowanie jest uzależnione od skal poiaru ziennych..3 TRANSFORMACJA NORMALIZACYJNA I UJEDNOLICANIE ZMIENNYCH Jeśli w badaniu są wykorzystywane etody porządkowania liniowego zbioru obiektów, to zachodzi potrzeba: ) ujednolicenia charakteru ziennych będących przediote agregacji, z wykorzystanie postulatu jednolitej preferencji ziennych, ) pozbawienia wartości ziennych ian i ujednolicenia rzędów wielkości w celu doprowadzenia ich do porównywalności (transforacja noralizacyjna). W sytuacji, gdy w badaniu będą wykorzystywane etody analizy skupień i skalowania wielowyiarowego, zienne uszą być sprowadzone do porównywalności poprzez transforacje noralizacyjne. Stosuje się je w przypadku, gdy zienne są ierzone na skali przedziałowej i ilorazowej. W odniesieniu do słabych skal poiaru nie zachodzi potrzeba noralizacji, na ich wartościach bowie nie wyznacza się ani relacji równości różnic i przedziałów, ani stosunków. Inne etody statystycznej analizy wielowyiarowej (analiza regresji, etody drzew klasyfikacyjnych, conjoint analysis, analiza czynnikowa, analiza dyskryinacyjna, analiza korelacji kanonicznej, analiza wariancji i kowariancji) nie wyagają uprzedniej transforacji noralizacyjnej oraz ujednolicania ziennych. W etodach porządkowania liniowego, w których wykorzystuje się syntetyczne ierniki bazujące na wzorcu rozwoju, nie zawsze zachodzi potrzeba ujednolicania charakteru ziennych. W analizie czynnikowej wykorzystuje się standaryzację. Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:57

15 .3. TRANSFORMACJA NORMALIZACYJNA I UJEDNOLICANIE ZMIENNYCH 7 Jeśli cele badania jest uporządkowanie liniowe zbioru obiektów, istotnego znaczenia nabiera klasyfikacja ziennych ze względu na preferencje wśród ziennych. Wyróżnia się wtedy styulanty (S), destyulanty (D) i noinanty (N). Pojęcie styulanty i destyulanty wprowadził Hellwig [968], a noinanty Borys [978]. Przeciwieństwe ziennych preferencyjnych są zienne neutralne (obojętne) (por. [Borys 984, s., ]). Zienna M j jest destyulantą (zob. [Hellwig 98, s. 48]), gdy dla każdych dwóch jej obserwacji 3 D D D D xij, x kj odnoszących się do obiektów Ai, A k jest xij > xkj Ai Ak ( oznacza doinację obiektu A k nad obiekte A i ). Zienna M j jest styulantą (zob. [Hellwig 98, s. 48]), gdy dla każdych dwóch S S jej obserwacji xij, x odnoszących się do obiektów A, kj i A k jest x S S ij > xkj Ai Ak ( oznacza doinację obiektu A i nad obiekte A k ). W badaniach epirycznych dla noinant zachodzi potrzeba ustalenia obserwacji lub przedziału liczbowego (zbioru kategorii dla ziennych porządkowych), który uznajey za noinalny. Spośród noinant rozważane będą w pracy tylko noinanty jednoodalne. Noinanty wieloodalne oówiono.in. w pracy Borysa [984, s. 8]. Za najbardziej korzystną obserwację noinanty jednoodalnej jest uznawana wartość (kategoria dla ziennych porządkowych) noinalna ziennej, a za obserwację najniej korzystną wartość (kategoria dla ziennych porządkowych) inialna lub aksyalna. Zienna M j jest więc noinantą jednoodalną (zob. [Borys 984, s. 8]), gdy N N dla każdych dwóch jej obserwacji xij, x kj odnoszących się do obiektów Ai, Ak N N N N jeżeli xij, xkj no j, to xij > xkj Ai Ak, N N N N jeżeli xij, xkj > no j, to xij > xkj Ai Ak, gdzie no j to noinalny pozio j-tej ziennej. Przez ujednolicenie charakteru ziennych rozuie się takie przekształcenie każdej ziennej, że dla każdych dwóch obserwacji x ij, x kj j-tej ziennej odnoszących się do obiektów Ai, Ak ( x > x ) A A. (.7) ij kj i k Proble ujednolicenia charakteru ziennych nie występuje wtedy, gdy w zbiorze ziennych są tylko styulanty. W dalszy ciągu zakładay, że ujednolicenie ziennych polega na przekształceniu wszystkich ziennych na styulanty. Zagadnienie ujednolicenia charakteru ziennych sforułowano w ten sposób dlatego, że w badaniach epirycznych styulanty stanowią na ogół doinującą grupę ziennych preferencyjnych. Foruły zaiany destyulant i noinant na styulanty przedstawiono.in. w pracach: [Borys 984, s ; Dziechciarz, Strahl, Walesiak 00; Grabiński 984, s ; Kukuła 000, s ; Strahl 978; Strahl, Walesiak 997; Walesiak 993a, s ; 996, s ]. 3 Liczb rzeczywistych dla danych etrycznych oraz kategorii dla danych porządkowych. Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:57

16 8. PODSTAWOWE ZAGADNIENIA STATYSTYCZNEJ ANALIZY WIELOWYMIAROWEJ Typowe foruły transforacji destyulant na styulanty dla danych etrycznych ożna wyrazić wzorai: D a) ilorazowa: x ( ) ij = b xij (b > 0), (.8) D gdzie: x ij wartość j-tej destyulanty zaobserwowana w i-ty obiekcie, D b stała przyjowana arbitralnie (np. b= in{ xij }, b = ); i D b) różnicowa: xij = a bxij ( b > 0), (.9) D gdzie: a, b stałe przyjowane arbitralnie (np. b =, a = 0 lub a= ax{ x }). Forułę (.8) ożna stosować jedynie do destyulant ierzonych na skali ilorazowej (tylko dla nich bowie zbiór ożliwych wartości zawiera się w R + ). Styulanta otrzyana w wyniku przekształcenia będzie również ierzona na skali ilorazowej. Foruła (.9) oże być stosowana do destyulant ierzonych na skali zarówno ilorazowej, jak i przedziałowej. Na ogół styulanta otrzyana w wyniku przekształcenia (.9) jest ierzona na skali przedziałowej. Można jednak podać przykład takich destyulant ierzonych na skali ilorazowej, że styulanty otrzyane w wyniku ich przekształcenia (.9) również są ierzone na skali ilorazowej np. zaiana destyulanty wskaźnik zużycia środków trwałych w % na styulantę wskaźnik niezużycia środków trwałych w % (w forule (.9) b = i a = 00%). W badaniach epirycznych do zaiany noinant na styulanty dla danych etrycznych wykorzystuje się następujące foruły: N in{ no j; xij } a) ilorazowa: x = ij N ax{ no j; xij }, (.0) N gdzie: x ij wartość j-tej noinanty zaobserwowana w i-ty obiekcie, no j noinalny pozio j-tej ziennej; b) różnicowa: x = x no. (.) N ij ij j Forułę (.0) ożna stosować jedynie do noinant ierzonych na skali ilorazowej (tylko dla nich bowie zbiór ożliwych wartości zawiera się w R + ). Uzyskana styulanta będzie ierzona w skali ilorazowej. Styulanta uzyskana w wyniku zastosowania wzoru (.) jest ierzona na skali przedziałowej. W podrozdziale 3.3 przedstawione zostaną dwie etody zaiany noinant na destyulanty dla danych porządkowych z wykorzystanie odległości GDM (etoda I z powtórzeniai, etoda II bez powtórzeń). Jeśli w badaniu wykorzystywane będą etody klasyfikacji, skalowania wielowyiarowego lub etody porządkowania liniowego zbioru obiektów, to zachodzi potrzeba pozbawienia wartości ziennych ian i ujednolicenia rzędów wielkości w celu doprowadzenia ich do porównywalności. Operacja ta nosi nazwę transforacji noralizacyjnej. i ij Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:57

17 .3. TRANSFORMACJA NORMALIZACYJNA I UJEDNOLICANIE ZMIENNYCH 9 Ze względu na to, że jedynyi dopuszczalnyi przekształceniai (por. (.5) i (.6)) na skali przedziałowej i ilorazowej są przekształcenia liniowe, foruły noralizacyjne ożna wyrazić ogólny wzore: zij = bxij + a ( b > 0). (.) Szczególnyi przypadkai wzoru (.) są foruły ujęte w tab.. (por. np. [Abrahaowicz 985; Borys 984, s ; Grabiński 99, s ; Jajuga 98; Jajuga, Walesiak 000; Milligan, Cooper 988; Nowak 990, s ; Walesiak 00b, s. 9]). Noralizację wartości ziennych przeprowadza się w pakiecie clustersi z wykorzystanie funkcji: data.noralization(x,type= n0 ) gdzie: x acierz danych, type typ foruły noralizacyjnej z tab... Tabela.. Foruły noralizacyjne Typ Nazwa foruły Foruła Skala poiaru ziennych przed noralizacją po noralizacji n0 Bez noralizacji ilorazowa i (lub) przedziałowa n Standaryzacja z ilorazowa i (lub) przedziałowa ij = ( xij xj ) sj przedziałowa n Standaryzacja z ( ),486 Webera ij = xij Me j MAD ilorazowa i (lub) przedziałowa j przedziałowa n3 Unitaryzacja z ilorazowa i (lub) przedziałowa ij = ( xij xj ) rj przedziałowa n4 Unitaryzacja z ij = xij in { xij} ilorazowa i (lub) przedziałowa rj zerowana i przedziałowa n5 Noralizacja z ilorazowa i (lub) przedziałowa ij = ( xij xj) ax xij xj i w przedziale [ ; ] przedziałowa n6 Przekształcenia zij = xij sj ilorazowa ilorazowa n7 ilorazowe zij = xij rj ilorazowa ilorazowa n8 zij = xij ax{ xij} i ilorazowa ilorazowa n9 zij = xij xj ilorazowa ilorazowa n0 n z ij x ij x i ij ilorazowa ilorazowa n n zij = xij = xij ilorazowa ilorazowa Zob. [Lira, Wagner, Wysocki 00, s. 9]. Zob. [Rybaczuk 00, s. 47]. x ij (z ij ) wartość (znoralizowana wartość) j-tej ziennej dla i-tego obiektu, x j (s j, r j ) średnia (odchylenie standardowe, rozstęp) dla j-tej ziennej, Me j (MAD j ) ediana (edianowe odchylenie bezwzględne) dla j-tej ziennej. Źródło: opracowanie własne. i Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:58

18 0. PODSTAWOWE ZAGADNIENIA STATYSTYCZNEJ ANALIZY WIELOWYMIAROWEJ Ujednolicenie rzędów wielkości jest ożliwe tylko w razie jednolitego określenia wartości zerowej dla wszystkich ziennych (zob. [Walesiak 988]). Przekształcenia ilorazowe ożna stosować tylko wtedy, gdy zienne są ierzone na skali ilorazowej (istnieje dla niej absolutny punkt zerowy). Gdy zbiór zawiera zienne ierzone na skali przedziałowej lub przedziałowej i ilorazowej, wówczas do noralizacji ożna stosować pozostałe foruły noralizacyjne, wprowadzające jednolicie określoną wartość zerową (uowną) dla wszystkich ziennych. Standaryzacja klasyczna (standaryzacja Webera), unitaryzacja, noralizacja w przedziale [ ; ] określają uowną wartość zerową na pozioie średniej wartości ziennej (ediany), a unitaryzacja zerowana na pozioie wartości inialnej. Zastosowanie tych foruł noralizacyjnych do ziennych ierzonych na skali ilorazowej, aczkolwiek foralnie poprawne, spowoduje stratę inforacji wskutek przejścia wszystkich ziennych na skalę przedziałową. Strata inforacji przejawia się.in. ograniczenie zastosowania różnych technik statystycznych i ekonoetrycznych. Przy wyborze foruły noralizacyjnej należy brać pod uwagę nie tylko skale poiaru ziennych, ale również takie charakterystyki rozkładu ziennych, jak: średnia arytetyczna, odchylenie standardowe i rozstęp wyznaczony dla znoralizowanych wartości ziennych (por. tab..3). Tabela.3. Charakterystyki rozkładu wartości ziennych po noralizacji Foruła Średnia arytetyczna* Odchylenie standardowe* Rozstęp ( xij xj ) sj 0 rj sj ( x 0 rj, 486 MAD ij Me j ), 486 MADj j ( xij xj ) rj 0 sj rj x j in { xij} x r s j j rj ij in { x } ij r j i i ( x ) ax 0 sj ax xij x ij xj xij xj j rj ax xij xj i i i xij s x j j sj rj sj xij rj xj r s j j rj x ax{ x } x ax{ x } s ax{ x } r ax{ x } ij i ij j i ij xij xj sj xj rj xj j i ij j i ij x ij n n n x n s i= ij j x i= ij rj i = x ij x ij n i = x ij x j n n x i= ij sj i = x ij r j n i = x ij * Dla standaryzacji Webera: ediana i edianowe odchylenie bezwzględne. xj, sj, r j średnia arytetyczna, odchylenie standardowe, rozstęp dla j-tej ziennej. Źródło: opracowanie własne na podstawie [Jajuga, Walesiak 000, s. 09; Lira, Wagner, Wysocki 00, s. 9]. Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:58

19 .3. TRANSFORMACJA NORMALIZACYJNA I UJEDNOLICANIE ZMIENNYCH Analiza tab..3 pozwala sforułować następujące wnioski (zob. [Jajuga, Walesiak 000, s. 0-; Walesiak 00b, s. 0]): a) foruły noralizacyjne (unitaryzacja, unitaryzacja zerowana, przekształcenie ilorazowe z podstawą noralizacji równą rozstępowi) są cenne, ponieważ zapewniają znoralizowany wartościo ziennych zróżnicowaną zienność (ierzoną odchylenie standardowy) i jednocześnie stały rozstęp dla wszystkich ziennych; b) standaryzacja klasyczna (Webera) oraz przekształcenie ilorazowe z podstawą noralizacji równą odchyleniu standardoweu powodują ujednolicenie wartości wszystkich ziennych pod względe zienności ierzonej odchylenie standardowy (edianowy odchylenie bezwzględny); oznacza to wyeliinowanie zienności jako podstawy różnicowania obiektów; standaryzację Webera należy stosować, gdy rozkład epiryczny badanych ziennych jest silnie asyetryczny (zob. [Lira, Wagner, Wysocki 00, s. 9]); c) przekształcenia ilorazowe z podstawą noralizacji równą aksiu oraz pierwiastkowi z suy kwadratów obserwacji zapewniają znoralizowany wartościo ziennych zróżnicowaną zienność, średnią arytetyczną i rozstęp; d) przekształcenia ilorazowe z podstawą noralizacji równą suie i średniej arytetycznej oraz noralizacja w przedziale [ ; ] zapewniają znoralizowany wartościo ziennych zróżnicowaną zienność i rozstęp oraz stałą dla wszystkich ziennych średnią arytetyczną; pierwsza foruła stanowi podstawę noralizacji w badaniach strukturalnych; e) wszystkie foruły noralizacyjne, będące przekształceniai liniowyi obserwacji na każdej ziennej, zachowują skośność i kurtozę rozkładu ziennych, ponadto dla każdej pary ziennych wszystkie foruły noralizacyjne nie zieniają wartości współczynnika korelacji liniowej Pearsona. Po zastosowaniu jednego ze sposobów noralizacji otrzyuje się znoralizowaną acierz danych: z z z z z z [ zij ] =, (.3) zn zn zn gdzie: z ij znoralizowana wartość j-tej ziennej w i-ty obiekcie. Zate znoralizowana wielowyiarowa obserwacja (-wyiarowa) będzie zapisywana w forie wektora: z i = [z i, z i,..., z in ] T. (.4) Dla dotychczasowych foruł noralizacji wszystkie zienne traktowane były oddzielnie. W literaturze znana jest jedna foruła, zwana przekształcenie Mahalanobisa, która pozwala przeprowadzić noralizację łącznie dla wszystkich ziennych (zob. [Jajuga 993, s. 58; Jajuga, Walesiak 000, s. 0]): Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:58

20 . PODSTAWOWE ZAGADNIENIA STATYSTYCZNEJ ANALIZY WIELOWYMIAROWEJ 0,5 zi = S ( xi x ), gdzie: S acierz kowariancji zbioru obserwacji, x i wielowyiarowa obserwacja określona wzore (.), x wektor średnich zbioru obserwacji. Macierz S 0,5 wyznacza się ze wzoru (por. [Jajuga 993, s. 58]): (.5) 0,5 0,5 T S = ( GL G ), (.6) gdzie: L 0,5 acierz diagonalna o wyiarach (na głównej przekątnej tej acierzy znajdują się pierwiastki kwadratowe wartości własnych acierzy S uporządkowane alejąco); G acierz ortogonalna o wyiarach, której koluny są unorowanyi wektorai własnyi, odpowiadającyi uporządkowany alejąco wartościo własny acierzy S..4 POMIAR PODOBIEŃSTWA OBIEKTÓW W ŚWIETLE SKAL POMIARU I WAG ZMIENNYCH Wykorzystanie etod klasyfikacji, skalowania wielowyiarowego i etod porządkowania liniowego bazujących na wzorcu rozwoju wyaga sforalizowania pojęcia podobieństwo obiektów. Stopień podobieństwa obiektów kwantyfikuje się za poocą iar odległości oraz bliskości (por. [Dąbrowski, Laus-Mączyńska 978, s. 49-5; Gatnar 998, s. 7; Walesiak 985a]). Funkcja d: A A R (zbiór liczb rzeczywistych) będzie nazywana iarą odległości wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki ( d( Ai, Ak) = dik): ) nieujeności: dik 0 dla ik, =,, n; ) zwrotności: dik = 0 i= k ( ik, =,, n); 3) syetryczności: dik = dki dla ik, =,, n. Jeśli ponadto spełniony jest warunek: 4) nierówności trójkąta: dik dil + dkl dla ikl,, =,, n, to iara odległości zwana jest etryką. Na analogicznych zasadach zostanie określona iara bliskości. Funkcja g: A A R będzie nazywana iarą bliskości wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione będą warunki ( g( Ai, Ak) = gik) : ) nieujeności: 0 g ik < dla i k ( ik, =,, n), ) zwrotności: gik = i= k ( ik, =,, n), 3) syetryczności: gik = gki ( ik, =,, n). Sposoby transforacji iar bliskości na iary odległości wyrażają foruły (por. [Zakrzewska 987, s. ]): d ik = g, (.7) ik Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:59

21 .4. POMIAR PODOBIEŃSTWA OBIEKTÓW W ŚWIETLE SKAL POMIARU... 3 d ik = g, (.8) ik dik = log gik. (.9) Miary podobieństwa ają analogiczną interpretację (chociaż ze względu na odienne konstrukcje przybierają na ogół różne wartości liczbowe). Dwa obiekty są ty bardziej podobne, i niej się różnią co do wartości ziennych. Stosowanie konkretnych konstrukcji iar odległości jest uzależnione od: a) skali poiaru ziennych, gdy zienne są ierzone na tej saej skali poiaru; w literaturze wypracowano wiele propozycji iar odległości znajdujących zastosowanie do ziennych ierzonych na skali: ilorazowej, przedziałowej i (lub) ilorazowej, porządkowej, noinalnej (w ty dla ziennych binarnych); b) zastosowanej foruły noralizacji wartości ziennych; c) spełniania przez daną forułę dodatkowych własności (np. warunku nierówności trójkąta iara odległości zwana jest wtedy etryką); spośród iar odległości obiektów opisanych ziennyi ierzonyi na skali przedziałowej lub ilorazowej najczęściej wykorzystuje się z tego powodu odległość euklidesową i jej kwadrat; d) skal poiaru ziennych, gdy zbiór ziennych zawiera zienne ierzone na skalach różnych rodzajów. Proble stosowania różnych iar podobieństwa w zasadzie nie występuje wtedy, gdy wszystkie zienne opisujące badane obiekty są ierzone na skali jednego typu. Tabela.4 zawiera zestawienie podstawowych iar odległości dla ziennych ierzonych na skali ilorazowej lub przedziałowej. Podstawową iarą odległości obiektów Ai, A k, opisanych za poocą ziennych ierzonych na skali przedziałowej lub ilorazowej, jest etryka Minkowskiego. Szczególnyi jej przypadkai są odległość iejska, euklidesowa i Czebyszewa. Cenną zaletą tych trzech iar odległości jest to, że ają interpretację geoetryczną. W badaniach wykorzystuje się dwie pierwsze iary, tzn. odległość iejską i euklidesową. W konstrukcji iar odległości z wagai zróżnicowanyi () przyjęto założenie, że ważeniu podlegają wartości ziennych. Zate acierz ważonych obserwacji na ziennych przyjuje postać: [ w z ] wz wz w z wz wz w z wz wz w z j ij = n n n. (.0) Dla iar odległości z wagai zróżnicowanyi () przyjęto założenie, że ważeniu podlegają odległości cząstkowe wyznaczone dla j-tej ziennej (por. [Gordon 999, s. 30]). Zastosowanie wag w j pozwala wyznaczyć średnią ważoną odległość iędzy obiektai A i i A k. Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:59

22 4. PODSTAWOWE ZAGADNIENIA STATYSTYCZNEJ ANALIZY WIELOWYMIAROWEJ Tabela.4. Miary odległości (zienne ierzone na skali ilorazowej lub przedziałowej) Nazwa iary odległości Minkowskiego (p ) iejska (p = ) Odległość dik wagi jednakowe wagi zróżnicowane () wagi zróżnicowane () p p p p p p p v j= ik, j wv j= j ik, j j = wv j ik, j v j= ik, j j = wv j ik, j euklidesowa (p = ) v j = ik, j Czebyszewa (p ), j = wv j ik, j ax v ik j ax wv j ik, j j j Canberra vik, j j = ( z + z ) Braya-Curtisa j= v j= ik, j ( z ) ij + zkj Clarka zij z kj j= zij + z kj ij kj j= j= wv j ik, j w ( z + z ) j ij kj Jeffreysa-Matusita ( ) z j ij z = kj w( ) j j zij z = kj j = wv j ik, j v j = ( + ) ik, j wj z ij z kj z ij kj wj j= zij + zkj z vik, j = zij zkj ; w j waga j-tej ziennej spełniająca warunki: wj (0; ), w j j = (liczba = ziennych) lub wj (0;), w j= j = ; zij ( z kj ) znoralizowana wartość j-tej ziennej dla i-tego (k-tego) obiektu; () ważeniu podlegają wartości ziennych (wagi liniowe); () ważeniu podlegają odległości cząstkowe wyznaczone dla j-tej ziennej. Źródło: opracowanie własne na podstawie prac [Bąk 999, s. 9-, 6-63; Corack 97; Everitt i in. 0, s. 50; Gordon 98, s. -; 999, s. 0-; Walesiak 00c; Wedel, Kaakura 998, s. 47; Zaborski 00, s. 44; Zeliaś i in. 000, s ]. Miary odległości dla ziennych ierzonych na skali ilorazowej i (lub) przedziałowej zaieszczone w tab..4 wykorzystują w obliczeniach znoralizowane wartości ziennych. Wyznaczanie odległości z wykorzystanie pierwotnych wartości ziennych x ij jest ożliwe za poocą odległości Mahalanobisa (por. [Jajuga 990, s. ]): T 0,5 d ik = ( x i x k ) S ( x i x k ) (.) lub w zapisie skalarny: dik = sjl ( xij xkj )( xil xkl ), (.) j= l= gdzie: s jl eleent acierzy odwrotnej do acierzy kowariancji. 0,5 Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :55:59

23 .4. POMIAR PODOBIEŃSTWA OBIEKTÓW W ŚWIETLE SKAL POMIARU... 5 Macierz kowariancji zbioru obserwacji S wyznacza się ze wzoru: n T S = ( xi x)( xi x) ( n ). (.3) i= Przy obliczaniu odległości Mahalanobisa brana jest pod uwagę acierz kowariancji zbioru obserwacji, następuje zate ujednolicenie wartości ziennych pod względe jednostki iary i rzędu wielkości (zob. [Jajuga 993, s. 58]). Jeśli noralizacji zbioru obserwacji dokona się z wykorzystanie przekształcenia Mahalanobisa (.5), to odległość euklidesowa będzie równa odległości Mahalanobisa wyznaczonej z wykorzystanie pierwotnych wartości ziennych (por. [Jajuga 993, s. 59]). Miara odległości obiektów, którą ożna stosować w sytuacji, gdy w zbiorze są zienne ierzone na skali porządkowej, zaprezentowana zostanie w rozdziale drugi. W literaturze z zakresu statystycznej analizy wielowyiarowej nie zaproponowano dotychczas innych iar odległości dla ziennych porządkowych. Miara odległości Kendalla [966, s. 8] o postaci (.4) nie jest typową iarą dla ziennych porządkowych: d ik ( Rij Rkj ), j= sr j = (.4) gdzie: Rij ( R kj ) ranga przyporządkowana kategorii j-tej ziennej dla i-tego (k-tego) obiektu, s R j wariancja wyznaczona na podstawie porangowanych wartości j-tej ziennej. Zastosowanie tej iary odległości wyaga uprzedniego porangowania obserwacji. Foruła ta jest w rzeczywistości kwadrate odległości euklidesowej (po uprzedniej noralizacji ziennych polegającej na podzieleniu wszystkich obserwacji przez ich odchylenie standardowe s R j ). Miara odległości Kendalla nie jest typową iarą dla ziennych ierzonych na skali porządkowej, ponieważ przy jej stosowaniu zakłada się, że odległości iędzy sąsiednii wartościai na skali porządkowej są sobie równe (na skali porządkowej odległości iędzy dowolnyi dwiea wartościai nie są znane). Takich propozycji jak powyższa jest w literaturze 4 więcej (zob. np. [Hastie, Tibshirani, Friedan 00, s. 456; Kaufan, Rousseeuw 990, s. 30; Gordon 999, s. 9; Podani 999] 5 ). Przyjuje się wtedy upraszczające założenie, że rangi są ierzone co najniej na skali przedziałowej (wtedy dopuszcza się wyznaczanie różnic iędzy wartościai skali). 4 Szerzej na ten teat traktuje artykuł [Walesiak 0c]. 5 Wzór na odległość Podaniego dla danych porangowanych zaprezentowany zostanie w dalszej części tego rozdziału przy oawianiu odległości Gowera. Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :56:00

24 Zienna X j a j b j c j d j 6. PODSTAWOWE ZAGADNIENIA STATYSTYCZNEJ ANALIZY WIELOWYMIAROWEJ Miarę podobieństwa obiektów A i, Ak wykorzystywaną wówczas, gdy są one opisane za poocą ziennych noinalnych wielostanowych, zaproponowali Sokal i Michener (por. [Kaufan, Rousseeuw 990, s. 8]): ( ( j) g ) j= ik r dik = =, (.5) gdzie: r liczba ziennych, dla których iędzy obiektai Ai, A k zachodzi relacja równości, liczba ziennych, gdy iędzy obiektai dla wyników poiaru, na ziennej -tej zachodzi relacja równości, ( j) j gik = gdy iędzy obiektai dla wyników poiaru 0, na ziennej j-tej zachodzi relacja różności. Miara odległości obiektów opisanych ziennyi noinalnyi wielostanowyi, uwzględniająca zróżnicowane wagi ziennych, przyjuje postać: ( j) ( j) w ( ) j g j ik w j jg = = ik dik = =. (.6) w j= j We wzorze (.6) ważeniu podlega de facto relacja równości i różności. Nie jest istotny rozkład wag dla ziennych, dla których iędzy obiektai Ai, A k zachodzi relacja równości. Niezależnie bowie od rozkładu wag dla poszczególnych ziennych wg ( j) j= j ik jest stała. W literaturze dotyczącej wielowyiarowej analizy statystycznej wypracowano bardzo dużo iar podobieństwa obiektów opisanych za poocą tylko ziennych noinalnych binarnych. Etape wstępny konstrukcji tych iar jest tab..5. Tabela.5. Sposób kodowania dla ziennych noinalnych binarnych obiekt A i obiekt A k Występuje: + ; nie występuje:. Źródło: opracowanie własne. Niech a, j j = a, = b j j = b, = c j j = c, = d j j = d gdzie a (d) oznacza = liczbę ziennych, dla których obiekty A, A ają zgodne wartości występowania i k Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :56:00

25 .4. POMIAR PODOBIEŃSTWA OBIEKTÓW W ŚWIETLE SKAL POMIARU... 7 (braku występowania) odpowiedniego wariantu ziennej odpowiednio (+, +) i (, ); b (c) liczbę ziennych, dla których obiekty Ai, A k ają niezgodne wartości ziennej odpowiednio (+, ) i (, +). Zestawienie wybranych iar odległości obiektów będących funkcją a, b, c i d dla ziennych noinalnych binarnych przedstawia tab..6. Tabela.6. Zestawienie wybranych iar odległości dla ziennych noinalnych binarnych Miara Jaccarda Sokala i Michenera Sokala i Sneatha () Rogersa i Tanioto Odległość d ik a a + b + c a+ d a + b + c + d a a + ( b + c) a+ d a + d + ( b + c) Czekanowskiego a a+ b+ c Haanna [Gower & Legendre ()] ( ) a + d b + c a+ b+ c+ d Ochiai Sokala i Sneatha () Phi Pearsona Russela i Rao [Gower & Legendre ()] a ( a+ b)( a+ c) ad ( a+ b)( a+ c)( d + b)( d + c) ad bc ( a+ b)( a+ c)( d + b)( d + c) a a + b + c + d Źródło: opracowanie własne na podstawie pracy [Legendre, Legendre 003, s ] i pakietu ade4. Podstawowe iary odległości, uzależnione od skali poiaru ziennych, zawarte są w pakietach clustersi (funkcje dist.bc i dist.sm), stats (funkcja dist) i ade4 (funkcja dist.binary). W zagadnieniu klasyfikacji oraz skalowania wielowyiarowego w zbiorze zienne ogą być ierzone na różnych skalach poiaru, z kolei zagadnienie porządkowania liniowego wyaga, aby w zbiorze były zienne ierzone przynaj- Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :56:00

26 8. PODSTAWOWE ZAGADNIENIA STATYSTYCZNEJ ANALIZY WIELOWYMIAROWEJ niej na skali porządkowej (ze względu na to, że porządkowanie obiektów staje się ożliwe, gdy dopuszczalne jest określenie na wartościach ziennych relacji większości i niejszości). Proble stosowania konkretnych konstrukcji iar podobieństwa w zagadnieniu klasyfikacji i skalowania wielowyiarowego nie występuje w zasadzie wtedy, gdy wszystkie zienne są ierzone na skali poiaru jednego typu. Dla ziennych ierzonych na skali jednego typu istnieją rozaite konstrukcje iar podobieństwa. Z kolei w zagadnieniu porządkowania liniowego wypracowano wiele konstrukcji syntetycznych ierników rozwoju w sytuacji, gdy w zbiorze znajdują się zienne ierzone tylko na skali przedziałowej i (lub) ilorazowej. Różne konstrukcje ierników odnoszących się do tych grup ziennych oówił.in. Walesiak [990b]. Przy wyborze iar odległości obiektów opisanych ziennyi ierzonyi na skali przedziałowej i (lub) ilorazowej należy wziąć pod uwagę zastosowaną forułę noralizacji wartości ziennych. Klasyfikację foruł noralizacyjnych oraz iar podobieństwa obiektów z punktu widzenia skal poiaru ziennych przedstawia rys... Rys... Klasyfikacja foruł noralizacyjnych oraz iar odległości obiektów z punktu widzenia skal poiaru ziennych Źródło: opracowanie własne na podstawie prac [Jajuga, Walesiak 000, s. 09; Walesiak 995]. Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :56:0

27 .4. POMIAR PODOBIEŃSTWA OBIEKTÓW W ŚWIETLE SKAL POMIARU... 9 Sytuacja koplikuje się wtedy, gdy w zbiorze znajdują się zienne ierzone na różnych skalach. Na podstawie literatury przediotu (por. [Gordon 98, s. 5-7; Jajuga 989; Kaufan, Rousseeuw 990, s. 3-37; Kolonko 979; Walesiak 993b]) do rozwiązania tego probleu ożna wykorzystać następujące sposoby:. Przeprowadzić klasyfikację, skalowanie wielowyiarowe i porządkowanie liniowe zbioru obiektów osobno dla każdej grupy ziennych. Gdy tak otrzyane rezultaty są w iarę zgodne, proble ożna uznać za rozwiązany. Sytuacja koplikuje się wtedy, gdy wyniki te znacznie od siebie odbiegają.. Wykorzystać w analizie tylko zienne jednego ustalonego typu (doinującego w zbiorze ziennych) z odrzucenie ziennych innego typu. Wyniki uzyskane na podstawie zbioru ziennych uzyskanego w taki sposób są na ogół bardzo zniekształcone (ponieważ usiy zrezygnować z części inforacji, które niosą odrzucone zienne). 3. Poinąć w praktyce fakt, że zienne są ierzone na skalach różnych typów i stosować etody właściwe dla ziennych jednego typu. Zienne noinalne i porządkowe traktuje się zazwyczaj tak jak przedziałowe i ilorazowe, stosuje się więc do nich techniki właściwe ty skalo. Sposób ten, choć atrakcyjny z aplikacyjnego punktu widzenia, jest nie do przyjęcia ze względów etodologicznych (następuje tu bowie sztuczne wzocnienie skali poiaru). 4. Dokonać transforacji ziennych tak, by sprowadzić je do skali jednego typu. Podstawowa reguła teorii poiaru ówi, że jedynie rezultaty poiaru w skali ocniejszej ogą być transforowane na liczby należące do skali słabszej. Wynika z tego, że wszystkie obserwacje na ziennych należy przekodować na poiary na skali najsłabszej. Tej operacji towarzyszy jednak utrata inforacji. Proponowane są również w ty względzie procedury wzacniania skal poiaru (por. [Anderberg 973, s ; Pociecha 986]). Są to aproksyacyjne etody przekształcania skal słabszych w silniejsze, opierające się na pewnych dodatkowych inforacjach. Z punktu widzenia teorii poiaru wzacnianie skal jest jednak nieożliwe, ponieważ z niejszej ilości inforacji nie ożna uzyskać większej jej ilości. 5. Posłużyć się etodai (iarai podobieństwa, konstrukcjai syntetycznych ierników rozwoju) dopuszczającyi wykorzystanie ziennych ierzonych na różnych skalach. W literaturze iary takie zaproponowali: Bock, Diday i in. [000, s. 5]; Cox i Cox [000]; Gower [97]; Walesiak [003c]. Miarę odległości iędzy obiektai opisanyi zbiore ziennych o różnych skalach ich poiaru zaproponował Gower [97]: ( j) ( j ) δ ik d j = ik dik =. ( j) (.7) δ j = ik Czynnik ( j) δ przyjuje wartość, gdy poiaru na ziennej j ożey dokonać ik dla obu obiektów i, k. W innych sytuacjach przyjuje wartość 0. Uogólniona iara_walesiak_księga.indb :56:0