W CYLINDRYCZ NYM KANALE FORMY Adam Bokota, Leszek Sowa Jl!stytut Mechaniki i?odstaw Konstrukcji Maszyn, Politecluzika Częstocho wska, Polska

Transkrypt

1 Solidification uf Metais and Alinys Krzepnięcie Metali i Stopów, 18 PL ISSN MODELOWANIE NARASTANIA FAZY STAŁE.) W CYLINDRYCZ NYM KANALE FORMY Adam Bokota, Leszek Sowa Jl!stytut Mechaniki i?odstaw Konstrukcji Maszyn, Politecluzika Częstocho wska, Polska STRESZCZENIE W pracy przedstawiono model matematyczny i numeryczny krzepnięcia cieklego metalu przepływającego w cylindrycznym kana le formy. Analizie poddano część kanału wlewowego dokonując porównania kinetyki krzepnięcia dla różnych prękości zalewania. Zało ż ono stale natężenie przepływu na rozważanej długości kan a łu oraz paraboidalny rozkład prędkości strugi w jego przekroju poprzecznym. W modelu uwzględniono także wpływ przeglzania cieklego metalu na szybkość narastania fazy stalej. Zadanie rozwiązano metodą elementów skończonych. MODELING OF SOLID PHASE GROWING IN CYLINDRICAL CHANHEL ABSTRACT A mathematical and numerical model of solidification of t he liquid metal stream flowing in the cylindrical mould channel has been presented in the paper. The kinetics of solidificat ion for different speed of pauring in a part of the channel has been considered. A constant flow intensity in the longitudinal section and paraboloid distribution of a stream in the crosssection of the channel have been assumed. The influence of overheating of the liquid phase on the rate of solid phase growing has been considered. The problem has been solved by t he finite element method. WPROWADZENIE Praca dotyczy jednego z ważnych zagadnień teorii procesów odlewniczych, a mianowicie krzepnięcia przepływającego metalu w układzie wlewowym formy. Problem ten rozwiązywano dotychczas przy pomocy prób lejności. Próby te nie uwzględniały jednak

2 3H wielu czynników występujących w rzeczywistym ukadzie wlewowym i były dużym przybliżeniem panujących tam warunków. W literaturze spotyka się analityczne rozwiązania tych problemów głównie w pracach J.E.Niesse, M.C.Flemings [6] czy S.Engler i Z.H.Lee [3]. Pierwsi rozpatrywali wpływ temperatury zalewania na krzepnięcie strugi metalu technicznie czystego oraz krzepnięcie stopu, drudzy zaś przedstawili schematyczną zależność między procesem krzepniecia w nieruchomej cieczy a mechanizmem krystalizacji cieczy płynącej w wąskim kanale. Pole temperatury płynącego metalu w kanale przedstawił M. c. Flemings [ 4] przyjmując prędkość strumienia w kanale (v) jako stosunek natężenia przepływu do przekroju poprzecznego pomijając przy tym nieznaczny przepływ ciepła w kierunku ruchu strugi. Według R.Wlodavera [8] wydłużenie się czasu krzepnięcia w kanale, w którym przepływa metal, w stosunku do czasu krzepniecia w kanale bez przepływu, zależy od ilości przepływającej masy metalu i stopnia przegrzania kąpieli płynącej. W pracy proponuje się symulację numeryczną procesu krzepnięcia cieklego metalu przepływającego przez kanał formy. Proponowany model matematyczny opiera sip na rozwiązaniu układu równań Fouriera-Kirchhoffa przyjętych w postaci ogólnej tzn. z członem konwekcyjnym, uzupełnionych odpowiednimi warunkami jednoznaczności. Założono stałe natężenie przepływu w rozważanej przekroju długości poprzecznego kanału, a rozkład prędkości wzdłuż kanału (ulegającego ciągłej zmianie wskutek postępującej w strudze krystalizacji) jest paraboidalny. Ponieważ większość przemysłowych gatunków stali to stopy krystalizujące w przedziale temperatur między likwidusem a solidusem dlatego też do symulacji omawianego procesu wybrano model z rozmytym frontem krzepnięcia. Do rozwiązania zadania zastosowano metodę elementów skończonych, która jest często stosowana do rozwiązywania tego typu zagadnień [2,5]. MODEL MATEMATYCZNY I NUMERYCZNY Równania różniczkowe, opisujące przepływ ciepła w obszarze (O.,.v0 5 v0d (rys.l) przyjęto w postaci [1,5,7):

3 31 17 ( Ą VT (X, t) ) + Q r r pet, r 8T(x,t) gdzie:± +17T(x,t) v-jest pochodną materialną temperatury, at Q'--p dł{t(x,t)).., t ś i t. 'dł - wydajnośc obję o c owa wewnę rznego zro a d t ciepła (W/m 3 ], ~-objętościowy udział fazy stalej ~e < O,l>, A- współczynnik przewodzenia ciepła (W/(mK)], p- gęstość (kg/m 3 ], c ciepło właściwe (J/(kgK)], v prędkość przepływu metalu (m/s] (v=v(o,o,vz)), L ciepło krzepnięcia (J/kg], 17 operator Nabla, r oznacza odpowiednio: r - formę odlewniczą, L - fazę ciekłą, s - fazę stalą odlewu. (l) <::::> li '-1 'b 'b c: Rys.l.Identyfikacja podobszarów rozważanego układu: nt-faza ciekła, Os-faza stała, nr-forma, OLs-obszar dwufazowy, rs-powierzchnia styku fazy stalej z formą odlewniczą, rr-powierzchnia styku formy Z otoczeniem, ro-oś symetrii kanału, rt-t r2-2 - powierzchnie ograniczające Równania te uzupełniają: (i) warunki początkowe: 'f(x,o) = 'fo(x), (ii) warunki brzegowe (por.rys.l): 8Tr A -1 = -o:(t l -Tot), ran rr r rr (2) (3)

4 32 8TL J =O an ro l T(r,O,O) lr =TL, 1-1 BTLJ =O an r2-2, T(r,O,O) lr =TL+lO, 1-1 (4) (5) gdzie: a- współczynnik przejmowania ciepła [W/(m 2 K)], Tottemperatura otoczenia, Założono, że ciepło krystalizacji wydziela się w przedziale temperatur (TL+Ts) a efektywna pojemność cieplna (cer) dla poszczególnych faz wynosi [5]: Cer(T) = r(t). dla T>TL, d~ Cs(T)-L=, dla T <T<T. d T s L Cs (T), dla T<Ts, (6) Do szacowania efektywnej pojemności cieplnej (cer) określający udział fazy stalej przyjęto w postaci: TL - T parametr ~ (7) gdzie T e <TL,Ts> Podstawiając pochodną wyrażenia (7) (d~/dt=-1/ (TL -Ts)), do (6) otrzymuje się: Zakłada długości wielkości laminarny prędkości, promieniu ~) Cer= c+ _L_. TL-Ts się stale natężenie przepływu (Qv) na rozważanej kanału natomiast prędkość zależy od chwilowej przekroju poprzecznego (A) (rys.l). Przyjęto przepływ cieczy o paraboloidalnym rozkładzie toteż prędkość przepływu w osi kanału (w przekroju o wyznacza zależnosć: 2Qv v 0 = -=-z, (9) rrrz natomiast zmiana prędkości z promieniem (r) jest następująca: Z uwagi na uzupełnienia (6) i (8) równanie różniczkowe (l) wykorzystuje się dalej w postaci: (8) (lo)

5 8T 'Jo (i\'jt) - pcer- - pcer'jtov = O, r r r at r r ( 11) Stosując metodę reszt ważonych do (11) mamy: I 'Jo (i\'jt) 9)d0 -I pc.. r ~do -I pcer'jtov9)do = O, (12) o o o gdzie ~ jest funkcją bazową. Po zastosowaniu metody Bubnowa-Galerkina otrzymuje się: N e E (I i\nn,.,inn,it.do + I pcernnt,.n., l vknk do)- n Oe Oe Hb Ne E I Nni\nTqn 1 dr "' -E J pcernnn,.t,.,tdo. 1 re n Oe (13) Przyjmując niejawny schemat aproksymacji po czasie równania (13) sprowadzają się do postaci: gdzie: (K + M + V ) Ts+l M T" + bs+l. nm nm rvn m nm m n K",.= J i\nnm,inn,ldo, o Vnm= J pcern 0 Nm,l ~INkdO, o (14) (15) czasu. skończony przyrost czasu, s-kolejny poziom Rozwiązaniem układu równań (H) są poszukiwane temperatury w węzlach przyjętej siatki przestrzennej (T,.= T,.(t)) dla czasu t = sat. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Obliczenia wykonano przy założeniu stałego natężenia przepływu wzdłuż długości rozważanego odcinka kanału o wymiarach: 1=0.6, Rs=0.045, Rr=0.06 [m]. Przyjmując różne

6 34 wartości natężenia przepływu obliczano prędkość (v 0 ) i badano jej wpływ na szybkość zarastania kanału krzepnącym metalem. otrzymane wyniki przedstawiono na rys Rys.2.Pola prędkości c)v 0 =0.10(m/s) 0. Hl 'W w kanale: a)v 0 =0.01[m/s], b)v 0 =0.05[m/s], ==n=:::::=-::=~= 0 7 = , "-,', , 50 li!b ~ lil' 0.50 m ~ l 0.. ~ 0.30 (S) Ul (S) Ulw Rys. 3. Izolinie temperatury dla różnych prędkości przepływu z warunkiem brzegowym (5.1): a)v 0 =0[m/s], b)v 0 =0.0l[m/s], c)v 0 =0.05[m/s), d)v 0 =0.10[m/s]

7 r;:::.-r:-~ ~ /"""" fi 'r 0.60 (( Rys.4.Wielkość przepływu a)v 0 =0.0[m/s), d)v 0 =0.10[m/s) warstwy ciekłego zakrzepłej dla różnych prędkości metalu.. Warunek brzegowy (5.1): b)v 0 =0.0l[m/s), c)v 0 =0.05[m/s), O.iO ~~;======7====== ~ O.JO { 0.20 > v = O.OOtm/sl 2 - v = 0.01 m/s 3 - v = 0.05 m/s 4 - v = 0.10 m/s ~ " 0.20 > = ~ m/s] ~ 0.01 J - v m 0.05 m/ 4 - V a 0.10 m/o o. D?, _I=-..."...".~...,~-.-.-=-...,,.., _ ""o~..-l. o.~.b...--"-r=-...-,,.,." =---r-=-...--,-.L Czas [min] o.40 r---r======;:====:j Czas [min] 0.30 f; ~ 0.!20 2 1' 2' , 1' -V a O.OO{m/s] 2, 2' - v = 0.05[m/s o.~.;f;:;o-~.;r.;: ,;-r;<...--.:~...-:r::-----,--L Czas (min) Rys. 5. Przyrost fazy stalej w całej objętości kanału: a) z warunkiem brzegowym (5.1), b) z warunkiem brzegowym (5.2), c) porównanie wyników dla warunków brzegowych (5.1) - krzywe 1,2 i (5.2) -krzywe 1',2'

8 36 w obliczeniach przyjęto następujące stale termofizyczne: ;\ =35 (W/(rnK)], c =644 s s cl=837, pl=7300, L=270 (W/(m 2 K)). Natomiast (J/(kgK)], ps=7760 (kg/m 3 ] ;\L=23, (kj/kg], ;\r=45, cr=7500, pr=510, a=50 wartości początkowe następujące: Tz=1810K i 1820 K, TL=1810 K, K, Tr~400K. temperatury były T 5 =1760 K, T 0 t=303 Na podstawie otrzymanych wyników symulacji numerycznej można stwierdzić, że szybkość narastania fazy stalej w całej objętości kanału jest zależna od przyjmowanej prędkości początkowej przepływu. Wraz ze wzrostem prędkości przepływu, ma l eje ilość narastającej fazy stalej, zarówno gdy zalewa się do kanału metal przegrzany (rys.5b) jak i metal o temperaturze likwidusu (rys.5a). W przypadku zalewania metalu o temperaturz~ wyższej od temperatury likwidusu, obserwuje się znaczne i l o śc iowe zmniejszenie narastania fazy stalej w porównaniu do nara stania metalu zalewanego w temperaturze likwidusu (rys.5c). o t rzymane wyniki, symulacji numerycznej narastania fazy s ta łej w roz w aż anym kanale, potwierdzają poprawność założeń do modelu i właś ciwy wybór metody rozwiązania zadania. Ist ot ny wpływ na poziom zarastania kanału ma temperatura kąpie l i dop ływ ajacej (rys. 5), natomiast jeśli chodzi o czas zar ast ania to różnice spowodowane zmianą prędkości lub zmianą temperatury są nieznaczne (rys.4 i 5.) Praca była finansowana przez Komitet Badań Naukowych (KBN) LITERATURA 1. A.Bokota,R.Parkitny: Krzepnięcia metali i stopów, 6(1983) G.Dhatt: Int. J. Num. Meth. Engrg, 30(1990) S.Engler, Z.-H.Lee: Giesserei-Forch., 3(1978) M.C.Flemings: Solidification processing. New York (1974). 5. B. Mochnacki, J. suchy: Modelowanie i symulacja krzepnięcia odlewów, PWN, Warszawa (1993). 6. J.E.Niesse, M.C.Flemings: Modern Castings, 11(1959) W.Sakwa, B.Mochnacki: Krzepnięcie Metali i Stopów, 1(1979) R. Wlodaver: Gelenkte Erstarrung von Gusseisen, Giesserei Verlag, Dusseldorf (1977).