Srinivasa Ramanujan. Artykuł pobrano ze strony eioba.pl

Transkrypt

1 Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Srinivasa Ramanujan Srinivasa Ramanujan był najdziwniejszym człowiekiem w całej historii matematyki, może nawet w całej historii nauki...

2 Jedna z najgłębszych tajemnic teorii strun, ciągle jeszcze niezbyt dobrze rozumiana, wiąże się z pytaniem, dlaczego jest ona zdefiniowana tylko w dziesięciu i dwudziestu sześciu wymiarach. Gdyby była trójwymiarowa, nie mogłaby zjednoczyć znanych praw fizyki w żaden sensowny sposób. Dlatego główną cechą tej teorii jest geometria wyższych wymiarów. Gdy obliczamy, jak struny rozpadają się i łączą w N-wymiarowej przestrzeni, ciągle natrafiamy na nic nieznaczące wyrazy, które niszczą wspaniałe własności tej teorii. Na szczęście te przeszkadzające wyrazy wydają się być wielokrotnością (N - 10). Aby zatem pozbyć się tych anomalii, musimy przyjąć, że N jest równe 10. W rzeczywistości teoria strun to jedyna znana teoria kwantowa, która wymaga, aby wymiar czasoprzestrzeni był równy określonej liczbie. Niestety, teoretycy strun są obecnie bezsilni i nie potrafią wyjaśnić, dlaczego I wybór został ograniczony tylko do dziesięciu wymiarów. Odpowiedź tkwi głęboko w matematyce, w dziedzinie zwanej funkcje modularne. Zawsze, gdy manipulujemy diagramami KSV pętlą, przedstawiającymi oddziałujące struny, natrafiamy na dziwne funkcje modularne, w których liczba dziesięć pojawia się w najbardziej nieoczekiwanych miejscach. Funkcje modularne są tak tajemnicze, jak człowiek, który je badał 1 mistyk ze Wschodu. Może, jeśli lepiej zrozumiemy prace tego hinduskiego geniusza, pojmiemy, dlaczego żyjemy w naszym Wszechświecie.

3 Srinivasa Ramanujan był najdziwniejszym człowiekiem w całej historii matematyki, może nawet w całej historii nauki. Porównywano go do supernowej: rozświetlił ciemne, najgłębsze zakamarki matematyki, zanim zmarł na gruźlicę w wieku 33 lat (podobnie jak Riemann przed nim). Pracując w całkowitej izolacji od głównych prądów zachodniej matematyki, potrafił samodzielnie odtworzyć jej stuletni dorobek. Tragedią życia Ramanujana było to, że większość swego wysiłku poświęcił na ponowne odkrywanie znanych twierdzeń. W jego notatnikach znajdują się, porozrzucane wśród niejasnych równań, funkcje modularne, należące do najdziwniejszych tworów, jakie kiedykolwiek istniały w matematyce. Pojawiają się one w najbardziej odległych i nie związanych ze sobą gałęziach matematyki. Jedna z funkcji, która często występuje w teorii funkcji modularnych, jest dzisiaj zwana funkcją Ramanujana. Ten dziwaczny obiekt zawiera pewien składnik podniesiony do dwudziestej czwartej potęgi. W pracach Ramanujana ciągle powtarza się liczba 24. Jest to przykład na to, co matematycy nazywają magicznymi liczbami. Pojawiają się one tam, gdzie się ich najmniej oczekuje, z powodów, których nikt nie rozumie. Funkcja Ramanujana występuje również w cudowny sposób w teorii strun. Związana z tą funkcją liczba 24 jest źródłem niespodziewanych uproszczeń w teorii strun. Każdy z dwudziestu czterech modów w funkcji Ramanujana odpowiada w tej teorii fizycznym drganiom struny. Za każdym razem, gdy struna wykonuje skomplikowane ruchy w czasoprzestrzeni, dzieląc się i łącząc, musi zostać spełniona olbrzymia liczba bardzo skomplikowanych tożsamości matematycznych. Tożsamości te zostały od- kryte przez Ramanujana. (Ponieważ fizycy dodają dwa wymiary, gdy obliczają sumę drgań pojawiających się w teorii relatywistycznej, czasoprzestrzeń musi mieć = 26 wymiarów). Gdy uogólni się funkcję Ramanujana, liczbę 24 zastępuje liczba 8, dlatego krytyczną liczbą dla superstruny jest 8 + 2, czyli 10. Takie jest pochodzenie dziesięciu wymiarów. Struna wibruje w dziesięciu wymiarach, ponieważ musi być spójna, a do tego potrzebuje uogólnionych funkcji Ramanujana. Innymi słowy, fizycy nie mają najmniejszego pojęcia, dlaczego liczby 10 i 26 określają wymiary struny. Wygląda to tak, jak gdyby w tych funkcjach objawiał się rodzaj głębokiej numerologii, której nikt nie rozumie. Te same magiczne liczby pojawiają się w eliptycznej funkcji modularnej, ustalającej liczbę wymiarów czasoprzestrzeni na 10.

4 Podsumowując, można powiedzieć, że pochodzenie dziesięciowymiarowej teorii jest tak tajemnicze, jak sam Ramanujan. Jeśli ktoś zapyta fizyka, dlaczego natura miałaby istnieć w dziesięciu wymiarach, usłyszy: Nie wiem". Przeczuwamy niejasno, dlaczego musimy wybrać niektóre wymiary czasoprzestrzeni (w przeciwnym wypadku struna nie mogłaby wibrować w kwantowo spójny sposób), ale nie wiemy, dlaczego muszą to być akurat te liczby. Być może odpowiedź skrywają zagubione notatniki Ramanujana. Srinivasa Ramanujan urodził się w 1887 roku w Erode, w pobliżu Madrasu w Indiach. Choć należał do kasty braminów, najwyższej kasty hinduskiej, jego rodzina była biedna, utrzymywała się z niewielkich zarobków ojca, który pracował ja ko urzędnik w biurze handlarza tekstyliami. Gdy Srinivasa miał dziesięć lat, stało się jasne, że nie jest podobny do innych dzieci, jak Riemann przed nim, Ramanujan zyskał sławę w całej wiosce dzięki zadziwiającym zdolnościom rachunkowym. Już jako dziecko odkrył na nowo tożsamość Eulera pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi I wykładniczymi. W życiu każdego młodego naukowca jest punkt zwrotny, pojedyncze wydarzenie, które całkowicie zmienia jego bieg. Einsteina zafascynowała Igła kompasu. Na Riemanna wpłynęła lektura książki Legendre'a o teorii liczb. Ramanujan natknął się na nieznaną, zapomnianą książkę George'a Carra o matematyce. Książka ta stała się w ten sposób nieśmiertelna, jako jedyny znany kontakt Ramanujana

5 z nowoczesną matematyką Zachodu. Ta właśnie książka rozbudziła jego geniusz. Zaczął sam udowadniać twierdzenia w niej podane. Ponieważ nie korzystał z pomocy innych książek, każde rozwiązanie było dla niego ważnym odkryciem. (...) Ramanujan zwykł mówić, że to bogini Namakkal podsuwała mu rozwiązania w snach" 1 wspomina jego siostra. Dzięki niezwykłej inteligencji udało mu się zdobyć stypendium, by kontynuować naukę w szkole średniej. Ale ponieważ nudziły go pracochłonne zadania domowe i cały swój czas poświęcał równaniom wirującym w jego głowie, nie dostał się do następnej klasy i stypendium cofnięto. Zawiedziony, uciekł z domu. W końcu wrócił, ale zachorował i ponownie nie zdał egzaminów. Dzięki pomocy przyjaciół Ramanujan objął posadę niższego urzędnika w Port Trust w Madrasie. Była to nudna praca, dająca jedynie nędzne dwadzieścia funtów rocznie, ale pozwoliła Ramanujanowi, jak poprzednio Einsteinowi w szwajcarskim urzędzie patentowym, oddawać się w wolnym czasie marzeniom. Pragnąc nawiązać kontakt z innym matematycznym umysłem, wysłał niektóre z rezultatów swoich marzeń" do trzech znanych brytyjskich matematyków. Dwóch z nich od razu wyrzuciło do kosza list napisany przez nieznanego hinduskiego urzędnika bez żadnego wykształcenia. Trzecim był znakomity matematyk z Cambridge, Godfrey H. Hardy. Z powodu swojej wysokiej pozycji społecznej w Anglii był on przyzwyczajony do tego, że otrzymuje listy od szaleńców. Kiedy jednak pobieżnie przeglądał list od Ramanujana, pomiędzy gęstymi gryzmołami zauważył wiele twierdzeń matematycznych, które były już znane. Potraktował to jako oczywisty plagiat i również wyrzucił list. Coś jednak tu nie pasowało. Coś niepokoiło Hardy'ego, nie mógł przestać myśleć o tym dziwnym liście.

6 Podczas obiadu, wieczorem 16 stycznia 1913 roku, Hardy opowiedział o tym wydarzeniu swemu przyjacielowi Johnowi Littlewoodowi; zdecydowali, że przyjrzą się ponownie treści listu. Zaczynał się całkiem niewinnie: Chciałbym się panu przedstawić jako urzędnik, pracujący w księgowości w biurze Port Trust w Madrasie z pensją jedynie dwudziestu funtów rocznie". List od biednego urzędnika z Madrasu zawierał jednak twierdzenia zupełnie nieznane matematykom z Zachodu. W sumie znalazło się w nim 120 twierdzeń. Hardy był oszołomiony. Wspomina, że dowody kilku z tych twierdzeń rzuciły go na kolana". Jak to sam ujął: Nigdy nie widziałem niczego, co choć trochę by je przypominało. Jedno spojrzenie na nie wystarczało, aby przekonać się, że mogły zostać zapisane tylko przez matematyka najwyższej klasy". Littlewood i Hardy doszli do podobnego zadziwiającego wniosku: nie ulegało wątpliwości, że jest to praca geniusza, który rekonstruuje osiągnięcia ostatnich stu lat europejskiej matematyki. Był niesamowicie obciążony: biedny, samotny Hindus próbujący swoich sił w zmaganiach z nagromadzoną w Europie mądrością" wspomina Hardy. Hardy po wielu trudnościach zorganizował pobyt Ramanujana w Cambridge w 1914 roku. Po raz pierwszy mógł on komunikować się regularnie z równymi sobie z europejskimi matematykami. Wtedy nastąpił rozkwit jego sił twórczych: trzy krótkie, intensywne lata współpracy z Hardym w Trinity

7 College w Cambridge. Hardy próbował później ocenić umiejętności matematyczne Ramanujana. Davidowi Hilbertowi, powszechnie uznawanemu za jednego z największych matematyków XIX wieku, przyznał osiemdziesiąt punktów. Ramanujanowi - sto. (Siebie oceniał na dwadzieścia pięć). Niestety, ani Hardy, ani Ramanujan nie interesowali się psychologią i procesami myślowymi, dzięki którym Ramanujan odkrył te niewiarygodne twierdzenia choć jego marzenia" produkowały je w tak wielkiej obfitości. Nie miało sensu wypytywać go, w jaki sposób odkrył to lub tamto znane twierdzenie, skoro pokazywał mi pół tuzina nowych niemal każdego dnia" - stwierdził Hardy. Hardy przypomina sobie wyraźnie: Pamiętam, jak kiedyś poszedłem odwiedzić go, gdy leżał chory w Putney. Przyjechałem taksówką numer 1729, podzieliłem się z nim spostrzeżeniem, że ten numer wydaje się raczej nieciekawy, i mam nadzieję, iż nie jest to zły omen.»ależ nie - odpowiedział - to bardzo interesująca liczba. Jest to najmniejsza liczba wyrażająca sumę dwóch sześcianów na dwa różne sposoby«".19 (Jest to suma I x I x I i 12 x 12 x 12, jak również suma 9x9x9 i 10x10x10). Ramanujan potrafił recytować z marszu złożone twierdzenia arytmetyczne, do których udowodnienia potrzeba nowoczesnego komputera. Zawsze był słabego zdrowia, a niedostatki targanej wojnami ekonomii brytyjskiej uniemożliwiały mu utrzymanie ścisłej wegetariańskiej diety, ciągle więc zmuszony był jeździć do sanatoriów. Po trzyletniej współpracy z Hardym Ramanujan zachorował i już nigdy nie powrócił do zdrowia. Pierwsza

8 wojna światowa uniemożliwiła podróże między Anglią a Indiami i dopiero w 1919 roku udało mu się powrócić do domu, gdzie w rok później zmarł. Spuścizną Ramanujana są jego prace, na które składa się cztery tysiące równań na czterystu stronach, wypełniających trzy tomy notatek: wszystkie zawierają gęsto zapisane twierdzenia o wielkiej wadze, ale bez jakiegokolwiek komentarza lub - co gorsza - bez dowodu. W 1976 roku w Trinity College znaleziono pudełko, w którym Ramanujan na stu trzydziestu stronach luźnych kartek zgromadził wyniki pracy ostatniego roku swego życia. Zwie się je teraz Zaginionym notatnikiem Ramanujana. Wypowiadając się na jego temat, matematyk Richard Askey stwierdził: Praca jednego roku, gdy był umierający, jest równoważna dorobkowi życia wielu znakomitych matematyków. Jego osiągnięcia są niewiarygodne. Gdyby to była powieść, nikt by w to nie uwierzył". Aby podkreślić trudności, jakie towarzyszą odszyfrowywaniu Notatnika, matematycy Jonathan Borwein i Peter Borwein zauważyli: Według nas nikt nigdy nie redagował matematycznego tekstu tego kalibru i o takim stopniu trudnośći. Gdy spoglądamy na równania Ramanujana, odnosimy wrażenie, ze po latacn ćwiczeń w słuchaniu muzyki Ludwiga van Beethovena, zostaliśmy nagle wystawieni na działanie zupełnie innego rodzaju, urzekająco pięknej muzyki Wschodu, będącej mieszaniną harmonii i rytmów nigdy wcześniej przez nas nie słyszanych. Jonathan Borwein powiedział: Wydaje się, że funkcjonował zupełnie inaczej niż wszyscy ludzie, których znamy. Miał takie wyczucie rzeczy, że one po prostu wypływały z jego umysłu. Prawdopodobnie nie postrzegał ich w żaden sposób, który nadawałby się do wyjaśnienia. To jak przyglądanie się komuś w czasie uczty, na którą samemu nie zostało się zaproszonym".

9 Fizycy doskonale zdają sobie sprawę z tego, że przypadki" nie zdarzają się bez powodu. Gdy przeprowadzają długie i skomplikowane obliczenia i nagle tysiące niepotrzebnych wyrazów w cudowny sposób sumuje się do zera, fizycy wiedzą, że nie dzieje się to bez głębszej przyczyny. Jest to wskazówka, że mamy do czynienia z symetrią. W przypadku strun zwie się ona symetrią konforemną - symetrią rozciągania i deformowania powierzchni świata struny. W tym miejscu pojawia się praca Ramanujana. Aby uchronić pierwotną symetrię konforemną przed zniszczeniem przez teorię kwantową, musi zostać spełniona pewna liczba tożsamości matematycznych. Są one dokładnie tożsamościami funkcji modularnych Ramanujana. Na zakończenie tego rozdziału chciałbym przypomnieć, że przyjmujemy za pewnik, iż prawa natury stają się prostsze, gdy wyrazimy je w wyższych wymiarach. Jednak w świetle teorii kwantowej musimy teraz dokonać poprawek w tym podstawowym stwierdzeniu. Poprawnie sformułowane powinno teraz brzmieć: prawa natury upraszczają się, gdy zostaną spójnie wyrażone w wyższych wymiarach. Dodanie słowa spójnie" ma kluczowe znaczenie. To ograniczenie zmusza nas do użycia funkcji modularnych Ramanujana, z których wynika, że czasoprzestrzeń jest dziesięciowymiarowa. A to z kolei może mieć decydujące znaczenie dla wyjaśnienia pochodzenia Wszechświata.

10 Einstein zadawał sobie często pytanie, czy Bóg stwarzając Wszechświat, miał jakiś wybór. Według teoretyków superstrun, jeśli wymagamy unifikacji teorii kwantowej i ogólnej teorii względności, Bóg nie miał wyboru. Uważają oni, że sama spójność zmusiła Boga do stworzenia takiego właśnie Wszechświata. Chociaż matematyczna złożoność teorii superstrun osiągnęła zawrotne wyżyny i przeraziła matematyków, krytycy tej teorii ciągle uderzają w jej najsłabszy punkt. Twierdzą oni, że każda teoria musi być sprawdzalna. Ponieważ żadnej teorii zdefiniowanej przy energii Plancka wynoszącej I019 miliardów elektronowoltów nie da się sprawdzić, teoria superstrun nie jest w ogóle teorią naukową! Główny jednak problem, jak starałem się wykazać, jest raczej natury teoretycznej niż eksperymentalnej. Gdybyśmy byli wystarczająco mądrzy, potrafilibyśmy uzupełnić tę teorię i znaleźć jej prawdziwe, nieperturbacyjne rozwiązanie. Nie zwalnia nas to jednak z poszukiwania eksperymentalnych sposobów jej zweryfikowania. Aby ją sprawdzić, musimy poczekać na sygnały z dziesiątego wymiaru. Uwaga: Tekst pochodzi z ksiązki "Hiperprzestrzeń" autorstwa Michio Kaku.

11 Autor: Michio Kaku Artykuł pobrano ze strony eioba.pl