Rozkład prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych (przepływów najwyższych w roku)

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozkład prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych (przepływów najwyższych w roku)"

Paweł Kalinowski
6 lat temu
Przeglądów:

1 1 Rozkład prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych (przepływów najwyższych w roku) 1. metoda CUGW (Pearson III i metoda kwantyli) Metoda ta powstała w latach sześćdziesiątych zeszłego stulecia i jest oparta m. in. na pracach Kaczmarka (1960a, 1960b). W 1968 roku została opublikowana w postaci regulacji prawnej (CUGW 1968), a w 1991 roku nieco rozszerzona przez zespół IMGW (IMGW 1991). Metoda ta stosuje trójparametrowy rozkład Pearsona typu III, którego parametry są estymowane graficzną metodą decyli. Rozkład ten jest zapisany w formie kwantylowej [ ] Q 1 (, ) max, p = Q + cv Φ s p (1) gdzie Q max,p jest kwantylem dowolnego rzędu p przepływu maksymalnego w roku (tj. przepływu p% lub przepływu T-letniego, gdzie T = 1/p), Q jest medianą zmiennej Q max, c v kwantylowym współczynnikiem zmienności, Φ(s,p) stablicowaną funkcją kwantylowego współczynnika skośności s i prawdopodobieństwa przewyższenia p. Procedurę obliczeniowa składa się z kilku etapów, które najłatwiej prześledzić na konkretnym przykładzie. Niech będzie dana n-letnia chronologiczna próba losową przepływów maksymalnych w roku {Q max,1, Q max,2,..., Q max, n }, jak podaje poniższa tabela 1: Tabela 1. Przepływy maksymalne roczne Q max (m 3 /s) w przekroju Sucha na Skawie w okresie (źródło: Ozga-Zielińska i in. 1999) rok Q max rok Q max rok Q max co ilustruje graficznie rys. 1. Q m a x, m 3 ês SkawaêSucha Rys. 1. Ciąg chronologiczny przepływów maksymalnych rocznych Q max (m 3 /s) w przekroju Sucha na Skawie w okresie Posiadane dane powinny być starannie zweryfikowane pod względem ich jednorodności (stałość warunków formowania się wezbrań, brak czynników ubocznych, wiarygodność krzywych konsumcyjnych itd.). Ponieważ dane takie są przygotowywane przez wyspecjalizowane agencje, weryfikacja taka jeśli jest w ogóle prowadzona ogranicza się do badania jednorodności szeregu czasowego za pomocą jakiegoś testu jednorodności, zwykle testu na brak trendu liniowego lub trendu monotonicznego. Proponowane i zastosowane są tu takie

2 testy jak test na nieistotność współczynnika kierunkowego regresji liniowej, czy nieparametryczny test Manna-Whitneya. Następnym krokiem jest uporządkowanie posiadanej próby chronologicznej w ciąg malejący {Q max,(1), Q max,(2),..., Q max,(n) }, obliczenie kolejnych wartości p i empirycznego prawdopodobieństwa przewyższenia za pomocą wzoru ozn i ˆP( Qmax Qmax,( i) ) = pi =, i = 1,2,..., n (2) n + 1 umieszczenie punktów (p i, Q max,(i) ) na siatce pearsonowskiej (podanej w osobnym pliku siatka PIII.pdf), wyrównanie ich odręcznie i odczytanie wartości czterech decyli: ˆQ 90 i ˆQ 10, co ilustruje rys Skawa êsucha x, m 3 ês PHQ max xl, % Rys. 2. Empiryczna funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych rocznych (punkty połączone łamaną) z zaznaczonymi odczytanymi z wykresu decylami ˆQ 90 i ˆQ (znak ). 10 Z rys. 2 można odczytać, że wartości kwantyli ˆQ 90 i ˆQ 10 wynoszą w przybliżeniu odpowiednio 10, 30, i 240 m 3 /s. Następnie, za pomocą podanych niżej wzorów, obliczane są dwie bezwymiarowe wartości: empiryczny (kwantylowy) współczynnik zmienności ĉ v oraz pewną wartość pomocniczą ˆb : cˆ v = (3) ˆ ˆ cˆ vq b = Wykorzystując znane wartości decyli i wzory (3) i (4) dostajemy ĉ v = ( ˆQ 10 ˆQ 90 )/(2 ˆQ ) = (240 30/(2 ) = 210/ = 1.05, oraz ˆb = 1.05 /( 10) = 1.05 /90 = Wartość ˆb służy do odczytania z podanej tabeli (tabela C.1 na końcu niniejszego tekstu) wartości s wielkości zwanej współczynnikiem skośności. Następnie z kolejnej tabeli (tabela C.3) odczytuje się wartości Φ(s,p) dla zadanej wartości s i zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p. (4)

3 W naszym przykładzie interpolacja s dla wartości ˆb = w tabeli C.1 daje s = Tabela C.3 daje po interpolacji liniowej następujące wartości Φ(s = 0.725, p): p, % 99% 95% 90% 80% 70% % 30% 20% 10% 5% 3% 2% 1% Φ(s=0.725, p) które po wstawieniu do wzoru (1): max, p dają poszukiwany rozkład teoretyczny: 3 [ (0.725, p) ] Q ˆ = + Φ m /s (5) p, % 99% 95% 90% 80% 70% % 30% 20% 10% 5% 3% 2% 1% max, p m 3 /s Można teraz nanieść otrzymane wartości max, p na wykres empirycznego prawdopodobieństwa przewyższenia. Otrzymany wynik jest przedstawiony na rys. 3. Z wykresu tego można odczytać wartości innych żądanych kwantyli; można też ocenić wizualnie jakość dopasowania. SkawaêSucha x, m 3 ês PHQ max xl, % Rys. 3. Teoretyczna funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia przepływu maksymalnego rocznego (linia gładka) obliczona metodą CUGW. Maksymalna różnica D max pomiędzy dystrybuantami (liczona w poziomie) wynosi około 10% dla Q max nieco ponad m 3 /s. Należy teraz zbadać, czy nie istnieją powody przeciwko przyjęciu, że badana zmienna losowa podlega znalezionemu rozkładowi prawdopodobieństwa. Do tego celu wytyczne CUGW (1968) i IMGW (1991) zalecają zastosowanie testu Kołmogorowa na poziomie istotności 5%. Zadanie to można wykonać w ten sposób, że znajduje się na wykresie takim jak na rys. 3 maksymalną różnicę D max pomiędzy prawdopodobieństwem empirycznym a teoretycznym (tj. różnicę w poziomie) i bada się, czy różnica ta nie przekracza wartości krytycznej tego testu. Z rys. 3 można z grubsza odczytać, że poszukiwana maksymalna różnica wynosi około 10% (dla przepływu ok. m 3 /s). Przyjmując tę wartość mamy: λ = D n = = < λ ( α = 5%) = 1.36 max A więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, przyjmujemy w takim razie, że znaleziony rozkład prawdopodobieństwa (1) ze estymowanymi parametrami jest rzeczywistym rozkładem przepływów maksymalnych rocznych Skawy w Suchej. kryt

4 Pozostaje jeszcze jeden problem: ocena niepewności (tzw. błędu) kwantyla Q ˆmax, p. Problem ten jest rozwiązywany za pomocą jednostronnego (lewostronnego) przedziału ufności dla rzeczywistej wartości kwantyla Q max,p (CUGW 1968, IMGW 1991): ˆ α Q = + t σ (6) ( ) max, p max, p α max, p lub dwustronnego przedziału ufności (IMGW 1991): ˆ α Q = ± t σ (7) ( ) max, p max, p α Q max, p gdzie t α jest kwantylem w rozkładzie normalnym N(0;1) rzędu odpowiednio: 1 α w (6) i 1 α/2 w (7) a σ odchylenie standardowe kwantyla Q ˆmax, p oblicza się ze wzoru: max, p σ max, p cˆ v = F( s, p) (8) Funkcja F(s,p) jest stablicowana (np. Kaczmarek 1970); jej wartości są podane w załączonej w niniejszym tekście tabeli C.2. Wartość t α w (6) i (7) wynikają odpowiednio z następujących wzorów: E Q max, p max, p P < tα = Pα = 1 α σ max, p E Q max, p max, p P < tα = Pα = 1 α σ max, p Ostatnią czynnością jest wykreślenie odpowiedniego obszaru ufności. P α 84% 90% 95% 99% t α dla (6) i (9) t α dla (7) i (10) n 4 (9) (10) SkawaêSucha x, m 3 ês PHQ max xl, % Rys % jednostronny obszar ufności (linia przerywana oznacza górną granicę) przepływów maksymalnych w roku Skawy w Suchej (metoda CUGW).

5 2. metoda 2: Pearson III, metoda największej wiarygodności Metoda ta stosuje również stosuje trójparametrowy rozkład Pearsona typu III, który zapisany w postaci jawnej ma np.

5 5 2. metoda 2: Pearson III, metoda największej wiarygodności Metoda ta stosuje również stosuje trójparametrowy rozkład Pearsona typu III, który zapisany w postaci jawnej ma np. taką postać: α fγ x = x e x > > Γ( λ) λ λ 1 α ( x ) ( ;, α, λ) ( ),, α, λ 0 Dolne ograniczenie jest szacowane np. z wykresu (jak na rys. 2) a pozostałe dwa parametry, tj. α i λ estymowane metodą największej wiarygodności. Jedna z postaci tej metody, najłatwiejsza do stosowania, ma postać gdzie: Aλ = ln( x ) ln( x ) ˆ 1 4A λ 1 1 4A + + λ 3 λ (11) (12) ˆ λ ˆ α = (13) x Dla analizowanych danych, przyjmując znalezioną już wartość dolnego ograniczenia = 10 m 3 /s, dostajemy: x = , ln( x ) = , ln( x ) = , A λ = , ˆλ = i ˆα = Mając te wartości i korzystając z Excela (bliższe informacje w osobnym pliku Excel- RozkłCiagłe1.pdf), łatwo dostajemy dowolną wartość przepływu Q max,p. Na przykład jak to pokazuje rysunek poniżej dla prawdopodobieństwa przewyższenia p = 5% Excel daje wartość Q max,5% = m 3 /s, skąd dostajemy Q max,5% = m 3 /s. Należy koniecznie zauważyć, że wartość ˆλ = wpisujemy w ramkę Alfa a wartość ˆα = wpisujemy ramkę Beta. Inne przykładowe wyniki uzyskane za pomocą Excela pokazane są niżej.

6 Utworzoną ten sposób zależność Q max,p od p dla metody największej wiarygodności została na rys. 5 poniżej porównana z zależnością z rys. 3. SkawaêSucha 1951-1997 x, m 3 ês 0 90 70 30 20 10 5 1 0.

6 6 Utworzoną ten sposób zależność Q max,p od p dla metody największej wiarygodności została na rys. 5 poniżej porównana z zależnością z rys. 3. SkawaêSucha x, m 3 ês PHQ max xl, % Rys. 5. Teoretyczna funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia przepływu maksymalnego rocznego (linia gruba przerywana) obliczona metodą CUGW i teoretyczna funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia przepływu maksymalnego rocznego (linia cienka przerywana) obliczona metodą największej wiarygodności.

7 7 Tabela C.1. Wartości kwantylowego współczynnika skośności s w funkcji wielkości b (4) b s b s b s b s b s b s Tabela C.2. Wartości funkcji F(s,p) dla zadanych wartości s i p wymagane do stosowania wzoru (8). s p%

8 8 Tabela C.3. Wartości funkcji Φ(s,p) dla zadanych wartości s i p s p

9 9 Literatura CUGW, 1968, Zasady obliczania największych przepływów rocznych o określonym prawdopodobieństwie pojawiania się przy projektowaniu obiektów inżynierskich i urządzeń technicznych gospodarki wodnej w zakresie budownictwa hydrotechnicznego, Załącznik do Zarządzenia nr 26 Prezesa CUGW z dnia 9 lipca 1968 r. (Dz. Bud. nr 9 poz. 42), Wydawnictwo Katalogów i Cenników, Warszawa IMGW 1991: Biernat B., Bogdanowicz E., Czarnecka H., Dobrzyńska I., Fal B., Karwowski, S., Skorupska B., Stachý J. Zasady obliczania maksymalnych rocznych przepływów rzek polskich o określonym prawdopodobieństwie pojawiania się, IMGW., Seria: Instrukcje i podręczniki, Warszawa Kaczmarek Z., 1960a, Obliczanie parametrów rozkładu Fostera przy pomocy decyli, Gosp. Wodna., XX (2), Kaczmarek Z., 1960b, Przedział ufności jako miara dokładności oszacowania prawdopodobnych przepływów powodziowych, Wiad. Sł. Hydrol., VII (4), Kaczmarek Z.: Metody statystyczne w hydrologii i meteorologii, WKiŁ, Warszawa Ozga-Zielińska M., Brzeziński J., Ozga-Zieliński B.: 1999, Zasady obliczania największych przepływów rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia przy projektowaniu obiektów budownictwa hydrotechnicznego. Długie ciągi pomiarowe przepływów, IMGW, Materiały Badawcze, Seria Hydrologia i Oceanologia, 27.

Podobne dokumenty

OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp

tel.: +48 662 635 712 Liczba stron: 15 Data: 20.07.2010r OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp DŁUGIE