PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z MATEMATYKI Czas pracy 120 minut Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie 40 punktów

2 Informacja do zadań 1-3. Diagram przedstawia wyniki sprawdzianu z matematyki w klasie trzeciej pewnego gimnazjum. Zadanie 1. () Średnia ocen z tego sprawdzianu jest równa A. 3,72. B. 3,76. C. 3,84. D. 3,96. Zadanie 2. () Mediana ocen z tego sprawdzianu jest równa A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Zadanie 3. () Gdyby sprawdzianu nie pisał uczeń, który otrzymał jedynkę, i dwóch uczniów, którzy otrzymali szóstkę, średnia ocen z tego sprawdzianu. A. byłaby mniejsza. B. byłaby większa. C. nie zmieniłaby się. D. jest zbyt mało danych, aby odpowiedzieć. Zadanie 4. () Komputer kosztował 1250 zł, a po obniżce 1075 zł. O ile procent obniżono cenę tego komputera? A. O 10% B. O 14% C. O 15% D. O 16% 2

3 Zadanie 5. () Pole trapezu o podstawach długości a i b oraz wysokości h opisuje wzór Wyznaczając h z tego wzoru, otrzymamy a + b P = h. 2 P A. h = 2. a + b P B. h =. 2 a + b C. D. ( ) P h = 2. a + b P h =. 2 Zadanie 6. () ( a + b) Objętość ostrosłupa prawidłowego (patrz rysunek) jest równa 64 cm 3. Wysokość tego ostrosłupa (H) jest równa A. 4 cm. B. 8 cm. C. 12 cm. D. 16 cm. Zadanie 7. () Sześcian liczby 18 można zapisać w postaci iloczynu A B C D Zadanie 8. () Dane są dwie kolejne liczby nieparzyste, z których mniejsza jest zapisana w postaci 2n + 1, gdzie n jest liczbą naturalną. Wyrażenie będące średnią arytmetyczną tych liczb to A. 2n. B. 2n + 1. C. 2n + 2. D. 2n

4 Zadanie 9. () Ile jest równe pole rombu o boku długości 4 cm i kącie ostrym 60? A. 16 cm 2 B. 8 cm 2 C. 8 3 cm 2 D. 8 3 cm 2 Zadanie 10. () Dana jest funkcja określona wzorem: argumentów, które są y = x 3. Funkcja ta przyjmuje wartości całkowite dla 2 A. wielokrotnościami liczby 3. B. wielokrotnościami liczby 6. C. liczbami parzystymi. D. liczbami nieparzystymi. Zadanie 11. (0-2) Dana jest liczba K = Zaznacz wszystkie odpowiedzi, w których podane liczby są dzielnikami liczby K. A. 2 B. 9 C. 10 D Zadanie 12. (0-3) VAT to podatek doliczany do cen towarów i usług. Cena brutto = cena netto + podatek VAT Oceń, czy podane zdania są prawdziwe. Zaznacz właściwą odpowiedź. I. Cena netto książki jest równa 24 zł. Podatek VAT na książki wynosi 5%. Cena brutto tej książki jest równa 25,40 zł. II. Cena brutto nart z 23% podatkiem VAT jest równa 738 zł. Cena netto nart wynosi 600 zł. III. Cena netto 1 kg towaru jest równa 4,50 zł, a cena brutto 4,86 zł. Podatek VAT wynosi 8%. 4

5 Zadanie 13. (0-4) Na rysunkach I-IV przedstawione są znaki wybranych marek samochodów. I. II. III. IV. Do każdego znaku dobierz spośród niżej podanych właściwe informacje dotyczące osi symetrii i środka symetrii. Zapisz odpowiednią literę przy każdym numerze znaku. A. Ma środek symetrii i ma dokładnie trzy osie symetrii. B. Ma środek symetrii i ma dokładnie dwie osie symetrii. C. Ma środek symetrii i ma dokładnie jedną oś symetrii. D. Ma środek symetrii i nie ma osi symetrii. E. Nie ma środka symetrii i ma dokładnie trzy osie symetrii. F. Nie ma środka symetrii i ma dokładnie dwie osie symetrii. G. Nie ma środka symetrii i ma dokładnie jedną oś symetrii. H. Nie ma środka symetrii i nie ma osi symetrii. I.. II.. III.. IV.. Zadanie 14. (0-4) Samochód jadący ze średnią prędkością 60 2 godzin i 15 minut. km h pokonał trasę między Adamowem a Bogdanowem w ciągu Oceń, czy podane zdania są prawdziwe czy fałszywe. Przy każdym zdaniu zaznacz właściwą odpowiedź. I. Gdyby samochód jechał ze średnią prędkością 65 h, to przejechałby tę trasę w ciągu 2 godzin. km FAŁSZ PRAWDA II. Średnia prędkość motocyklisty, który przejechał tę trasę w ciągu 3 godzin, km wynosi 45. h III. Przy stałej drodze średnia prędkość i czas są wielkościami wprost proporcjonalnymi. IV. Przy stałej drodze średnia prędkość i czas są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ PRAWDA 5

6 Zadanie 15. (0-2) Oceń, czy poprawnie zapisano wyrażenia algebraiczne opisujące przedstawione sytuacje. I. W klasach pierwszych pewnego gimnazjum jest x uczniów, w klasach drugich jest o 20 uczniów więcej niż w klasach pierwszych, a w klasach trzecich o 20% więcej niż w klasach drugich. Liczbę wszystkich uczniów w tym gimnazjum opisuje wyrażenie 3,2x II. Obwód prostokąta jest równy 20. Jeden z boków prostokąta ma długość x. Długość drugiego boku prostokąta opisuje wyrażenie 10 2x. Zadanie 16. (0-3) Na rysunkach I, II i III przedstawiono ostrosłupy prawidłowe. I. II. III. Do każdego rysunku dobierz spośród niżej podanych liczbę, która jest objętością przedstawionego ostrosłupa. Zapisz właściwą literę przy odpowiednim numerze. A B C D E. 384 F I -.. II -.. III -.. Zadanie 17. (0-2) Rzucamy czworościanem foremnym, którego siatkę przedstawiono obok. Wynik rzutu to trzy liczby zapisane na ściankach, na których kostka nie stanęła. Otrzymane liczby mają stanowić długości odcinków, z których chcemy zbudować trójkąt. Czy podane zdania są prawdziwe? Zaznacz właściwą odpowiedź. I. Prawdopodobieństwo, że z otrzymanych odcinków da się zbudować trójkąt, jest większe od połowy. II. Mamy pewność, że nigdy nie otrzymamy takich odcinków, z których da się zbudować trójkąt. 6

7 Zadanie 18. (0-3) Z sześcianów o krawędzi długości 1 cm budujemy prostopadłościany w sposób pokazany na rysunku. Uzupełnij tabelę. Liczba sześcianów Pole powierzchni prostopadłościanu (cm 2 ) n n N i n > 0 Zadanie 19. (0-2) Uzupełnij luki tak, aby rozwiązaniem układu równań była para liczb x = 2 i y = x +... y = 8 5x + y =... Zadanie 20. (0-2) Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie E. Uzasadnij, że pola trójkątów AED i BCE są równe. Zadanie 21. (0-3) Ewa jest trzy razy młodsza od mamy, a trzy lata temu miały razem 38 lat. Oblicz, ile lat ma Ewa, -a ile jej mama. 7

8 Model odpowiedzi Zadanie 1. B Zadanie 2. C Zadanie 3. A Zadanie 4. B Zadanie 5. C Zadanie 6. C Zadanie 7. A Zadanie 8. C Zadanie 9. D Zadanie 10. D zad. poprawna odpowiedź punkty zasady przydzielania punktów 11. A, B, D pkt za wszystkie prawidłowe zaznaczenia 1 pkt uczeń zaznacza dokładnie dwie odpowiedzi obydwie poprawne 0 pkt w pozostałych przypadkach 12. I. II. III. 13. I B II D III G IV E 14. I. FAŁSZ II. PRAWDA III.FAŁSZ IV. PRAWDA

9 15. I. II. 16. I C II A III E 17. I. II n n N i n > n poprawne uzupełnienie wszystkich luk 3 pkt poprawne uzupełnienie 5-6 luk 2 pkt poprawne uzupełnienie 3-4 luk 1 pkt x + 2y = poprawne uzupełnienie dwóch luk 2 pkt 5x + y = 11 poprawne uzupełnienie jednej luki 1 pkt 0-3 P AED = P EBC (trójkąty ABD i ABC mają Pełne rozwiązanie 2 pkt wspólną podstawę i równe wysokości) Zasadnicza trudność zadania została P AED = P ABD P ABE i pokonana bezbłędnie, ale dalsza część P EBC = P ABC P ABE czyli P AED = P EBC rozwiązania zawiera usterki 1 pkt Poziom wykonania Zasadnicza trudność zadania polega na zauważeniu i uzasadnieniu, że trójkąty ABC i ABD mają równe pola. 21. I sposób Suma lat Ewy i jej mamy trzy lata temu była równa 38 lat, czyli obecnie Ewa i mama mają razem o 6 lat więcej, tj. 44 lata. Ewa jest trzy razy młodsza od mamy, czyli jeśli ich łączny wiek podzielimy na 4 równe części, to jedna z tych części stanowi wiek Ewy, a 3 pozostałe wiek mamy. Zatem Ewa ma 44 : 4 = 11 lat, a jej mama 3 11 = 33 lata. Poziom wykonania Zasadnicza trudność zadania została pokonana, gdy uczeń zauważył, że suma lat Ewy i jej mamy jest: - o 6 lat większa od sumy ich lat przed trzema laty - czterokrotnością wieku Ewy. Rozwiązanie niestanowiące postępu 0 pkt 0-3 Pełne rozwiązanie 3 pkt Zasadnicza trudność zadania została pokonana bezbłędnie, ale dalsza część rozwiązania zawiera usterki (np. błędy rachunkowe) 2 pkt Zasadnicze trudności zadania zostały pokonane, ale rozwiązanie nie zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne (np. zła metoda rozwiązania równania/ układu równań) 1 pkt Rozwiązanie niestanowiące postępu 0 pkt 9

10 II sposób x wiek Ewy obecnie 3x wiek mamy obecnie x 3 wiek Ewy 3 lata temu 3x 3 wiek mamy 3 lata temu Trzy lata temu Ewa i mama miały razem 38 lat, czyli: x 3 + 3x 3 = 38 4x 6 = 38 4x = 44 x = 11 Zatem Ewa ma obecnie 11 lat, a jej mama 3 11 = 33 lata Poziom wykonania Zasadnicza trudność zadania została pokonana, gdy uczeń ułożył równanie i zastosował poprawną metodę rozwiązania równania. III sposób x wiek mamy obecnie 1 x wiek Ewy obecnie 3 x 3 wiek mamy 3 lata temu 1 x 3 wiek Ewy trzy lata temu 3 Trzy lata temu Ewa i mama miały razem 38 lat, czyli: Zatem Mama ma obecnie 33 lata, a Ewa 33:3= 11 lat. Poziom wykonania Zasadnicza trudność zadania została pokonana, gdy uczeń ułożył i zastosował poprawną metodę rozwiązania równania. 10

11 IV sposób x wiek Ewy obecnie y wiek mamy obecnie x 3 wiek Ewy 3 lata temu y 3 wiek mamy 3 lata temu Zatem Ewa ma obecnie 11 lat, a jej mama 33 lata. Poziom wykonania Zasadnicza trudność zadania została pokonana, gdy uczeń ułożył układ równań i zastosował poprawną metodę rozwiązania układu równań. 11