SYMULACJE NUMERYCZNE W OCENIE RYZYKA
|
|
- Danuta Olejniczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 SYMULACJE NUMERYCZNE W OCENIE RYZYKA Dr Marek Biesiada Instytut Medycyny Pracy i Zdrowia Środowiskowego, Sosnowiec Główną trudnością metodologiczną w procesie ocen ryzyka zdrowotnego jest złożoność oddziaływań środowiska na zdrowie populacji ludzkich. Złożoność ta posiada kilka aspektów: z jednej strony dany reprezentant narażonej populacji jest narażony na dużą liczbę czynników szkodliwych, nawet w ramach narażenia na jeden tylko czynnik szkodliwy np. na ołów, jego pobranie może nastąpić jedną z trzech dróg narażenia (inhalacyjnie, drogą pokarmową lub poprzez wchłonięcie przez skórę lub błony śluzowe). Narażona populacja ludzka jest z kolei zróżnicowana pod względem płci i wieku jak również innych czynników określających szczególnie wrażliwe podgrupy. Wiek i płeć są bardzo ważnymi cechami określającymi podstawowe parametry (takie jak wentylacja dobowa płuc, dobowa konsumpcja wody pitnej i pokarmów itp.), od których zależy wielkość dawki pobranej. Złożoność procesu oddziaływania środowiska na zdrowie spowodowała, że w naturalny sposób pojawiła się konieczność stosowania symulacji komputerowych w ocenie ryzyka zdrowotnego. Przy pomocy symulacji numerycznych staje się możliwe prowadzenie analiz czułości wyniku końcowego ze względu na drogi narażenia, tzn. wykazywanie, które z dróg narażenia mają dominujący wkład do wypadkowego ryzyka i w konsekwencji, na których drogach narażenia powinna się skupić uwaga badacza. Zastosowanie metod numerycznych umożliwia też prowadzenie analizy niepewności wyniku końcowego. Jest rzeczą oczywistą, że wypadkowe ryzyko zdrowotne ponoszone przez narażoną populację ludzką będzie wielkością rozmytą w związku z wyżej wspomnianym zróżnicowaniem narażonej populacji pod względem fizjologicznych czynników narażenia. Uchwycenie tej składowej niepewności jest obecnie możliwe przy zastosowaniu symulacji Monte Carlo w ramach tzw. probabilistycznego podejścia do oceny ryzyka zdrowotnego. Krótkiej prezentacji tej metodologii poświęcony jest niniejszy referat. Konwencjonalna procedura oceny ryzyka opiera się na tzw. ocenach punktowych polegających na tym, że do odpowiednich formuł matematycznych (wzorów na dawkę pobraną, ryzyko czy iloraz zagrożenia) podstawia się konkretne ( punktowe ) wartości liczbowe zmiennych i parametrów, np. stężenie szkodliwej substancji, masę ciała, dobową wentylację płuc itd. Owe zmienne i parametry posiadają w istocie pewne rozkłady w populacjach ludzkich (ściśle mówiąc są one zmiennymi losowymi scharakteryzowanymi przez pewne funkcje rozkładu). Toteż za wartości liczbowe wykorzystywane w ocenie ryzyka przyjmuje się np. średnie, wartości maksymalne, medianę itp. (zależnie od przyjętych konwencji). W procedurze ocen punktowych utrudniona jest dyskusja niepewności uzyskanego wyniku (jego rozrzut). W podejściu probabilistycznym (metoda Monte Carlo) zmienne i parametry modelu narażenia opisuje się przy pomocy odpowiednich rozkładów. Daje to możliwość uwzględnienia zmienności rozważanych czynników narażenia. Wynik w postaci rozkładu ryzyka dostar- 115
2 cza więcej informacji z punktu widzenia oceny niepewności - daje obrazowy pogląd, w jakim stopniu niepewna jest prognoza. Ideę podejścia probabilistycznego obrazuje poniższy rysunek. IDEA SYMULACJI MONTE CARLO Czynniki narażenia x y z x y z I(x,y,z) NARAŻENIE I(x,y,z) RYZYKO Metoda symulacji Monte Carlo pozwala także na uwidocznienie, jaka jest dystrybucja ryzyka w rozważanej populacji i daje możliwość wyliczenia, jaki procent populacji ponosi ryzyko na różnym poziomie. Informacje te mogą być przedstawione np. przez podanie wartości kolejnych percentyli ryzyka indywidualnego (lub ilorazu zagrożenia HQ). Tytułem ilustracji podane zostaną poniżej główne założenia poczynione w trakcie probabilistycznej oceny ryzyka w ramach projektu, który posłużył jako źródło przykładu praktycznej oceny ryzyka. W celu uwzględnienia zmienności międzyosobniczej fizjologicznych czynników narażenia oraz zmienności przestrzennej stężeń szkodliwych substancji w powietrzu atmosferycznym, zastosowano metodę probabilistyczną wykorzystując symulacje Monte Carlo w opar- 116
3 ciu o odpowiednie wzory. We wzorach tych traktowano zmienne C sa,n stężenie substancji szkodliwej w powietrzu, Inh i wielkość dobowej wentylacji płuc oraz masę ciała - M.C. i (i =0-6,7-19,m,k) jako zmienne losowe o zadanych rozkładach prawdopodobieństwa. Natomiast rolę parametrów modelu odgrywały dawki referencyjne RfD, wskaźniki siły działania kancerogennego oraz odpowiednie elementy struktury demograficznej. Fizjologiczne czynniki narażenia dla poszczególnych subpopulacji odzwierciedlających faktyczną strukturę demograficzną dopasowano adekwatnie do wieku i płci opierając się na danych antropometrycznych i modelowano przy pomocy opisanych poniżej funkcji rozkładu prawdopodobieństwa. Rozkłady mas w grupach dzieci aproksymowano jako jednorodne pomiędzy 5 i 95 percentylem odpowiednich krańców wiekowych, w grupie mężczyzn i kobiet zaś jako obcięte rozkłady normalne. Wentylację dobową płuc aproksymowano w poszczególnych grupach wiekowych rozkładami normalnymi o wartościach średnich i odchyleniach standardowych wynikających z danych antropometrycznych, oraz obciętych na 5 i 95 percentylu wg antropometrii. Poniżej zestawiono założenia odnośnie rozkładów poszczególnych fizjologicznych czynników narażenia. Wentylacja dobowa płuc: Inh 0-6 rozkład normalny N(5 m 3 /d ; 3 m 3 /d) zawężony do przedziału [2 m 3 /d; 20 m 3 /d]; Inh 7-19 rozkład normalny N(17 m 3 /d ; 5 m 3 /d) zawężony do przedziału [12 m 3 /d ; 40 m 3 /d]; Inh k, m rozkład normalny N(20 m 3 /d ; 15 m 3 /d) zawężony do przedziału [13 m 3 /d ; 60 m 3 /d]. Masa ciała: M.C. 0-6 rozkład jednorodny w przedziale [3 kg ; 28 kg]; M.C rozkład jednorodny w przedziale [19 kg ; 80 kg]; M.C. k rozkład normalny - N(60 kg ; 10 kg) zawężony do przedziału [47 kg ; 87 kg]; M.C. m rozkład normalny - N(74 kg ; 11 kg) zawężony do przedziału [57 kg ; 95 kg]. Rysunki ilustrujące powyższe założenia są przedstawione poniżej (w formie wydruku raportu z programu komputerowego wykonującego symulacje). 117
4 Uniform distribution with Minimum 3,00 Maximum 28,00 BW1 Mean = 15,50 3,00 9,25 15,50 21,75 28,00 BW2 Uniform distribution with Minimum t 19,00 Maximum 80,00 BW2 Mean = 49,50 19,00 34,25 49,50 64,75 80,00 BW Mean 74,00 Standard Dev. 11,00 Selected range is from 57,00 to BWm Mean = 74,68 41,00 57,50 74,00 90,50 107,00 118
5 I h1 Mean 5,00 Standard Dev. 3,00 [ Selected range is from 2,00 to Inh1 Mean = 5,86-4,00 0,50 5,00 9,50 14,00 Mean t 17,00 Standard Dev. 5,00 Selected range is from 12,00 to Inh2 Mean = 18,44 2,00 9,50 17,00 24,50 32,00 I h3 Mean t 20,00 Standard Dev. 15,00 Selected range is from 13,00 to Inh3 ( 'd) [ Inh3 Mean = 27,69 119
6 W celu wygenerowania rozkładu wskaźników ryzyka nienowotworowego oraz indywidualnego ryzyka nowotworowego metodą Monte Carlo, wykonywano prób na każdą symulację. Przykładowe wyniki symulacji ryzyka i ilorazu zagrożenia wraz z ich interpretacją przedstawione są w referacie omawiającym przykład praktyczny oceny ryzyka. Metoda symulacji Monte Carlo jest bardzo ważnym narzędziem posiadającym wiele zastosowań w różnych działach nauki i praktyki. W kontekście oceny ryzyka zdrowotnego pozwala ona na uchwycenie w sensie ilościowym niepewności wyniku wynikającej ze zróżnicowania narażonej populacji pod względem jej wrażliwości na szkodliwe substancje chemiczne w środowisku. Wiarygodność metody Monte Carlo zależy jednak od rodzaju poczynionych założeń odnośnie rozkładów wejściowych parametrów narażenia. Poniżej podane są wskazówki praktyczne, jakimi należy się kierować podejmując decyzję odnośnie wyboru postaci funkcji rozkładu do zastosowania w symulacjach Monte Carlo. Wskazówki praktyczne do stosowania metody Monte Carlo Rozkładami normalnymi (lub log-normalnymi) modelujemy Parametry fizjologiczne masa ciała wentylacja dobowa powierzchnia ciała Rozkładami dopasowanymi do istniejących danych modelujemy konsumpcję dobowa wody spożycie przypadkowe gleby i kurzu częstość kontaktu ze skażonym medium stężenie zanieczyszczeń w powietrzu (rozkład log-normalny dopasowany do danych) stężenie zanieczyszczeń w wodzie stężenie zanieczyszczeń w glebie W sytuacji gdy znamy jedynie: wartość średnią wartość minimalną wartość maksymalną stosujemy rozkład trójkątny. Gdy wszystkie wartości od minimalnej do maksymalnej są równouprawnione stosujemy rozkład jednorodny. 120
PODSTAWY OCENY ŚRODOWISKOWEGO RYZYKA ZDROWOTNEGO
PODSTAWY OCENY ŚRODOWISKOWEGO RYZYKA ZDROWOTNEGO Dr Marek Biesiada, dr Anicenta Bubak Instytut Medycyny Pracy i Zdrowia Środowiskowego, Sosnowiec Wstęp Adekwatnych metod opisu częstości występowania chorób
Bardziej szczegółowoTworzymy innowacje Wykorzystanie ICT w badaniach i usługach
Tworzymy innowacje Wykorzystanie ICT w badaniach i usługach Katowice, 24 czerwca 2015 Rozbudowa infrastruktury informatycznej gromadzenia, przetwarzania i analizy danych środowiskowych Projekt współfinansowany
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do analizy korelacji i regresji
Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących
Bardziej szczegółowoStatystyka i Analiza Danych
Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania wybranych technik regresyjnych do modelowania współzależności zjawisk Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki
Bardziej szczegółowoMETODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII
METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII 1. Wykład wstępny 2. Populacje i próby danych 3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 4. Planowanie eksperymentów biologicznych 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne
Bardziej szczegółowoPozyskiwanie wiedzy z danych
Pozyskiwanie wiedzy z danych dr Agnieszka Goroncy Wydział Matematyki i Informatyki UMK PROJEKT WSPÓŁFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW UNII EUROPEJSKIEJ W RAMACH EUROPEJSKIEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO Pozyskiwanie wiedzy
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoStatystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.
Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru
Bardziej szczegółowoDWUKROTNA SYMULACJA MONTE CARLO JAKO METODA ANALIZY RYZYKA NA PRZYKŁADZIE WYCENY OPCJI PRZEŁĄCZANIA FUNKCJI UŻYTKOWEJ NIERUCHOMOŚCI
DWUKROTNA SYMULACJA MONTE CARLO JAKO METODA ANALIZY RYZYKA NA PRZYKŁADZIE WYCENY OPCJI PRZEŁĄCZANIA FUNKCJI UŻYTKOWEJ NIERUCHOMOŚCI mgr Marcin Pawlak Katedra Inwestycji i Wyceny Przedsiębiorstw Plan wystąpienia
Bardziej szczegółowoNowy ubiór do pracy w zimnym środowisku z możliwością indywidualnego doboru jego ciepłochronności. dr Anna Marszałek
Nowy ubiór do pracy w zimnym środowisku z możliwością indywidualnego doboru jego ciepłochronności dr Anna Marszałek Pracownicy zatrudnieni w warunkach zimnego środowiska powinni mieć zapewnioną odzież
Bardziej szczegółowow analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoSposoby prezentacji problemów w statystyce
S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3. Populacje i próby danych
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 Populacje i próby danych POPULACJA I PRÓBA DANYCH POPULACJA population Obserwacje dla wszystkich osobników danego gatunku / rasy PRÓBA DANYCH sample Obserwacje dotyczące
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Bardziej szczegółowoStatystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM PRZYPOMNIENIE ROZKŁAD NORMALNY http://www.zarz.agh.edu.pl/bsolinsk/statystyka.html
Bardziej szczegółowoW4 Eksperyment niezawodnościowy
W4 Eksperyment niezawodnościowy Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Jarosław Sugier www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Badania niezawodnościowe i analiza statystyczna wyników 1. Co to są badania niezawodnościowe i
Bardziej szczegółowoIlustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b]
Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b] Dagna Bieda, Piotr Jarecki, Tomasz Nachtigall, Jakub Ciesiółka, Marek Kubiczek Metoda Monte Carlo Metoda Monte
Bardziej szczegółowoWalidacja metod analitycznych Raport z walidacji
Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji Małgorzata Jakubowska Katedra Chemii Analitycznej WIMiC AGH Walidacja metod analitycznych (według ISO) to proces ustalania parametrów charakteryzujących
Bardziej szczegółowoAnaliza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU
Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 4. Magdalena Alama-Bućko. 19 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 19 marca / 33
Statystyka Wykład 4 Magdalena Alama-Bućko 19 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 19 marca 2018 1 / 33 Analiza struktury zbiorowości miary położenia ( miary średnie) miary zmienności (rozproszenia,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowoStatystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.
Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru
Bardziej szczegółowoINFORMACJA O SUBSTANCJACH CHEMICZNYCH, ICH MIESZANIANACH, CZYNNIKACH LUB PROCESACH TECHNOLOGICZNYCH O DZIAŁANIU RAKOTWÓRCZYM LUB MUTAGENNYM
INFORMACJA O SUBSTANCJACH CHEMICZNYCH, ICH MIESZANIANACH, CZYNNIKACH LUB PROCESACH TECHNOLOGICZNYCH O DZIAŁANIU RAKOTWÓRCZYM LUB MUTAGENNYM I. CZĘŚĆ OGÓLNA A. DANE IDENTYFIKACYJNE 1. Nazwa pracodawcy:
Bardziej szczegółowoWnioskowanie bayesowskie
Wnioskowanie bayesowskie W podejściu klasycznym wnioskowanie statystyczne oparte jest wyłącznie na podstawie pobranej próby losowej. Możemy np. estymować punktowo lub przedziałowo nieznane parametry rozkładów,
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoWpływ zanieczyszczeń powietrza na zdrowie. Dr hab. n. med. Renata Złotkowska Instytut Medycyny Pracy i Zdrowia Środowiskowego w Sosnowcu
Wpływ zanieczyszczeń powietrza na zdrowie. Dr hab. n. med. Renata Złotkowska Instytut Medycyny Pracy i Zdrowia Środowiskowego w Sosnowcu Czy zanieczyszczenie powietrza jest szkodliwe dla zdrowia i dlaczego?
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 5 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Zadanie 1. Wykorzystując dane me.medexp3.dta przygotuj model regresji kwantylowej 1. Przygotuj model regresji kwantylowej w którym logarytm wydatków
Bardziej szczegółowoPodstawowe definicje statystyczne
Podstawowe definicje statystyczne 1. Definicje podstawowych wskaźników statystycznych Do opisu wyników surowych (w punktach, w skali procentowej) stosuje się następujące wskaźniki statystyczne: wynik minimalny
Bardziej szczegółowoWZÓR INFORMACJA O SUBSTANCJACH CHEMICZNYCH, ICH MIESZANINACH, CZYNNIKACH LUB PROCESACH TECHNOLOGICZNYCH O DZIAŁANIU RAKOTWÓRCZYM LUB MUTAGENNYM
ZAŁĄCZNIK Nr 2 do rozporządzenia Ministra Zdrowia z dnia 24.07.2012r. w sprawie substancji chemicznych, ich mieszanin, czynników lub procesów technologicznych o działaniu rakotwórczym lub mutagennym (Dz.
Bardziej szczegółowoWZÓR INFORMACJA O SUBSTANCJACH CHEMICZNYCH, ICH MIESZANINACH, CZYNNIKACH LUB PROCESACH TECHNOLOGICZNYCH O DZIAŁANIU RAKOTWÓRCZYM LUB MUTAGENNYM
WZÓR INFORMACJA O SUBSTANCJACH CHEMICZNYCH, ICH MIESZANINACH, CZYNNIKACH LUB PROCESACH TECHNOLOGICZNYCH O DZIAŁANIU RAKOTWÓRCZYM LUB MUTAGENNYM I CZĘŚĆ OGÓLNA A. DANE IDENTYFIKACYJNE 1. Nazwa pracodawcy:.........
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych
UNIWERSYTET GDAŃSKI WYDZIAŁ CHEMII Pracownia studencka Katedra Analizy Środowiska Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 4 i 5 OCENA EKOTOKSYCZNOŚCI TEORIA Chemia zanieczyszczeń środowiska
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI
WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskiego 8, 04-703 Warszawa tel. (0)
Bardziej szczegółowoWdrażanie metod analizy środowiskowego ryzyka zdrowotnego do ustalania i przestrzegania normatywów środowiskowych
Program Wieloletni Wdrażanie metod analizy środowiskowego ryzyka zdrowotnego do ustalania i przestrzegania normatywów środowiskowych Etap II Przegląd wytycznych i zalecanych rozwiązań pod kątem wykorzystania
Bardziej szczegółowoI jest narzędziem służącym do porównywania rozproszenia dwóch zmiennych. Używamy go tylko, gdy pomiędzy zmiennymi istnieje logiczny związek
ZADANIA statystyka opisowa i CTG 1. Dokonano pomiaru stężenia jonów azotanowych w wodzie μg/ml 1 0.51 0.51 0.51 0.50 0.51 0.49 0.52 0.53 0.50 0.47 0.51 0.52 0.53 0.48 0.59 0.50 0.52 0.49 0.49 0.50 0.49
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. dr Katarzyna Góral-Radziszewska Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt
Statystyka matematyczna dr Katarzyna Góral-Radziszewska Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Zasady zaliczenia przedmiotu: część wykładowa Maksymalna liczba punktów do zdobycia 40. Egzamin będzie
Bardziej szczegółowoBadanie zależności skala nominalna
Badanie zależności skala nominalna I. Jak kształtuje się zależność miedzy płcią a wykształceniem? II. Jak kształtuje się zależność między płcią a otyłością (opis BMI)? III. Jak kształtuje się zależność
Bardziej szczegółowoZ poprzedniego wykładu
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne
Bardziej szczegółowoZastosowanie modelu regresji logistycznej w ocenie ryzyka ubezpieczeniowego. Łukasz Kończyk WMS AGH
Zastosowanie modelu regresji logistycznej w ocenie ryzyka ubezpieczeniowego Łukasz Kończyk WMS AGH Plan prezentacji Model regresji liniowej Uogólniony model liniowy (GLM) Ryzyko ubezpieczeniowe Przykład
Bardziej szczegółowoINFORMACJA O SUBSTANCJACH CHEMICZNYCH, ICH MIESZANINACH, CZYNNIKACH LUB PROCESACH TECHNOLOGICZNYCH O DZIAŁANIU RAKOTWÓRCZYM LUB MUTAGENNYM
ZAŁĄCZNIK Nr 2 do rozporządzenia Ministra Zdrowia z dnia 24 lipca 2012r. w sprawie substancji chemicznych, ich mieszanin, czynników lub procesów technologicznych o działaniu rakotwórczym lub mutagennym
Bardziej szczegółowoInstytut Ekologii Terenów Uprzemysłowionych w Katowicach
Otwarte seminaria 2015 Instytut Ekologii Terenów Uprzemysłowionych w Katowicach Katowice, 21 maja 2015 www.ietu.katowice.pl System Zarządzania Ryzykiem Zdrowotnym HRA2 Eleonora Wcisło, Maciej Rzychoń Instytut
Bardziej szczegółowoStatystyka. Zadanie 1.
Statystyka Zadanie 1. W przedsiębiorstwie Statexport pracuje 100 pracowników fizycznych i 25 umysłowych. Typowy wiek pracownika fizycznego kształtuje się w przedziale od 30 do 40 lat. Średnia wieku pracowników
Bardziej szczegółowoWSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH
WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH Dobrze przygotowane sprawozdanie powinno zawierać następujące elementy: 1. Krótki wstęp - maksymalnie pół strony. W krótki i zwięzły
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej
Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowodr hab. Renata Karkowska 1
dr hab. Renata Karkowska 1 Czym jest ryzyko? Rodzaje ryzyka? Co oznacza zarządzanie? Dlaczego zarządzamy ryzykiem? 2 Przedmiot ryzyka Otoczenie bliższe/dalsze (czynniki ryzyka egzogeniczne vs endogeniczne)
Bardziej szczegółowoSzkice rozwiązań z R:
Szkice rozwiązań z R: Zadanie 1. Założono doświadczenie farmakologiczne. Obserwowano przyrost wagi ciała (przyrost [gram]) przy zadanych dawkach trzech preparatów (dawka.a, dawka.b, dawka.c). Obiektami
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowodla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 3. Zmienne losowe 4. Populacje i próby danych 5. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test
Bardziej szczegółowoProjekcja inflacji Narodowego Banku Polskiego materiał edukacyjny
Projekcja inflacji Narodowego Banku Polskiego materiał edukacyjny Plan prezentacji I. Projekcja inflacji NBP - podstawowe zagadnienia II. Główne założenia projekcji inflacji NBP III. Sposób prezentacji
Bardziej szczegółowoAnaliza niepewności pomiarów
Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej
Bardziej szczegółowoSystem prognozowania rynków energii
System prognozowania rynków energii STERMEDIA Sp. z o. o. Software Development Grupa IT Kontrakt ul. Ostrowskiego13 Wrocław Poland tel.: 0 71 723 43 22 fax: 0 71 733 64 66 http://www.stermedia.eu Piotr
Bardziej szczegółowoReferat: ASPEKTY ZDROWOTNE ZWIĄZANE Z OBECNOŚCIĄ AZBESTU W ŚRODOWISKU CZŁOWIEKA
Referat: ASPEKTY ZDROWOTNE ZWIĄZANE Z OBECNOŚCIĄ AZBESTU W ŚRODOWISKU CZŁOWIEKA IWONA DOBRZELECKA INSTYTUT MEDYCYNY PRACY I ZDROWIA ŚRODOWISKOWEGO W SOSNOWCU Azbest to nazwa kilku krzemianów, które występują
Bardziej szczegółowoPróba własności i parametry
Próba własności i parametry Podstawowe pojęcia Zbiorowość statystyczna zbiór jednostek (obserwacji) nie identycznych, ale stanowiących logiczną całość Zbiorowość (populacja) generalna skończony lub nieskończony
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25
Testowanie hipotez Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Aby porównać ze sobą dwie statystyki z próby stosuje się testy istotności. Mówią one o tym czy uzyskane
Bardziej szczegółowoW Z Ó R. lub. wpisać tylko tego adresata, do którego kierowane jest pismo, 2. pracodawca sam decyduje, czy pismu nadaje znak, 3
W Z Ó R., dnia.. Miejscowość. Pieczęć nagłówkowa z nr Regon Wojewódzka Stacja Sanitarno-Epidemiologiczna ul. Mickiewicza 1 45-367 Opole lub Państwowa Inspekcja Pracy Okręgowy Inspektorat Pracy w Opolu
Bardziej szczegółowoWykład 3. Metody opisu danych (statystyki opisowe, tabele liczności, wykresy ramkowe i histogramy)
Wykład 3. Metody opisu danych (statystyki opisowe, tabele liczności, wykresy ramkowe i histogramy) Co na dzisiejszym wykładzie: definicje, sposoby wyznaczania i interpretacja STATYSTYK OPISOWYCH prezentacja
Bardziej szczegółowoPRAKTYCZNY PRZYKŁAD OCENY ŚRODOWISKOWEGO RYZYKA ZDROWOTNEGO
PRAKTYCZNY PRZYKŁAD OCENY ŚRODOWISKOWEGO RYZYKA ZDROWOTNEGO Mgr Beata Malec, dr Mare Biesiada, dr Anicenta Buba Instytut Medycyny Pracy i Zdrowia Środowisowego, Sosnowiec Wstęp Zagrożenia zdrowotne stwarzane
Bardziej szczegółowoZastosowanie symulacji Monte Carlo do zarządzania ryzykiem przedsięwzięcia z wykorzystaniem metod sieciowych PERT i CPM
SZKOŁA GŁÓWNA HANDLOWA w Warszawie STUDIUM MAGISTERSKIE Kierunek: Metody ilościowe w ekonomii i systemy informacyjne Karol Walędzik Nr albumu: 26353 Zastosowanie symulacji Monte Carlo do zarządzania ryzykiem
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 6 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Metody symulacyjne Monte Carlo Metoda Monte-Carlo Wykorzystanie mocy obliczeniowej komputerów, aby poznać charakterystyki zmiennych losowych poprzez
Bardziej szczegółowoS t a t y s t y k a, część 3. Michał Żmihorski
S t a t y s t y k a, część 3 Michał Żmihorski Porównanie średnich -test T Założenia: Zmienne ciągłe (masa, temperatura) Dwie grupy (populacje) Rozkład normalny* Równe wariancje (homoscedasticity) w grupach
Bardziej szczegółowoZbiór założonych efekty kształcenia dla studiów podyplomowych: ŚRODOWISKOWE UWARUNKOWANIA ZDROWIA
Zbiór założonych efekty kształcenia dla studiów podyplomowych: ŚRODOWISKOWE UWARUNKOWANIA ZDROWIA Efekty kształcenia dla przedmiotu Słuchacz, który zaliczył przedmiot, ma wiedzę, umiejętności i kompetencje
Bardziej szczegółowoBIOINFORMATYKA. Copyright 2011, Joanna Szyda
BIOINFORMATYKA 1. Wykład wstępny 2. Struktury danych w badaniach bioinformatycznych 3. Bazy danych: projektowanie i struktura 4. Bazy danych: projektowanie i struktura 5. Powiązania pomiędzy genami: równ.
Bardziej szczegółowoAnaliza struktury i przeciętnego poziomu cechy
Analiza struktury i przeciętnego poziomu cechy Analiza struktury Pod pojęciem analizy struktury rozumiemy badanie budowy (składu) określonej zbiorowości, lub próby, tj. ustalenie, z jakich składa się elementów
Bardziej szczegółowoInstytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów
Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 6 Model matematyczny elementu naprawialnego Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny 2. Zmienne losowe i teoria prawdopodobieństwa 3. Populacje i próby danych 4. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne
Bardziej szczegółowoMetody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2
Metody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2 Dr hab. inż. Agnieszka Wyłomańska Faculty of Pure and Applied Mathematics Hugo Steinhaus Center Wrocław University of Science and
Bardziej szczegółowoZmienność wiatru w okresie wieloletnim
Warsztaty: Prognozowanie produktywności farm wiatrowych PSEW, Warszawa 5.02.2015 Zmienność wiatru w okresie wieloletnim Dr Marcin Zientara DCAD / Stermedia Sp. z o.o. Zmienność wiatru w różnych skalach
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ. Dr Wioleta Drobik-Czwarno
WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ Dr Wioleta Drobik-Czwarno REGRESJA LOGISTYCZNA Zmienna zależna jest zmienną dychotomiczną (dwustanową) przyjmuje dwie wartości, najczęściej 0 i 1 Zmienną zależną może być:
Bardziej szczegółowoYou created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)
Prezentacja materiału statystycznego Szeroko rozumiane modelowanie i prognozowanie jest zwykle kluczowym celem analizy danych. Aby zbudować model wyjaśniający relacje pomiędzy różnymi aspektami rozważanego
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne
Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 4. Magdalena Alama-Bućko. 13 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 13 marca / 41
Statystyka Wykład 4 Magdalena Alama-Bućko 13 marca 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 13 marca 2017 1 / 41 Na poprzednim wykładzie omówiliśmy następujace miary rozproszenia: Wariancja - to średnia arytmetyczna
Bardziej szczegółowoTegoroczna edycja badań przeprowadzana była na przełomie marca i kwietnia 2015.
KONSUMENCKI LIDER JAKOŚCI 2015 to ogólnopolski, promocyjny program konsumencki, prowadzony przez Redakcję Strefy Gospodarki ogólnopolskiego, niezależnego dodatku dystrybuowanego wraz z Dziennikiem Gazetą
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA. LICZBOWE CHARAKTERYSTYKI(MIARY)
STATYSTYKA OPISOWA. LICZBOWE CHARAKTERYSTYKI(MIARY) Praca z danymi zaczyna się od badania rozkładu liczebności (częstości) zmiennych. Rozkład liczebności (częstości) zmiennej to jakie wartości zmienna
Bardziej szczegółowoOdchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi
Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska D syst D śr m 1 3 5 2 4 6 śr j D 1
Bardziej szczegółowoXXXI MARATON WARSZAWSKI Warszawa, 27.09.2009
XXXI MARATON WARSZAWSKI Warszawa, 27.09.2009 Alex.Celinski@gmail.com Rozkład wyników Przedziały 30-minutowe Lp. Przedział Liczebność Częstość czasowy Liczebność Częstość skumulowana skumulowana 1 2:00-2:30
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia. Własności próby. Cechy statystyczne dzielimy na
Podstawowe pojęcia Zbiorowość statystyczna zbiór jednostek (obserwacji) nie identycznych, ale stanowiących logiczną całość Zbiorowość (populacja) generalna skończony lub nieskończony zbiór jednostek, które
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoW2. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wnioskowanie statystyczne.
W2. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wnioskowanie statystyczne. dr hab. Jerzy Nakielski Katedra Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. Etapy wnioskowania statystycznego 2. Hipotezy statystyczne,
Bardziej szczegółowoSterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3
Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji
Bardziej szczegółowoRozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26
Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych
Bardziej szczegółowoZadanie 2.Na III roku bankowości złożonym z 20 studentów i 10 studentek przeprowadzono test pisemny ze statystyki. Oto wyniki w obu podgrupach.
Zadanie 1.Wiadomo, że dominanta wagi tuczników jest umiejscowiona w przedziale [120 kg, 130 kg] i wynosi 122,5 kg. Znane są również liczebności przedziałów poprzedzającego i następnego po przedziale dominującym:
Bardziej szczegółowoInstrukcja postępowania krok po kroku podczas korzystania z programu
Instrukcja postępowania krok po kroku podczas korzystania z programu Program opracowano w CIOP-PIB na bazie COSHH Essentials, tj. Podstawy kontroli substancji niebezpiecznych dla zdrowia, przygotowanego
Bardziej szczegółowoSatysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie
Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie Zadanie Zbadano satysfakcję z życia w skali 1 do 10 w dwóch grupach rodziców: a) Rodzice dzieci zdrowych oraz b) Rodzice dzieci z niepełnosprawnością
Bardziej szczegółowoGenetyka populacji. Analiza Trwałości Populacji
Genetyka populacji Analiza Trwałości Populacji Analiza Trwałości Populacji Ocena Środowiska i Trwałości Populacji- PHVA to wielostronne opracowanie przygotowywane na ogół podczas tworzenia planu ochrony
Bardziej szczegółowoINFORMACJA O SUBSTANCJACH, PREPARATACH, CZYNNIKACH LUB PROCESACH TECHNOLOGICZNYCH O DZIAŁANIU RAKOTWÓRCZYM LUB MUTAGENNYM
INFORMACJA O SUBSTANCJACH, PREPARATACH, CZYNNIKACH LUB PROCESACH TECHNOLOGICZNYCH O DZIAŁANIU RAKOTWÓRCZYM LUB MUTAGENNYM A. DANE IDENTYFIKACYJNE 1. Nazwa pracodawcy: 2. NIP: 3. Województwo: Warmińsko-Mazurskie
Bardziej szczegółowoOszacowanie i rozkład t
Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe (estymatory i parametry), które pozwalają opisać właściwości rozkładu badanej cechy (zmiennej)
Charakterystyki liczbowe (estymatory i parametry), które pozwalają opisać właściwości rozkładu badanej cechy (zmiennej) 1 Podział ze względu na zakres danych użytych do wyznaczenia miary Miary opisujące
Bardziej szczegółowoModele finansowania działalności operacyjnej przedsiębiorstw górniczych. Praca zbiorowa pod redakcją Mariana Turka
Modele finansowania działalności operacyjnej przedsiębiorstw górniczych Praca zbiorowa pod redakcją Mariana Turka GŁÓWNY INSTYTUT GÓRNICTWA Katowice 2011 Spis treści Wprowadzenie...11 Rozdział 1. Sprawozdawczość
Bardziej szczegółowoCo to jest analiza regresji?
Co to jest analiza regresji? Celem analizy regresji jest badanie związków pomiędzy wieloma zmiennymi niezależnymi (objaśniającymi) a zmienną zależną (objaśnianą), która musi mieć charakter liczbowy. W
Bardziej szczegółowoINFORMACJA O SUBSTANCJACH, PREPARATACH, CZYNNIKACH LUB PROCESACH TECHNOLOGICZNYCH O DZIAŁANIU RAKOTWÓRCZYM LUB MUTAGENNYM
Załącznik nr 2 do Rozporządzenia Ministra Zdrowia z dnia 01.12.2004r. (Dz. U. Nr 280, poz. 2771 ze zm.) INFORMACJA O SUBSTANCJACH, PREPARATACH, CZYNNIKACH LUB PROCESACH TECHNOLOGICZNYCH O DZIAŁANIU RAKOTWÓRCZYM
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI do książki pt. Metody badań czynników szkodliwych w środowisku pracy
SPIS TREŚCI do książki pt. Metody badań czynników szkodliwych w środowisku pracy Autor Andrzej Uzarczyk 1. Nadzór nad wyposażeniem pomiarowo-badawczym... 11 1.1. Kontrola metrologiczna wyposażenia pomiarowego...
Bardziej szczegółowoZałożenia: wyniki są binarne próby są niezależne liczba prób n ustalona przed pomiarem to samo prawdopodobieństwo sukcesu we wszystkich próbach
Biostatystyka, 2018/2019 dla Fizyki Medycznej, studia magisterskie Test dwumianowy χ 2 test dobroci dopasowania Analiza tabeli kontygencji ( tabeli krzyżywej) P k sukcesów = n k pk (1 p) n k Założenia:
Bardziej szczegółowo1 n. s x x x x. Podstawowe miary rozproszenia: Wariancja z populacji: Czasem stosuje się też inny wzór na wariancję z próby, tak policzy Excel:
Wariancja z populacji: Podstawowe miary rozproszenia: 1 1 s x x x x k 2 2 k 2 2 i i n i1 n i1 Czasem stosuje się też inny wzór na wariancję z próby, tak policzy Excel: 1 k 2 s xi x n 1 i1 2 Przykład 38,
Bardziej szczegółowo