NIELINIOWE DRGANIA ELASTYCZNIE POSADOWIONYCH SILNIKÓW TŁOKOWYCH PRZY SZEROKOPASMOWYCH WYMUSZENIACH STOCHASTYCZNYCH JANUSZ K O L E N D A (GDAŃ SK)

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 14 (1976) NIELINIOWE DRGANIA ELASTYCZNIE POSADOWIONYCH SILNIKÓW TŁOKOWYCH PRZY SZEROKOPASMOWYCH WYMUSZENIACH STOCHASTYCZNYCH JANUSZ K O L E N D A (GDAŃ SK) 1. Wstęp Rozpatrywane w pracy [1] równania ruchu opisują ce nieliniowe drgania elastycznie posadowionych silników tłokowych z uwzglę dnieniem zmiennoś ci prę dkośi c ką towej oparte są na zdeterminowanym modelu mechanicznym stanowią cym pewną idealizację realnego układu drgają cego. W rzeczywistych warunkach eksploatacyjnych mogą występować zewnę trzne wymuszenia stochastyczne jak również parametry układu mogą mieć charakter losowy. W szczególnoś ci probabilistycznego uję cia wymagają geometryczne i fizyczne parametry układu oraz wymuszenia zakłócenia obcią ż enia uszkodzenia i procesy zuż ycia [2]. W odniesieniu do elastycznie posadowionych silników tłokowych istotne mogą okazać się m.in. losowe zmiany warunków spalania w cylindrach tarcia smarowania chłodzenia i zuż ycia momentu oporowego odbiornika mocy charakterystyk podkładek elastycznych a także przypadkowe ruchy fundamentów silników zainstalowanych na ś rodkach transportu. Uwzglę dnienie procesów stochastycznych wymaga traktowania drgań silników jako losowej funkcji czasu której charakterystyki należy wyznaczyć na podstawie znanych charakterystyk statystycznych procesów wejś ciowych. Należ ałoby przy tym brać pod uwagę łą czny probabilistyczny opis warunków zewnę trznych procesu eksploatacji parametrów konstrukcyjnych i wytrzymałoś ciowych warunków spalania tarcia etc gdyż w ogólnym przypadku nie są one niezależ ne. Na obecnym etapie badań i rozwoju teorii tłokowych silników spalinowych nie dysponuje się takim opisem. Poniż ej ograniczono się do rozpatrzenia drgań elastycznie posadowionych silników tłokowych przy losowych wymuszeniach stanowią cych szerokopasmowe procesy stochastyczne. 2. Równania ruchu Wykorzystując równania (4.1) wyprowadzone w pracy [1] opisują ce drgania wielocylindrowych silników rzę dowych o sześ ciu stopniach swobody w stanach ustalonych i bliskich ustalonym moż na przy wymuszeniach stochastycznych napisać równania ruchu w ogólnej postaci mu+c u Uy+U zi e nw+c y v V t a.+v y = ef/*!+ói(o] = e[p 2 + d 3 (t)] mw + c z w W p+w y a. = e[p 3 + ó 3 (t)] (2.1) I 'i+c a V z v+w y w c y c p crt{(a 0 ) = e[p Ą +d 4 (t)] I y "p + c yy p W w+u z u c y a c yz y I z y + c zz y U y u+v v c yzl S c z o: г ф = e[p7+ a 7 (0] = e[p 5 + ó 5 (t)] = e[p 6 + d 6 (t)]

2 372 J. KOLENDA gdzie: Pj = Rj+m^Fj) +m p2 (Fj) 2 +m 0 Qj j =12 7 R 1 = RtfK Przyję to że <5Д г) (/ = ) stanowią szerokopasmowe procesy stochastyczne o znanych charakterystykach statystycznych których realizacje przyjmują małe wartoś ci a czasy korelacji (т / ) к ог są krótsze od czasu relaksacji procesu wyjś ciowego tj. spełniają warunek (2 2) (т.) к ог <g. eco Pozostałe oznaczenia są takie same jak w pracy [1]. Z wystarczają cą w praktycznych zastosowaniach dokładnoś cią przekształcić moż na równania (2.1) do równań opisują cych drgania okreś lone przez czę stośi cwymuszeń i tę spoś ród czę stośi c drgań własnych X k analizowanego układu dla której róż nica A t ó>j jest najmniejsza gdyż drgania z innymi czę stoś ciami własnymi na skutek tłumienia bą dź wygasną bą dź mogą nie być rozpatrywane w pierwszym przybliż eniu [3]. Jeś li taką częstoś cią jest A podobnie jak w pracy [1] przekształca się równania (2.1) do postaci (2.3) q m + P m q m = в ~ VФ +Л О ] m. '" j=\ (2.4) = у [Л + <3 7 (0] gdzie wielkoś ci M i Ф } т ) okreś lone zostały w pracy [1]. Przy braku wymuszeń stochastycznych drgania układu opisane są zależ noś ciami (7.5) u = u 0 + g l v = V 0 + Q 2 у = У о + в ь ( gdzie i>j(t) = Ф у п Ч т(0. "o»o> > У о oznaczają stałe składniki wywołane stałą składową momentu reakcyjnego crt(to 0 ) w równaniach (2.1) a q m {t) jest rozwią zaniem równań (2.3) i (2.4) przy ó}(0 s 0. Rozwią zanie równań (2.3) i (2.4) przy braku wymuszeń stochastycznych przedstawiono w pracy [1]. Poniż ej rozpatrzono zagadnienie wyznaczenia q (t) przy wystę powaniu w równaniach (2.3) i (2.4) wymuszeń dj(t). 3. Rozwią zanie równań ruchu Do rozwią zania równań (2.3) i (2.4) przy spełnionych warunkach (2.2) moż na zastosować matematyczny aparat procesów Markowa i równań kinetycznych Fokkera Plancka Kołmogorowa (F P K) [4 5]. W tym celu stosuje się zamianę zmiennych okreś loną wzorami q = Acos(<p + y) (3.1) q m = AX m ń n{cp \ry) cp = co

3 NIELINIOWE DRGANIA SILNIKÓW TŁOKOWYCH 373 i przekształca równania (2.3) (2.4) do postaci A = EX R + EX F (3.2) F = EY R + EY F co = EZ R + EZ F gdzie 6 X R = M M A У 0j m) PjSin(p jc os(cp + y>)..1=1 6 = r. = 1 6 M M AX M I = 1 ^0j m >dj(t)cos(cp + y>) Z r = j 0(1) Pj = P/A ip cp co) A tp co oznaczają zmieniają ce się w czasie wielkoś ci. Człony X R Y R Z R stanowią czę śi c regularne równań (3.2) natomiast X F Y F Z F są czę ś ciami fluktuacyjnymi zawierają cymi procesy stochastyczne. W równaniach tych należy wydzielić składniki opisują ce płynne zmiany wielkoś ci A %p i co. W celu usunię cia wibracyjnych składników z członów X R Y R Z R przedstawić moż na wielkoś ci A y> i co w postaci A = A X + EU(A y> X 0J cp ) (3.3) y = f + ev(a y> co cp ) co = CO X + EW(A y> <o cp ) gdzie A X y> co oznaczają wolnozmienne składowe * = EY X R(A X W XCO X ) w = EZ X R{A f co ).

4 374 J. KOLENDA Dla uzyskania rozwią zań z uwzglę dnieniem członów drugiego rzę du małoś ci należy wydzielić w funkcjach U V W i X% Y Z\\ człony pierwszego i drugiego rzę du małoś ci: U = UM X V х ы \ <p ) + ev 2 (A V co* cp*) W = Wi (A ip co* co*). " "o 7=1 2JT 6 2N o /=1 o 1 Y~i 1 u i = > (с p sin/v' 6 p cos/>?>*) (3.6) K l = ar* У ] (C2psmp ) p 1 vn 1 Wi = r V (c3psin/ 7^ Aj p cos/ 7?; X ) Z' 2л 0 Г R 3 2я 1 2т г. + W ~ * (Л * ^ «Л с /) + W cl Ą (А х W Vi {А х г р х с о *<р х ) + К Ц ± (А х W с о *<р х ) + с о *cp*) I 2л + W Д ^ (А х W с о *<р х )+ W cl др (А х tp* с о * f )\ dcp* д ш cip J 2 f [ Ul ~dlt (A *' W *' jx ' ^ + Vl 'W {A *' V ' ^ + + W 8 ^ (A rp* с о *cp )+W cl (A rp с о *cp^dcp*

5 NIELINIOWE DRGANIA SILNIKÓW TŁOKOWYCH 375 gdzie 2л 6 m m 0 y=l г y J ^ Ф ) Щ Р ]ń n(cp + f ) cosp + 4> )smpcp dcp Щ m 0 7=1 2л 6 к А х М т к т I V* 0 f j n> P i cos(c> + y) )cospcp d<p. О 7 = I 2л &з Р = I* P 7 s'mp* ш * с?*) = j ^y \ y 2 (b ip sinpcp + c 3p cosp<p ) 4*.X..X X\ Pj = Pj(A f to ov ) y= p W czę ś ciac h fluktuacyjnych rуwnań (3.2) moż na zamiast А ip cp podstawić A ip cp i nie uwzglę dniać składnikуw wyż szych rzę dуw małoś ci gdyż są one w rуwnaniu F P K pomijalne [5]. Po odrzuceniu składnikуw wibracyjnych z czę śi cregularnych rуwnania (3.2) przyjmują postać б X х = е Х Ь + e*x R2 J. У Ф Г Ч (»sincy* + V х ) '"' 7) V = ey Rl+e 2 Y R2 A X m'-ni M Ј 7=1 Ф ^(0с о*(с р х + Ч > х ) 1 E cb 2 = ez^+ e Z 2 + 7(5 7 (/). W rуwnaniach (3.7) pominiemy znaczki X" i napiszemy je w postaci A = ef(a tp co cp ój e) j = (3.8) ip = eg(a y> co <p ó e) /= co = е И (А ip co <5 7 e).

6 376 J. KOLENDA Dla takiego układu równań moż na napisać równanie F P K dla trójwymiarowej funkcji gę stoś c i prawdopodobień stwa w(a ip <o) [5] mianowicie (3.9) w(ay>co) = д o 00 co o 00 ' l 00 T \ f*\wą *+* /Ч *М 4 и <я > + + da : [ J K{F F T }drw] + e 2^ [ f K{G G r }drw] i 2 d/ł и м [(*{F H Z } + K{H F T })drą + e 2 [ J (tf {G tf r } *{#<?Л )А Г Т И >] gdzie < > oznacza wartość oczekiwaną a K{ } funkcję korelacyjną (bą dź funkcję korelacji wzajemnej). Przy wyliczaniu poszczególnych składników równania (3.9) przyję to że dj(t) są nieskorelowanymi procesami o wartoś ciach oczekiwanych równych zeru. Przy wyznaczaniu wartoś ci oczekiwanych <F> <G> <#> odrzucono składniki wibracyjne z czę śi cfluktu acyjnych. W wyniku otrzymano (З Л О) w(ayico) = д А я i Г 2_ -II dtp (I ey R1 +e 2 Y R2 + 2А 2 М Ш т 2 Х 2 т б 7=1 в 2 т г V 1^.^^ ч S 2 w е 2 п _ л ч 3 2 w 7=1

7 NIELINIOWE DRGANIA SILNIKÓW TŁOKOWYCH 377 gdzie Sj(6j co) = 1 2т 7 j <6jdj r> coscorclr widmowa gę stość procesu dj{t). S 7 (<5 7 0) = ^ f o lt }dr Rj(djco)= j (dj dj^sincorcir Rozwią zanie równania (3.10) wymaga zastosowania maszyn cyfrowych. Dla stanu ustalonego przy <5 7 (r) = 0 celowe może być wyznaczenie stacjonarnej funkcji gę stośi cw(a tp) ktуra spełnia rуwnanie (3.11) 0 = д TA dip ey Rl +s 2 Y R2 + 2A 2M 2 P m co) + у тс 0 2M 2 X 2 Z i [ m (d J co)i^ r+ ' ' BA 2 A 2 dtp w. 2 Funkcja w(a tp) powinna spełniać warunki P w(a т с) = w(a т с) = 0 w( co y) = w(co y») = 0. Rozwią zań rуwnania (3.11) spełniają cych warunki (3.12) poszukiwać moż na w postaci 00 (3.13) w(atp) = ^Wl (A)cosll + j)tp / = Po podstawieniu (3.13) do rуwnania (3.11) pomnoż eniu obu jego stron przez cos s + j tp s = i scałkowaniu po tp w przedziale [ т с т с ] otrzymuje się układ złoż ony z nieskoń czonej liczby rуwnań rуż niczkowych zwyczajnych o postaci (3.14) ^+R ls (A)^ +R 2s (A)w s = 0 s = rozwią Dla takich rуwnań i funkcji gę stośi c (3.13) podano w pracy [6] nastę pująe c zanie: (3.15) w(ay>) = е х р ( Л 2 )^ ^ l+2a s(2a 2 l) cos ls+ yl V. J 0 т с у 2т с "(1+2A

8 378 J. KOLENDA gdzie v 2B 1 2 s + B 20s + 6B 2 2 s + 48fi 24s + 1 2(6B lls 4B 12s + 72B l3s + 5B 20s + l2b 22s l44b 24s ) ' 00 B lns = f cp( A 2 )R u (A)H n (A)dA 00 oo B 2ns = J ep( A 2 )R 2s (A)H (A)dA 00 a H {A) są wielomianami Hermite'a H (A) = ( \)"cp(a 2 )^[cp(~a 2 )]. Znajomość funkcji gę stośi c w(aip) pozwala wyznaczyć wartoś ci oczekiwane <Л > i <y>. Wartość prę dkośi cką towej silnika co w stanie ustalonym przy d y (t) jest równaniem = 0 okreś lona (3.16) е Я «Я > <y>> co e) = ez^(<a} <y>> a>) + F 2 Z 2«.A> <^> co) = 0. Funkcje Z R 1 i Z K 2 nie zawierają składników wibracyjnych stąd zgodnie z postacią funkcji P n [1] stały składnik dodatkowego momentu oporowego na wale silnika (wywołanego drganiami silnika przy d 7 (t) s 0) wynosi (3.17) (AM) 0 = crt(m) B(co) hco elz^((a\ < V > a)-e 2 IZ* 2 ((A} (у ) co) gdzie с oznacza liczbę wykorbień wału korbowego r długość ramienia korby T(co) ś rednią wartość siły gazowej działają cej prostopadle do jednego wykorbienia na promieniu r B(u>) ś rednią wartość momentu oporowego odbiornika mocy h współczynnik wiskotycznego tłumienia przy obracaniu wału silnika. Wynikają ca stąd strata mocy jest równa (3.18) (AN)o = (AM) 0 co. Wartość ta może róż nić się od wartoś ci straty mocy w przypadku braku wymuszeń stochastycznych odpowiadają cej rozwią zaniom równań (3.4) z uwzglę dnieniem zależ nośi c (3.5) i (3.6). Przykładowo dla dwucylindrowego silnika w układzie V wykonują cego drgania pionowe równania (3.4) mają z pominię ciem członów drugiego rzę du małoś ci postać A = ^^[A bl + (2m p cos 2 ó + m 0 )r(co ) 2 smy) ] Zmb X \u V = e\b co 2m p cos 2 d + m 0 2A mb. 2 r ( w ) cos V> J > c'o = Vr(a>*) B(w ) hco + ^ (2m D cos 2 d + m 0 )A brw smy) ^ gdzie m oznacza masę układu drgają cego m p = m pl = m p2 niewyrównoważ oną masę w ruchu postę powo ż wrotnym odpowiadają cą jednemu cylindrowi i skupioną na osi sworznia tłokowego m 0 wirują cą masę niewyrównoważ oną odpowiadają cą jednemu

9 NIELINIOWE DRGANIA SILNIKÓW TŁOKOWYCH 379 wykorbieniu i skupioną na osi czopa korbowego b czę stość drgań własnych układu w kierunku pionowym l współczynnik wiskotycznego tłumienia układu amortyzacji przy pionowych drganiach silnika д połowę ką ta pomię dzy osiami dwóch cylindrów. Dla stanów ustalonych równania te mają rozwią zania pokrywają ce się z rozwią zaniami jakie uzyskuje się metodą uś redniania [7] w pierwszym przybliż eniu _ (2m cos m 0 ) r(m ) 2 _ l ~ ~/= / i \2' g V ~2m(co b)' Imb}/(b a> ) 2 +[ l y ) gdzie prę dkość ką towa silnika co okreś lona jest równaniem rt(oj ) B f co ) hco + ~ (2m p cos 2 ó + m 0 )A brco s\nyi = 0 tzn. stały składnik dodatkowego momentu oporowego wyraża się zależ noś ą ci (AM) 0 = (2mpcos 2 д + m 0 )A bm ń nip '. Równanie (3.17) ma w przypadku pionowych drgań dwucylindrowego silnika w układzie К postać (AM)o = (2m p cos 2 d + m 0 KA)bra)sin(y)) co oznacza że strata mocy {AN) 0 przy wymuszeniach stochastycznych bę dzie róż nić się od straty mocy przy braku wymuszeń stochastycznych gdy </Osin<^> Ф A ń n%p. Równania (2.3) nie posiadają rozwią zania zerowego i stateczność ruchu moż na badać w tym sensie czy trajektorie rozwią zań przebiegają w pewnych obszarach ograniczonych. W tym przypadku celowe jest zbadanie statecznoś ci technicznej [8]. Zależ ność (3.15) pozwala wyznaczyć warunek aby rozwią zania A i y> dla ó 7 (t) = 0 pozostawały wewną trz domknię tego ograniczonego obszaru E{A < A y \y>\ < A 2 } gdy wartoś ci począ tkowe A i p należą do otwartego ograniczonego obszaru e <= E a dj(t) są procesami ograniczonymi tj. <5(/) < A A > 0 j = Techniczna stateczność wzglę dem obszarów E e i procesów ój(t) dla ustalonego e 0 (l > e o > 0) jest zapewniona gdy prawdopodobień stwo p[(a y>) e E] spełnia nierówność czyli p[(ay>) ee]^ l e 0 (3.19) J j w(ay>)dady> l e 0.

10 380 J. KOLENDA 4. Uwagi koń cowe Funkcje (Fj) u2 0= ) w równaniach (2.1) dotyczą silników z cylindrami w układzie V i łatwo moż na z nich uzyskać odpowiednie funkcje dla silników o pionowym układzie cylindrów lub dla silników typu bokser [1]. Równania ruchu silników innych typów przy szerokopasmowych wymuszeniach stochastycznych mogą być rozpatrywane analogicznie przy czym zastosowana w niniejszej pracy metoda nie nakłada ograniczeń na intensywność fluktuacji [5]. Literatura cytowana w tekś cie 1. J. KOLENDA Nieliniowe drgania elastycznie posadowionych silników tłokowych z cylindrami w układzie V Mech. Teoret. i Stos (1975). 2. S. ZIEMBA Problemy teorii konstrukcji maszyn Zag. Drgań Nieliniowych 9 (1968). 3. IO. А. М И Т Р О П О Л Ь С К ИН Й е с т а ц и о н а р н пы ре о ц е с с ыв н е л и н е й н ы к хо л е б а т А Н У С С Р К и ев е л ь н сы их с т е м а Их. з д. 4. В. SKALMIERSKI A. TYLIKOWSKI Metody stochastyczne w mechanice Wyd. Politechniki Ś lą skiej Gliwice Р. Л. С Т Р А Т О Н О В И ИЧ з б р а н н ы ев о п р о с ыт е о р и иф л у к т у а ц и в и р а д и о т е х н и к Ие з д. С о в. Р а д и о М о с к а в Т. А. Т И Б И Л О В А с и м п т о т и ч е с км и еет о д ы и с с л е д о в а н ки оя л е б а н и пй о д в и ж н о гс оо с т а в а Т р у ды Р о с т о в с к о г о н ау ДИ он нс т и т а у тж е л. Т р а н с п о р тва ы п. 78 И з д. Т р а н с п о р Мт о с к а в Ю. А. М И Т Р О П О Л Ь С К ИМ Й е т о д у с р е д н е н и в я н е л и н е й н ом йе х а н и к е Т р у ды V М е ж д у н. а рк о н ф. п о Н е л и н е й м н ык о л е б а н и ят м. I И з д. И н с. т М а т. А Н У С С Р К и ев W. BOGUSZ Statecznoś ć techniczna PWN Warszawa Р е з ю ме Н Е Л И Н Е Й НЕ Ы К О Л Е Б А НЯ И А М О Р Т И З И Р О В А НХ Н ПЫ О Р Ш Н Е ВХ Ы Д В И Г А Т Е ЛЙ Е П РИ Ш И Р О К О П О Л О СХ Н СЫ Т О Х А С Т И Ч Е СХ К ВИ О З М У Щ Е Н Х И Я с ш В р а б ое тр а с с м а т р и в ая юо дт нс о ч а с т о е т кн оы л е б а я н аи м о р т и з и р о в ах нп но ыр ш н е вх ыд в и г а т ей л е е с тю ь с т е п е н и я мс в о б оы д п ри с л у ч а й нх ыв о з м у щ е н и я вх л я ю щ ия х шс и р о к о п о л о с н ны е м и к о р р е л и р о в а ни н сыт мо х а с т и ч е си к пи рм о ц е с с а мк ио т о р х ы м а т е м а т и ч е сокжо У г л о вя а с к о р о ь с тд в и г а т я е лс ч и т а ея т сп е р е м к е р а П л а н к а К о л м оа гдо ля р отвр е х м у г ла и у г л о вй о с к о р о и с тд в и г а т е. лпя р и в о д ия т рс е ш с ти а м п л и т ы у ди ф в а е м й о с и с т е м. ы и д а не ир а в но н у л ю. е нй н во е л и ч и н. о Фй о р м у л и р уя е ут рс а в н е е н Фи о к е рй н по л о т н ои с вт е р о я т н и о са тм е не ид ля д в у х м п л и т ы у дк о л е б а н и фй а з о в о г е р н ос йт а ц и о н а й р нп ол о т н о а з о в о гу г ла к о л е б а й н иа т а к же у с л о ве ит е х н и ч е сй куос т о й ч и в и о ср та с с м а т р и Summary NONLINEAR VIBRATIONS OF ELASTICALLY MOUNTED PISTON ENGINES AT WIDE BAND STOCHASTIC EXCITATIONS The paper deals with one frequency vibrations of elastically mounted multi cylinder piston engines of si degrees of freedom subjected to random ecitations being wide band non corclated stochastic processes with epscted values equal to zero. Rotating speed of an engine is treated as a variable. The Fokker Planck

11 NIELINIOWE DRGANIA SILNIKÓW TŁOKOWYCH 38) Kolmogorov equation for the three dimensional probability density of a vibration amplitude phase angle and rotating speed is formulated. The solution for the two dimensional stationary probability density of a vibration amplitude and phase angle as well as the condition of technical stability of the analysed system are given. INSTYTUT OKRĘ TOWY POLITECHNIKI GDAŃ SKIEJ Praca została złoż ona w Redakcji dnia 11 wrześ nia 1975 r. 4 Mechanika teoretyczna