przyrostem naprę ż eń, а А ц и stanowi macierz funkcji materiałowych, którą wyznacza się doś wiadczalnie, przy czym
|
|
- Arkadiusz Piotrowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 14 (1976) I O OPISIE FIZYCZNIE NIELINIOWEJ SPRĘ Ż YSTOŚI CMATERIAŁÓW SYPKICH TOMASZ H U E C K E L (WARSZAWA) 1 Wstęp Materiały sypkie wykazują cechy sprę ż yst e i plastyczne Sprę ż yśe cizachowują się w począ tkowej fazie obcią ż eni a oraz w czasie odcią ż ani a i docią ż ania kiedy stan napręż enia leży wewną trz powierzchni plastycznoś ci Są to procesy silnie nieliniowe nawet w zakresie małych deformacji Ponadto mają one inny charakter przy pierwszym cyklu odcią ż eni a niż przy wielokrotnym odcią ż ani u i docią ż ani u (por [3]) W czasie pierwszego odcią ż ani a z danego stanu naprę ż eni a zachodzą w materiale efekty mikropłynię cia plastycznego i dopiero po pewnej liczbie cykli odcią ż ani a i docią ż ani a zachowanie się materiału jest czysto sprę ż yst e (całkowita odwracalność odkształceń przy zamknię tych cyklach odcią ż eni a i docią ż enia) Pomijając mechanizmy stanów przejś ciowych celowe jest w pewnych przypadkach oddzielne traktowanie pierwszego odcią ż eni a oraz ustalonego odcią ż eni a idealnie sprę ż ystego Za przyczynę tak silnie nieliniowych efektów w materiałach rozdrobnionych uważa się na ogół znaczne zmiany gę stośi czwią zane z deformacją materiału Model matematyczny plastycznego zachowania się ciał o zmiennej gę stośi csformułowano w pracy [1] Wpływ zmian gę stośi cna sprę ż yst e i plastyczne cechy materiałów zanalizowano w pracy [2] zakładają c na podstawie przeprowadzonych eksperymentów w zakresie sprę ż ystym zależ nośi c stycznych modułów sprę ż ystośi cod odwracalnej zmiany gę stoś ci Założ enie takie dopuszcza wspomniane mikroefekty plastyczne przy odcią ż eni u oraz pozwala na znaczne uproszczenie opisu materiału [11] W pracy pokaż emy własnoś ci prostych (tj liniowych tensorowo) nieliniowych fizycznie zwią zków opisują cych cechy sprę ż yst e materiałów rozdrobnionych Na podstawie znanych warunków całkowalnoś ci i potencjalnoś ci takich zwią zków zbadamy róż nice wystę pują ce przy róż nych sposobach ich formułowania Okazuje się że na ogół znane zwią zki dla materiałów sypkich nie opisują efektów czysto sprę ż ystych ; moż na je więc odnosić wyłą cznie do pierwszego odcią ż enia Z drugiej strony wielu efektów nieliniowych o charakterze sprę ż ystym nie moż na opisać w zakresie małych deformacji przez zwią zki tensorowo liniowe Rozważ ać bę dziemy odwracalną czę ść przyrostowego zwią zku sprę ż ysto plastycznego którą zapiszemy w postaci (11) ds'ij = A iju da u lub też (12) do ij = B m de' kl gdzie ds'ij jest odwracalnym przyrostem odkształceń da u przyrostem naprę ż eń а А ц и stanowi macierz funkcji materiałowych którą wyznacza się doś wiadczalnie przy czym
2 336 Т HUECKEL jest ona z uwagi na nieliniowość omawianych procesów funkcją stanów naprę ż eni a lub odkształcenia Z charakteru hipotez opartych na wynikach doś wiadczeń dotyczą cych postaci tej funkcji wynikają odmienne konsekwencje które ograniczają zakres stosowania postulowanych zwią zków Formułowanie tych hipotez odbywa się w dwojaki sposób Po pierwsze moż na przyją ć że na podstawie danych doś wiadczalnych da się wyznaczyć jednoznaczną zależ ność (moduły sieczne) mię dzy tensorem naprę ż eni a oy i tensorem odkształcenia sprę ż ysteg o e[j Zróż niczkowanie takiej zależ nośi cdaje zwią zek (11) lub (12) Po drugie powyż sze założ enie może być niesprawdzalne doś wiadczalnie natomiast udaje się z danych doś wiadczalnych znalezienie zwią zków mię dzy przyrostami daj oraz de'^ (moduły styczne) Oznacza to że takim samym przyrostom naprę ż eni a w róż nych stanach napręż enia (czy odkształcenia) odpowiadają róż ne przyrosty odkształcenia Tym samym kolejnych stanów naprę ż eni a i odkształcenia nie moż na ze sobą w ogólnoś ci powią zać jednoznacznie Poniż ej omówimy w ś wietle wyników uzyskanych dla zwią zków ogólnych [7 12] własnoś ci szczególnych postaci równań konstytutywnych mają cych zastosowanie do opisu oś rodków rozdrobnionych (por [ ]) 2 Własnoś ci modułów siecznych (21) lub (22) W ogólnej formie zwią zek <r y = в и (е ' к 1 ) dla ciała izotropowego moż na zapisać jako [4] gdzie Ф 0 Ф х Ф 2 oraz l F 0 W t W 2 są dowolnymi funkcjami niezmienników tensora odpowiednio e'ij oraz ffy Zachowanie się materiału opisane przez powyż sze zwią zki znane jest jako sprę ż ystoś ć w sensie Cauchy Procesy deformacji mogą być w tym przypadku dysypatywne tzn przy pewnych zamknię tych cyklach w przestrzeni naprę żń e (albo odkształceń s'ij) materiał może dysypować energię mechaniczną (albo pobierać ją z otoczenia czy ź ródeł pozamechanicznych przy cyklach odwrotnych) Opis przez równania (21) lub (22) może być stosowany do pierwszego odcią ż eni a z danego stanu naprę ż eń a funkcje inwariantów Ф czy są dowolne Szczególną postacią zwią zków (21) lub (22) są zwią zki potencjalnej sprę ż ystośi c (w sensie Greena) lub hipersprę ż ystoś ci kiedy zachodzi (23) lub daj dla (22) a funkcje inwariantów U i V są potencjałami odkształceń e y i naprę ż e ń а и Rozpatrzmy konsekwencje wynikają ce z założ enia (23) dla nieliniowych zwią zków tensorowo liniowych
3 O FIZYCZNIE NIELINIOWEJ SPRĘ Ż YSTOŚI C 337 (tj dla których Ф 2 = 0!F 2 = 0) stosowanych w mechanice oś rodków sypkich To ostatnie założ enie pozwala rozprząc równania (21) i (22) na czę śi cdewiatorową i kulistą Zapisując np (21) w formie powszechnie stosowanej mamy (Ф jest tu jednorodną funkcją e' kk ) (24) a kk = K(s' kk e m ) e' kk ; s tj = G(e' kk e' m^e' i} Znajdź my pracę elementarną (25) du = a kk de' kk + s u de' i} bę dąą c w ogólnoś ci formą Pfaffa Wielkość U jest tylko wtedy niezależ na od drogi całkowania gdy wyraż enie Pfaffa du jest róż niczką zupełną (du du) tzn gdy zachodzi (23) czyli cr kk = du/ds' kk i s tj = д и /д е 'ц przy czym spełnione są zwią zki (2 6) do tt _ dsjj dsjj _ ds kl de'ij д е к ' к ' д е к 1 д е и Podstawiając do tego ostatniego warunku zwią zki fizyczne (24) widzimy że aby dla materiału opisanego przez nie istniał potencjał U moduły К i G muszą spełniać warunki (2 7) 8[K(e' kk e' k i)e' kk ] _ d[g(e' kk e' ki )e'ij] Podobnie dla tensorowo liniowego zwią zku typu (22) (28) s' kk = x(a kk Sij)a kk ; e' kl m(a kk s t ])s k i moż na sformułować warunki potencjalnoś ci (2 9) d M ff kk Sij)a kk ] _ d[co(cr kk s^sjj] dsij д е т к к Spełnienie warunków (28) lub (29) nałoż onych na moduły sieczne materiału zapewnia że zachowanie się materiału jest hipersprę ż yste tzn energia sprę ż yst a nie zależy od kolejnoś ci poprzednich stanów deformowania materiału lecz od aktualnej deformacji czy naprę ż enia Moż na zatem w ten sposób opisywać odcią ż ani e w stanie ustalonych własnoś ci Przy wyznaczaniu funkcji materiałowych dla opisu idealnie sprę ż ysteg o zachowania się materiału wymagane jest więc spełnienie przez te funkcje dodatkowych wię zów poza ich niezmienniczoś cią Spełnienie tych wię zów okreś la efekty fizyczne które model może opisać wykluczając inne Takie efekty wskaż emy na przykładzie dwóch zwią zków konstytutywnych typu (24) i (28) stosowanych w mechanice gruntów [5 6] Niech zachodzi odpowiednio (210) К = K(Q') G = G(Q') dla (24) i do'l'o' + Qo) = de' kk (211) x = x(a kk ) co = co(a kk ) dla (25) Fizyczny sens przyję cia modułów jako funkcji gę stoś c i czy ciś nienia ś redniego jest zwią zany z interpretacją zmiennej porowatoś ci w pierwszym a sił kontaktowych mię dzy ziarnami w drugim przypadku jako przyczyny zmian własnoś ci materiału przy deforma
4 338 Т HUECKEL cji Materiały te jak łatwo sprawdzić podstawiając (210) lub (211) do zwią zków (27) czy (29) nie są sprę ż yst e w sensie Greena Na przykład dla (210) zachodzi (212) 8[K(e kk )e' kk ] = 0 ф д [С (е к к)е ' ' и ] д е 'и Warunek (212) jest natomiast spełniony dla równań (210) (211) gdy moduły G(s' kk ) = = const czy a)((t kk) = const a zatem gdy odcią ż eni e jest liniowe Oba zwią zki (210) i (211) moż na więc stosować do opisu pierwszego odcią ż enia jeż eli założy się że obok odkształceń sprę ż ystyc h zachodzą procesy mikropłynię cia ł) Takie opracowanie wyników doś wiadczeń przy nieliniowych krzywych odcią ż enia gdy tensor materiałowy A ijkl spełnia warunki potencjalnoś ci a więc istnieją pewne wię zy na stałe materiałowe wymaga albo sprawdzenia tego a posteriori lub zgadnię cia postaci potencjału sprę ż ystego a nastę pnie okreś lenia zwią zku konstytutywnego i wyznaczenia jego stałych z doś wiadczeń Przyrostowe zwią zki dla materiałów nieliniowych moż na otrzymać przez róż niczkowanie równań (21) i (22) W szczególnoś ci dla zwią zków (24) i (28) mamy da = Ade'u + Eijde'ij (213) kk dsij Cij k ide k i + Dijde mm dla (24) gdzie д е к к Д К А ' Л Г A = K i Łmm + K E ij kk д е 'и Cijki л d G > oraz (214) d E ' k k = A d a * + E JJ d s 'J d l a (28) gdzie de'n = C Jkl ds k + Dijd0 kk д к du da m dsij dco dw iikl = ibkt SiJ+wdikdJ ' D J = 'datk S>j " Zauważ my że czę sto tego rodzaju zwią zki są stosowane do opisu całkowitej deformacji oś rodka z nieuzasadnionym jak widać z (212) założ eniem pełnej odwracalnoś ci odkształceń (np [9 10])
5 O FIZYCZNIE NIELINIOWEJ SPRĘ Ż YSTOŚ I C 339 Z powyż szych zwią zków widać że zachodzi sprzę ż eni e izotropowych i dewiatorowych czę śi cprzyrostów tzn przyrost ciś nienia ś redniego powoduje przyrost odkształceń dewiatorowych a wzrost naprę żń e dewiatorowych wywołuje przyrost obję toś ci Ponadto z uwagi na nieliniowość zwią zków (24) i (28) mimo iż tensory o y oraz е 'и mają wspólne kierunki główne tensory ich przyrostów mogą w ogólnoś ci nie być współosiowe Sprzę ż eni e to zależy od wielkoś ci odkształceń (czy naprę ż eń od ) których liczymy przyrosty a w stanie naturalnym znika Dla pewnych materiałów rozdrobnionych sprzę ż eni e przyrostów izotropowych i dewiatorowych jest uważ ane za efekt niż szego rzę du Należy wówczas założ yć że dla wszystkich cfij i e'ij współczynniki E tj = = 0 oraz Ły = D u = 0 Ze wzorów (212) i (214) wynika wówczas że (215) К = K(e' kk ) G = G(e' u ) i x = ф к к) co = co(s t j) Zauważ my wreszcie że materiały dla których przyjmujemy współosiowość przyrostów tensorów naprę ż eni a i odkształcenia s' ijt wyraż ająą c się zwią zkami (216) da kk Ade' kk ds tj = Gde\j muszą spełniać warunek G = const Jeż eli zatem zakładamy izotropię materiału hipersprę ż ysteg o i współosiowość tensorów przyrostów to nie moż emy opisać nieliniowego zachowania się materiału przy ś cinaniu Podobny wniosek moż na otrzymać z (214) Dodajmy że założ enie współosiowoś ci w sprę ż ystym prawie przyrostowym jest bardzo konsekwentne dla zwią zków spręż ysto plasfycznych dla których nie zakłada się wzmocnienia anizotropowego Równoznaczne jest to z przyję ciem że proces sprę ż ysto plastyczn y nie wywołuje w materiale ż adnej zorientowanej struktury 3 Własnoś ci modułów stycznych Przyrostowe zwią zki (213) i (214) mają tę własnoś ć że zachowanie się materiału wokół pewnego stanu naprę żń e czy odkształceń wyznacza jednoznacznie zachowanie się tego materiału dla wszystkich innych stanów na róż nych drogach obcią ż eni a czy deformacji a więc zwią zki (Ty ey Dla niektórych materiałów rozdrobnionych takie stwierdzenie może być niesprawdzalne Obserwowałny jest natomiast zwią zek pomię dzy przyrostami (foy i fifey Prawo fizyczne wówczas wyraża jednoznaczną zależ ność mię dzy przyrostami dla danego stanu ciała Taki jednoznaczny obiektywny zwią zek pomię dzy wymienionymi tensorami przyrostów oraz samym tensorem odkształceń [4] moż na zapisać przy pominię ciu nieliniowych członów wzglę dem cfey w postaci (31) de = aod + aye' + a 2 ds' + а 3 в ' 2 + а 4 (е 'с /в ' + de' e') + a s (s' 2 de' + de' E' 2 ) gdzie a 0 a lt a 3 są funkcjami niezmienników J i в к к J 2 = s k is kt J 3 e km e m isi k Y 0 = de' kk Y t = E k ide' k i Y 2 = e kl e' lm de' mk a a 2 ot 4 a 5 są funkcjami jedynie niezmienników J[ J' 2 J' 3 Załóż my dla dalszych celów że zwią zki (31) mają postać zwią zków proporcjonalnych (12) tzn a 0 a a 3 pozostaną
6 340 Т HUECKEL zależ ne jedynie od niezmienników mieszanych F ; Wówczas rozbijając (31) na czę ść dewiatorową oraz izotropową otrzymamy układ równań da kk = Fds kk + Hijde'ij 3 ' 2 ' ) ds t j = M tjkl de' kl +Njde kk gdzie F Hj h M ijkl /V są funkcjami tensora odkształceń е ' и oraz jego niezmienników Przyrostowy zwią zek typu (32) w którym wielkoś ci te zależą od tensora naprę żń e oraz jego niezmienników jest równoważ ny zwią zkowi hiposprę ż ystemu Rozpatrzmy obecnie na przykładzie zwią zków (32) warunki jakie muszą spełniać zwią zki przyrostowe aby opisywały one prawo nieliniowej sprę ż ystoś ci (Są to warunki analogiczne do warunków dla hiposprę ż ystośi c por [7]) Okreś lenie jednoznacznej zależ nośi c o" y e' tj ze zwią zków przyrostowych (32) wymaga założ enia ich całkowalnoś ci Ponadto jeś li otrzymany zwią zek ffy e y ma opisywać sprę ż ystoś ćmusi spełniać warunki potencjalnoś ci Równania (32) stanowią z uwagi na niezależ ność ich prawych stron od naprę ż eń dwie formy Pfaffa Są one zatem całkowalne w sposób zupełny wtedy gdytoż samoś ciowo zachodzi (33) df dhij dhjj = dh kl д е 'и ' de'kk de' u Mi ' dm im dnij dm m dm ijm de' д е 'к ' de' mn de'ki natomiast współczynniki F H u M ijkl orazvvy są odpowiednimi pochodnymi czą stkowymi П 41 F d k k (1<Jkk dsi d S i J H M ' N de' kk ' ' J de'ij' " u de' kl ' " J de' kk ' Zatem dla okreś lonych doś wiadczalnie zwią zków (32) spełniają cych warunki (33) moż emy okreś lić jednoznaczne zwią zki a kk = cr kk (e' kk е 'ц )oraz = Sij(s' kk e' tj ) Zwią zki te stanowią potencjalne prawo sprę ż ystoś ci o ile elementarna praca wyraż ona przez równanie (25) stanowi róż niczkę zupełną tzn kiedy bę dą spełnione warunki (27) Ponieważ z założ enia całkowalnoś ci wynikają zwią zki (34) warunki potencjalnoś ci (27) moż na wyrazić w postaci dalszych wię zówna współczynniki w zwią zku (32) (3 5) Н и=м и M i]kl = M klij Łatwo sprawdzić że równania (213) spełniają warunki (33) i (34) toż samoś ciowe Podobne warunki moż na uzyskać dla materiałów hiposprę ż ystych W ś wietle powyż szego widzimy że materiał przyrostowy o stycznych modułach zależ nych od bież ą ce j zmiany gę stoś cibę dąy c szczególną postacią materiału (32) o równaniach dokk = Kde' kk ds kl = Gde' kl K= K(g') G = G(Q') dq'l'q Q + Q') = de' kk spełnia warunki (33) jedynie dla przypadku gdy G = const Podobnie dla materiału o modułach zależ nych od ciś nienia ś redniego a kk jest on hiposprę ż yst y tylko wtedy gdy
7 O FIZYCZNIE NIELINIOWEJ SPRĘ Ż YSTOŚ I C 341 jego moduł styczny jest stały w const [8] Jako przykład moż na tu podać zamknię ty program (cykl) obcią żń e dla materiału (36) po dokonaniu którego w materiale pozostają odkształcenia trwałe Ab 6& О с P C I2 oc tg 6 (91) Rys Rozważ any przyrostowy cykl naprę żń e OABCO (rys 1) zawarty całkowicie wewną trz powierzchni plastycznoś ci składa się ze ś cinania z nałoż onym ś ciskaniem hydrostatycznym powodują cym zagę szczenie materiału; cykl zamyka się zdję ciem obcią ż eni a ś cinają cego a nastę pnie ciś nienia hydrostatycznego Na odcinku AB wielkość o' wzrasta zatem wzrasta także moduł G a przez to odcią ż eni e BC zachodzi już przy innej wartoś ci modułu odpowiadają cej wię kszemu g' niż w punkcie A Po zamknię ciu pę tli OABCO pozostaje więc pewne odkształcenie postaciowe a ponadto magazynuje się w materiale pewna energia odpowiadają ca zakreskowanemu polu na rys 1 Przy cyklu odwrotnym OCBAO energia ta przybiera wartość ujemną Równania (32) mogą być całkowalne również w sposób niezupełny Zachodzić to może wzdłuż dróg w cewien sposób sparametryzowanych w przestrzeni odkształceń Na przykład w przypadku dróg radialnych gdy przy stałym e kl (37) e' kl = t' k \r ds' k = 4dr równania (32) są równaniami zwyczajnymi o rozdzielonych zmiennych W podobny sposób moż na stwierdzić że praca wzdłuż tych dróg jest jednoznacznie okreś lona przez zmienną r Wynika stąd istotny wniosek że prowadząc doś wiadczenie mają ce wykryć odwracalność odkształceń na zamknię tych cyklach musimy z tych eksperymentów wykluczyć cykle po drogach radialnych jako nieczułe na efekty niepotencjalnoś ci ч
8 342 Т HUECKEL 4 Własnoś ci pewnych nieliniowych potencjałów sprę ż ystyc h (4 1) Dobór funkcji materiałowych A' G czy x i co z danych doś wiadczalnych w taki sposób aby spełniały one warunki ustalonej sprę ż ystośi jest c praktycznie bardzo trudny Znacznie łatwiej jest postulować istnienie potencjału sprę ż ysteg o o przepisanej formie a nastę pnie dobierać jego stałe Konieczna jest w tym celu znajomość własnoś ci równań konstytutywnych wynikają cych z danej postaci potencjału Rozpatrzmy tensorowo liniową postać równania (21) wyprowadzonego z potencjału U = U(J[ J' 2 ) (przez и л oznaczono du/dj'i) \a u = 3U 1 (Ą Ą ) + 2U 2 (J[J 2 )J[ Ь и = 2U_ 2 'J[J' 2 )e' ij Widzimy że niezależ nie od szczególnej postaci potencjału U dewiatory s tj i e' u są współosiowe i proporcjonalne natomiast wielkoś ci o kk i e' kk nie są proporcjonalne dopóki nie jest jednorodną funkcją J t W zależ nośi cod postaci funkcji U a w' szczególnoś ci w przypadku czysto postaciowych deformacji J[ = 0 stan naprę żń e może mieć zarówno składową dewiatorową jak i izotropową Ten ostatni efekt (odpowiadają cy jest typowy dla oś rodków sypkich Przyrostowa forma zwią zków (41) jest nastę pują ca : do u = 3[U n +2U l2 J' l +2U 2 +2(3U_ l2 + 2U 22 J' l )J' 1 ]de' u + 2(3U 12 + U A U A dylatacji) (42) dsn 2\U U 22 J' 1 je' i jds' kk + 2(U 22 e' ij e' kl +U 2 <\ l d i j) + 2U 22 J' 1 )e' k ide' k i Omówimy własnoś ci kilku form potencjałów U a) Potencjał bi eliptyczny: (43) U = a y J\ + <x 2 J\ a > 0 a 2 > 0 Równanie konstytutywne ma postać 1 1 (44) = 2 \ J'?+J' 2l Zatem dla czystego odkształcenia postaciowego (J[ = 0) nie wystę pują naprę ż eni a hydrostatyczne Niemniej nieliniowe moduły sprę ż ystośi zależą c zarówno od odkształceń postaciowych jak i obję toś ciowych Z tej przyczyny wystę puje sprzę ż eni e przyrostowych efektów izotropowych i dewiatorowych (45) dau = 3 16 dsij = ~ 64 12a (2 а 2 А е \^е к к ' + А а 2 J[ 2 +~a 2 Ą de' a + \6tx 2 J[ e' k de' kt + J'id )d k i ój de' H Zauważ my że sprzę ż eni e to dla szczególnych stanów J[ = 0 lub J' 2i = 0 znika Potencjał (43) jest wypukły z uwagi na dodatnią okreś loność w przestrzeni J[ J' 2i
9 O FIZYCZNIE NIELINIOWEJ SPRĘ Ż YSTOŚ I C 343 b) Potencjał złoż ony z paraboli i koła Istotną trudność stanowi opisanie materiału wykazują cego sprzę ż eni e dewiatorowych i izotropowych czę śi csamych tensorów <т у е 'ц Wymaga to założ enia niesymetrycznych wzglę dem J' 2d postaci potencjału w przestrzeni J'i i J'id Przyję cie w tym celu powierzchni ekwipotencjalnej np w formie obróconej elipsy spełniają cej powyż szy wymóg prowadzi do lokalnej wklę słośi cpotencjału 2 * a także do osobliwoś ci w stanie czysto hydrostatycznym wynikają cej z niegładkoś ci potencjału dla J'u = 0 To samo zachodzi dla potencjałów typu cosinusoidy itp (rys 2a b) Trudnoś ci Rvs 2 te moż na ominąć postulując potencjał złoż ony z paraboli w czę śi c odpowiadają cej rozcią ganiu oraz stycznego do niej okrę gu dla strefy ś ciskania Równanie potencjału ma postać (rys 3) aj[ +/4 (46) fi 1 a 2 Ą = /«Vi a + (l a a )(/J+iii/i a ) Ad' U-const a /3 stałe materiałowe; m = 1 dla J[ < 0 m = 0 dla J[ ^ 0 czę ść kołowa linii ekwipotencjalnej (dla rozcią gania) wyraż ająa c się dla U = U 0 przez równanie U 0 = fi[(j[ c) 2 +J' 2 d] = 0 o promieniu yu 0 \fi i ś rodku okrę gu w punkcie J' x = с = a]/u 0 j/3 2 1 Zachodzi wówczas niejednoznaczność rozwią zania problemu brzegowego Prowadzić do tego może mię dzy innymi pełne rozwinię cie wielomianowe funkcji potencjału U = U(J[ Ju) por np [12] a także 19]
10 344 Т HUECKEL przecina oś odcię tych J[ w punkcie J[ = ]/ U 0 /f3 (1 +a); natomiast czę ść paraboliczna (dla ś ciskania) o równaniu U 0 = fi[j 2d 2cJ' 1 +c 2 ] styczna do okrę gu w punkcie J[ = 0 1 a 2 l przecina oś J[ w punkcie J[ = ]/ U 0 /fi Równanie konstytutywne odpowiadają ce potencjałowi (46) daje aj[ + 2J[[m + a 2 {\ m)] 0_ a " ~oj[ą ±Ji 2 1 a 2 ' (47) 2[(l av 2 d ] fi!j ~ + aą Ą 2 ±Ą 1 a 2 e «Zgodnie z założ eniem proces czystych deformacji postaciowych wywołuje naprę ż eni e hydrostatyczne o wielkoś ci A = _J oraz odwrotnie stan czystego ś cinania wywołuje odkształcenia obję toś ciowe (rozluź nianie) Ponadto materiał inaczej zachowuje się w stanie czystego ś ciskania niż rozcią gania Równania konstytutywne (47) mimo że stowarzyszone z dosyć prostym potencjałem (46) (rys 3) mają bardzo złoż oną postać; analityczne odwrócenie (ych zwią zków jest skomplikowane 5 Wnioski Wnioski z powyż szych rozważ ań są nastę pują ce Przystę pując do matematycznej aproksymacji wyników doś wiadczalnych ustalonego odcią ż eni a sprę ż ysteg o wykazują cego sprzę ż eni e efektów dewiatorowych i izotropowych należy postulować niesymetryczną formę potencjału sprę ż ysteg o i wynikają ce z niego równania konstytutywne dopasować do krzywych eksperymentalnych Potencjały dopuszczają ce sprzę ż eni e prowadzą do złoż onych i trudnych w interpretacji i zastosowaniu równań konstytutywnych Prostszą formę równań moż na uzyskać wprowadzając symetryczne potencjały dopuszczają ce sprzę ż eni e przyrostów poza drogami J[ = 0 i J' 2i = 0 Najprostsze postacie równań konstytutywnych spełniają ce warunki potencjalnoś ci nieuwzglę dniająe c sprzę ż enia nie opisują niektórych istotnych efektów nieliniowych Wydaje się więc celowe dla obliczeń inż ynierskich stosowanie prostych w budowie zwią zków fizycznych o łatwej interpretacji doś wiadczalnej niespełniają cych warunków potencjalnoś ci Zastrzec należy przy tym dopuszczalny zakres ich waż nośi c(drogi radialne i do nich zbliż one) W pracy [2] podano konkretną postać takiego rodzaju zwią zków opierając się na wynikach przeprowadzonych doś wiadczeń oraz przedyskutowano procedurę wyznaczania funkcji materiałowych Zauważ my że uwagi odnoś nie całkowalnoś ci oraz potencjalnoś ci zwią zków dyskutowanych w p 2 i p 3 odnoszą się także do zwią zków w których wprowadza się rozmaitego rodzaju uogólnione nieliniowe moduły Younga i zmienne współczynniki Poissona [8 10] Autor wyraża swoją wdzię czność Panu profesorowi Z MROZOWI za liczne uwagi i pomoc przy opracowaniu tego artykułu
11 O FIZYCZNIE NIELINIOWEJ SPRĘ Ż YSTOŚ I C 345 Literatura cytowana w tekś cie 1 Z MRÓZ K KWASZCZYŃ SKA Pewne problemy brzegowe dla ciał rozdrobnionych o wzmocnieniu gę stoś ciowym Rozp Inż 19 1 (1971) T HUECKEL A DRESCHER On dilatational effects of inelastic granular media Arch Mech Stos 27 1 (1975) В О HARDIN V P DRNEVICH Shear modulus and damping in soils Proc ASCE SM6 98 (1972) R S RIVLIN Further remarks on stress deformation relation for isotropic materials J Rat Mech Anal 4 (1955) J P WEIDLER P R PASLAY Constitutive relations for inelastic granular medium Proc ASCE EM 4 (1970) G Y BALADI The latest development in the non linear elastic nonideally plastic work hardening cap model Proc Symp Plasticity Soil Mechanics Ed A Palmer Cambridge B BERNSTEIN Hypoelasticity and elasticity Arch Rat Mech An 6 89 (1960) 8 A VERRUIJT Non linear analysis of stresses and strains on soils Prog Rep 1 (1972) Univ Delft 9 J M DUNCAN Ch Y CHANG Nonlinear analysis of stress and strain in soils Proc ASCE SM5 (1970) L DOMASCHUK N H WADE A study of bulk and shear moduli of a sand Proc ASCE SM2 95 (1969) U T HUECKEL Plastic flow of granular and rocklike materials with variable elasticity moduli Bull Acad Polon Sci Serie Sci Tech 23 (1975) 12 M D EVANS and RI COON Recoverable deformation of cohesion/ess soils Proc ASCE SM2 97 (1971) Р е з ю ме К В О П Р О У С О Б О П И С А Н И И Ф И З И Ч Е СИ К Н Е Л И Н Е Й НЙ О У П Р У Г О СИ Т С Ы П У Ч Х И М А Т Е Р И А ЛВ О В р а б ое т п р и в е д ы е нр а з л и ч не ыв а р и а ы н тф з о в а ы н д ля о п и с а ня и с в о й св т с ы п у чх и м и з и ч е сх к уи р а в н е н ик йо т о р е ы м а т е р и а л о в о г т у б ы ть и с п о л ь Summary ON THE DESCRIPTION OF NON LINEAR ELASTICITY OF GRANULAR MEDIA Various physical laws are proposed in the paper aimed at the application to the description of granular materials INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI PAN Praca została złoż ona w Redakcji dnia 4 czerwcu 1975 r
ECHANIKA METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
Z E S Z Y T Y NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ TADEUSZ BURCZYŃSKI METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH ECHANIKA Z. 97 GLIWICE 1989 POLITECHNIKA
Bardziej szczegółowo6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp
6. ZWIĄZKI FIZYCZN 1 6. 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: trzy składowe
Bardziej szczegółowoWYTRZYMAŁOŚĆ STALOWYCH PRĘ TÓW Z KARBEM PRZY ROZCIĄ W PODWYŻ SZONYCH TEMPERATURACH KAROL T U R S K I (WARSZAWA) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4. 15 (1977) WYTRZYMAŁOŚĆ STALOWYCH PRĘ TÓW Z KARBEM PRZY ROZCIĄ W PODWYŻ SZONYCH TEMPERATURACH GANIU KAROL T U R S K I (WARSZAWA) 1. Wstęp Teoretyczne rozwią zanie uzyskane
Bardziej szczegółowoNOŚ NOŚ Ć GRANICZNA ROZCIĄ GANYCH PRĘ TÓW Z KARBAMI KĄ TOWYMI O DOWOLNYCH WYMIARACH CZĘ Ś CI NAD KARBAMI. 1. Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 7 (1969) NOŚ NOŚ Ć GRANICZNA ROZCIĄ GANYCH PRĘ TÓW Z KARBAMI KĄ TOWYMI O DOWOLNYCH WYMIARACH CZĘ Ś CI NAD KARBAMI JÓZEF MlASTKOWSKI (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie Nagłe
Bardziej szczegółowoSTAN SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZNY I PEŁZANIE GEOMETRYCZNIE NIELINIOWEJ POWŁOKI STOŻ KOWEJ HENRYK К О P E С К I (RZESZÓW) 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA I, 7 (1969) STAN SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZNY I PEŁZANIE GEOMETRYCZNIE NIELINIOWEJ POWŁOKI STOŻ KOWEJ HENRYK К О P E С К I (RZESZÓW) 1. Wstę p Reologiczne zagadnienia geometrycznie
Bardziej szczegółowoCAŁKA RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEGO CZĄ STKOWEGO ROZWIĄ ZUJĄ CEG O WALCOWE. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2,14 (1976) CAŁKA RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEGO CZĄ STKOWEGO ROZWIĄ ZUJĄ CEG O POWŁOKI WALCOWE STANISŁAW BIELAK (GLIWICE) 1 Wstęp W pracach autora [1, 2, 3, 4] rozwią zanie
Bardziej szczegółowoINWERSYJNA METODA BADANIA MODELI ELASTOOPTYCZNYCH Z WIĘ ZAMI SZTYWNYMI ROMAN DOROSZKIEWICZ, JERZY LIETZ, BOGDAN MICHALSKI (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 15 (1977) i INWERSYJNA METODA BADANIA MODELI ELASTOOPTYCZNYCH Z WIĘ ZAMI SZTYWNYMI ROMAN DOROSZKIEWICZ, JERZY LIETZ, BOGDAN MICHALSKI (WARSZAWA) W artykule tym przedstawimy
Bardziej szczegółowoCZONE ODKSZTAŁCENIA SPRĘ Ż YSTEG O KLINA I STOŻ KA
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA, 7 (1969) SKOŃ CZONE ODKSZTAŁCENIA SPRĘ Ż YSTEG O KLINA I STOŻ KA ZBIGNIEW WESOŁOWSKI (WARSZAWA) W nieliniowej teorii sprę ż ystoś i znanych c jest dotychczas zaledwie
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE ZMIAN STAŁYCH SPRĘ Ż YSTOŚI CMATERIAŁU WYSTĘ PUJĄ CYC H GRUBOŚ CI MODELU GIPSOWEGO. JÓZEF W R A N i к (GLIWICE) 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 11 (1973) WYZNACZANIE ZMIAN STAŁYCH SPRĘ Ż YSTOŚI CMATERIAŁU WYSTĘ PUJĄ CYC H GRUBOŚ CI MODELU GIPSOWEGO NA JÓZEF W R A N i к (GLIWICE) 1. Wstęp Wartoś ci naprę żń
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ POWŁOKI CYLINDRYCZNEJ Z OBWODOWYM ZAŁOMEM PRZY Ś CISKANIU OSIOWYM. 1. Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4. 15 (1977) STATECZNOŚĆ POWŁOKI CYLINDRYCZNEJ Z OBWODOWYM ZAŁOMEM PRZY Ś CISKANIU OSIOWYM STANISŁAW ŁUKASIEWICZ, JERZY TUMIŁOWICZ (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie Celem pracy
Bardziej szczegółowoRuch w potencjale U(r)=-α/r. Zagadnienie Keplera Przybli Ŝ enie małych drgań. Wykład 7 i 8
Wykład 7 i 8 Zagadnienie Keplera Przybli Ŝ enie małych drgań Ruch w potencjale U(r)=-α/r RozwaŜ my ruch punktu materialnego w polu centralnym, o potencjale odwrotnie proporcjonalnym do odległo ś ci r od
Bardziej szczegółowoNIEJEDNORODNOŚĆ PLASTYCZNA STOPU PA2 W PROCESIE. 1, Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) NIEJEDNORODNOŚĆ PLASTYCZNA STOPU PA2 W PROCESIE WYCISKANIA JAN PIWNIK (BIAŁYSTOK) 1, Wprowadzenie Rozwój zaawansowanych metod obliczeniowych procesów obróbki
Bardziej szczegółowoSTATYKA POWŁOKI WALCOWEJ ZAMKNIĘ TEJ PRACUJĄ CEJ W STANIE ZGIĘ CIOWYM. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 14 (1976) STATYKA POWŁOKI WALCOWEJ ZAMKNIĘ TEJ PRACUJĄ CEJ W STANIE ZGIĘ CIOWYM STANISŁAW BIELAK (OPOLE) 1. Wstęp Przedstawione w tym opracowaniu rozwią zanie, ilustrowane
Bardziej szczegółoworiff гю И E С И А IV I К I T E O R E T Y C Z N E J I STOSOWANEJ MECHANIKA KWARTALNIK TOM 14 ZESZYT 3 WARSZAWA 1976
riff гю P O L S K I E T O W A R Z Y S T W O И E С И А IV I К I T E O R E T Y C Z N E J I STOSOWANEJ MECHANIKA T E O R E T Y C Z N A I S T O S O W A N A KWARTALNIK TOM 14 ZESZYT 3 WARSZAWA 1976 P A Ń S
Bardziej szczegółowoOPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI NA PODŁOŻU SPRĘ Ż YSTY M Z UWZGLĘ DNIENIEM OGRANICZEŃ NAPRĘ ŻŃ MACIEJ MAKOWSKI, GWIDON SZEFER (KRAKÓW) 1.
M ECHAN IKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 3, IS (1977) OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI NA PODŁOŻU SPRĘ Ż YSTY M Z UWZGLĘ DNIENIEM OGRANICZEŃ NAPRĘ ŻŃ E NORMALNYCH MACIEJ MAKOWSKI, GWIDON SZEFER (KRAKÓW) 1. Wstęp
Bardziej szczegółowoWykład 3. Ruch w obecno ś ci wię zów
Wykład 3 Ruch w obecno ś ci wię zów Wię zy Układ nieswobodnych punktów materialnych Układ punktów materialnych, których ruch podlega ograniczeniom wyraŝ onym przez pewne zadane warunki dodatkowe. Wię zy
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoIN ŻYNIE R IA S R O D O W IS K A
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLISKIEJ JANUARY BIEŃ KONWENCJONALNE I NIEKONWENCJONALNE PRZYGOTOWANIE OSADÓW ŚCIEKOWYCH DO ODWADNIANIA IN ŻYNIE R IA S R O D O W IS K A Z. 27 A GLIWICE 1986 POLITECHNIKA ŚLĄSKA
Bardziej szczegółowoZREDUKOWANE LINIOWE RÓWNANIA POWŁOK O WOLNO ZMIENNYCH KRZYWIZNACH. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) ZREDUKOWANE LINIOWE RÓWNANIA POWŁOK O WOLNO ZMIENNYCH KRZYWIZNACH ZENON RYCHTER (BIAŁYSTOK) 1. Wstęp Zginanie sprę ż ystych, izotropowych powłok o małej
Bardziej szczegółowoDRGANIA GRUBOŚ CIENNEJ RURY PRZY WEWNĘ TRZNYM I ZEWNĘ TRZNYM PRZEPŁYWIE CIECZY (WARSZAWA) Waż niejsze oznaczenia
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 7 (1969) DRGANIA GRUBOŚ CIENNEJ RURY PRZY WEWNĘ TRZNYM I ZEWNĘ TRZNYM PRZEPŁYWIE CIECZY JACEK SAMBORSKI (WARSZAWA) Waż niejsze oznaczenia a,b e Qw, Qz uw, uz Cw, Cz
Bardziej szczegółowoANALIZA OBROTU POWIERZCHNI PŁYNIĘ CIA Z UWZGLĘ DNIENIEM PAMIĘ CI MATERIAŁU. 1. Wstęp
MECHANIK A TEORETYCZNA t STOSOWANA 2/3, 21 (1983) ANALIZA OBROTU POWIERZCHNI PŁYNIĘ CIA Z UWZGLĘ DNIENIEM PAMIĘ CI MATERIAŁU HENRYK S К R О С К I Uniwersytet Warszawski Filia w Białymstoku 1. Wstęp Materiały
Bardziej szczegółowoANDRZEJ MŁOTKOWSKI (ŁÓDŹ)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, (1970) PRZYBLIŻ ONE OBLICZANIE PŁYTY KOŁOWEJ, UŻ EBROWANEJ JEDNOSTRONNIE, OBCIĄ Ż ONE J ANTYSYMETRYCZNIE ANDRZEJ MŁOTKOWSKI (ŁÓDŹ) Oznaczenia stale, a promień zewnę
Bardziej szczegółowoWPŁYW SZCZELINY PROSTOPADŁEJ DO BRZEGU NA ROZKŁAD NACISKÓW I STAN NAPRĘ Ż Ń E W KONTAKCIE. Wstęp
MECHAN1 К A TEORETYCZNA I STOSOWANA 2/3, 21 (1983) WPŁYW SZCZELINY PROSTOPADŁEJ DO BRZEGU NA ROZKŁAD NACISKÓW I STAN NAPRĘ Ż Ń E W KONTAKCIE RYSZARD W Ó J C I K Politechnika Warszawska \ JACEK S T U P
Bardziej szczegółowoJERZY MARYNIAK, WACŁAW MIERZEJEWSKI, JÓZEF KRUTUL. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 11 (1973) DRGANIA ŁOPAT Ś MIGŁA* JERZY MARYNIAK, WACŁAW MIERZEJEWSKI, JÓZEF KRUTUL (WARSZAWA) 1. Wstęp Na przykładzie łopaty ś migła ogonowego ś migłowca (rys. 1) przedstawiono
Bardziej szczegółowoSKOŃ CZONE ODKSZTAŁCENIA WIOTKICH OBROTOWO SYMETRYCZNYCH POWŁOK PRZY UWZGLĘ DNIENIU KINEMATYCZNEGO WZMOCNIENIA MATERIAŁU JÓZEF W I L K (KRAKÓW)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 14 (1976) SKOŃ CZONE ODKSZTAŁCENIA WIOTKICH OBROTOWO SYMETRYCZNYCH POWŁOK PRZY UWZGLĘ DNIENIU KINEMATYCZNEGO WZMOCNIENIA MATERIAŁU JÓZEF W I L K (KRAKÓW) 1. Założ enia
Bardziej szczegółowoI Pracownia fizyczna ćwiczenie nr 16 (elektrycznoś ć)
BADANIE PĘTLI HISTEREZY DIELEKTRYCZNEJ SIARCZANU TRÓJGLICYNY Zagadnienia: 1. Pole elektryczne wewnątrz dielektryków. 2. Własnoś ci ferroelektryków. 3. Układ Sowyera-Towera. Literatura: 1. Sz. Szczeniowski,
Bardziej szczegółowoDRGANIA. PRĘ TÓW O LINIOWO ZMIENNEJ WYSOKOŚ CI POPRZECZNEGO
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2/3, 21 (1983) DRGANIA. PRĘ TÓW O LINIOWO ZMIENNEJ WYSOKOŚ CI POPRZECZNEGO PRZEKROJU EDWARD J. K R Y N I C K I Departament of Civil Engineering University of Manitoba
Bardziej szczegółowoPEWIEN SPOSÓB ROZWIĄ ZANIA STATYCZNYCH ZAGADNIEŃ LINIOWEJ NIESYMETRYCZNEJ SPRĘ Ż YSTOŚI JANUSZ D Y S Z L E W ICZ (WARSZAWA) 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 11 (1973) PEWIEN SPOSÓB ROZWIĄ ZANIA STATYCZNYCH ZAGADNIEŃ LINIOWEJ NIESYMETRYCZNEJ SPRĘ Ż YSTOŚI C JANUSZ D Y S Z L E W ICZ (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie W liniowym oś
Bardziej szczegółowo17. 17. Modele materiałów
7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE BADANIA WŁASNOŚ CI MECHANICZNYCH POLIAMIDU TARLON X A. 1. Wstę p
MECHAN IKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 7 (1969) DYNAMICZNE BADANIA WŁASNOŚ CI MECHANICZNYCH POLIAMIDU TARLON X A STANISŁAW MAZURKIEWICZ (KRAKÓW) 1. Wstę p Własnoś ci mechaniczne tworzyw sztucznych zależ
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA SZTYWNEJ PŁYTY SPOCZYWAJĄ CEJ NA SPRĘ Ż YSTO- PLĄ STYCZNY M PODŁOŻU ZE ZMIENNĄ GRANICĄ PLASTYCZNOŚ CI CZĘ ŚĆ II. SPRĘ Ż YSTE ODCIĄ Ż ENI E
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 10 (1972) DYNAMIKA SZTYWNEJ PŁYTY SPOCZYWAJĄ CEJ NA SPRĘ Ż YSTO- PLĄ STYCZNY M PODŁOŻU ZE ZMIENNĄ GRANICĄ PLASTYCZNOŚ CI CZĘ ŚĆ II. SPRĘ Ż YSTE ODCIĄ Ż ENI E. JERZY
Bardziej szczegółowoIDEALNIE SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZN A TARCZA O PROFILU HIPERBOLICZNYM. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) IDEALNIE SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZN A TARCZA O PROFILU HIPERBOLICZNYM KRZYSZTOF SZUWALSKI (KRAKÓW) 1. Wstęp Ogólne zagadnienie teorii plastycznoś ci polega na
Bardziej szczegółowoPOWŁOKI PROSTOKREŚ LNE OPARTE NA OKRĘ GU PRACUJĄ CE W STANIE ZGIĘ CIOWYM STANISŁAW BIELAK, ANDRZEJ DUDA. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 18 (1980) POWŁOKI PROSTOKREŚ LNE OPARTE NA OKRĘ GU PRACUJĄ CE W STANIE ZGIĘ CIOWYM STANISŁAW BIELAK, ANDRZEJ DUDA (OPOLE) 1. Wstę p W pracy przedstawiono rozwią zanie
Bardziej szczegółowoZAŃ KINEMATYCZNIE DOPUSZCZALNYCH DLA ZAGADNIENIA NAPORU Ś CIAN O RÓŻ NYCH KSZTAŁTACH* WiESLAw\ TRĄ MPCZYŃ SK I. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA I, 15 (1977) ANALIZA ROZWIĄ ZAŃ KINEMATYCZNIE DOPUSZCZALNYCH DLA ZAGADNIENIA NAPORU Ś CIAN O RÓŻ NYCH KSZTAŁTACH* WiESLAw\ TRĄ MPCZYŃ SK I (WARSZAWA) 1. Wstęp Wyraź ny
Bardziej szczegółowoGRANICZNA MOC DWUFAZOWEGO TERMOSYFONU RUROWEGO ZE WZGLĘ DU NA KRYTERIUM ODRYWANIA KONDENSATU BOGUMIŁ BIENIASZ (RZESZÓW) Oznaczenia
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 14 (1976) GRANICZNA MOC DWUFAZOWEGO TERMOSYFONU RUROWEGO ZE WZGLĘ DU NA KRYTERIUM ODRYWANIA KONDENSATU BOGUMIŁ BIENIASZ (RZESZÓW) Oznaczenia A pole powierzchni poprzecznego
Bardziej szczegółowoUGIĘ CIE OSIOWO SYMETRYCZNE PŁYTY REISSNERA O ZMIENNEJ GRUBOŚ CI ANDRZEJ G A W Ę C KI (POZNAŃ) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 11 (1973) UGIĘ CIE OSIOWO SYMETRYCZNE PŁYTY REISSNERA O ZMIENNEJ GRUBOŚ CI ANDRZEJ G A W Ę C KI (POZNAŃ) 1. Wstęp Celem niniejszej pracy jest wyprowadzenie równań podstawowych
Bardziej szczegółowo9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1 9. 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9.1. Pierwsze kroki Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie zastanawialiśmy się, co
Bardziej szczegółowoDOŚ WIADCZALNA ANALIZA EFEKTU PAMIĘ CI MATERIAŁU PODDANEGO PLASTYCZNEMU ODKSZTAŁCENIU*) JÓZEF MlASTKOWSKI (WARSZAWA) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 11 (1973) DOŚ WIADCZALNA ANALIZA EFEKTU PAMIĘ CI MATERIAŁU PODDANEGO PLASTYCZNEMU ODKSZTAŁCENIU*) JÓZEF MlASTKOWSKI (WARSZAWA) 1. Wstęp Rozwój techniki, zwłaszcza w
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI CIAŁ DYSKRETYZOWANYCH CZESŁAW WOŹ NIAK (WARSZAWA) 1. Ciała dyskretyzowane
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 11 (1973) PODSTAWY MECHANIKI CIAŁ DYSKRETYZOWANYCH CZESŁAW WOŹ NIAK (WARSZAWA) 1. Ciała dyskretyzowane Spotykane w przyrodzie odksztalcalne ciała stałe opisujemy w
Bardziej szczegółowoMAREK Ś LIWOWSKI I KAROL TURSKI (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 12 (1974) WPŁYW CYKLICZNEJ PLASTYCZNEJ DEFORMACJI NA POWIERZCHNIĘ PLASTYCZNOŚ CI* MAREK Ś LIWOWSKI I KAROL TURSKI (WARSZAWA) W pracach eksperymentalnych, poś wię conych
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji. Wojciech Dindorf Elżbieta Krawczyk
Scenariusz lekcji Czy światło ma naturę falową Wojciech Dindorf Elżbieta Krawczyk? Doświadczenie Younga. Cele lekcji nasze oczekiwania: Chcemy, aby uczeń: postrzegał doś wiadczenie jako ostateczne rozstrzygnię
Bardziej szczegółowoNUMERYCZNA ANALIZA PRZEPŁYWU MHD W KANALE Z NIESYMETRYCZNYM ROZSZERZENIEM. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) NUMERYCZNA ANALIZA PRZEPŁYWU MHD W KANALE Z NIESYMETRYCZNYM ROZSZERZENIEM EDWARD WALICKI, JERZY SAWICKI 1. Wstęp Przepływy MHD w kanałach płaskich i okrą
Bardziej szczegółowoWPŁYW WARUNKÓW ZRZUTU NA RUCH ZASOBNIKA W POBLIŻU NOSICIELA I PARAMETRY UPADKU. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4 22 (1984) WPŁYW WARUNKÓW ZRZUTU NA RUCH ZASOBNIKA W POBLIŻU NOSICIELA I PARAMETRY UPADKU JERZY MARYNIAK KAZIMIERZ MICHALEWICZ ZYGMUNT WINCZURA Politechnika Warszawska
Bardziej szczegółowoNUMERYCZNE OBLICZANIE KRZYWOLINIOWYCH Ś CIEŻ K E RÓWNOWAGI DLA JEDNOWYMIAROWYCH UKŁADÓW SPRĘ Ż YSTYC H
MEGHAN IK Л TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 2/3, 21 (1983) NUMERYCZNE OBLICZANIE KRZYWOLINIOWYCH Ś CIEŻ K E RÓWNOWAGI DLA JEDNOWYMIAROWYCH UKŁADÓW SPRĘ Ż YSTYC H ZYGMUNT K A S P E R S K I WSI Opole W pracy podaje
Bardziej szczegółowoANALIZA JEDNOWYMIAROWYCH FAL UDERZENIOWYCH I PRZYSPIESZENIA. WITOLD KOSIŃ SKI (WARSZAWA) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 14 (1976) ANALIZA JEDNOWYMIAROWYCH FAL UDERZENIOWYCH I PRZYSPIESZENIA W OŚ RODKU NIESPRĘ Ż YSTY M WITOLD KOSIŃ SKI (WARSZAWA) 1. Wstęp Liczne badania eksperymentalne
Bardziej szczegółowoZnaki alfabetu białoruskiego Znaki alfabetu polskiego
ROZPORZĄDZENIE MINISTRA SPRAW WEWNĘTRZNYCH I ADMINISTRACJI z dnia 30 maja 2005 r. w sprawie sposobu transliteracji imion i nazwisk osób należących do mniejszości narodowych i etnicznych zapisanych w alfabecie
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowoLESZEK JARECKI (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 14 (1976) TERMODYNAMIKA DEFORMACJI KRYSTALITÓW POLIMERU ZANURZONYCH W NAPRĘ Ż ONYM OŚ RODKU AMORFICZNYM LESZEK JARECKI (WARSZAWA) Szeroko stosowane kalorymetryczne,
Bardziej szczegółowoANALIZA UKŁADU W1BRO UDERZENIOWEGO Z NIELINIOWA CHARAKTERYSTYKĄ SPRĘ Ż YST Ą ZBIGNIEW WIŚ NIEWSKI (GDAŃ SK) Wykaz waż niejszych oznaczeń
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 7 (1969) ANALIZA UKŁADU W1BRO UDERZENIOWEGO Z NIELINIOWA CHARAKTERYSTYKĄ SPRĘ Ż YST Ą ZBIGNIEW WIŚ NIEWSKI (GDAŃ SK) Wykaz waż niejszych oznaczeń 5 pole powierzchni
Bardziej szczegółowoO OPERATOROWYM PODEJŚ CIU DO FORMUŁOWANIA ZASAD WARIACYJNYCH DLA OŚ RODKÓW PLASTYCZNYCH. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4 14 (1976) O OPERATOROWYM PODEJŚ CIU DO FORMUŁOWANIA ZASAD WARIACYJNYCH DLA OŚ RODKÓW PLASTYCZNYCH JÓZEF JOACHIM TELEGA (RADOM) 1 Wstęp W ostatnich latach ukazały się
Bardziej szczegółowoOBSZAR KONTAKTU SZTYWNEJ KULI Z PÓŁPRZESTRZENIĄ LEPKOSPRĘ Ż YST Ą JADWIGA HALAUNBRENNER I BRONISŁAW LECHOWICZ (KRAKÓW) 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 7 (1969) OBSZAR KONTAKTU SZTYWNEJ KULI Z PÓŁPRZESTRZENIĄ LEPKOSPRĘ Ż YST Ą JADWIGA HALAUNBRENNER I BRONISŁAW LECHOWICZ (KRAKÓW) 1. Wprowadzenie Badaniem narastania
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE NAPRĘ ŻŃ ENA PODSTAWIE POMIARÓW TYLKO JEDNEJ SKŁ ADOWEJ ODKSZTAŁ CENIA
MECHANIKA. TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 2 (1964) WYZNACZANIE NAPRĘ ŻŃ ENA PODSTAWIE POMIARÓW TYLKO JEDNEJ SKŁ ADOWEJ ODKSZTAŁ CENIA WOJCIECH SZCZEPIKJSKI (WARSZAWA) Dla peł nego wyznaczenia na drodze doś
Bardziej szczegółowoOPTYiMALNE KSZTAŁTOWANIE NIERÓWNOMIERNIE NAGRZANYCH TARCZ WIRUJĄ Z UWAGI NA NOŚ NOŚĆ SPRĘ Ż YST Ą I GRANICZNĄ
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 14 (1976) OPTYiMALNE KSZTAŁTOWANIE NIERÓWNOMIERNIE NAGRZANYCH TARCZ WIRUJĄ Z UWAGI NA NOŚ NOŚĆ SPRĘ Ż YST Ą I GRANICZNĄ CYCH TADEUSZ LISZKA, MICHAŁ Ż Y C Z K O W S
Bardziej szczegółowoFonetyka kaszubska na tle fonetyki słowiańskiej
Fonetyka kaszubska na tle fonetyki słowiańskiej (szkic i podpowiedzi dla nauczycieli) prof. UG dr hab. Dušan-Vladislav Paždjerski Instytut Slawistyki Uniwersytetu Gdańskiego Gdańsk, 21 marca 2016 r. Fonetyka
Bardziej szczegółowoKRZYSZTOF G R Y s A (POZNAŃ)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 15 (1977) O SUMOWANIU PEWNYCH SZEREGÓW FOURIERA BESSELA KRZYSZTOF G R Y s A (POZNAŃ) Przy rozważ aniu zagadnień termosprę ż ystoś, cidotyczą cych wyznaczania pól mechanicznych
Bardziej szczegółowoMACIERZOWY ZAPIS NIELINIOWYCH RÓWNAŃ RUCHU GENEROWANYCH FORMALIZMEM LAGRANGE'A ZDOBYSŁAW G O R A J (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 14 (1976) MACIERZOWY ZAPIS NIELINIOWYCH RÓWNAŃ RUCHU GENEROWANYCH FORMALIZMEM LAGRANGE'A ZDOBYSŁAW G O R A J (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie W wielu zagadnieniach mechaniki
Bardziej szczegółowoKsztaªt orbity planety: I prawo Keplera
V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety
Bardziej szczegółowoWPŁYW CZĘ STOTLIWOŚ I CWIBRACJI NA PROCES WIBROPEŁZANIA 1 ) ANATOLIUSZ JAKOWLUK (BIAŁYSTOK) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 4, 7 (1969) WPŁYW CZĘ STOTLIWOŚ I CWIBRACJI NA PROCES WIBROPEŁZANIA 1 ) ANATOLIUSZ JAKOWLUK (BIAŁYSTOK) 1. Wstęp W pracy [1] autor przedstawił wyniki badań nad wpływem
Bardziej szczegółowoW pracy rozpatrzymy osobliwość naprę żń e siłowych i naprę żń e momentowych w półprzestrzeni. ): Xi ^ 0, co < x 2
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 11 (1973) OSOBLIWOŚĆ NAPRĘ ŻŃ E W LINIOWYM OŚ RODKU MIKROPOLARNYM SPOWODOWANA NIECIĄ GŁYMI OBCIĄ Ż ENIAM I (II) JANUSZ DYSZLEWICZ, STANISŁAW MATYSIAK (WARSZAWA) 1.
Bardziej szczegółowoANALIZA ROZKŁADU NAPRĘ Ż EŃ W SPOINIE KLEJOWEJ POŁĄ CZENIA ZAKŁADKOWEGO W ZAKRESIE ODKSZTAŁCEŃ PLASTYCZNYCH
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 26 (1988) ANALIZA ROZKŁADU NAPRĘ Ż EŃ W SPOINIE KLEJOWEJ POŁĄ CZENIA ZAKŁADKOWEGO W ZAKRESIE ODKSZTAŁCEŃ PLASTYCZNYCH JAN GODZIMIRSKI Wojskowa Akademia Techniczna,
Bardziej szczegółowo8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:
Bardziej szczegółowo2. Pręt skręcany o przekroju kołowym
2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo
Bardziej szczegółowoINFORMACJA DOTYCZĄCA DZIAŁALNOŚ TOWARZYSTW FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH W 2004 ROKU
KOMISJA PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH I GIEŁD DEPARTAMENT FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH INFORMACJA DOTYCZĄCA DZIAŁALNOŚ CI TOWARZYSTW FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH W 2004 ROKU WARSZAWA, DNIA 25.04.2005 R. strona 1 /9 WSTĘP
Bardziej szczegółowoZAMKNIĘ TE ROZWIĄ ZANIE PROBLEMU PROPAGACJI NIESTACJONARNEJ PŁASKIEJ FALI UDERZENIOWEJ W SUCHYM GRUNCIE PIASZCZYSTYM. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) ZAMKNIĘ TE ROZWIĄ ZANIE PROBLEMU PROPAGACJI NIESTACJONARNEJ PŁASKIEJ FALI UDERZENIOWEJ W SUCHYM GRUNCIE PIASZCZYSTYM EDWARD WŁODARCZYK (WARSZAWA) Wojskowa
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA PARAMETRYCZNA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH O NIECIĄ GŁYCH CHARAKTERYSTYKACH. 1. Wstęp
MECHANIК Л TEORETYCZNA I STOSOWANA 2/3, 21 (1983) OPTYMALIZACJA PARAMETRYCZNA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH O NIECIĄ GŁYCH CHARAKTERYSTYKACH JERZY Ł U С Z К O Politechnika Krakowska 1. Wstęp Zagadnienie doboru
Bardziej szczegółowoO PEWNEJ METODZIE WYZNACZANIA KRYTERIUM ZNISZCZENIA POLIMERÓW. 1. Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 7 (1969) O PEWNEJ METODZIE WYZNACZANIA KRYTERIUM ZNISZCZENIA POLIMERÓW ANDRZEJ DRESCHER (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie Stosowane coraz szerzej w konstrukcjach inż ynierskich
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie
Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,
Bardziej szczegółowoMODEL MATEMATYCZNY WYZNACZANIA FUNKCJI STEROWANIA SAMOLOTEM W PĘ TLI
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/ 2, 25, 1987 MODEL MATEMATYCZNY WYZNACZANIA FUNKCJI STEROWANIA SAMOLOTEM W PĘ TLI WOJCIECH BLAJER JAN PARCZEWSKI Wyż szaszkoł a Inż ynierskaw Radomiu Modelowano programowy
Bardziej szczegółowoITERACYJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚ I C DRGAŃ WŁASNYCH I AMPLITUD BOHDAN KOWALCZYK, TADEUSZ RATAJCZAK (GDAŃ SK) 1. Uwagi ogólne
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2 14 (197Й ) ITERACYJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚ I C DRGAŃ WŁASNYCH I AMPLITUD UKŁADU O SKOŃ CZONEJ LICZBIE STOPNI SWOBODY BOHDAN KOWALCZYK TADEUSZ RATAJCZAK (GDAŃ
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoO SFORMUŁOWANIU I POPRAWNOŚ CI PEWNEJ KLASY ZADAŃ Z NIELINIOWEJ DYNAMIKI LIN ROZCIĄ GLIWYCH ANDRZEJ BLINOWSKI (WARSZAWA) 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 15 (1977) O SFORMUŁOWANIU I POPRAWNOŚ CI PEWNEJ KLASY ZADAŃ Z NIELINIOWEJ DYNAMIKI LIN ROZCIĄ GLIWYCH ANDRZEJ BLINOWSKI (WARSZAWA) 1. Wstęp i W pracy [1] autor niniejszej
Bardziej szczegółowoNUMERYCZNE ROZWIĄ ZANIE ZAGADNIENIA STATECZNOŚ CI ORTOTROPOWEJ PŁYTY PIERŚ CIENIOWEJ*' 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA, (9) NUMERYCZNE ROZWIĄ ZANIE ZAGADNIENIA STATECZNOŚ CI ORTOTROPOWEJ PŁYTY PIERŚ CIENIOWEJ*' ANDRZEJ STRZELCZYK, STANISŁAW WOJCIECH (BIELSKO BIAŁA). Wstęp Problem statecznoś
Bardziej szczegółowoELEKTRYCZNY UKŁAD ANALOGOWY DLA GEOMETRYCZNIE NIELINIOWYCH ZAGADNIEŃ PŁYT O DOWOLNEJ GEOMETRII MIECZYSŁAW JANOWSKI, HENRYK К О P E С К I (RZESZÓW)
I MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 14 (1976) ELEKTRYCZNY UKŁAD ANALOGOWY DLA GEOMETRYCZNIE NIELINIOWYCH ZAGADNIEŃ PŁYT O DOWOLNEJ GEOMETRII MIECZYSŁAW JANOWSKI, HENRYK К О P E С К I (RZESZÓW) Modelowanie
Bardziej szczegółowoOPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE PRĘ TA Ś CISKANEGO PRZY DUŻ YCH UGIĘ CIACH METODĄ PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO*) 1. Wstęp
' ' 1 t I ) MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 15 (1977) i OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE PRĘ TA Ś CISKANEGO PRZY DUŻ YCH UGIĘ CIACH METODĄ PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO*) ' JAN TATJ BBi.Ar.H4T Ł A C H U T fkuatrń
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoNIEKTÓRE PROBLEMY MODELOWANIA UKŁADÓW MECHANICZNYCH AGNIESZKA M U S Z Y Ń S KA (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 14 (1976) NIEKTÓRE PROBLEMY MODELOWANIA UKŁADÓW MECHANICZNYCH AGNIESZKA M U S Z Y Ń S KA (WARSZAWA) W dobie dokonują cej się rewolucji naukowo technicznej niezwykle
Bardziej szczegółowoO pewnym zagadnieniu F. Leji dotyczącym sumowania kierunkowego macierzy
ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE VI (1961) F. Barański (Kraków) O pewnym zagadnieniu F. Leji dotyczącym sumowania kierunkowego macierzy 1. F. Leja w pracy zamieszczonej
Bardziej szczegółowoUOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A
UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A Układ liniowosprężysty Clapeyrona Robert Hooke podał następującą, pierwotna postać prawa liniowej sprężystości: ut tensio sic vis, czyli takie wydłużenie jaka siła W klasycznej
Bardziej szczegółowoPŁYTY PROSTOKĄ TNE O JEDNOKIERUNKOWO ZMIENNEJ SZTYWNOŚ CI
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 10 (1972) PŁYTY PROSTOKĄ TNE O JEDNOKIERUNKOWO ZMIENNEJ SZTYWNOŚ CI KAROL H. BOJDA (GLIWICE) W pracy wykorzystano wł asnoś ci operacji T a [1] do rozwią zania równania
Bardziej szczegółowo0 WYZNACZANIU NAPRĘ ŻŃ ECIEPLNYCH WYWOŁANYCH RUCHOMYMI OBCIĄ TERMICZNYMI. Oznaczenia
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 15 (1977) 0 WYZNACZANIU NAPRĘ ŻŃ ECIEPLNYCH WYWOŁANYCH RUCHOMYMI OBCIĄ TERMICZNYMI Ż ENIAM I JÓZEF KUBIK (POZNAŃ) Oznaczenia a, współczynnik liniowej rozszerzalnoś
Bardziej szczegółowoWSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW GŁÓWNYCH NIELINIOWYCH UKŁADÓW DRGAJĄ CYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 11 (1973) WSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW GŁÓWNYCH NIELINIOWYCH UKŁADÓW DRGAJĄ CYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY WANDA SZEMPLIŃ SKA STUPNICKA (WARSZAWA) W
Bardziej szczegółowoMODELE FENOMENOLOGICZNE OŚ RODKA CIEKŁOKRYSTALICZNEGO CZESŁAW R Y M A R Z (WARSZAWA) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 14 (1976) MODELE FENOMENOLOGICZNE OŚ RODKA CIEKŁOKRYSTALICZNEGO CZESŁAW R Y M A R Z (WARSZAWA) 1 Wstęp Molekuły niektórych zwią zków organicznych posiadają wydłuż ony
Bardziej szczegółowoZDERZENIE W UKŁADZIE O WIELU STOPNIACH. 1. Wstęp
MEC;HAN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2/3, 21 (1983) ZDERZENIE W UKŁADZIE O WIELU STOPNIACH SWOBODY WIESŁAW G R Z E S I K I E W I C Z Politechnika Warszawska ANDRZEJ W А К U L I С Z Instytut Matematyczny
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA POWŁOK NIESPRĘ Ż YSTYCH 1 ANTONI SAWCZU K, WACŁAW OLSZ AK (WARSZAWA)
MECHANTKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 1 (1963) ZAGADNIENIA POWŁOK NIESPRĘ Ż YSTYCH 1 ANTONI SAWCZU K, WACŁAW OLSZ AK (WARSZAWA) i. Wprowadzenie Wobec rozszerzają cego się zakresu zastosowań konstrukcji
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów
Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI DYNAMICZNEJ KONSTRUKCJI PŁYTOWO SPRĘ Ż YNOWE J ZA POMOCĄ METODY SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH* > 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 15 (1977) OBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI DYNAMICZNEJ KONSTRUKCJI PŁYTOWO SPRĘ Ż YNOWE J ZA POMOCĄ METODY SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH* > JERZY STELMARCZYK (ŁÓDŹ) 1.
Bardziej szczegółowo7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1 7. 7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 7.1. Wprowadzenie Równania Lamego wyrażają się wzorem: u i 1 u j, j i0 (7.1) gdzie: u i jest funkcją biharmoniczną u j,j υ - dylatacja
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają
Bardziej szczegółowoWPŁYW POZIOMU NAPRĘ Ż ENI A I WSPÓŁCZYNNIKA NAPRĘ Ż ENI A NA PROCES WIBROPEŁZ ANI A') 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 7 (1969) WPŁYW POZIOMU NAPRĘ Ż ENI A I WSPÓŁCZYNNIKA NAPRĘ Ż ENI A NA PROCES WIBROPEŁZ ANI A') AMPLITUDY ANATOLIUSZ JAKOWLUK (BIAŁYSTOK) 1. Wstęp Przedstawiana praca
Bardziej szczegółowoMatematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia
Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoIntegralność konstrukcji w eksploatacji
1 Integralność konstrukcji w eksploatacji Wykład 0 PRZYPOMNINI PODSTAWOWYCH POJĘĆ Z WYTRZYMAŁOŚCI MATRIAŁÓW Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Bardziej szczegółowo40. Międzynarodowa Olimpiada Fizyczna Meksyk, 12-19 lipca 2009 r. ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA
ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA Celem tego zadania jest podanie prostej teorii, która tłumaczy tak zwane chłodzenie laserowe i zjawisko melasy optycznej. Chodzi tu o chłodzenia
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ BOCZNA SAMOLOTU I DRGANIA LOTEK Z UWZGLĘ DNIENIEM ODKSZTAŁCALNOŚ CI GIĘ TNEJ SKRZYDEŁ I SPRĘ Ż YSTOŚI CUKŁADU STEROWANIA
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 14 (1976) STATECZNOŚĆ BOCZNA SAMOLOTU I DRGANIA LOTEK Z UWZGLĘ DNIENIEM ODKSZTAŁCALNOŚ CI GIĘ TNEJ SKRZYDEŁ I SPRĘ Ż YSTOŚI CUKŁADU STEROWANIA JERZY M A R Y N I A K,
Bardziej szczegółowoWYZNACZENIE STANU NAPRĘ Ż ENI A W OSIOWO SYMETRYCZNYM POŁĄ CZENIU KLEJONYM OBCIĄ Ż ONY M MOMENTEM SKRĘ CAJĄ CY M
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 15 (1977) WYZNACZENIE STANU NAPRĘ Ż ENI A W OSIOWO SYMETRYCZNYM POŁĄ CZENIU KLEJONYM OBCIĄ Ż ONY M MOMENTEM SKRĘ CAJĄ CY M KAROL GRUDZIŃ SKI, TADEUSZ BURDA, LEON Ł
Bardziej szczegółowo