Praca. wielkość s Pracę wykonaną przez siłę przy takim przemieszczeniu definiujemy jako iloczyn skalarny wektora siły i wektora przemieszczenia

Transkrypt

1 Praca ozważmy sytuację, gy w rótim czasie ziałająca siła wielość s spowoowała przemieszczenie ciała o barzo małą Pracę wyonaną przez siłę przy taim przemieszczeniu efiniujemy jao iloczyn salarny wetora siły i wetora przemieszczenia W s Jenostą pracy jest 1Nm=1J (żul) Sens fizyczny pracy Jeżeli wypaowa siła ziałająca na ciało jest różna o zera, to wiemy, że prowazi ona o przyspieszenia ciała, czyli o zmiany pręości ciała. Iloczyn salarny s jest równy zmianie wielości fizycznej, tórą nazywamy energią inetyczną ciała. E mv s E E E p gzie E p jest energią inetyczną początową a E - ońcową

2 W równaniu bęącym efinicją pracy występuje iloczyn salarny. atem wyonana praca zależy nie tylo o ziałającej siły i przemieszczenia, lecz taże o ąta pomięzy wetorem siły i wetorem przemieszczenia. Wizimy tutaj truność zefiniowania pracy, gy przemieszczenie występuje w ługim czasie ziałania siły (wtey może zmieniać się wartość siły oraz jej ierune wzglęem przemieszczenia) W s s cos auważmy, że jeśli na jaimś ocinu ąt mięzy wetorem ziałającej siły, a wetorem przemieszczenia wynosi 90 to praca na tym ocinu nie jest wyonywana, czyli wynosi 0. Gy przemieszczenie następuje o sończoną wartość, powiezmy o puntu 1 o puntu (patrz rysune), wtey tor po tórym nastąpiło przemieszczenie możemy pozielić na ta małe części, że możemy przyjąć, iż przemieszczenie na ażej z tych części ma stały ierune, a siła ma stały ierune i stałą wartość. Pracę wyonaną pomięzy puntem 1, a puntem możemy wyrazić wtey jao sumę wszystich prac wyonanych na poszczególnych małych częściach toru: W 1 i i s i 1

3 Siły zachowawcze i niezachowawcze Dla pewnych rozajów sił praca przez nie wyonana nie zależy o ształtu toru po jaim porusza się ciało. Dla przypau na rysunu poniżej oznacza to, że praca wyonana na roze A bęzie taa sama ja praca wyonana na roze B. Nie ma znaczenia tu ani ształt toru ani całowita ługość rogi. Siły, la tórych praca nie zależy o rogi, po tórej następuje przemieszczenie ciała, a jeynie o położenia początowego i ońcowego, nazywamy siłami zachowawczymi. Pozostałe oreślamy mianem sił niezachowawczych. 1 A Dla sił zachowawczych (oznaczmy je przez z ) możemy wprowazić pewną funcję, tóra bęzie charateryzowała ciało w puncie 1 i w puncie, a praca tej siły przy przemieszczeniu o puntu 1 o bęzie równa różnicy wartości tej funcji w puncie 1 i. ą funcję nazywamy energią potencjalną ciała i ozn. E p. B W E E 1 p1 p E p (Szczegółowa postać wzoru na funcję energii potencjalnej, bęzie zależała o rozaju siły zachowawczej) Siły, tóre nie posiaają wyżej omówionej własności, nazywamy siłami niezachowawczymi (oznaczmy je przez nz ) Przyłaem siły niezachowawczej jest siła tarcia inetycznego. Wartość tej siły jest równa: f N, gzie f - współczynni tarcia, N siła nacisu. Siła ta jest styczna o toru i przeciwnie sierowana o przemieszczenia, więc praca tej siły zależy w sposób oczywisty o ługości rogi.

4 Moc Moc jest szybością wyonywania pracy. Śrenia moc (np. ostarczana przez jaieś urzązenie) jest równa całowitej pracy wyonanej pozielonej przez całowity czas w jaim ta praca została wyonana. W P t Jenostą mocy jest 1J/s=1W (wat) Moc chwilowa jest zefiniowana jao stosune pracy wyonanej w czasie t la t ążącego o 0. W P gy t 0 t

5 Prawo powszechnego ciążenia opisuje siłę z jaą oziałują wie masy puntowe oalone o r. Kierune i zwrot siły grawitacji, bo ta ją oreślamy, jest przestawiony na rysunu. m1m 1 G r G jest stałą grawitacji a r oległością mięzy masami (w przypau ciał ulistych mięzy śroami tych mas). G m g s Pole Grawitacyjne Możemy powiezieć, że obiet posiaający masę wytwarza woół siebie pole grawitacyjne i za pośrenictwem tego pola oziałuje na inny obiet obarzony masą, tóry znajuje się w pewnej o niego oległości. W taim przypau wygonie jest wprowazić pewną wielość, tóra bęzie charateryzowała to pole, a ciało bęące przyczyną tego pola nazwać źrółem pola grawitacyjnego. Jeżeli ciało o masie M jest źrółem pola i w tym polu umieścimy ciało o niewieliej masie m, to możemy zefiniować wielość (wetorową), tórą nazwiemy natężeniem pola grawitacyjnego: m m 1 1 r 1 m powyższej efinicji natężenia pola grawitacyjnego wynia, że ma ono tai sam ierune i tai sam zwrot ja wetor siły grawitacji. Ponieważ la ciała na powierzchni iemi Mm G mg M to wartość natężenia pola grawitacyjnego jest równa przyspieszeniu grawitacyjnemu na powierzchni iemi: g G

6 Siła grawitacyjna jest siłą zachowawczą. Energia potencjalna ciała o masie m znajującego się w polu grawitacyjnym iemi (lub innej planety) można wyrazić wzorem: Mm E p G r Przyjmujemy onwencję w ramach tórej energia potencjalna w niesończenie użej oległości (r) wynosi 0. Jeżeli ciało porusza się w małej oległości o powierzchni iemi, wtey możemy posłużyć się przybliżonym wzorem na energię potencjalną w postaci: gzie h jest wysoością, na tórej znajuje się ciało liczonej wzglęem powierzchni iemi lub innego, zbliżonego o powierzchni iemi (planety), poziomu oniesienia. Należy E p mgh pamiętać, że powyższe przybliżenie jest słuszne tylo gy oległość h jest użo mniejsza o oległości o śroa iemi (h<< z ) Ciało, tóremu naamy pręość na powierzchni iemi może spaść na iemię, może zacząć orążać iemię po orbicie o stałym promieniu lub opuścić zupełnie pole przyciągania ziemsiego. Pręość jaą należy naać ciału, by orążało iemię po orbicie o stałym promieniu o promieniu zbliżonym o promienia iemi, nazywamy pierwszą pręością osmiczną aby opuściło pole przyciągania ziemsiego rugą pręością osmiczną. v I GM v I g 7 9. m / s Wartość pierwszej pręości osmicznej możemy uzysać przyrównując siłę grawitacji o siły ośroowej: mm G r mvi r czego otrzymujemy la r = : v Wartość rugiej pręości osmicznej jest minimalna pręością ucieczi z pola grawitacyjnego iemi. v II Energia inetyczna ciała opuszczającego pole grawitacyjne iemi musi być co najmniej równa energii potencjalnej na powierzchni iemi mm mvii G GM g 11. II m / s

7 Prawa Keplera 1. Pierwsze prawo Kelpera: Wszystie planety poruszają się po orbitach w ształcie elipsy, w tórej ognisu znajuje się Słońce. Drugie prawo Kelpera: Linia łącząca planetę ze Słońcem zareśla w jenaowych ostępach czasu jenaowe pola powierzchni orbity.. rzecie prawo Kelpera: Kwarat oresu ruchu ażej planety na orbicie woół Słońca jest proporcjonalny o sześcianu półosi wieliej tej orbity. m M

8 aanie 1. Ciało o masie m rozpęzono o pręości v, ziałając stałą siłą, ja na rys. Jaą rogę przebyło ciało i jaą pracę wyonała siła tarcia? Współczynni tarcia wynosi f. ozwiązanie aznaczamy siły ziałające na ciało: Siła tarcia Siła reacji położa g = mg Siła ciężości Siłę rozłaamy na słaową poziomą s i pionową n : n = sinα s = cosα Słaowe pionowe sił równoważą się: sin mg n g Słaowe poziome sił nie równoważą się w ierunu poziomym ziała siła wypaowa równa s, tóra na roze s wyonuje pracę równą energii inetycznej nabytej przez ciało: Siła tarcia równa jest iloczynowi współczynnia tarcia i siły nacisu (równej sile reacji położa) : f f mg sin Praca wyonana przez siłę tarcia: W s s cos 180 mv [ cos (f mg sin )] s mv s [ cos (f mg sin )] 0 f mv W E ( s mv s) mv mg sin cos f mg sin

9 aanie. Ciało o masie m należy przesunąć ze stałą pręością z postawy na szczyt równi pochyłej, tórej wysoość wynosi h i ługość. Ciało jest pchane siłą równoległą o równi. Jaą pracę wyona taa siła. arcie zaniebujemy. ozwiązanie Wypaowa siła równoległa o równi wynosi zero, ponieważ ruch po równi obywa się ze stałą pręością. Możemy to zapisać równaniem: h mg mgsin 0 h sin powyższych równań otrzymujemy wyrażenie na siłę (tóra wyonuje pracę polegającą na przesuwaniu ciała) mgh Siła ziała w ierunu wzłuż równi. ai sam ierune ma wetor przesunięcia ciała, co oznacza, że ąt pomięzy siły i wetorem przesunięcia wynosi 0. W cos 0 mgh wróćmy uwagę, że wyni ten jest ientyczny o tego, jai byśmy otrzymali przy ponoszeniu ciała na wysoość h bez równi pochyłej. Przy zastosowaniu równi siła potrzebna na uniesienie ciała jest jena mniejsza.

10 aanie. Motocyl o mocy 75W jezie z pręością 90m/h. Jaa jest siła ciągu silnia motocyla? ozwiązanie Siła ciągu silnia motocyla jest sierowana poziomo poobnie ja jego przemieszczenie. Wychoząc z wyrażenie na pracę możemy zapisać siłę ciągu jao: W s gzie s jest elementem przemieszczenia, a W jest pracą wyonaną na ocinu s przez siłę. Praca ta może być wyznaczona na postawie znanej mocy motocyla. W Pt gzie t jest czasem ziałania siły (i wyonywanie pracy W). Wstawiając wyrażenie na W o poprzeniego równania mamy: Pt P s v Po postawieniu anych liczbowych ostajemy 75W 000N 5m / s

11 aanie 4. eorzista świata Hossein ezazaeh poniósł poczas igrzys olimpijsich ciężar o łącznej masie m=6g na wysoość =. metra. Jaą pracę wyonała siła ciężości poczas źwigania ciężaru, a jaą wyonała siła przyłożona przez sztangistę? g ozwiązanie Pracę obliczamy z efinicji: W g mg cos g gzie ąt jest ątem pomięzy wetorem, a wetorem g Kąt pomięzy wetorem g a wetorem wynosi 180, zatem: W g mg mg cos mg 5 9. J Praca wyonana przez siłę ciężości jest więc ujemna Nie znamy siły jaą Hossein ezazaeh przyłożył o sztangi poczas bicia reoru świata, ale wiemy, że sztanga była w spoczynu na początu i na ońcu ruchu. Ponieważ całowita praca (wyonana przez siłę ciężości i przez sztangistę) jest równa zmianie energii inetycznej sztangi możemy zapisać: E E E p W W powyższego wyrażenia wynia, że praca wyonana przez sztangistę W s = -W g. Praca wyonana poczas bicia reoru świata przez siłę przyłożoną przez sztangistę: g W S 5 9. J S 0 wróćmy uwagę, że praca wyonywana poczas trzymania sztangi nieruchomo na głową ( = 0) wynosi 0.

12 aanie 5. Wina o masie 00g zjeżża w ół z pręości m/s. W pewnym momencie lina potrzymująca winę zaczyna ślizgać się i w efecie wina zaczyna spaać ze stałym przyspieszeniem a = g/4. Jaą pracę wyonała siła ciężości poczas spau winy na roze 10m? Ile wynosi praca wyonana przez silę naciągu liny poczas taiego spau? Ile poczas taiego spau wynosiła całowita praca wyonana na winą? y N g ozwiązanie Praca wyonana przez siłę ciężości wynosi: Wg g mg cos 0 mg 9 4. J Siłę naciągu liny możemy otrzymać zapisując rugie prawo ynamii Newtona la winy w jenowymiarowym ułazie oniesienia ze zwrotem w górę: N g ma N ma mg m a g Praca wyonana przez siłę naciągu liny N: Postawiając a=-g/4 (przyspieszenie winy jest sierowane przeciwnie o zwrotu przyjętego ułau oniesienia): N m g / 4 g mg 4 W N N mg cos mg 05. J 4 4 Całowita praca wyonana na winą jest sumą pracy wyonanej przez siłę ciężości i siły naciągu liny : W Wg WN 9.4J.05J 7. 5J

13 aanie 6. ałaając, że masa Księżyca jest n razy mniejsza o masy iemi, obliczyć ile razy łużej spaa ciało z tej samej wysoości na Księżycu w stosunu o iemi. Przyjąć gęstość masy iemi i Księżyca jao jenaowe. g t h gt h ozwiązanie n n M G M G g g t t 1 n M M Wysoości z jaich spaa ciało są taie same. Możemy zapisać je jao rogi w ruch jenostajnie przyspieszonym: Obliczając stosune czasu spaania na Księżycu o czasu spaania na iemi mamy: gzie przez n oznaczyliśmy stosune masy iemi o masy Księżyca. Stosune mas jest równy stosunowi promieniu obu ciał niebiesich w trzeciej potęze (wynia to wyrażenia na objętość uli i założenia o jenaowej gęstości iemi i Ksieżyca): n n n t t Wyorzystując powyższe wyrażenie otrzymujemy:

14 aanie 7. Śrenia oległość planety Wenus o Słońca wynosi W = m, iemi = m, a Marsa M = m. Obliczyć oresy obiegu Wenus i Marsa oooła Słońca. ozwiązanie trzeciego prawa Keplera la Wenus i iemi wynia: W W Postawiając =1 ro mamy: lat. W W Stosując analogiczne rozumowanie la Marsa mamy: lat. M M 88 1

15 aania o samozielnego rozwiązania 1. Człowie pcha paczę o ciężarze 70N po poziomej połoze, siłą sierowaną w ół po ątem 45 o poziomu, przesuwając ją ze stałą pręością na oległość 9.1m. Współczynni tarcia o położe wynosi 0.. Jaą pracę wyona człowie. (Op.:W = 614J). Kamień o masie 0,5 g rzucono z wysoości 50 m po pewnym ątem o poziomu z pręością początową v 0 =10m/s. Kamień upał na ziemię z pręością 0m/s. Jaą pracę wyonała siła oporu powietrza? (Op.:W=170J). Jaą pracę należy wyonać, aby przesunąć o metry srzynię o masie 1000 g po równi pochyłej o ącie nachylenia 45. aniebać tarcie srzyni o równię. (Op.:W = 1.9J) 4. Oblicz pracę jaą musi wyonać człowie chcący przesunąć ciało o masie m=100 g wzłuż równi pochyłej o ącie nachylenia 0 na wysoość 10m. Współczynni tarcia ciała o równię wynosi f=0.1. Jaa część pracy została zużyta na poonanie siły tarcia (Op.:W = 11.5J, z czego 14.8% zostało zużyte na poonanie tarcia) 5. Ciężar o masie m wiszący na sznuru zostae spuszczony z wysoości pionowo w ół ze stałym przyspieszeniem równym g/4. Jaą pracę wyonała lina? (Op.:W = -Mg/4) 6. Osioł ciągnie wóz po górę, tórej zbocze nachylone jest po ątem o poziomu. Masa sań wynosi M, a poruszają się one ze stałą pręością v. jaą mocą pracuje osioł ciągnąc wóz po górę. Współczynni tarcia ół wozu o położe wynosi f. (Op.: P = Mgv(sin +fcos )) 7. Poróżni o masie 75 g i niosący pleca o masie 5 g w czasie gozin poonał przełęcz wznosząc się przy tym o 700m. Jaą pracę wyonał poróżni i jaa była jego śrenia moc? (Op.:W = 686J, P = 95.W) 8. Człowie o masie 80g wbiega na schoy wznosząc się o 4m co seuny. Jaą śrenią moc zużywa człowie? (Op.:P = 1045W) 9. Eletrownia wona wyorzystuje 75% energii inetycznej spaającej z wospau woy. Woospa ma wysoość 100m i przepływa przez niego w ażej seunzie 100m woy. Jaą moc prouuje eletrownia? (Op.:P= W) 10. Siła potrzebna o ciągnięcia przyczepy samochoowej ze stałą pręością jest proporcjonalna o jej pręości. Jaa moc jest potrzebna o ciągnięcia przyczepy ze stałą pręością równą 1m/h, jeśli o ciągnięcia przyczepy z pręością 4 m/h potrzebna jest moc 760W? (Op.:P = 66.W) 11. Oblicz masę iemi przyjmując jej promień r=670m. (Op.:M = g) 1. jaą siłą przyciągają się wa lotnisowce, aży o masie 100 tysięcy ton, oaleone o 100m o siebie? (Op.:=66.7N) 1. Jaa jest wartość przyspieszenia ziemsiego na szczycie góry Mont Everst (8848m). Śreni promień iemi wynosi 670m (Op.:g = 9.77m/s )

16 14. Na amień o masie 15g, początowo znajujący się w spoczynu ziała stała siła wypaowa równa 5N. Oblicz prac wyonane przez tą siłę w pierwszej, rugiej i trzeciej seunzie ruchu. (Op.:W 1 = 0.8, W =.5, W = 4.J) 15. jaiej wysoości musiałby spaść samochó aby miał energię inetyczną równą energii jaą ma jaąc z pręością 100m/h?. (Op.: h = 9m) 16. Ja zależy o szeroości geograficznej wartośc przyspieszenia ziemsiego jeśli wartość na równiu wynosi g 0? (Op.: Na sute ziałania siły ośroowej przyspieszeni ziemsie zależy o oległości o osi obrotu. ależność o szeroości geograficznej wyraża się wzorem g = g 0 - cos, gzie jest promieniem iemi o pręością ątową jej obrotu) 17. Jaiego przyspieszenia bęą oznawać spaające swobonie obiety na planetoizie o śrenicy 0m? ałaamy, że gęstość planetoiy jest taa sama ja gęstość iemi i że iemia ma śrenicę 1740m. (Op.:g=.cm/s ) 18. Masa Księżyca wynosi 1/81 masy iemi. Stosune promieni Księżyca i iemi wynosi /11. jaim przyspieszeniem spaają ciała tuż przy powierzchni Księżyca? (Op.: a = 1,6m/s ) 19. W jaiej oległości o śroa iemi znajuje się punt, w tórym natężenia pól grawitacyjnych iemi i Księżyca są równe co o wartości (wyorzystać ane z poprzeniego zaania)? Oległość iemia-księżyc wynosi m (Op.: x = 45600m) 0. Dwie gwiazy o masach m znajujące się w oległości r o siebie tworzą gwiazę powójną. Jaa jest pręość ołowa obrotu gwiazy powójnej? (Op.: Gm 4r