SYMULACJA DRGAŃ PROMIENIOWEGO ŁOŻYSKA TOCZNEGO

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 45, t. 14, rok 2012 ISSN X SYMULACJA DRGAŃ PROMIENIOWEGO ŁOŻYSKA TOCZNEGO Robert Kostek 1a 1 Wydział Inżynierii Mechanicznej, Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy a robertkostek@o2.pl Streszczenie W artykule przedstawiono model matematyczny drgań łożyska tocznego oraz wyniki obliczeń numerycznych. Drgania łożyska wzbudzane są przez przemieszczające się elementy toczne, które zamodelowano jako nieliniowe elementy sprężyste. Występujące drgania są parametryczne, nieliniowe i kontaktowe, ponieważ pomiędzy bieżniami a elementami tocznymi występuje nieliniowy kontakt Hertza. Zaobserwowano dla badanego modelu drgania okresowe poliharmoniczne. SIMULATION OF VIBRATIONS OF RADIAL BALL BEARING Summary In this article mathematical model of vibrations of ball bearing and results of simulations are presented. The rolling elements, which circulate, excite the parametric vibrations. The rolling elements are modelled as non-linear spring elements. Thus the vibrations can be considered as non-linear, contact and parametric, because of nonlinear Hertz contact. Periodical multiharmonic vibrations have been observed. 1. WSTĘP Łożyska toczne są modelowane jako równoległe połączenie liniowej sprężyny i liniowego tłumika, czyli ciało Kelvina-Voigta [1, 2]. Taki model prowadzi do liniowych różniczkowych równań ruchu, które można łatwo rozwiązać. W tym ujęciu łożysko toczne jest sprowadzone do elementu który nie wzbudza drgań, lecz jedynie je tłumi. Kontakt Hertza natomiast ze swej natury jest nieliniowy, a więc i łożysko toczne ma nieliniową charakterystykę [3]. Przyjęcie nieliniowej charakterystyki kontaktu prowadzi do nieliniowych różniczkowych równań ruchu, które rozwiązywane są metodami numerycznymi. Nieliniowy model łożyska jest dokładniejszy od liniowego, natomiast koszt obliczeń jest znacznie wyższy. Łożyska toczne były modelowane przez wielu badaczy jako układy nieliniowe [4-15], również taki model łożyska został przyjęty w pracy. Poza przedstawieniem nieliniowego modelu łożyska tocznego zaprezentowano także wyniki obliczeń numerycznych dla wybranych wartości luzu. Przedstawiono także drgania okresowe poliharmoniczne oraz trajektorie osi wału dla wybranych wartości luzów. 2. MODEL ŁOZYSKA TOCZNEGO Łożysko promieniowe kulkowe jednorzędowe zamodelowano jako układ sprężysto-tłumiący (rys. 1). Masę skupiono w środku bieżni wewnętrznej (środku czopa wału), masę kulek pominięto, natomiast bieżnię zewnętrzną zamocowano w nieodkształcalnej obudowie. W takim ujęciu elementy toczne stają się nieważkimi nieliniowymi elementami sprężystymi. Bieżnia wewnętrzna obraca się w kierunku przeciwnym do kierunku obrotów wskazówek zegara, co wywołuje ruch obrotowy elementów tocznych oraz koszyka. Ruch części 82

2 Robert Kostek tocznych wzbudza drgania układu, co opisano wzorami matematycznymi poniżej. a) gdzie: δ n oznacza sumę penetracji n-tego elementu tocznego, d średnice kulki, D1 średnice bieżni wewnętrznej, D2 średnice bieżni zewnętrznej, x1, y1 składowe położenia środka bieżni wewnętrznej, α - położenie kątowe kulki (elementu tocznego), Rn silę sprężystości przenoszona przez n-ty element toczny [N], K stałą sprężystości [N/m 1.5 ]. Wzory (1) i (2) są przeliczane dla każdego elementu tocznego. Siłę tłumienia opisano natomiast następującymi wzorami F dx = - x& c, (3) F dy = - y& c, (4) b) gdzie: Fdx, Fdy oznaczają składowe siły tłumienia [N], x&, y& - składowe prędkości osi wału [m/s], natomiast c - reprezentuje współczynnik tłumienia c = 200 [(Ns)/m]. Taki model siły tłumienia i wartość współczynnika tłumienia c przyjęto w kilku pracach [5, 8, 9, 16]. Z kolei silę oporu toczenia zamodelowano prostą zależnością F ot n = R n µ, (5) gdzie: Fot n - oznacza siłę oporu toczenia działającą na n-ty element toczny, a µ - oznacza współczynnik oporu toczenia. Ostatecznie uzyskuje się różniczkowe równania ruchu przedstawione poniżej & x& = m -1 ( F x - x& c + ΣF otx n + ΣR x n ), (6) & y& = m -1 ( F y - y& c + ΣF oty n + ΣR y n ). (7) Rys. 1. Modelowane łożysko toczne a) modelowane [17] b) model fizyczny łożyska W prezentowanym modelu łożyska tocznego uwzględniono siły obciążenia zewnętrznego, bezwładności, sprężystości, tłumienia i oporu toczenia. Łożysko obciążone jest siłą zewnętrzną F o stałej wartości, kierunku i zwrocie. Siła bezwładności opisana jest prawami dynamiki Newtona. Siły sprężystości Rn są z kolei wynikiem odkształceń bieżni i elementów tocznych. Metoda obliczeń sił kontaktowych została opisana w literaturze [3]. Po przekształceniach siłę sprężystości można opisać następującymi wzorami gdzie: m oznacza masę przyporządkowaną bieżni wewnętrznej (osi wału). Równania te rozwiązano wykorzystując metody numeryczne. Więcej informacji na temat modelu łożyska tocznego podano w pracach [8, 9]. 3. SYMULACJA DRGAŃ ŁOZYSKA TOCZNEGO Do obliczeń przyjęto łożysko Kompletne dane symulowanego układu przedstawiono w tabeli 1. δ n = d+0.5d 1-0.5D 2 +x 1 cosα+y 1 sinα, (1) if δ n > 0 R n = K δ 1.5 n else R n = 0, (2) 83

3 SYMULACJA DRGAŃ PROMIENIOWEGO ŁOŻYSKA TOCZNEGO Tabela 1. Dane przyjęte do obliczeń [8, 9] a) Opis zmiennej Symbol Wartość Jednostka średnica kulek d 6.75 mm liczba kulek n 8 średnica bieżni wewnętrznej D mm średnica południka bieżni D 1p 6.89 mm wewnętrznej średnica południka bieżni zewnętrznej D 2p 6.89 mm modul Younga E 2.0e+5 współczynnik Poissona ν 0.3 współczynnik tarcia µ t tocznego MPa współczynnik tłumienia c 200 (Ns)/m składowa pionowa siły F y -950 N obciążającej składowa pozioma siły obciążającej F x 0 N prędkość obrotowa wału n o 1500 obr/min masa przyporządkowana m 3 kg bieżni wewnętrznej b) W pierwszym etapie przeprowadzono symulacje drgań łożyska tocznego dla wartości luzu równej l=0µm (rys. 2). Uzyskane przebiegi czasowe nie są sinusoidalne, lecz mają poliharmoniczny charakter. Na wykresach przebiegów czasowych przemieszczeń dominuje pierwsza harmoniczna, której okres jest równy okresowi wzbudzenia parametrycznego. Okres ten jest równy, w tym przypadku, jednej ósmej czasu obrotu koszyka z kulkami. Natomiast na wykresach prędkości i przyśpieszeń zwiększa się udział wyższych harmonicznych, które są związane z częstotliwościami własnymi łożyska. Częstotliwości własne są około dziesięć razy większe od częstotliwości wzbudzenia. W konsekwencji na rys. 2e widać wyraźnie okresowo powtarzające się wzbudzenie drgań, a następnie zanik drgań wywołany tłumieniem. Zauważyć można także asymetrię przebiegów czasowych. c) d) 84

4 Robert Kostek e) a) f) b) Rys. 2. Przebiegi czasowe drgań osi wału, uzyskane dla wartości luzu l = 0[µm] Przeprowadzono następnie obliczenia dla wartości luzu równej l=50µm (rys. 3). Uzyskane przebiegi czasowe mają wyraźnie większe amplitudy drgań, drgania te są także bardziej nieliniowe od poprzednich. Udział wyższych harmonicznych jest przez to większy, co skutkuje bardziej złożonym kształtem przebiegów czasowych. Dlatego interpretacja uzyskanych przebiegów czasowych jest trudna. Można jednak zauważyć, podobnie jak poprzednio (rys. 2b, 3b), unoszenie i opuszczenie się środka wału, pod wpływem przemieszczających się kulek i zanikające drgania wzbudzone przez to zjawisko (rys. 3f). Warto zwrócić uwagę na fakt, że dla obydwu przypadków obliczeniowych amplituda drgań w kierunku osi X jest znacznie większa aniżeli amplituda w kierunku osi Y, co wynika z większej podatności łożyska w kierunku osi X. c) d) 85

5 SYMULACJA DRGAŃ PROMIENIOWEGO ŁOŻYSKA TOCZNEGO e) a) f) b) Rys. 3. Przebiegi czasowe drgań osi wału, uzyskane dla wartości luzu l = 50[µm] Kolejne obliczenia przeprowadzono dla luzu l=100µm. Uzyskane przebiegi czasowe są okresowe, drgania te mają jednak bardzo złożoną kinematykę. Na przebiegach czasowych przemieszczeń występuje wiele ekstremów lokalnych, podobne na przebiegach czasowych prędkości i przyśpieszeń. Na przebiegu czasowym przyśpieszeń w kierunku osi Y (rys. 4f) trudno wskazać wyraźny obszar w którym drgania te są wzbudzane a następnie tłumione. Natomiast na rys. 4e obszary te można wyróżnić. Podobnie jak poprzednio, drgania w kierunku osi X mają większą amplitudę od drgań w kierunku osi Y. Ponadto zwiększenie luzu wywołało zwiększenie amplitudy drgań. Drgania tego układu, mimo że posiada on tylko dwa stopnie swobody i jest wyidealizowanym modelem łożyska tocznego, są daleko bardziej złożone aniżeli drgania układu liniowego o dwóch stopniach swobody, co widać na przedstawionych rysunkach (rys. 2-4). Model liniowy nie jest w stanie odwzorować takich zjawisk. c) d) 86

6 Robert Kostek e) f) Rys. 4. Przebiegi czasowe drgań osi wału, uzyskane dla wartości luzu l = 100[µm] Analiza trajektorii jest wykorzystywana z powodzeniem do badania dynamiki łożysk ślizgowych i maszyn wirnikowych, dlatego wykorzystano ją do badania dynamiki łożysk tocznych. Wykonano obliczenia dla czterech wartości luzu: l=0[µm], l=50[µm], l=100[µm] i l=150[µm]. Wyniki obliczeń przedstawiono na rys. 5. Zaobserwowano zwiększenie amplitudy drgań w kierunku osi X oraz w kierunku osi Y. Wraz ze zwiększeniem wartości luzu kształt trajektorii staje się coraz bardziej złożony. Początkowo dla luzu l=0[µm] trajektoria osi wału przypomina elipsę, jednak zwiększenie wartości luzu do l=50[µm] powoduje, że poza główną pętlą pojawiają się także mniejsze pętelki. Dla tych dwu wartości luzu oś wału wykonuje ruch w kierunku przeciwnym do obrotu wskazówek zegara. Natomiast dla wartości luzu l=100[µm] oś wału wykonuje ruch w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, ponadto trajektoria ta ma złożony kształt. Ostatnią symulację przeprowadzono dla wartości luzu l=150[µm]. Kształt tej trajektorii jest bardzo złożony, co wynika ze złożonej kinematyki drgań. Trudno mówić w tym wypadku o kierunku, w którym oś wału zatacza pętle. Rys. 5. Trajektorie osi wału obliczone dla czterech wartości luzu promieniowego: l=0[µm] a), l=50[µm] b), l=100[µm] c), l=150[µm] d) 87

7 SYMULACJA DRGAŃ PROMIENIOWEGO ŁOŻYSKA TOCZNEGO 4. PODSUMOWANIE W pracy przedstawiono nieliniowy model łożyska tocznego, który został wykorzystany do obliczeń numerycznych. Przeprowadzono symulacje drgań dla wybranych wartości luzów. Uzyskane przebiegi czasowe drgań stają się coraz bardziej złożone wraz ze zwiększeniem wartości luzu, co jest efektem coraz większej nieliniowości badanego układu. Wraz ze zwiększeniem wartości luzu zaobserwowano także wzrost amplitud drgań. Zauważono ponadto, że wraz ze zwiększeniem wartości luzu trajektorie osi wału stają się coraz bardziej złożone. Wymienione zjawiska mogą zostać wykorzystane do diagnozowania stanu łożysk. Reasumując, uzyskane wyniki są obiecujące, dlatego badania będą kontynuowane [18]. Literatura 1. Marchelek K.: Dynamika obrabiarek. Warszawa: WNT, Witek A.: Identification method of the dynamic stiffness of rolling bearings. Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji 2004, vol. 24, nr 2, s Krzemiński-Freda H.: Łożyska toczne. Warszawa: PWN, Datta J., Farhang K.: A nonlinear model for structural vibration in rolling element bearings. Part I and II. ASME Journal of Tribology 1997, Vol. 119, No. 1, p d. 5. Harsha S.P., Sandeep K., Prakash R.: The effect of balanced rotor on nonlinear vibrations associated with ball bearings. International Journal of Mechanical Sciences 2003, Vol. 45, No. 4, p Harsha S.P.: Nonlinear dynamic response of a balanced rotor supported by rolling element bearings due to radial internal clearance effect. Mechanism and Machine Theory 2006, Vol. 41, No. 6, p Jang G., Jeong S.W.: Vibration analysis of a rotating system due to the effect of ball bearing waviness. Journal of Sound and Vibration 2004, Vol. 269, No. 3 5, p Kostek R., Landowski B.: Próba opisu drgań łożyska tocznego. Problemy naukowe młodych w obszarze budowy i eksploatacji maszyn. W: Materiały ze spotkania Warsztaty Młodych pod red. B. Żółtowskiego i J. Szafrańskiego. Bydgoszcz, Bydgoszcz: Wydział Mechaniczny ATR w Bydgoszczy, Zespół Środowiskowy SPE KBM PAN w Gdańsku, s Kostek R.: Komputerowa symulacja i analiza drgań nieliniowych w poszukiwaniu symptomów diagnostycznych. Praca magisterska. ATR w Bydgoszczy, Leblanc A., Nelias D., Defaye C.: Nonlinear dynamic analysis of cylindrical roller bearing with flexible rings. Journal of Sound and Vibration 2009, Vol. 325, No. 1-2, p Nataraj C., Harsha S.P.: The effect of bearing cage run-out on the nonlinear dynamics of a rotating shaft. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 2008, Vol. 13, No. 4, p Rahnejat H., Gohar R.: The vibrations of radial ball bearings. In: Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 1985, Vol. 199, No. C3, p Singh R., Lim T.C.: Vibration transmission through rolling element bearings in geared rotor system. Ohio State University, NASA Grant No. NAG 3-773, Final Report - Part I, RF Project /719176, December Villa C.V.S., Sinou J.J., Thouverez F.: Investigation of a rotor- bearing system with bearing clearances and Hertz contact by using a harmonic balance method. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering 2007, Vol.29, No. 1, p Wensing J.A.: On the dynamics of ball bearings. PhD thesis, University of Twente, Enschede, The Netherlands,

8 Robert Kostek 16. Purohit R.K., Purohit K.: Dynamic analysis of ball bearings with effect of preload and number of balls. International Journal of Applied Mechanics and Engineering 2006, Vol.11, No. 1, p Kostek R.: Simulation and analysis of vibration of rolling bearing. Key Engineering Materials (w druku) Pracę zrealizowano w ramach projektu nr WND-POIG /09 89