WPŁYW NIELINIOWO CI KWADRATOWEJ NA DYNAMIK UKŁADU MECHANICZNEGO O JEDNYM STOPNIU SWOBODY CZ II DRGANIA WYMUSZONE

Transkrypt

1 WPŁYW NIELINIOWO CI KWADRATOWEJ NA DYNAMIK UKŁADU MECHANICZNEGO O JEDNYM STOPNIU SWOBODY CZ II DRGANIA WYMUSZONE ROBERT KOSTEK Streszczenie W artykule tym przedstawiono wpływ nieliniowo ci kwadratowej, siły spr ysto- ci na dynamik układu mechanicznego. W tej cz ci badano drgania wymuszone siłowo. Zaobserwowano w badanym układzie: asymetryczne drgania niesinusoidalne, wpływ amplitudy drga na cz stotliwo ci rezonansowe, ograniczenie amplitudy drga, ultraharmoniczne rezonanse, bifurkacje, stabilne i niestabilne rozwi zania. Wymienione zjawiska nie s obserwowane w układach liniowych, dlatego modele liniowe nie powinny by stosowane do opisu układów nieliniowych. Słowa kluczowe: dynamika nieliniowa, nieliniowo kwadratowa Wprowadzenie Równanie ró niczkowe opisuj ce drgania wymuszone przedstawiono poni ej: 2 d x F = 2 dt m dx ( Fs ( x) + Fd ( ) dt w 1 = m + Fe ( t)), (1) 2 gdzie: x oznacza przemieszenie ciała m, t czas s, d x a, x, przy pieszenie ciała m/s 2, 2 dt dx v, x, pr dko ciała m/s, F s sił spr ysto ci N, F d sił tłumienia, natomiast F e jest sił dt wymuszaj c. Równanie to opisuje drgania w sposób symboliczny, poniewa siły nie zostały zdefiniowane jako konkretne funkcje. Kluczowym zagadnieniem w przypadku modelowania dra jest wła ciwe zamodelowanie sił. Sił spr ysto ci przyjmuje si jako funkcj przemieszenia, natomiast siła tłumienia jest przyjmowana jako funkcja pr dko ci. Te dwie siły s kluczowe w modelowaniu drga. Kolejne dwie to siła wymuszaj ca, która jest modelowana jako funkcja czasu i siła bezwładno ci. Siła tłumienia rozprasza energie, natomiast siła wymuszaj ca uzupełnia ubytki energii. Warto zauwa y, e siła spr ysto ci i siła bezwładno ci s skierowane przeciwnie dla drga swobodnych i rezonansowych. Je li funkcje opisuj ce siły spr ysto ci i tłumienia s liniowe, wtedy drgania s liniowe, w przeciwnym przypadku s nieliniowe. Badany układ jest nieliniowy poniewa siła spr ysto ci jest nieliniowa, zawiera ona bowiem wyraz który ro nie w kwadracie przemieszenia. Badane równanie ró niczkowe zostało przedstawione poni ej: 2 d x 1 2 dx = m ( k1x k2x c + F max sin(2 f t)) 2 e π, e dt dt (2) 99

2 Wpływ nieliniowo ci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego o jednym stopniu swobody cz II drgania wymuszone gdzie: k 1 oznacza współczynnik sztywno ci liniowej N/m, k 2 współczynnik sztywno ci nieliniowej N/m 2, c współczynnik tłumienia (Ns)/m, F emax amplitud siły wymuszaj cej N, f e cz stotliwo wymuszenia Hz. Równanie to zawiera jeden człon nieliniowy k 2x 2. W przypadku gdy k 2 =0 równanie to jest liniowe. Takie równanie umo liwia porównanie drga liniowych i nieliniowych. Model fizyczny badanego układu przedstawiono na rys. 1. Rysunek 1. Model układu drgaj cego siły : F s spr ysto ci, F d tłumienia i F e wymuszaj ca Celem tej pracy jest zaprezentowanie wpływu nieliniowo ci kwadratowej na dynamik układu oraz wykazanie e nieliniowo ci powinny by uwzgl dniane w modelowaniu dynamiki układów mechanicznych. 1. Przebiegi czasowe drga wymuszonych Jedn z podstawowych technik analizy drga jest analiza przebiegów czasowych, poniewa zawieraj one warto ciowe informacje. Drgania wymuszone mo na podzieli na podrezonansowe, rezonansowe i nadrezonansowe. Jako pierwsze zostan przebadane drgania podrezonansowe, które w przypadku drga liniowych bywaj traktowane jako quasistatyczne. Cz sto rezonansowa zlinearyzowanego układu wynosi ω r=1rad/s, co daje cz stotliwo f r=1/(2π)hz. Do bada przyj to cz stotliwo wymuszaj c, która wynosi f e=0,016(6)hz, jest wi c ona około dziesi razy mniejsza od cz stotliwo ci rezonansowej (rys. 2). Przebieg czasowy przemieszcze ma asymetryczn amplitud i nie jest sinusoidalny. Natomiast przebieg czasowy pr dko ci ma przesuni te maksima w stosunku do przebiegu sinusoidalnego, ma ponadto wi ksz amplitud. Wpływ nieliniowo ci i drga przej ciowych jest najlepiej widoczny na przebiegu czasowym przy piesze. Drgania nieliniowe maj ró ne amplitudy do dołu i do góry, maj tak e ekstrema o ró nym kształcie. Ekstremum pry pieszenia, które odpowiada progresywnej charakterystyce spr - ysto ci jest łagodniejsze, natomiast ekstremum odpowiadaj ce degresywnej charakterystyce jest bardziej szpiczaste. Warto ci przy piesze s bardzo małe, a ró nice przy piesze wynikaj z ró nej podatno ci spr yny dla ró nych zwrotów osi. Przebiegi czasowe drga przej ciowych szybko zanikaj, s one widoczne na wykresie pr dko ci i przy piesze, poniewa maj wi ksz cz stotliwo od wymuszenia. 100

3 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 2016 Rysunek 2. Przebiegi czasowe przemieszczenia, pr dko ci i przy pieszenia uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k 1=1, k 2=0,1, c=0,1, F emax=1, f e=0,016(6), x 0=0, v 0=0, (czarna lini i liniowego k 2=0 (szara lini 101

4 Wpływ nieliniowo ci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego o jednym stopniu swobody cz II drgania wymuszone Kolejne drgania zasymulowano dla nast puj cych danych: m=1, k 1=1, k 2=0,1, c=0,1, F emax=1, f e=1/(10π), x 0=0, v 0=0,2 (rys. 3). Cz stotliwo wymuszenia odpowiada jednej pi tej cz stotliwo ci rezonansowej, jest wi c daleko od rezonansu. Takie drgania powinny posiada mał amplitud, podobn do poprzednich i podobne przebiegi czasowe. Przebiegi czasowe przemieszcze s podobne, natomiast pozostałe przebiegi ró ni si. Inny kształt maj ekstrema przebiegu czasowego pr dko- ci. Natomiast na przebiegu czasowym przy piesze pojawiły si cztery ekstrema, podczas jednego okresu i drgania nieliniowe maj wi ksz amplitud. Jest to efekt pojawienia si wy szych harmonicznych. Jak model liniowy odwzorowuje te drgania mo na oceni na rys. 3c. Nast pny przykład prezentuje drgania tego samego układu, zasymulowane dla nast puj cej cz stotliwo ci wymuszenia f e=1/(8π) i warunków pocz tkowych x 0=0, v 0=0,25 (rys. 4). Przebieg czasowy przemieszcze pozostaje podobny do pierwszego, natomiast maksimum pr dko ci wyra nie zmieniło kształt. Najbardziej ró ni si od drga liniowych przebieg czasowy przy piesze, na którym wida sze ekstremów lokalnych podczas jednego okresu drga. Nale y wspomnie, e drgania te symulowano dla cz stotliwo ci wymuszenia, która jest równa jednej czwartej cz stotliwo ci własnej. Kolejne drgania symulowano dla cz stotliwo ci wymuszenia, która jest równa jednej trzeciej cz stotliwo ci własnej f e=1/(6π) (rys. 5). Drgania te s nadal daleko od rezonansu głównego jednak ró ni si znacz co od drga liniowych. Maksimum przebiegu czasowego ma charakterystyczny kształt, który wynika z wi kszej amplitudy wy szych harmonicznych. Podczas jednego okresu przebiegu czasowego pr dko ci pojawiaj si cztery ekstrema. Natomiast na wykresie przy piesze mo na zaobserwowa sze ekstremów podczas jednego okresu i wi ksze amplitudy dla drga nieliniowych. Sugeruje to e trzecia harmoniczna ma znaczn amplitud, co wpływa na kształty przebiegów czasowych. Nale y zaznaczy, e dla badanych przykładów siła nieliniowa spr ysto ci stanowiła około dziesi procent siły liniowej spr ysto ci, a mimo to zmieniła przebiegi czasowe. Nast pne wyniki uzyskano dla cz stotliwo ci wymuszenia, która wynosi f e=1/(4π), jest wi c równa połowie cz stotliwo ci własnej (rys. 6). Na przebiegu czasowym przemieszcze wida cztery ekstrema podczas jednego okresu drga. Ponad to amplituda drga nieliniowych jest wi ksza od amplitudy drga liniowych. Dla przebiegów czasowych pr dko ci zaobserwowano równie cztery ekstrema podczas jednego okresu drga i wyra nie wi ksz amplitud drga dla drga nieliniowych. To samo zaobserwowano na przebiegu czasowym przy piesze. Amplituda drga nieliniowych jest około dwa razy wi ksza od drga liniowych. Opisane zjawiska s wynikiem wzmocnienia drugiej harmonicznej. Podsumowuj c zaprezentowane wyniki nale y zaznaczy, e wzrost amplitudy drga i pojawienie si lokalnych ekstremów jest wynikiem rezonansu ultraharmonicznego. Rezonans ten polega na wzmocnieniu wy szych harmonicznych; nie jest on obserwowany dla układów liniowych, dlatego linearyzacja wprowadza bł dy. Rezonanse ultraharmoniczne pojawiaj si dla poni szych cz stotliwo ci: f rn = f n/n, (3) gdzie: f rn oznacza cz stotliwo rezonansow n-tego rezonansu, f n cz stotliwo własn układu, natomiast n liczb naturaln wi ksz od zera [1,2]. 102

5 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 2016 Rysunek 3. Przebiegi czasowe przemieszczenia, pr dko ci i przy pieszenia uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k 1=1, k 2=0,1, c=0,1, F emax=1, f e=1/(10π), x 0=0, v 0=0,2 (czarna lini i liniowego k 2=0 (szara lini 103

6 Wpływ nieliniowo ci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego o jednym stopniu swobody cz II drgania wymuszone Rysunek 4. Przebiegi czasowe przemieszczenia, pr dko ci i przy pieszenia uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k 1=1, k 2=0,1, c=0,1, F emax=1, f e=1/(8π), x 0=0, v 0=0,25 (czarna lini i liniowego k 2=0 (szara lini 104

7 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 2016 Rysunek 5. Przebiegi czasowe przemieszczenia, pr dko ci i przy pieszenia uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k 1=1, k 2=0,1, c=0,1, F emax=1, f e=1/(6π), x 0=0, v 0=1/3 (czarna lini i liniowego k 2=0 (szara lini 105

8 Wpływ nieliniowo ci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego o jednym stopniu swobody cz II drgania wymuszone Rysunek 6. Przebiegi czasowe przemieszczenia, pr dko ci i przy pieszenia uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k 1=1, k 2=0,1, c=0,1, F emax=1, f e=1/(4π), x 0=0, v 0=1/2 (czarna lini i liniowego k 2=0 (szara lini 106

9 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 2016 Rysunek 7. Przebiegi czasowe przemieszczenia, pr dko ci i przy pieszenia uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k 1=1, k 2=0,1, c=0,1, F emax=1, f e=1/(2π), x 0=0, v 0=0 (czarna lini i liniowego k 2=0 (szara lini 107

10 Wpływ nieliniowo ci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego o jednym stopniu swobody cz II drgania wymuszone Rysunek 8. Przebiegi czasowe przemieszczenia, pr dko ci i przy pieszenia uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k 1=1, k 2=0,1, c=0,1, F emax=1, f e=1/π, x 0=0, v 0=0 (czarna lini i liniowego k 2=0 (szara lini 108

11 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 2016 Nast pne obliczenia wykonano dla drga rezonansowych, tak przynajmniej si wydaje, poniewa cz stotliwo wzbudzenia wynosi f e=1/(2π) (rys. 7). Cz stotliwo ta odpowiada cz stotliwo ci drga swobodnych o małej amplitudzie. Układ liniowy rzeczywi cie jest w rezonansie, jego amplituda jest około dziesi razy wi ksza od odkształce statycznych. Natomiast drgania układu nieliniowego s o połow mniejsze. Nie jest on dokładnie w rezonansie, poniewa cz stotliwo własna przesun ła si w kierunku mniejszych cz stotliwo ci w wyniku wzrostu amplitudy; obserwowane s wi c drgania nadrezonansowe. Wida tak e przesuni cie fazowe w stosunku do drga liniowych. Zauwa y mo na, e amplitudy przemieszenia i przy pieszenia s ró ne, drgania s wi c asymetryczne. Kolejny przykład obliczeniowy dotyczy drga nadrezonansowych (rys. 8). Cz stotliwo wzbudzenia jest dwa razy wi ksza od cz stotliwo ci drga własnych. W takim przypadku dominuje siła bezwładno ci. Przebiegi czasowe drga liniowych i nieliniowych s wi c zbli one do siebie. Gdyby amplituda drga była wi ksza pojawiłyby si zjawiska typowe dla układów nieliniowych. 2. Rezonanse Jako kolejne zostało przebadane zjawisko rezonansu (rys. 9. Zaprezentowano warto ci ekstremów przebiegów czasowych uzyskanych dla ró nych cz stotliwo ci wymuszenia. Liniami pionowymi zaznaczono cz stotliwo ci rezonansowe rezonansów ultraharmonicznych i rezonansu głównego. Mo na zauwa y pewien wzrost amplitudy odpowiadaj cy rezonansom ultraharmonicznym. Im wy sza harmoniczna jest wzmacniana, tym niej wyra ny jest rezonans. Maksima rezonansów s przesuni te w kierunku ni szych cz stotliwo ci, poniewa cz stotliwo własna układu spada wraz ze wzrostem amplitudy drga. Na wykresie widoczny jest tak e rezonans główny. Amplituda drga tego układu ograniczona jest przez siodło. Po przekroczeniu pewnej warto ci amplitudy, rozwi zanie d y do minus niesko czono ci, w wyniku czego nie ma rozwi za okresowych. Na wykresie tym, nie ma wi c obszaru bistabilno ci. Maksimum rezonansu głównego przesuni te jest w kierunku niskich cz stotliwo ci, podobnie jak w przypadku rezonansów ultraharmonicznych. Gał rezonansu głównego ko czy si kaskad bifurkacji prowadz c do chaosu (rys. 9. Na wykresie rezonansu widoczna jest tak e asymetria amplitudy drga. Wykres ten nie przypomina wykresu rezonansu liniowego. 109

12 Wpływ nieliniowo ci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego o jednym stopniu swobody cz II drgania wymuszone a b Rysunek 9. Wykres rezonansu otrzymany dla nast puj cych danych: m=1, k 1=1, k 2=0,1, c=0,1, F emax=1, (czarna linia maksima, szara linia minim oraz jego fragment 110

13 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, Podsumowanie W artykule tym przedstawiono przebiegi czasowe uzyskane dla ró nych cz stotliwo ci siły wymuszaj cej. Porównano tak e odpowiedzi układów liniowego i nieliniowego. Przedstawiono tak e wykres rezonansu i wykres bifurkacji uzyskany dla ró nych cz stotliwo ci wymuszenia. Ró nice w zachowaniu układów liniowych i nieliniowych mog by istotne, co bywa lekcewa one przez personel technicy. Wiedza na ten temat nie jest niestety rozpowszechniona w ród decydentów. W badanym układzie zaobserwowano asymetryczne drgania niesinusoidalne, ponad to ograniczenie amplitudy drga. Okres drga jest zale ny od amplitudy wi c cz stotliwo ci rezonansowe zale od amplitudy. Przebiegi czasowe drga maj charakterystyczny kształt, jest to wynikiem pojawienia si wy szych harmonicznych i rezonansów ultraharmonicznych. Zaobserwowano tak e bifurkacje dla rezonansu głównego. Zjawiska te s wynikiem nieliniowej charakterystyki spr ysto- ci. Stosowanie modeli liniowych powoduje pomini cie wy ej wymienionych zjawisk, co mo e prowadzi do znacznych bł dów, pomyłek w interpretacji wyników i katastrof. Cz zjawisk obserwowanych w praktyce mo na wytłumaczy na postawie teorii drga nieliniowych. Bibliografia [1] Awrejcewicz J., Drgania deterministyczne układów dyskretnych, WNT, Warszawa [2] Kostek R., Analysis of the primary and superharmonic contact resonances Part 1, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 51, 2, s , Warsaw INFLUENCE OF QUADRATIC SPRING FORCE ON SINGLE DEGREE OF FREEDOM MECHANICAL SYSTEM DYNAMICS PART II EXCITED VIBRATIONS Summary This article presents influence of quadratic spring force on dynamics of single degree of freedom mechanical system. The following phenomena were observed: multiharmonic asymmetrical vibrations, bending resonance peaks, limitation of vibration amplitude, superharmonic resonances, bifurcations and unstable solutions. These phenomena are not observed in linear system, thus linear models should not be used to describe nonlinear systems. linearization can lead to large errors. Keywords: nonlinear dynamics, quadratic nonlinearly Zakład Pojazdów i Dignostyki Wydział In ynierii Mechanicznej Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy robertkostek@o2.pl 111