Filtracja w ośrodku porowatym

Transkrypt

1 grudzień 2013

2 Filtracja Rozważamy płyn niosący z sobą cząstki w ośrodku porowatym. Cząstki taki mogą zderzać się z ziarnami (włóknami) ośrodka porowatego i przyklejać się do ich powierzchni. To jeden z ważnych procesów w obróbce zanieczyszczonych strumieni gazów lub cieczy, takich np. jak filtry ze specjalnych włókien do usuwania zanieczyszczeń: kurzu, pyłków kwiatowych z powietrza (odkurzacz); filtry ziarniste do usuwania osadów i bakterii z wody pitnej. Takie układy filtrujące powodują zazwyczaj wyraźny spadek ciśnienia (różnicy ciśnień), szczególnie jeżeli mamy do czynienia z filtrami zanieczyszczonymi.

3 mechanizmy wychwytu pojedynczego kolektora Klasyczne mechanizmy wychwytu cząstek w filtracji hydroi aerozoli. Przepływ laminarny, wokół pojedynczego kolektora. Większość filtrów powietrza ma strukturę włóknistą kolektorem jest walec, prostopadły do płaszczyzny, w której zachodzi przepływ; dla filtrów cieczy (wody) kolektorem będzie sfera.

4 cztery mechanizmy wychwytu pojedynczego kolektora Bezpośredni przechwyt w którym cząstka, poruszająca się wzdłuż linii prądu przechodzi na tyle blisko kolektora, że zderza się z nim. (Dla cząstek dostatecznie małych,) możemy mieć wychwyt konwekcyjno-dyfuzyjny losowy, zygzakowaty tor cząstki może ją (losowo) sprowadzić do powierzchni kolektora. Mechanizm inercyjny (był już dyskutowany w rozdz. 2.) Dla dużych prędkości cząstek (małych oporów lepkich) tory cząstek nie odchylają się wokół kolektora (tak jak linie przepływu płynu). Ten mechanizm ma zasadnicze znaczenie w filtracji cząstek ze strumieni gazu (duża różnica gęstości pomiędzy cząstkami a medium-nośnikiem.) (w niektórych układach wodnych,) możemy mieć do czynienia z osadzaniem się grawitacyjnym cząstek na powierzchni kolektora (prędkość osadzania się jest dużo większa od prędkości przepływu obok kolektora; cząstka ulega wytrąceniu).

5 mechanizmy wychwytu pojedynczego kolektora Bezpośredni przechwyt Wychwyt konwekcyjnodyfuzyjny Mechanizm inercyjny Osadzanie się grawitacyjne

6 przechwyt bezpośredni Dla przypadku przechwytu bezpośredniego zakładamy brak ruchów Browna, jest to równoważne przyjęciu dużych wartości liczby Peckleta (1) Pe = Ud cz D AB. (d cz średnica cząstki; U prędkość przepływu; D AB wsp. dyfuzji cząstki w płynie-nośniku.) Koncentracja cząstek jest równa zeru na powierzchni kolektora (wychwycone cząstki tracą samoistny byt) i w sposób gładki musi się dopasować do pewnej (stałej) koncentracji cząstek w głównym nurcie pomocne tu będzie pojęcie warstwy granicznej koncentracji (rozdz. 7.). Ponieważ liczba Peckleta jest duża, to grubość warstwy granicznej jest bardzo (nieskończenie) mała. Pozwala to użyć pewnego sprytnego uproszczenia: kolisty profil kolektora rozciągamy na płasko i wprowadzamy współrzędne kartezjańskie x (punkt na obwodzie kolektora) i y (wysokość nad obwodem)

7 przepływ obok kolektora i transformacja cienkiej warstwy granicznej

8 przechwyt bezpośredni składowe prędkości w układzie kartezjańskim (v x u; v y v) (2) u = 4A cyl U y a sin x a ( y ) 2 x (3) v = 2A cyl U cos a a, gdzie (4) A cyl = 1 2(2 ln Re) Re = 2aU ν. (a promień kolektora).

9 przechwyt bezpośredni Szybkość zderzeń cząstki-kolektor to po prostu transfer masy do powierzchni kolektora. Cząstki mają skończony promień ich środek masy może się zbliżyć na odległość nie mniejszą niż ich promień a cz. Transfer masy następuje więc do objętości kontrolnej, przez powierzchnię ograniczoną linią przerywaną na rysunku. transfer masy cząstek na jednostkę głębokości objętości kontrolnej [ = 2n 2A cyl U ( a cz a πa W 2 = 2n 0 v(y = a cz ) dx ) 2 ] πa 2 0 cos x a dx... = 4n A cyl R 2 au. n to koncentracja cząstek w płynie poza objętością kontrolną; czynnik 2 bo mamy cząstki z góry (NW) i z dołu (SW).) R = a cz /a to parametr przechwytu. ( )

10 przechwyt bezpośredni wydajność (pojedynczego) kolektora jest stosunkiem transferu masy równanie (**) do całkowitego transferu masy (na jednostkę głębokości) 2aUn : (5) η cyl,prz.bezp. = 4n A cyl R 2 au 2aUn = 2A cyl R 2. Tak było dla kolektora cylindrycznego, dla sferycznego mamy (6) η sf,prz.bezp. = 3 2 R2, gdzie R to parametr przechwytu. (R = a cz /a sf.)

11 przechwyt dyfuzyjno-konwekcyjny... obliczamy korzystając z wyników rozdz. 7., gdzie podaliśmy wzór określający transfer masy do sfery. Jego (nieco przerobiona ) postać (7) W = 7.98a 4/3 D 2/3 ABU 1/3 n. Analogicznie (8) η sf,konw dyf = 7.98a4/3 DABU 2/3 1/3 n = 7.98 πa 2 Un π D 2/3 AB a 2/3 U 2/3 = 4.0Pe 2/3. Tutaj Pe = 2aU/D AB. założenia: małe liczby Reynoldsa (przepływ Stokesa), cienka warstwa graniczna koncentracji (duża liczba Sc), cząstka punktowa (jej średnica nie pojawia się we wzorach). Małe Re i duże Sc implikują (dość) duże Pe. Sc = Pe/Re. Dla kolektora cylindrycznego: (9) η konw dyf,cyl = 3.68A 1/3 cyl Pe 2/3.

12 Mechanizm depozycji grawitacyjnej jest analogiczny do sedymentacji-koagulacji (rozdz. 3.) Transfer masy dla pojedynczego, sferycznego kolektora to (10) W = π(a cz + a) 2 v gr c, gdzie v gr to końcowa (graniczna) prędkość Stokesa osadzania się cząstek. (11) η sf,graw = π(a cz + a) 2 v gr c πa 2 Uc v gr U, (dla a cz a.)

13 Mechanizm inercyjny ma zasadnicze znaczenie w filtracji cząstek ze strumieni gazu (duża różnica gęstości pomiędzy cząstkami a medium-nośnikiem).

14 Mechanizm inercyjny... można rozpatrzyć posługując się narzędziem analizy wymiarowej. Wielkości, jakie uwzględniamy w naszej analizie to: d k średnica kolektora = 2a [L] d cz średnica cząstki = 2a cz [L] U prędkość niezaburzonego przepływu [L/T ] ρ gęstość płynu [M/L 3 ] µ lepkość płynu [ML 1 T 1 ] ρ cz gęstość cząstki [M/L 3 ] Tzw. twierdzenie π Buckinghama mówi, że w problemie fizycznym, w którym występuje n parametrów i m wymiarów będzie zawsze n m niezależnych bezwymiarowych kombinacji tych parametrów. Z powyższej listy: n = 6 i m = 3. Stosujemy tzw. technikę Raleigh a, zakładając, że iloczyn (12) d a k d b cz U c ρ d µ e ρ f cz będzie przy odpowiednim doborze wykładników a,..., f stałą bezwymiarową.

15 Mechanizm inercyjny... Wstawiając do wymiary z listy mamy (13) L a L b ( L T d a k d b cz U c ρ d µ e ρ f cz otrzymujemy układ trzech równań ) c ( ) M d ( ) M e ( ) M f L 3 L T L 3 dla L : a + b + c 3d e 3f = 0, dla M : d + e + f = 0, dla T : c e = 0 Z trzeciego: c = e, z drugiego d = e f. Podstawiając do pierwszego: a = b e, a więc (14) d b e k d b cz U e ρ e f µ e ρ f cz = stała bezwymiarowa,

16 Mechanizm inercyjny... d b e k d b cz U e ρ e f µ e ρ f cz = stała bezwymiarowa, albo (15) ( dcz d k ) b ( µ ) e ( ρcz d k Uρ ρ ) f = stała bezwymiarowa. Mamy więc te trzy bezwymiarowe parametry: parametr przechwytu, odwrotność liczby Reynoldsa i stosunek gęstości. Wprawdzie liczba Stokesa nie pojawiła się w naszej analizie, ale łatwo ją odnaleźć. Odległość hamowania (rozdz. 2) (16) S = ρ czd 2 czc c U, 18µ (C c poprawka na poślizg) zawiera w sobie gęstość cząstki i może zostać użyta zamiast niej w (12):

17 Mechanizm inercyjny... (17) d a k d b cz U c ρ d µ e S f = stała bezwymiarowa, (18) ( dcz d k ) b ( ) e ( ) µ S f = stała bezwymiarowa, d k Uρ d k i rzeczywiście, trzeci parametr to liczba Stokesa (19) St = S d k = ρ czd 2 czc c U 18µd k. Możemy więc stwierdzić, że wydajność wychwytu inercyjnego (20) η cyl,in = f(r, Re, St).

18 Mechanizm inercyjny... Wydajność wychwytu inercyjnego w funkcji liczby Stokesa. Punkty doświadczenie, linia ciągła teoria. St to stosunek odległości hamowania (miara inercji cząstki) i charakterystycznego wymiaru liniowego wzrost St oznacza wzrost bezwładności i więcej cząstek wpada na kolektor. Dla przedstawionych wyników zmiany Re były niewielkie (10 300); mały był zakres R ( ).

19 Wymienione cztery mechanizmu wychwytu nie są niezależne. Np. dla pewnych zakresów rozmiarów cząstek zarówno ruchy Browna, jak i dyfuzja konwekcyjna mogą być niewystarczające aby doprowadzić do wychwytu, ale z kolei mogą być dostatecznie duże, aby ukierunkować cząstkę, tak że ulegnie ona wychwytowi bezpośredniemu. Rysunek na następnej stronie pokazuje udział dyfuzji konwekcyjnej, bezpośredniego wychwytu i wychwytu inercyjnego w filtracji aerozoli. Wychwyt bezpośredni jest proporcjonalny do R 2 (na skali log-log zwykła proporcjonalność) wychwyt inercyjny jest proporcjonalny do St, a więc też do wymiarów cząstki

20 Wymienione cztery mechanizmu wychwytu... Udział dyfuzji konwekcyjnej, bezpośredniego wychwytu i wychwytu inercyjnego w filtracji aerozoli. (η F η cyl )

21 Efekty sąsiednich kolektorów na lokalne pole przepływu Z maleniem porowatości filtru wpływ sąsiednich kolektorów na filtrację (na określonym kolektorze) rośnie, szczególnie w przypadku cieczy (porowatości filtru mogą być bardzo małe, a więc kolektory bliskie siebie). Z istniejących modeli w użyciu jest np. model komórek (Happela): medium przedstawione jest jako układ identycznych komórek, które składają się z kolektora (cylinder lub sfera) otoczonego płaszczem płynu, o tak dobranych stosunkach objętości, aby oddana była porowatość ośrodka. Dla cylindrów ten efekt nagromadzenia można uwzględnić modyfikując odpowiednio czynnik A cyl w (4), np. (Happel): (21) A cyl = [ ln s 1 + s 2 (1 + s 2 ) ] 1 (s frakcja stała; s = 1 ɛ; zakładamy brak poślizgu na powierzchni cząstki; zewnętrzna powierzchnia płaszcza płynu wokół kolektora jest powierzchnią swobodną, nie podlegającą naprężeniom stycznym),

22 Efekty sąsiednich kolektorów na lokalne pole przepływu albo (Kuwabara) (22) A cyl = ( ln s 3 2 ) 1 s2 + 2s. 2 Podobnie, wprowadzamy poprawkę A s do wzorów (6),(8),(11): gdzie np. w modelu Happela: (23) A s = η sf,prz.bezp. = 3 2 A sr 2, η sf,konw dyf = 4.0A s 1/3 Pe 2/3 η sf,graw = A s v t U, 2(1 s 5/3 ) 2 3s 1/3 + 3s 5/3 2s 2.

23 Opóźnienie hydrodynamiczne Cząstka zbliżając się do kolektora musi odepchnąć płyn rozdzielający te dwa obiekty (szczególnie w przypadku wychwytu bezpośredniego i grawitacyjnego). To ujmuje kolejna poprawka (24) η sf,prz.bezp. = A s Lo 1/8 R 15/8, gdzie Lo to tzw. liczba sił van der Waalsa: 4A (25) Lo = 9πµd 2 czu (A stała Hamakera z rozdz.3.) oraz (26) η sf,graw = A s G 1.2 v R 0.4, gdzie (27) G v = (ρ cz ρ)gd 2 cz, 18µU to parametr grawitacyjny stosunek prędkości sedymentacji (z pr. Stokesa) do U.

24 Wydajności wychwytu dla ziarnistych i włóknistych filtrów Poprzednie podrozdziały zajmowały się głównie wydajnością pojedynczych kolektorów, teraz chcemy wyprowadzić związek pomiędzy wydajnością takiego pojedynczego kolektora, a wydajnością filtru, składającego się z wielu włókien lub ziaren por. rysunek na następnej stronie.

25 Wydajności wychwytu dla ziarnistych i włóknistych filtrów Element objętości w analizie wydajności filtru.

26 Wydajności wychwytu dla ziarnistych i włóknistych filtrów Bilans masy (28) szybkość akumulacji masy w elemencie [M/T ] = UN l A UN l+ l A, gdzie N to liczba cząstek (o określonej masie) w jednostkowej objętości. Dla pojedynczego włókna możemy przyjąć wydajność wychwytu jako stosunek transferu masy do tego włókna i transferu masy w przepływie (przez przekrój powierzchni włókna) (29) η = W UN l 2a,

27 Wydajności wychwytu dla ziarnistych i włóknistych filtrów η = W UN l 2a, gdzie za η podstawiamy którąkolwiek z wydajności dyskutowanych w poprzednim podrozdziale, U jest średnią prędkością liniową a promień włókna, W transfer masy na jednostkę długości włókna [M/T L]; mamy więc (30) W = 2UN l aη. Dla obliczenia transferu masy dla wszystkich włókien mnożymy W przez L f (długość włókna) i przez liczbę włókien w elemencie objętości (stosunek odpowiednich objętości): (31) ( liczba włókien w elemencie objętości ) = sa l πa 2 L f.

28 Wydajności wychwytu dla ziarnistych i włóknistych filtrów Z powyższych równań: (32) UN l A UN l+ l A = 2UN l aηl f sa l πa 2 L f ; przechodząc do granicy: l 0 mamy (33) dn dl = 2sη πa N, a dla kolektorów sferycznych (ćwiczenia) (34) dn dl = 3sη 4a N.

29 Prawdopodobieństwo przywarcia Nie zawsze cząstka trafiająca w kolektor pozostaje trwale na jego powierzchni. Ilościowo efekt można ująć przy pomocy współczynnika prawdopodobieństwa przywarcia (35) szybkość z jaką cząstki przywierają do elementów ośr. por. α d = szybkość z jaką cząstki zderzają się z elementami ośr.por. i np. ostatnie równanie [(34)] będzie miało postać (36) albo dn dl = 3sα dη 4a N, (37) ln N L = 3sα dη N 0 4a L dla filtru o długości L. Powyższy wzór może być użyty do doświadczalnego wyznaczenia α d. (zadanie 8.7)

30 Spadek ciśnienia przy przejściu przez filtr Przypominamy równanie Poiseuille a z rozdziału 5.: p (38) L = KµS2 0(1 ε) 2 U, ε 3 gdzie: p to spadek ciśnienia na filtrze o długości L; ε porowatość; U prędkość, U = Q/A; K pewna stała (ok. 5); S 0 to powierzchnia właściwa ośrodka porowatego. Równ.(38) to równanie Karmana-Kożennego, wyprowadzone (jak i równ. Poiseuille a) przy założeniu przepływu laminarnego, dla którego liczba Reynoldsa zawiera w sobie średnicę ziaren ośrodka d k : (39) Re = ρud k µ. Dla Re większych od 6 przepływu nie można już traktować jako laminarny i równ.(38) zastępujemy tzw. równaniem Erguna (40) p L = 4.17µS2 1(1 ε) 2 U (1 ε) + k ɛ 3 e ρ U 2 S ɛ 3 1,

31 Spadek ciśnienia przy przejściu przez filtr równanie Erguna p L = 4.17µS2 1(1 ε) 2 U (1 ε) ɛ 3 + k e ρ ɛ 3 U 2 S 1, gdzie S 1 to powierzchnia ziaren na jednostkę objętości; k e = W przypadku włóknistych filtrów, używanych w filtracji gazu, spadek ciśnienia (przepływ laminarny) można też obliczać z wzoru Hindsa (41) p L = µuf(s), d 2 k gdzie f to funkcja frakcji stałej s = 1 ɛ: (42) f(s) = 64s 1.5 (1 + 56s 3 ) dla < s = 1 ɛ < 0.3.