Mirosław Kwiatek. Rozciąganie i inne przypadki wytrzymałości

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Mirosław Kwiatek. Rozciąganie i inne przypadki wytrzymałości"

Maja Kowalik
7 lat temu
Przeglądów:

1 Mirosław Kwiatek Rozciąganie i inne przypadki wytrzymałości Wiadomości o wytrzymałośd są potrzebne przy konstruowaniu budowli i urządzeo. Nie powinniśmy mówid, że jakieś ciało / materiał jest tak po prostu wytrzymałe; Powinniśmy uściślid: wytrzymałe na co? Czyli: na jaki rodzaj tzw. obciążenia wytrzymałe? Np. szkło jest nie jest wytrzymałe za bardzo na tzw. zginanie ale jest wytrzymałe na tzw. ściskanie. Typowe przypadki obciążeo to: - Rozciąganie (np. lina, łaocuch, szprycha w rowerze) - Ściskanie (cegła, amortyzatory gumowe) - Ścinanie (nit) - Zginanie (półka na książki, resor, belki stropów, mostów, dźwigów) - Skręcanie (wał napędowy samochodu) - Inne np. wyboczenie (smukły słup), zmęczenie (koło kolejowe), kombinowane czyli złożone (zginanie z rozciąganiem, skręcanie ze ścinaniem, zginanie ze ściskaniem; Już wymienione wśród głównych obciążeo zginanie jest właściwie rozciąganiem ze ściskaniem). Pod wpływem obciążenia ciało może się odkształcid sprężyście (niekoniecznie efekt musi byd widoczny gołym okiem jak np. w sprężynie stalowej lub plastikowej) albo trwale. Rozciąganie Ciało rozciągane ulegnie zniszczeniu (rozerwaniu) jeśli stosunek siły P do pola poprzecznego przekroju F jest większy od stablicowanego tzw. naprężenia dopuszczalnego na rozciąganie R r. Czyli: ciało będzie wytrzymałe na rozciąganie dopóki: F R r W obliczeniach inżynierskich zamiast N stosuje się jeszcze kg (siły) a zamiast metrów milimetry (albo cm); Jednostką R r jest więc kg/mm 2. Przykładowe wartości: Stale Dural 46 Drewno 7,5 13 Skóra 2 4

szkło jest nie jest wytrzymałe za bardzo na tzw. zginanie ale jest wytrzymałe na tzw. ściskanie. Typowe przypadki obciążeo to: - Rozciąganie (np.

2 Niekiedy naprężenie dopuszczalne na rozciąganie oznacza się k r natomiast R r nazywa się wtedy wytrzymałością (doraźną ) na rozciąganie (k r < R r ). Jeśli ciało nie ulegnie rozerwaniu to są dwie możliwości: albo się wydłuży trwale albo chwilowo (tzn. w tym drugim przypadku, że odkształcenie jest sprężyste; Po ustaniu obciążenia ciało wróci do poprzednich wymiarów i proporcji / kształtów). Istnieje tu, też brana z tablic, tzw. granica plastyczności Q r. Przykładowe wartości: Stale Dural - 30 Drewno Skóra 0,7 2,1 Jeśli ciało wraca do poprzedniego stanu to też są 2 możliwości: wydłużenie mogło byd proporcjonalne albo, dla większych wartości obciążenia, przekraczających tzw. granicę sprężystości już

w tym drugim przypadku, że odkształcenie jest sprężyste; Po ustaniu obciążenia ciało wróci do poprzednich wymiarów i proporcji / kształtów). Istnieje tu, też brana z tablic, tzw.

3 nieproporcjonalne; Granica sprężystości ma wartości ok. 20 % mniejsze od granicy plastyczności. Poniżej granicy sprężystości (proporcjonalności) P można obliczyd czasowe wydłużenie z następującego prawa Hooke a: ΔL L 0 = 1 E * P F Albo po przekształceniu: ΔL = PL 0 EF L o = długośd początkowa ΔL = przyrost długości E jest następną stałą stablicowaną (materiałową) tzw. modułem sprężystości Young a (też kg/mm 2 ); Przykładowe wartości: Stale Dural Drewno Skóra 7 35 Przykład 1 Drut stalowy (o module Young a kg / mm 2 ) o średnicy 3 mm i długości 5 m obciążono siłą 120 kg. Obliczyd o ile wydłuży się drut (Czy będzie napięty jeśli między jego koocem (obciążnikiem) a podłożem jest zapas pół cm?) Rozwiązanie Podany został tylko wzór na rozciąganie poniżej granicy sprężystości a więc jest milczące założenie, że nie jest ona przekroczona: ΔL = PL 0 EF F=πr 2 = π d2 4 ΔL = PL 0 E 4 πd 2 L 0 = 5000 mm ΔL = 4 πe PL 0 d 2 4 3* * = 4*40*5 22*9 4*40*5 20*10 = 4 mm (3,9 dokładnie)

ΔL = przyrost długości E jest następną stałą stablicowaną (materiałową) tzw.

4 Sprawdźmy czy założenie o stosowalności prawa Hooke a było słuszne; Obliczmy naprężenie: P F = 4P πd 2 = 4*120 3*3 2 = 4* = < Q r = 24 oraz (24-16)/24 = 8/24 = 33% > 20% Przykład 2 Obliczyd minimalną średnicę pręta, z którego powinny byd wykonane ogniwa (spawane) łaocucha aby łaocuch ten mógł podnieśd ciężar 3 Ton. Przyjąd dopuszczalne naprężenie na rozciąganie 6 kg / mm 2 (uwzględnione kilkakrotne zmniejszenie ze wzglądów bezpieczeostwa). F k r Ale F = 2f gdzie f jest polem przekroju jednej z dwóch części ogniwa f = π d2 4 Z 3 powyższych równao mamy: 2 4 πd 2 < k r czyli d 2 2 πk r oraz d 2P MAX πk R 2*3000kG 3*6 = = 18 mm (dokładnie 17,8) Odp: Minimum 1,8 cm

Przyjąd dopuszczalne naprężenie na rozciąganie 6 kg / mm 2 (uwzględnione kilkakrotne zmniejszenie ze wzglądów bezpieczeostwa).

5 Sciskanie (Ciśnięcie) F R c R c naprężenie dopuszczalne na ściskanie Ścinanie (Obciążenie tnące) F R t R t (doraźna ) wytrzymałośd na ścinanie F = powierzchnia ścinania, którą wyjaśni przykład (A) Przykład A Jaką siłą trzeba zadziaład aby w blasze stalowej o grubości g=1,2 mm oraz R t = 38 kg / mm 2 wybid otwór o średnicy d=20 mm (jednocześnie na całym obwodzie)? Rozwiązanie Powierzchnia ścinania = powierzchni walca o wysokości (długości) g i średnicy d F = 2πr*g = πdg = 3*20*1,2 60*1 = 60 mm 2 (dokładnie 75,5) P Fr t = 60*38 60*40 = 2400 kg 2,5 T aż! (dokładniej nawet więcej bo 2,87) Przykład B Dwa płaskowniki o grubości g=8 mm każdy należy złączyd dwoma identycznymi nitami znajdującymi się na linii prostopadłej do (wzdłużnej) osi płaskowników. Obliczyd minimalną średnicę Nita żeby połączenie wytrzymało (nity nie ścięły się) po sile rozrywającej P = 2800 kg i przy dopuszczalnym naprężeniu na ścinanie k t = 9 kg / mm 2 Rozwiązanie Ponieważ tutaj siła (ścinająca) działa na poprzeczne przekroje nitów (tworząc z nimi jedną płaszczyznę) tak jak działała (rozciągająca)siła na łaocuch (chociaż tam oczywiście siła była prostopadła do tych przekrojów) to możemy skorzystad ze wzoru wyprowadzonego w zadaniu z łaocuchem (zamieniając k r na k t ) d 2P MAX πk t 2*2800kG 3*9 = 10 2 *2* *3 = = 13 mm (dokładnie 14,1)

Rozwiązanie Powierzchnia ścinania = powierzchni walca o wysokości (długości) g i średnicy d F = 2πr*g = πdg = 3*20*1,2 60*1 = 60 mm 2 (dokładnie 75,5) P Fr t = 60*38 60*40 = 2400 kg 2,5 T aż!

6 Ale otwory pod nity osłabiają przekrój każdego z płaskowników więc mogłoby się okazad w praktyce, że nity wytrzymają ale płaskownik ulegnie zniszczeniu przy rozciąganiu! Dlatego rozszerzmy to zadanie : Obliczyd minimalną szerokośd s płaskowników. Założyd dopuszczalne naprężenie k r = 12 kg / mm 2. F k r F = sg 2gd Z obu równao sg - 2gd k r Sg 2gd k r Sg k r S k r g S 700 3*8 + 2gd d = 12*8 + 2*14 (podstawiona dokładniejsza wartośd niż 13) = 7* = 56 mm (Uwaga: dokładniej 57,4) Zginanie (gięcie) Wytrzymałośd zależy tu nie tylko od naprężenia zwanego tu zginającym (k g, R g ) ale też od kształtu przekroju poprzecznego (i położenia siły w płaszczyźnie tego przekroju jeśli przekrój ten nie jest kołowy). Poza tym zamiast siły będzie tu tzw. moment siły czyli iloczyn i prostopadłego ramienia jej działania (ramię to odległośd siły od osi obrotu podczas zginania). Kształt przekroju jest określony stablicowanym tzw. wskaźnikiem W przekroju na zginanie *mm 3 ]. W tablicach muszą byd tu rysunki kształtów i zorientowania tych kształtów względem siły. Główny wzór dla zginania: M g W k g Zadanie Jaką średnicę d musi mied kołowy pręt rękojeści imadła / lub np. klucza do śrub / o długości L=44,5 cm wykonanego ze stali o dopuszczalnym naprężeniu na zginanie k g = 13 kg / mm 2 jeśli ma się on nie giąd przy sile P = 40 kg (przyłożonej oczywiście do kooca )?

F k r F = sg 2gd Z obu równao sg - 2gd k r Sg 2gd k r Sg k r S k r g S 700 3*8 + 2gd 2800 + 2d = 12*8 + 2*14 (podstawiona dokładniejsza wartośd niż 13) 700 + 28 25 + 28 = 7*4 + 28 = 56 mm (Uwaga:

7 M g W k g W = πd3 32 M g = PL Czyli 32PL πd 3 k g d 3 32PL πk g d *4*P * L 3 4*40*445 πk 2 g 3* *4* = 2 3 2*890 = = 2*12 d 24 mm (dokładniej 24,07!) (Czyli musi byd średnica większa od ok. 1 cala) Można zbadad jaką siłę moglibyśmy przyłożyd do klucza / imadła/ gdyby pręt o tej samej długości miał przekrój kwadratowy o boku równym obliczonej dopiero co średnicy np. 25 mm przy czym

8 działalibyśmy dłonią bezpośrednio na krawędź pręta (wierzchołek, naroże kwadratu przekroju obróconego o 45 stopni). Uzyskalibyśmy wynik: 55 kg czyli więcej niż 40 kg dla przekroju okrągłego. Dla przekroju sześciokątnego (sześciokąt foremny) wygodniejszego dla dłoni (bardziej ergonomicznego), skierowanego też krawędzią do (płaszczyzny) dłoni możnaby stosowad jeszcze większą siłę ok. 75 kg Strzałki ugięcia Największa (prostopadła) odległośd osi belki zgiętej sprężyście od jej pierwotnego, nieobciążonego położenia nazywa się strzałką ugięcia. Mogą nas interesowad strzałki ugięcia na koocu belki, na środku czy też gdziekolwiek na jej długości. Poza tym zamiast obciążenia tzw. skupionego (siły) może też byd tzw. obciążenie ciągłe q [ Kg / mm] np. śnieg, piasek czy książki na półce. Uwzględniając powyższe w odpowiednich tablicach są wzory ze szkicami. We wzorach występuje nowa tu w wytrzymałości, wielkośd I tzw. moment bezwładności przekroju *mm 4 ], którego nie należy mylid z masowym momentem bezwładności *kg*m 2 ]. (Występujący też we wzorach E to znany już moduł sprężystości Younga). Zadanie Na belkę utwierdzoną jednostronnie działa obciążenie ciągłe. Belka ma kształt kwadratowy przy czym obciążenie ciągłe działa na jedną z płaszczyzn belki a nie na krawędź. Obliczyd strzałkę ugięcia belki. Dane

75 kg Strzałki ugięcia Największa (prostopadła) odległośd osi belki zgiętej sprężyście od jej pierwotnego, nieobciążonego położenia nazywa się strzałką ugięcia.

9 L =445 mm b =h=25 mm q = 0,17 kg / mm E = kg / mm 2 Rozwiązanie Oczywiście domyślnie szukana strzałka ugięcia wystąpi na koocu belki I = W h 2 = bh2 6 = h4 12 = = f = 1 8 ql 4 EI = = 0,17*4454 8*22000 h 2 = = = 0,17* * ,16* * = 0,04* *184 0, *184 0, * = *400*400 = 1 10 *16 = 1,6 mm (dokładniej 1,16) Skręcanie Główny wzór: M s W s k s W s to stablicowany wskaźnik przekroju na skręcanie Np. wskaźnik przekroju n skręcanie dla przekroju kołowego (czy pierścieniowego) wynosi W s = 2W g

0,04*3 11000 *184 0,12 12000 *184 0,01 1000 * 1 204 = 100000 *400*400 = 1 10 *16 = 1,6 mm (dokładniej 1,16) Skręcanie Główny wzór: M s W s k s W

10 M s to moment siły przy skręcaniu (siła tu nie przechodzi przez oś wałka; Przy zginaniu siła przechodzi przez oś belki) k s to stablicowane naprężenie dopuszczalne na skręcanie

Podobne dokumenty

Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń

Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń 1. Podział obciążeń i odkształceń Oddziaływania na konstrukcję, w zależności od sposobu działania sił, mogą być statyczne lun dynamiczne. Obciążenia statyczne występują