AUTOKORELACJA SKŁADNIKÓW LOSOWYCH I JEJ WPŁYW NA ESTYMACJĘ MODELI PROCESÓW SZLIFOWANIA

Transkrypt

1 Wojciech Kacalak 1 szlifowanie, modele, autokorelacja składników losowych AUTOKORELACJA SKŁADNIKÓW LOSOWYCH I JEJ WPŁYW NA ESTYMACJĘ MODELI PROCESÓW SZLIFOWANIA W modelach procesów szlifowania występuje autokorelacji niektórych składników losowych. Zmniejsza to efektywność estymacji parametrów modelu. W referacie omówiono losowy charakter procesów i relacje między poszczególnymi składowymi różnych modeli. Wskazano metody zmniejszania niedokładności w modelowaniu procesów szlifowania. 1. Cechy mikroskrawania w procesach obróbki ściernej Procesy rozwoju teorii i rozwoju technologii szlifowania wzajemnie się przenikają. Nowe teorie, najlepiej jeśli są alternatywne, skłaniają do ich weryfikacji, początkowo laboratoryjnej, a następnie produkcyjnej. Nowe zastosowania tworzą z kolei pole do nowych, doskonalszych opisów zjawisk zachodzących w procesach technologicznych. W obróbce bardzo dokładnej wiele zjawisk i czynników, mało znaczących w innych metodach, nabiera znaczenia decydującego o wynikach procesu. Do takich zjawisk należy zaliczyć: nieciągłość procesu tworzenia mikrowiórów (w mikro- i submikroskali), cieplne i mechaniczne lokalne odkształcenia narzędzi i materiału obrabianego, zmienność zagłębienia ostrzy w materiał, a także losowość samego procesu mikroskrawania [1,2,3]. Przed ziarnem ściernym, między dolną częścią powierzchni natarcia a powierzchnią ścinania materiału obrabianego tworzy się strefa zastoju materiału, która nie może być stabilną w warunkach bardzo wysokich temperatur oraz nieciągłości naprzemiennych procesów narastania lokalnych odkształceń i oddzielania materiału. Nieciągłość procesu tworzenia wióra nie jest, powodowanym zakłóceniami, odstępstwem od stanu stabilnego, lecz jest stanem stabilizowanych fluktuacji, stanowiących typową cechę procesu. To wszystko powoduje, że modelowanie procesów szlifowania jest bardzo trudnym zadaniem, ale jednocześnie coraz ważniejszym dla rozwoju wiedzy i zastosowań. 2. Problemy modelowania procesów szlifowania Wszystkie fizyczne i umowne wielkości charakteryzujące proces szlifowania można podzielić na obserwowalne bezpośrednio lub pośrednio i wyznaczalne eksperymentalnie, oraz na takie, których eksperymentalne wyznaczenie w typowych warunkach procesu nie jest możliwe lub ich obserwacja byłaby wyjątkowo trudna, a wynik nie byłby wiarygodny. Do pierwszej grupy z reguły należą uśrednione wielkości globalne jak np.: moc i siła szlifowania, parametry geometryczne obrobionej powierzchni, zużycie kształtowe ściernicy. Wielkości te są oczywiście w pewnym, często znacznym, stopniu zmienne losowo, niemniej ich wartości lokalne lub chwilowe mogą być wyznaczane doświadczalnie i jest to proste zadanie inżynierskie. Do drugiej grupy można zaliczyć większość wielkości charakteryzujących chwilowe warunki mikroskrawania określonymi ostrzami znajdującymi się w strefie szlifowania, takie jak np.: chwilowy przekrój warstwy skrawanej danym ostrzem, sumaryczna praca wykonana przez określone ostrze od ustalonej chwili. Nawet jeżeli w określonej fazie eksperymentu nie interesuje nas chwilowa wartość określonej cechy, to często nie możemy zrezygnować z wyznaczenia informacji o rozkładzie wartości tej cechy, a więc np.: parametrów położenia i rozproszenia wartości chwilowych lub wartości ekstremalnych - a to już nie jest prostym zadaniem inżynierskim.

2 1 Politechnika Koszalińska Postęp w doskonaleniu opisów elementarnych zjawisk charakteryzujących procesy mikroskrawania następuje poprzez [2]: udoskonalanie wielu metod badawczych, polegające na opracowaniu nowych sposobów wyznaczania wartości i parametrów statystycznych wielkości dotąd nie wyznaczanych eksperymentalnie, zmniejszaniu niepewności pomiarowej poprzez obniżanie progu czułości, zmniejszanie niepewności systematycznej i losowej, zwiększanie stabilności czasowej i zapewnianie większej niezależności wyników od obserwatora, coraz lepsze wykorzystanie możliwości wynikających z matematycznego planowania eksperymentów i zmniejszania wpływu ograniczonej liczby danych na niepewność w wykorzystywaniu wyników eksperymentu, automatyzację zbierania, przetwarzania danych oraz przedstawiania wyników pomiarów, coraz powszechniejsze stosowanie modeli matematycznych procesów, uwzględniających probabilistyczny charakter zjawisk, a także dostosowanych do operowania informacjami niepełnymi, niepewnymi i nieścisłymi. Pierwszym problemem wymagającym rozstrzygnięcia przed przystąpieniem do modelowania i matematycznej symulacji procesu, jest wybór kompromisu między "ogólnością" opisów analitycznych, skłonnością do "przejrzystości" i łatwością interpretacji modelu z jednej strony, a zasadnością uwzględnienia wielu skomplikowanych i wzajemnie powiązanych oddziaływań z drugiej strony. Zwiększenie szczegółowości modelu powoduje zazwyczaj konieczność rezygnacji z prostych zależności deterministycznych. Jest to postępowanie w pełni uzasadnione, gdyż oznacza ulepszenie założeń do modelu. Modelowanie jest cennym narzędziem. Umożliwia rozszerzenie skali czasu, poznanie stanów pośrednich, wyodrębnienie czynników, których wpływ jest ukryty w złożonym mechanizmie kumulacji oddziaływań. Szczególną zaletą modelowania i symulacji jest możliwość oszacowania miar rozproszenia wartości cech niemierzalnych. Tak więc można np. wyznaczyć w dowolnym momencie rozkład pól warstw skrawanych przez poszczególne ziarna ścierne, podczas gdy eksperymentalnie można wyznaczyć tylko wartości średnie. Należy przy tym zwrócić szczególną uwag na powszechne nadal, w przytaczaniu wyników badań, nadużywanie pojęcia wartości średniej i błędne przyjmowanie jej za najbardziej prawdopodobną. Do ważnych zadań w najbliższym okresie - dla uzyskania postępu w modelowaniu procesów - należy zaliczyć lepsze wykorzystanie nowych metod matematycznych, takich jak: metody wnioskowania rozmytego oraz metody wykorzystujące sztuczne sieci neuronowe [1,3], a także metody wynikające z teorii badań operacyjnych, teorii procesów obsługi masowej, teorii katastrof, a ponadto procedury sekwencyjnego testowania hipotez statystycznych. 3. Wpływ cech badacza na modelowanie Modelowanie procesów jest w pewnym stopniu obciążone cechami ich obserwatora i zależy od poziomu jego wiedzy w zakresie przedmiotu modelowania oraz metod modelowania [3]. Analiza postępowania człowieka w sytuacjach, gdy odbiera on informacje z otoczenia, prowadzi do wniosków z których wynikają sposoby podwyższania obiektywizmu w ocenie zdarzeń. Obserwator ma zwykle skłonność do zawyżania prawdopodobieństwa iloczynu zdarzeń niezależnych A oraz B (sytuacji, gdy zajdzie zarówno zdarzenie A jak i zdarzenie B) oraz skłonność do zaniżania prawdopodobieństwa sumy zdarzeń A i B (sytuacji, gdy zajdzie przynajmniej jedno z tych zdarzeń). W sytuacji możliwego wystąpienia jednego ze zdarzeń niezależnych A i B, gdy zdarzenie A występowało z częstością większą od oczekiwanej, obserwator ulega skłonności do zawyżania prawdopodobieństwa oczekiwanego zdarzenia B. Obserwator jest obciążony konserwatyzmem (opóźnieniem w dokonywaniu przeszacowań prawdopodobieństwa zdarzeń wraz z napływaniem nowych informacji). Obciążenie to pomniejsza się, gdy ilość danych jest mała oraz w przypadkach zaskakujących wartości pierwszych danych. W procesie odkrywania nowych zależności występują jednak błędy, wynikające często z pomijania wpływu wielkości próbki, skłonności do przypisywania większych prawdopodobieństw informacjom łatwiej zapamiętywanym i skłonności do przedwczesnego odrzucania możliwych współzależności. Inną cechą

3 obserwatora jest często zbyt mała wnikliwość w ocenie, czy możliwa jest współzależność cech, których wartości są w danym procesie skorelowane. Bardzo często pomija się autokorelację składników losowych, co prowadzi do nieświadomego obniżenia efektywności estymacji parametrów modelu. 4. Modele procesów a kumulowanie zakłóceń Optymalizacja parametrów szlifowania może być przeprowadzona eksperymentalnie lub z wykorzystaniem modelu. Pierwszy sposób jest stosowany w przypadkach, gdy zamierza się, dla ustalonych warunków, raz tylko wyznaczyć optymalne parametry procesu. Znaczenie poznawcze tego sposobu jest niewielkie. W rozwiązywaniu zadań optymalizacji operacji szlifowania z wykorzystaniem modelu, ze względu na duży stopień losowości procesu, ważnym zagadnieniem jest poszukiwanie modelu najbardziej zgodnego z mechanizmem zmienności analizowanych wielkości wejściowych i wyjściowych. Dla zapewnienia adekwatności wyznaczanych modeli do realizacji, które mają dopiero nastąpić, istotne znaczenie ma poznanie mechanizmów kumulacji zakłóceń losowych, których skutkiem jest rozproszenie wartości badanej cechy. Typowymi mechanizmami kumulacji zakłóceń są: mechanizm addytywny, mechanizm multiplikatywny (zalecany do opisu takich wielkości jak siła i moc szlifowania, trwałość ściernicy, rozkład wymiarów ziaren po rozdrabnianiu), mechanizm addytywny-geometryczny (właściwy do opisu rozproszenia odchyłek wymiarów i kształtu). Często rozkład wynikowy jest inną funkcją np.: zależy tylko od wartości ekstremalnych lub jest złożoną funkcją zmiennych losowych. 5. Autokorelacja składników losowych Rozpatrując model pewnej wielkości wyjściowej, charakteryzującej proces szlifowania, załóżmy że nieznana zależność ma postać y* = f(x i, w j, z? ), gdzie x i to wielkości mierzalne i sterowalne, w j to wielkości mierzalne lecz niesterowalne, zaś z? to zakłócenia, których liczby nie znamy. Wyznaczmy model y = ax + u wj, w którym X jest macierzą wartości parametrów, a jest wektorem nieznanych parametrów modelu natomiast u jest wektorem składników losowych. Często zdarza się, iż składniki losowe nie są od siebie stochastycznie niezależne, co nazywa się autokorelacją składników losowych. Można wykazać, że w takim przypadku nie można wyznaczyć najlepszych nieobciążonych estymatorów parametrów modelu a, czyli nie jest możliwe otrzymanie estymatorów o minimalnej wariancji. W sytuacjach występującej autokorelacji składników losowych modelu, można przyjąć, w najprostszym przypadku, że zależność między nimi może być następująca: u k = biu k-i + ε k, gdzie b są nieznanymi parametrami, a ε k jest procesem czysto losowym, zaś i=1...n. W wielu wypadkach można w uproszczeniu przyjąć, że n=1, przy czym b i <1. Moż- i=1 na wykazać, że autokorelacja składników losowych, gdy stosuje się metodę najmniejszych kwadratów do wyznaczenia parametrów modelu a, ma wpływ na wariancję estymatorów tych parametrów. Wariancja jest wówczas wyższa niż w przypadku, gdy nie występuje autokorelacja. W modelowaniu procesów szlifowania jest to cechą typową. Trzeba zatem uwzględniać, iż efektywność estymacji parametrów modelu metodą najmniejszych kwadratów ulega obniżeniu w tym większym stopniu im silniejsza jest autokorelacja - im większe są wartości b i. 6. Estymacja parametrów modelu w warunkach autokorelacji składników losowych Jedną z metod estymacji parametrów modelu w warunkach autokorelacji składników losowych jest uogólniona metoda najmniejszych kwadratów, która polega na transformacji wektorów wartości X i u w nowe wektory TX i Tu, takie aby nowe równanie Ty = atx + Tu zawierało wektor składników losowych Tu nie wykazujący autokorelacji. Wtedy do szacowania parametrów a modelu można stosować klasyczną metodę najmniejszych kwadratów. Zastosowanie takiej transformacji wymaga jednak znajomości współczynników autokorelacji. Możliwe jest ich oszacowanie, lecz wystarczająco dokładne otrzymuje się tylko w przypadku licznych zbiorów danych (n>30). W sytuacjach, gdy n<30 szacowanie współczynników autokorelacji prowadzi do dużych błędów, co czyni całą metodę mało przydatną. Wtedy najlepiej zastosować metodę Cochrana i Orcutta, według której dwukrotnie stosuje się metodę najmniejszych kwadratów - najpierw aby oszacować parametry modelu i wyznaczyć współczynniki autokorelacji, a później by określić oceny parametrów

4 modelu. Trzeba jednak pamiętać, że estymacja parametrów modelu jest obciążona błędami szacowania współczynników autokorelacji i gdy próby są małe, to obciążenie może być znaczące. 7. Predykcja cech procesu w warunkach autokorelacji składników losowych oraz uwagi dotyczące optymalizacji wartości wynikowych procesu Wyznaczając prognozowane wartości cech procesu szlifowania y T = f(x T ) + u T, gdzie u T jest składnikiem losowym w prognozowanym okresie i rozwiązując równania oznaczające minimalizację wariancji predykcji, otrzymuje się prognozę dla okresu T=t+1 w postaci zależności y t+1 = f(x t+1 ) + b 1 e t, w której drugi składnik jest poprawką wynikającą z autokorelacji. W składniku tym b 1 oznacza parametr w zależności między składnikami losowymi zaś e t jest resztą z modelu. Optymalizacja procesu - minimalizacja lub maksymalizacja wartości określonej cechy procesu - z wykorzystaniem modelu wymaga uwzględnienia powyższych uwag, co pozwala uwzględnić charakter i siłę zależności między zmiennymi losowymi. Schemat proponowanego toku oszacowań przestawia rys.1. PARAMERTY PIERWOTNE OGRANICZAJĄCE WTÓRNE OGRANICZAJĄCE SZLIFOWANIA PROCES OBRÓBKI PLAN EKSPERYMENTU ZAKŁÓCENIA FUNKCJA KRYTERIALNA MODEL Wpływ autokorelacji składników losowych KRYTERIUM OPTYMALIZACJI MECHANIZM KUMULACJI ZAKŁÓCEŃ MECHANIZM KUMULACJI SKUTKÓW ZAKÓŁCEN ROZKŁAD WARTOŚCI I GRANICE WARUNK. OGRANICZAJĄCYCH ROZKŁAD WARTOŚCI I GRANICE UFNOŚCI DLA FUNKCJI KRYTERIALNEJ OBSZAR PARAMETRÓW DOPUSZCZALNYCH OBSZAR STANÓW UZNAWANYCH ZA OPTYMALNE ZAKRES DOPUSZCZALNYCH ZMIAN WARUNKÓW DOPUSZCZALNE ODCHYLENIA PARAMETRÓW Rys.1. Schemat procedury optymalizacji ANALIZA LOKALNEJ WRAŻLIWOŚCI ROZWIĄZANIA NA ZAKŁÓCENIA WYMAGANA DOKŁADNOŚĆ OPTYMALIZACJI Literatura: [1] Kacalak W, Wawryn K.: A fuzzy compensation of disturbances in automated manufacturing. Intelligent Engineering Systems Through Artificial Neural Networks. Vol.5. Fuzzy Logic And Evolutionary Programming. ASME Press, 1995, s [2] Kacalak W., Lewkowicz R., Bałasz B., Zawadka W.: Optimierung der Schleifprozesse schwer zerspanbarer Werkstoffe bei niedrigen Temperaturen und im Vakuum. VDI Berichte 1276, Bearbeitung neuer Werkstoffe - 2ND International Conference on Machining of Advanced Materials. VDI Verlag, Düsseldorf, 1996, s [3] Kacalak W.: Metody i zastosowania sztucznej inteligencji do diagnostyki, optymalizacji i sterowania w procesach szlifowania. XIX Naukowa Szkoła Obróbki Ściernej, Łódź 1996, s Auto-correlation of Random Components and Their Effect on Estimation of Models of Grinding Processes Auto-correlation of some random components occur in models of grinding processes. It reduces efficiency of estimation of model parameters. Random characteristics of processes and relations among particular compo-

5 nents of various models are discussed in the paper. There are shown methods decreasing inaccuracy in modeling of grinding processes.