Stosowanie technologii GPS w pomiarach geodezyjnych 311[10].Z1.11

Transkrypt

1 MINISTERSTWO EDUKACJI NARODOWEJ Ryszard Szpunar Stosowanie technologii GPS w pomiarach geodezyjnych 311[10].Z1.11 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy Radom 2007

2 Recenzenci: mgr inŝ. Marek Rosa mgr inŝ. Adam Bielawa Opracowanie redakcyjne: dr inŝ. Ryszard Szpunar Konsultacja: mgr Małgorzata Sienna Poradnik stanowi obudowę dydaktyczną programu jednostki modułowej 311[10].Z1.11 Stosowanie technologii GPS w pomiarach geodezyjnych, zawartego w modułowym programie nauczania dla zawodu technik geodeta. Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy, Radom

3 SPIS TREŚCI 1. Wprowadzenie 3 2. Wymagania wstępne 5 3. Cele kształcenia 6 4. Materiał nauczania Podstawowe pojęcia z astronomii geodezyjnej Materiał nauczania Pytania sprawdzające Ćwiczenia Sprawdzian postępów Kształt i rozmiar Ziemi Materiał nauczania Pytania sprawdzające Ćwiczenia Sprawdzian postępów Satelitarne systemy pozycyjne Materiał nauczania Pytania sprawdzające Ćwiczenia Sprawdzian postępów Wysokości elipsoidalne niwelacja satelitarna Materiał nauczania Pytania sprawdzające Ćwiczenia Sprawdzian postępów Aktywna Sieć Geodezyjna (ASG) Materiał nauczania Pytania sprawdzające Ćwiczenia Sprawdzian postępów Sprawdzian osiągnięć Literatura 50 2

4 1. WPROWADZENIE Poradnik będzie pomocny w przyswajaniu wiedzy o korzystaniu ze Stosowania technologii GPS w pomiarach geodezyjnych. W poradniku zamieszczono: wymagania wstępne wykaz umiejętności, jakie powinieneś mieć juŝ ukształtowane, abyś bez problemów mógł korzystać z poradnika, cele kształcenia wykaz umiejętności, jakie ukształtujesz podczas pracy z poradnikiem, materiał nauczania wiadomości teoretyczne niezbędne do opanowania treści jednostki modułowej, zestaw pytań, abyś mógł sprawdzić, czy juŝ opanowałeś określone treści, ćwiczenia, które pomogą Ci zweryfikować wiadomości teoretyczne oraz ukształtować umiejętności praktyczne, sprawdzian postępów, sprawdzian osiągnięć, przykładowy zestaw zadań. Zaliczenie testu potwierdzi opanowanie materiału całej jednostki modułowej, literaturę. 3

5 311[10].Z1 Mapa sytuacyjno-wysokościowa 311[10].Z1.01 Stosowanie instrumentów geodezyjnych 311[10].Z1.02 Opracowywanie mapy sytuacyjnej 311[10].Z1.03 Aktualizacja mapy sytuacyjnej na podstawie pomiarów terenowych 311[10].Z1.04 Opracowywanie przekrojów podłuŝnych i poprzecznych 311[10].Z1.05 Wykonywanie mapy warstwicowej 311[10].Z1.06 Stosowanie rachunku współrzędnych w obliczeniach geodezyjnych 311[10].Z1.07 Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.08 Projektowanie, pomiar i wyrównanie szczegółowej osnowy geodezyjnej 311[10].Z1.09 Wykonywanie pomiarów sytuacyjnych i sytuacyjno-wysokościowych 311[10].Z1.10 Sporządzenie mapy sytuacyjno-wysokościowej na podstawie pomiarów terenowych 311[10].Z1.11 Stosowanie technologii GPS w pomiarach geodezyjnych Schemat układu jednostek modułowych 4

6 2. WYMAGANIA WSTĘPNE Przystępując do realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć: określać rolę i zadania geodezji i kartografii w działalności gospodarczej, posługiwać się jednostkami miar stosowanymi w geodezji, określać zasady tworzenia odwzorowań kartograficznych, określać cechy i przeznaczenie odwzorowań kartograficznych, posługiwać się instrumentami geodezyjnymi (tachimetrami, niwelatorami), wyrównywać metodą pośredniczącą sieci kątowo-liniowe i niwelacyjne, określać rachunek błędów, określić systemy odniesień przestrzennych obowiązujące w Polsce, wykorzystywać transformacje Helmerta, obliczać współrzędne punktów korzystając z róŝnych konstrukcji geometrycznych, posługiwać się komputerem oraz Internetem, przestrzegać przepisów bezpieczeństwa i higieny pracy, ochrony przeciwpoŝarowej oraz ochrony środowiska, wykreślać mapę sytuacyjno-wysokościową w oprogramowaniu typu CAD. 5

7 3. CELE KSZTAŁCENIA W wyniku realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć: scharakteryzować wielkość i kształt ziemi, objaśnić podstawowe pojęcia z zakresu astronomii geodezyjnej, zastosować współrzędne geodezyjne BLH, objaśnić strukturę i zasady funkcjonowania globalnych systemów satelitarnego pozycjonowania, wykorzystać technologie GPS do realizacji zadań geodezyjnych, zdefiniować niwelację satelitarną. 6

8 4. MATERIAŁ NAUCZANIA 4.1. Podstawowe pojęcia z astronomii geodezyjnej Materiał nauczania Aby określać połoŝenie gwiazd (lub satelitów) i na podstawie ich obserwacji móc obliczać naszą pozycję na Ziemi potrzebne jest zbudowanie układów współrzędnych. Wszystkie te układy współrzędnych tworzymy na tzw. sferze niebieskiej czyli sferze o nieskończenie wielkim promieniu na której przyjmujemy, Ŝe połoŝone są wszystkie widoczne ciała niebieskie. My, jako obserwatorzy znajdujemy się dokładnie w środku kuli. Na sferze niebieskiej, podobnie jak na powierzchni Ziemi definiujemy południki niebieskie i równoleŝniki niebieskie. Największym z równoleŝników niebieskich jest równik niebieski zdefiniowany jako ślad przecięcia płaszczyzny równika ziemskiego i sfery niebieskiej. Prosta przechodząca przez dwa bieguny ziemskie N i S zwana osią świata przecina sferę niebieską w punktach P N i P S, czyli północy niebieskiej i południa niebieskiego. P N Z południk niebieski almukantarat równik niebieski płaszczyzna horyzontu oś świata wertykał P S Nd Rys. 1. Południki i równoleŝniki niebieskie Nowym pojęciem, jakie musimy wprowadzić jest płaszczyzna horyzontu, czyli płaszczyzna zawierająca limbus spoziomowanego instrumentu prostopadła do kierunku linii pionu w miejscu obserwacji. O ile płaszczyzna równika niebieskiego jest jedna, to płaszczyzna horyzontu instrumentu jest charakterystyczna dla punktu. Prosta prostopadła do płaszczyzny horyzontu przetnie sferę niebieską w punktach Zenitu (Z) i Nadiru (Nd). Prostą tą moŝemy utoŝsamić z pionową osią obrotu instrumentu. Punkt zenitu znajduje się nad płaszczyzną horyzontu natomiast nadir znajduje się po przeciwnej stronie sfery niebieskiej, czyli w odległości zenitalnej 180 o. Linie równoległe do horyzontu są nazywane almukantaratami. Natomiast linie prostopadłe do płaszczyzny horyzontu nazywane są wertykałami. Pojęcia te umoŝliwiają zdefiniowanie następujących układów współrzędnych: 7

9 Układy współrzędnych Układ horyzontalny Oś pionowa układu horyzontalnego wyznacza w przecięciu ze sferą niebieską dwa charakterystyczne punkty Zenit i Nadir. W układzie horyzontalnym występują dwie charakterystyczne płaszczyzny, pierwsza nosi nazwę płaszczyzny południka miejscowego (zaleŝy od połoŝenia Z na sferze niebieskiej a zatem od miejsca obserwacji) i wyznaczają ją trzy punkty Zenit (Z), Północ Niebieska (P N ) i środek Ziemi (O). Drugą charakterystyczną płaszczyzną jest płaszczyzna horyzontu. Jest ona prostopadła do osi Zenit - Nadir i zawiera środek świata. W układzie tym występują dwie współrzędne wyznaczające jednoznacznie połoŝenie gwiazdy na sferze niebieskiej. Są to: azymut gwiazdy (A) liczony jako kąt dwuścienny między płaszczyzną południka miejscowego a południkiem przechodzącym przez gwiazdę (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) oraz wysokość (h) liczona jako kąt między płaszczyzną horyzontu a promieniem wodzącym wyprowadzonym ze środka Ziemi do gwiazdy. Inną stosowaną zamiennie z wysokością współrzędną jest odległość zenitalna (z) określona jako odległość kątowa promienia gwiazdy od Zenitu z = 90 - h. Azymut gwiazdy moŝe zmieniać się w zakresie od 0 przez 180 w punkcie S do 360. Wysokość gwiazdy h zawiera się między 90 w zenicie do -90 w nadirze. Odległość zenitalna z zawiera się w granicach od 0 w zenicie do 180 w nadirze. Na płaszczyźnie horyzontu wyróŝnia się cztery charakterystyczne punkty. Punkt północy i południa (N i S) znajdujące się na przecięciu płaszczyzny horyzontu z płaszczyzną południka miejscowego. Punkty wschodu i zachodu (E i W) znajdują się na przecięciu tzw. I wertykału z płaszczyzną horyzontu, czyli na azymutach odpowiednio 90 i 270. Układ ten, choć bardzo wygodny do zdefiniowania ma swoją istotną niedogodność, jest on, bowiem zaleŝny od pozycji obserwatora oraz czasu obserwacji, zatem nie nadaje się do katalogowania gwiazd. Układ równikowy ekwinokcjalny Układ ten związany jest z płaszczyzną równika niebieskiego (analogicznie jak równik ziemski z tym Ŝe na sferze niebieskiej) i osią świata (łączącą dwa bieguny). Układ ten jest podobnie skonstruowany jak ziemski układ współrzędnych ϕ, λ. WyróŜniamy tu: deklinację δ opisywaną jako kąt między płaszczyzną równika niebieskiego i promieniem wodzącym gwiazdy G (analogia do szerokości geograficznej ϕ) Deklinacja gwiazdy nie jest współrzędną zaleŝną od ruchu dobowego gwiazdy, w swym ruchu gwiazda porusza się bowiem po równoleŝniku niebieskim (skoro pł. równoleŝnika jest równoległa do pł. równika to deklinacja nie zmienia się). Deklinację mierzy się w stopniach a jej wartość zmienia się od 90 (biegun północny) przez 0 (równik niebieski) do -90 (biegun południowy). Drugą współrzędna mierzymy po równiku niebieskim a jest nią. rektascensja α. Za początek liczenia tej współrzędnej przyjęto punkt równonocy wiosennej ϒ (tzw. punkt Barana) tj. punkt przecięcia płaszczyzny równika niebieskiego płaszczyzną ekliptyki (pozornego ruchu Słońca). W tym punkcie Słońce przechodzi z półkuli południowej na północną. Zatem rektascensją nazywamy kąt dwuścienny zawarty między południkiem niebieskim przechodzącym przez punkt Barana a południkiem danej gwiazdy. Rektascensję mierzymy w płaszczyźnie równika niebieskiego od południka punktu Barana w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Rektascensje wygodnie jest liczyć w mierze godzinnej (h, m, s) wzrasta ona z zachodu na wschód od 0 h w punkcie równonocy do 24 h. Zamianę miary godzinnej na miarę stopniową moŝna dokonać z zaleŝności: 8

10 Punkt równonocy wiosennej uczestniczy razem z całą sferą niebieską w ruchu dobowym sfery niebieskiej. Nie zmienia się zatem jego połoŝenie wśród gwiazd, zatem i nie zmienia się wartość rektanscensji. Ten układ równań słuŝy do zestawiania pozycji gwiazd w specjalnych katalogach gwiazd oraz rocznikach astronomicznych. Układ równikowy godzinny Podstawowymi płaszczyznami w tym układzie są płaszczyzna równika niebieskiego oraz płaszczyzna południka miejscowego. Jedną ze współrzędnych jest definiowana identycznie jak w poprzednim układzie deklinacja δ. Drugą współrzędną jest: kąt godzinny t zawarty między płaszczyzną południka miejscowego a południkiem danej gwiazdy. Kąt godzinny mierzy się po równiku począwszy od południowej części południka miejscowego PNZS w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara od 0 h do 24h. O ile deklinacja jak poprzednio jest wartością stałą o tyle wartość kąta godzinnego wzrasta proporcjonalnie do upływu czasu zgodnie z pozornym ruchem gwiazdy po równoleŝniku niebieskim. Zmiana tego kąta o 24 h odpowiada jednemu obrotowi Ziemi dokoła własnej osi i stanowi jednostkę czasu zwaną dobą gwiazdową. Za pomocą kąta godzinnego definiowany jest równieŝ czas gwiazdowy miejscowy oznaczany jako S. WyraŜa się go prostym wzorem S = α + t Pojęcie czasu gwiazdowego definiowane w powyŝszy sposób jest podstawowym pojęciem w astronomii. Jest to zarazem związek transformujący układ równikowy godzinny do ekwinokcjalnego. Rys. 2. Układ równikowy godzinny Mierzenie czasu Przedział czasu pomiędzy kolejnymi i jednoimiennymi zgórowaniami środka widzialnej tarczy słonecznej na tym samym południku nosi nazwę prawdziwej doby słonecznej. 9

11 Prawdziwym czasem słonecznym m s nazywamy czas, który upłynął od momentu dolnego górowania słońca (prawdziwa północ) do dowolnego jego połoŝenia. Czas ten wyraŝony jest poprzez ułamek prawdziwej doby słonecznej: Punkt, który porusza się ruchem jednostajnym wzdłuŝ równika w ten sposób, Ŝe jego rektascensja jest równa średniej długości prawdziwego Słońca nosi nazwę średniego Słońca równikowego. Zatem średnią dobą słoneczną nazywamy przedział czasu pomiędzy dwoma kolejnymi jednoimiennymi górowaniami średniego Słońca równikowego na tym samym południku. Czas od momentu dolnego górowania średniego Słońca równikowego do dowolnego połoŝenia wyraŝony w ułamku średniej doby słonecznej, nosi nazwę średniego czasu słonecznego m śr Czas gwiazdowy, prawdziwy czas słoneczny oraz średni czas słoneczny dowolnego południka nosi nazwę odpowiedniego czasu lokalnego tego południka. Średni lokalny czas słoneczny południka przechodzącego przez obserwatorium Greenwich pod Londynem nosi nazwę czasu uniwersalnego. Z praktycznych względów Ziemię podzielono na 24 piętnastostopniowe strefy. Dla kaŝdej strefy wprowadzono czas strefowy róŝniący się od sąsiednich stref o godzinę. W Polsce w porze zimowej obowiązuje czas środkowoeuropejski (dla południka 15 - o godzinę późniejszy od czasu uniwersalnego). Wiosną (aŝ do jesieni) ze względów ekonomicznych następuje zmiana czasu na wschodnioeuropejski (czas dla południka 30 ) późniejszy o dwie godziny od czasu uniwersalnego. Umowna linia na mapie stref czasowych, przebiegająca głównie wzdłuŝ południka 180 stopni (występują niewielkie odchylenia w przypadku miejsc zamieszkanych przez ludzi), przy której przekraczaniu zmienia się datę nazywa się linią zmiany daty. Na wschód od niej data jest o jedną dobę mniejsza niŝ na zachód. Przekraczając linię zmiany daty ze wschodu na zachód naleŝy dodać jedna dobę, natomiast przy przekroczeniu z zachodu na wschód drugi raz wprowadzić tę samą datę Pytania sprawdzające Odpowiadając na pytania, sprawdzisz czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń. 1. Co to jest wertykał? 2. Co to jest zenit? 3. Co to jest oś świata? 4. Co to jest równik niebieski? 5. Jakie znasz układy współrzędnych astronomicznych? 6. Co to jest rektascensja? 7. Co to jest deklinacja? 8. Co to jest czas gwiazdowy? 9. Co to jest czas średni słoneczny? 10. Co to jest czas strefowy? 11. Co to jest linia zmiany daty? 12. Co to jest czas uniwersalny? 10

12 Ćwiczenia Ćwiczenie 1 Wykonaj obliczenie róŝnicy czasów strefowych dla róŝnych miast na świecie (dane podaje nauczyciel). Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) zapoznać się z rozdziałem 4.1, 2) określić róŝnicę długości geograficznych zadanych miast, 3) obliczyć róŝnicę czasu dla zadanych stref czasowych. WyposaŜenie stanowiska pracy: atlas geograficzny, długopis Sprawdzian postępów Czy potrafisz: Tak Nie 1) zdefiniować południki niebieskie? 2) zdefiniować równoleŝniki niebieskie? 3) określić prostą przechodzącą przez punkty N i S? 4) wykonać obliczenia czasowe dla wybranych miejscowości? 11

13 4.2. Kształt i rozmiar Ziemi Materiał nauczania Powierzchnie ekwipotencjalne - geoida Aby wyznaczyć pozycję (połoŝenie) punktu za pomocą globalnego systemu satelitarnego GPS musimy zdefiniować globalny (obejmujący całą Ziemię) układ odniesienia. Aby to zrobić naleŝy najpierw określić kształt ziemi. Fizyczna powierzchnia Ziemi ma kształt na tyle nieregularny i skomplikowany, Ŝe opisanie jej za pomocą matematycznego wzoru jest niemoŝliwe. Kształt ten naleŝy, więc opisać poprzez porównanie do innych mniej skomplikowanych kształtów. Ponad 70% powierzchni Ziemi pokrywają morza i oceany, których powierzchnia przyjmuje kształt zwany geoidą, więc figura ta stanowi reprezentatywne przybliŝenie kształtu ziemi. Geoidą nazywamy ciągłą i gładką powierzchnię zamkniętą zawierającą swobodny poziom mórz otwartych, znajdujących się w absolutnym spokoju, przy załoŝeniu idealnych warunków atmosferycznych oraz jednakowym składzie chemicznym, rozciągniętą pod lądami wirującej Ziemi, gdyby moŝna było je tam wpuścić. Kształt geoidy determinowany jest, zatem poprzez siłę cięŝkości (wypadkową siły grawitacyjnej przyciągania mas Ziemi, oraz siły odśrodkowej spowodowanej obrotem Ziemi wokół własnej osi), która działa na morza i oceany w załoŝonych idealnych warunkach. Powierzchnie takie, które w kaŝdym swoim punkcie mają stały potencjał siły cięŝkości nazywamy powierzchniami ekwipotencjalnymi lub poziomymi, i moŝemy opisać wzorem: W = const. gdzie W jest potencjałem siły cięŝkości. Równanie to opisuję rodzinę powierzchni, wśród których jedna, pokrywająca się idealnym poziomem mórz otwartych to właśnie geoida, którą opisujemy równaniem: W 0 = const. Kierunek linii pionu, określony przez wektor przyśpieszenia siły cięŝkości, jest w kaŝdym punkcie prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnych (poziomych). Siła cięŝkości, za pomocą, której moŝemy określić powierzchnie poziome (a wśród nich geoidę) oraz kierunek linii pionu (w praktyce za pomocą pionu sznurkowego, libeli) umoŝliwia równieŝ określenie pojęcia wysokości jako odległości między powierzchniami ekwipotencjalnymi. RozwaŜając pracę w polu potencjalnym moŝemy zapisać: Praca = Siła Przesunięcie Dla pola potencjalnego Ziemi, gdzie siłą będzie siłą cięŝkości, otrzymamy: dw = g dh gdzie dh to wektor elementarnego przesunięcie o kierunku i zwrocie wektora przyspieszenia siły cięŝkości g między powierzchniami ekwipotencjalnymi między którymi róŝnica potencjału wynosi dw. Stąd moŝemy wyrazić odległość sąsiednich powierzchni ekwipotencjalnych poprzez róŝniczką potencjału i przyśpieszenie siły cięŝkości: Okazuje się, Ŝe praca w polu potencjalnym siły cięŝkości jest równa potencjałowi. Przemieszczenie punktu z powierzchni ekwipotencjalnej W 0 (geoidy) do powierzchni ekwipotencjalnej (poziomej) przechodzącej przez punktu na fizycznej powierzchni Ziemi W P będzie się wiązało z wykonaniem pracy równej: W = W 0 W P 12

14 a długość odcinka na którym ta praca jest wykonywana wysokość zaleŝy od siły towarzyszącej przemieszczaniu punktu siły cięŝkości. Dla dowolnego punktu P moŝna zapisać: RóŜnicę potencjałów oznaczamy jako liczbę geopotencjalną C: C P = W 0 - W P Liczba ta wyraŝa prace w polu potencjalnym, niezaleŝną od drogi, i jest wykorzystywana do definicji wysokości. JeŜeli za wysokość przyjmiemy najkrótszą drogę, na jakiej wykonano pracę określoną przez liczbę geopotencjalną to aby ją obliczyć naleŝy liczbę C podzielić przez przyspieszenie siły cięŝkości właściwą dla drogi 0-P wzdłuŝ linii pionu. Systemy wysokości Sposób wyznaczenia wartości g reprezentatywnej dla drogi 0-P wiąŝe się z pojęciem systemów wysokości. WyróŜniamy cztery systemy wysokości, róŝniące się przyjętą wartością g. 1. Wysokość geopotencialna jeŝeli za wartość przyspieszenia siły cięŝkości przymniemy stałą przybliŝoną wartość równą 10 m s -2. Wysokość geopotencjalna punktu P wyniesie: 2. Wysokość dynamiczna jeŝeli za wartość przyspieszenia siły cięŝkości przyjmiemy stałą wartość przyjętą dla pewnego modelowego rozkładu masy w globie Ziemskim dla punktu połoŝonego na poziomie morza na szerokości 45 - : 3. Wysokość ortometryczna określa wzniesienie punktu ponad geoidę mierzone wzdłuŝ rzeczywistej linii pionu. Określamy ją dzieląc liczbę geopotencjalną przez przeciętną wartość rzeczywistego przyspieszenia siły cięŝkości wzdłuŝ linii pionu od geoidy do punktu na fizycznej powierzchni Ziemi : 4. W praktyce nie moŝliwe jest wyznaczenie przeciętnej wartości przyspieszenia siły cięŝkości bez załoŝenia hipotetycznego rozkładu gęstości mas Ziemi wzdłuŝ linii pionu 0-P. 5. Wysokość normalna jeŝeli za wartość przyspieszenia przyjmiemy przeciętną wartość przyspieszenia wzdłuŝ linii pionu dla pewnego przyjętego modelu przyśpieszenia siły cięŝkości (przyśpieszenia normalnego) - : Zastąpienie przyspieszenia rzeczywistego (wysokości ortometryczne) przyspieszeniem normalnym (modelowym) powoduje, Ŝe wysokości normalne nie odnoszą się do geoidy, ale do powierzchni zwanej quasigeoidą, nie będącą powierzchnią ekwipotencjalną. Przeliczanie wysokości między róŝnymi systemami moŝliwe jest gdy znamy odpowiednie wartości przyśpieszenia. Stałość liczby geopotencjalnej w kaŝdym systemie umoŝliwia napisanie ogólnej zaleŝności: Na jej podstawie moŝna powiązać wysokość przedstawioną w dwóch dowolnych systemach, np. dla wysokości normalnej i dynamicznej mamy zaleŝność: 13

15 Pojęcie geoidy pozwoliło nam opisać kształt Ziemi, jako powierzchni ekwipotencjalnej. Opisanie geoidy jako figury geometrycznej jest jednak niemoŝliwe, gdyŝ nadal jest to powierzchnia bardzo skomplikowana. Geometryczny kształt geoidy opisuje się porównując ją z inną powierzchnią o zbliŝonym a zarazem niezbyt skomplikowanym kształcie. Za taką powierzchnię przyjmuję się elipsoidę obrotową o niewielkim spłaszczeniu, której powierzchnia przebiega w jak najbliŝszym sąsiedztwie geoidy (rys. 1). Rys. 3. Powierzchnie odniesienia stosowane w geodezji [1] Elipsoida obrotowa współrzędne geodezyjne Elipsoida obrotowa, jako przybliŝenie geometryczne geoidy umoŝliwia opisanie powierzchni Ziemi funkcją analityczną, co pozwala rozwiązywać podstawowe zadania geodezyjne na jej powierzchni: określać współrzędne, obliczać odległości, pola, kąty oraz odwzorowywać ją na płaszczyznę przy tworzeniu map. Dodatkowo dodając elipsoidzie masę (gęstość mas) oraz prędkość kątową wykorzystujemy ją jako model potencjału siły cięŝkości. Model ten jest wykorzystywany np. przy określaniu przyspieszenia normalnego, przy systemach wysokości dynamicznych i normalnych. Elipsoida obrotowa spłaszczona powstaje przez obrót elipsy dokoła małej osi. Określają ją dwa stałe niezaleŝne od siebie parametry, którymi mogą być np. półosie a (duŝa, równikowa) i b (mała, biegunowa). Często uŝywane są równieŝ do opisania kształtu elipsoidy parametry spłaszczenia: oraz pierwszego mimośrodu: Aby określić połoŝenie punktu na powierzchni elipsoidy obrotowej naleŝy wprowadzić układ współrzędnych geodezyjnych B,L,H. Układ ten przedstawia rysunek 2. Szerokość geodezyjna B to kąt, jaki tworzy normalna do elipsoidy z płaszczyzną równika geodezyjnego. Równik zaś jest kołem powstałym w wyniku przekroju elipsoidy obrotowej płaszczyzną, do której oś obrotu elipsoidy jest prostopadła i która zawiera środek 14

16 elipsoidy O. Szerokość geodezyjna osiąga wartości o 0 (dla punktu na równiku) do 90 (punkt na biegunie) oraz moŝe być północna N lub południowa S. Długość geodezyjna L to kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyzną południka początkowego zawierającego oś Ox i płaszczyzną południka zawierającego punkt P. Południki geodezyjne (przekroje o kształcie elips) uzyskujemy prowadząc pęk płaszczyzn przez oś Oz (małą półoś b). Długość geodezyjna osiąga wartości od 0 do 360 lub od 0 do 180 przy rozróŝnieniu długości wschodniej E i zachodniej W. Wysokość elipsoidalna H jest wysokością punktu nad elipsoidą. Wszystkim punktom geoidy stykającym się z powierzchnią elipsoidy przypisane zostały zerowe wartości H, natomiast punktom leŝącym na zewnątrz elipsoidy dodatnie wartości odległości. Punkty leŝące wewnątrz elipsoidy otrzymują ujemne wartości odległości H. Rys. 4. Współrzędne geodezyjne i prostokątne [1] Układ współrzędnych prostokątnych xyz jest układem prawoskrętnym, w który początek umieszczono w środku elipsoidy, oś oz pokrywa się z małą osią elipsoidy i zorientujemy ją dodatnio w kierunku bieguna północnego. Oś x leŝąc w płaszczyźnie równika przechodzi przez punkt elipsoidy o zerowych wartościach szerokości B i długości L. Natomiast oś y leŝy w płaszczyźnie równika i w związku z prawoskrętnością układu jest skierowana na wschód. W kaŝdym punkcie na powierzchni elipsoidy moŝemy znaleźć normalną do powierzchni elipsoidy n, która leŝy w płaszczyźnie południka. Prowadząc przez normalną pęk płaszczyzn otrzymamy płaszczyzny normalne w danym punkcie P, których ślad przecięcia z elipsoidą obrotową da nam przekroje normalne w danym punkcie. Wśród wszystkich przekroi wyróŝniamy takie dwa, których krzywizny są ekstremalne przekroje w kierunkach głównych (rys. 3). Maksymalną krzywiznę (minimalny promień) ma przekrój w kierunku południka geodezyjnego, którego promień oznaczamy M. Minimalną krzywizną, a maksymalny promień ma przekrój w kierunku prostopadłym do południka, zwanym I wertykałem jego promień oznaczamy symbolem N. 15

17 Rys. 5. Promień krzywizny pierwszego wertykału [1] Do obliczenia promieni krzywizn w kierunkach głównych w danym punkcie P na powierzchni elipsoidy słuŝą wzory: Znając współrzędne geodezyjne punktu B i L oraz wysokość elipsoidalną punktu H moŝna znaleźć współrzędne prostokątne geocentryczne punktu P na podstawie wzorów: Odwrotne przeliczenie wymaga postępowania iteracyjnego. Na podstawie obowiązujących w Polsce przepisów (instrukcja O-1/O-2) przy wykonywaniu prac geodezyjnych przyjmujemy jako powierzchnię odniesienia elipsoidę obrotową GRS 80 (Geodetic Reference System 1980) o parametrach: a. Promień równikowy a= m, b. Spłaszczenie geometryczne α=1/298, Układ wysokości tworzą wysokości normalne odniesione do średniego poziomu morza Bałtyckiego, wyznaczone dla mareografu w Kronsztadzie. Jako powierzchnia odniesienia dla globalnego systemu GPS wykorzystywana jest elipsoida obrotowa WGS 84 (World Geodetic System 1984), która praktycznie kształtem nie róŝni się od elipsoidy GRS Pytania sprawdzające Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń. 1. Co to jest geoida? 2. Co to jest powierzchnia ekwipotencjalna? 3. Co to jest wysokość? 4. Co to jest wysokość ortometryczna? 5. Co to jest wysokość normalna? 6. Co to jest wysokość dynamiczna? 7. Co to są współrzędne geodezyjne? 16

18 Ćwiczenia Ćwiczenie 1 Wykonaj obliczenie promieni krzywizn w południku i w I wertykale dla zadanych współrzędnych geodezyjnych BLH. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) zapoznać się z rozdziałem 4.2, 2) obliczyć róŝnicę wartości promieni krzywizn stosując odpowiednie wzory. WyposaŜenie stanowiska pracy: kalkulator, długopis. Ćwiczenie 2 Wykonaj obliczenie współrzędnych geocentrycznych XYZ mając dane współrzędne geodezyjne BLH. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) zapoznać się z rozdziałem 4.2, 2) obliczyć wartości współrzędnych XYZ stosując odpowiednie wzory. WyposaŜenie stanowiska pracy: kalkulator, długopis Sprawdzian postępów Czy potrafisz: Tak Nie 1) zdefiniować pojęcie geoidy? 2) określić kształt geoidy? 3) zdefiniować system wysokości? 4) określić współrzędne geodezyjne? 5) wyznaczyć pozycję punktu za pomocą globalnego systemu satelitarnego? 17

19 4.3. Satelitarne systemy pozycyjne Materiał nauczania Prawa przyrody rządzące ruchem sztucznych satelitów Ziemi Nauka, która zajmuje się badaniem ruchu ciał niebieskich odbywającego się pod wpływem działania sił ciąŝenia nazywa się mechaniką nieba. Za początek rozwoju tej nauki uwaŝa się odkrycia przez Izaaka Newtona ( ) praw dynamiki oraz prawa powszechnego ciąŝenia. 1. Jeśli na ciało nie działa Ŝadna siła lub siły działające równowaŝą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1726 edition). 2. Jeśli siły działające na ciało nie równowaŝą się (czyli siła wypadkowa jest róŝna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej. F a = k m 3. Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i róŝne punkty przyłoŝenia (kaŝda działa na inne ciało). Prawo powszechnego ciąŝenia: Siła działająca między kaŝdymi dwoma punktami materialnymi o masach m1 i m 2 znajdującymi się w odległości r jest siłą przyciągającą, skierowaną wzdłuŝ prostej łączącej te punkty. Iloczyn stałej grawitacji (stałej Cavendisha) i masy ciała dla Ziemi wynosi: µ=gm= [km 3 /s 2 ] Prawa te stanowią podstawę odkrytych przez Jana Keplera ( ) trzech praw rządzących ruchem planet wokół Słońca: 1. KaŜda planeta porusza się po orbicie eliptycznej. W jednym z ognisk orbity znajduje się Słońce. W ogólności, jeŝeli będziemy rozpatrywać ruch punktu materialnego wokół ciała centralnego (satelity wokół Ziemi) zatem pierwsze prawo przyjmuje postać. Satelita porusza się po orbicie będącej krzywą stoŝkową, w jednym z ognisk, której znajduje się ciało centralne (Ziemia). Krzywa stoŝkowa jest śladem przecięcia płaszczyzną pobocznicy stoŝka. Rys. 6. Krzywa stoŝkowa 18

20 W zaleŝności od kąta zawartego pomiędzy osią symetrii stoŝka i płaszczyzną cięcia powstają następujące krzywe płaskie: okrąg, elipsa, parabola, hiperbola, Wszystkie krzywe moŝna na płaszczyźnie opisać jednym równaniem krzywej stoŝkowej: e mimośród orbity (krzywej), p parametr ogniskowy, ν,r współrzędne biegunowe. W mechanice nieba kąt ν nazywa się anomalią prawdziwą a r promieniem wodzącym satelity. E jest to anomalia mimośrodowa. Rys 7. Anomalia prawdziwa i anomalia średnia ZaleŜność pomiędzy anomalią prawdziwą i anomalią mimośrodową wyraŝa równanie Keplera: gdzie M jest anomalią średnią n średnim ruchem n jest parametrem teoretycznym i oznacza ruch satelity ze stałą prędkością kątową (z praw Keplera wynika Ŝe taki ruch jest moŝliwy tylko w szczególnym przypadku orbity kołowej). 2. Promień wodzący planety zakreśla w równych interwałach czasu równe pola ds ν p = = const W ogólności: dt Promień wodzący satelity zakreśla w równych interwałach czasu równe pola. Pole (S) zakreślone promieniem wodzącym satelity jest proporcjonalne do czasu. 19

21 Prędkość polowa (S) satelity jest stała. Prędkość kątowa (ϑ) satelity zaleŝy od odległości od ciała centralnego. Rys. 8. Prawo pól (zamalowane pola mają jednakową powierzchnię) WaŜną konsekwencją drugiego prawa Keplera jest zmienność prędkości kątowej. 3. Kwadraty okresów obiegu planet są proporcjonalne do sześcianów odległości od Słońca W oparciu o prawa Newtona moŝna napisać równanie ruchu sztucznych satelitów ziemi:.. µ r+ r = 0 3 Równanie róŝniczkowe, wektorowe. W wyniku rozwiązania tego równania otrzymujemy sześć elementów skalarnych elementów orbity. Z rozwiązania tego równania wynikają równieŝ przytoczone wyŝej prawa Keplera. Elementy orbity są to wielkości, które pozwalają określić: tor (trajektorię) satelity w przestrzeni, połoŝenie satelity w przestrzeni, prędkość satelity, w dowolnym momencie. Elementy określają: połoŝenia płaszczyzny orbity w przestrzeni (nachylenie płaszczyzny orbity do płaszczyzny równiaka(i), połoŝenie węzła wstępującego (Ω), połoŝenia orbity w jej płaszczyźnie (argument perigeum (ω)), T = T r r r wielkości i kształtu orbity, duŝa półoś i mimośród orbity, czasu przejścia satelity przez określony punkt orbity najczęściej perigeum (perigeum jest to punkt orbity znajdujący się najbliŝej ciała centralnego)