LIV. Olimpiada Fizyczna. zawody II stopnia. olimpiady, konkursy, zadania. fizyka w szkole. ρ =10 3 kg/m 3, v =7km/s, α =45, S =0,01m 2.

Transkrypt

1 LIV Olimpiada izyczna zawody II stopnia ZADANIE Pocisk w kszta cie sto ka o polu podstawy S i kàcie ozwacia α pousza si z p dkoêcià v wzd u swojej osi w ston wiezcho ka) w badzo ozzedzonym jednoatomowym gazie. Tempeatua gazu jest na tyle niska, a p dkoêç v na tyle du a, i mo na pzyjàç, e atomy gazu sà nieuchome. G stoêç gazu jest ówna ρ. Zak adajàc, e atomy gazu zdezajà si z powiezchnià pocisku doskonale sp yêcie i nie zdezajà si ze sobà, obliczyç si opou, jaka dzia a na pocisk. Powiezchnia pocisku jest idealnie g adka. Podaj watoêç liczbowà dla ρ 0 3 kg/m 3, v 7km/s, α 5, S 0,0m. Zagadnienie b dziemy ozpatywali w uk adzie, w któym sto ek jest nieuchomy. Poniewa zdezenie jest doskonale sp yste, a powiezchnia sto ka nieuchoma, atom gazu po zdezeniu b dzie mia p dkoêç v skieowanà pod kàtem α w stosunku do poczàtkowej p dkoêci. Zatem zmiana sk adowej p du atomu o masie m ównoleg ej do osi sto ka jest ówna p mvcos α ). W czasie t ze sto kiem zdeza si N atomów gazu, pzy czym N ρ m vs t. Zatem ca kowita si a opou dzia ajàca na sto ek jest ówna opou N p cos α)ρv t S sin αρv S. Jej watoêç liczbowa dla powy szych danych wynosi opou 90 N. ZADANIE Wàska wiàzka fuleenów czàsteczek w gla C 60 w kszta cie pi ki futbolowej pada postopadle na siatk dyfakcyjnà o sta ej sieci d 00 nm siatkà dyfakcyjnà jest p ytka z azotku kzemu z wyci tymi ównoleg ymi wàskimi szczelinami). Za siatkà znajdujà si detektoy zliczajàce czàsteczki docieajàce do poszczególnych punktów p aszczyzny ekanu ) znajdujàcej si w du ej odleg oêci od siatki i ównoleg ej do niej. Wskazania detektoów s u à do wyznaczenia powsta ego obazu intefeencyjnego. a) Pzyjmujàc, e ozk ad p dkoêci czàsteczek v) w wiàzce jest ozk adem jednoodnym w zakesie v v 0 v ; v 0 + v, wyznacz kàt ugi cia wiàzki α n odpowiadajàcy po o eniu Êodka pà ka intefeencyjnego n-tego z du oaz kàt α n odpowiadajàcy szeokoêci tego pà ka pà ek jest obszaem, do któego dolatujà czàsteczki). Podaj watoêci liczbowe dla n, v 0 7 m/s, v 0,7v 0. Rozwa tylko te pà ki, dla któych sin α n α n. b) Jaki jest dopuszczalny ozzut v p dkoêci czàsteczek w wiàzce pzy ustalonym v 0 ), aby pà- ek n-tego z du by dobze ozó nialny, tzn. aby po obu jego stonach by y miejsca, do któych nie docieajà czàsteczki? Zak adamy, e ka da z czàsteczek ma dok adnie okeêlony p d. Masa atomu w gla jest ówna,0 0 6 kg, sta a Plancka h 6,6 0 3 Js. a) Pà ki intefeencyjne pojawiajà si, gdy ó nica faz fal w tym wypadku fal de Boglie a) wychodzàcych z sàsiednich szczelin siatki jest ówna wielokotnoêci π, czyli gdy kàt ugi cia wiàzki α spe nia waunek d sin α nλ, gdzie n jest liczbà ca kowità, a λ d ugoêcià fali de Boglie a czàsteczki o masie m i p dkoêci v λ h mv h jest sta à Plancka). Dla wiàzki czàsteczek o jednakowych p dkoêciach i idealnej siatki dyfakcyjnej, o du ej liczbie szczelin) ka dy pà ek jest nieskoƒczenie cienki. Jednak w naszym pzypadku, ze wzgl du na ó ne p dkoêci 38 66

2 czàsteczek w wiàzce, pà ek n-tego z du b dziemy obsewowaç dla kàtów ugi cia od α + n do α n, gdzie dα + n d sin α + h n n mv 0 + v) dα n d sin α h n n mv 0 v). Zatem kàt odpowiadajàcy po o eniu Êodka pà ka n-tego z du jest dany wzoem α n n h ) md v 0 v + v 0 + v n h md v 0, v) a kàt odpowiadajàcy szeokoêci tego pà ka wzoem α n n h ) md v 0 v v 0 + v n h v 0 md v 0. v) Dla podanych watoêci liczbowych otzymamy w adianach) α,8 0 5, v 0 α, b) Na ekanie, mi dzy n-tym a n +)-szym pà kiem, b dà miejsca, do któych nie dolatujà czàsteczki, jeêli α n <α + n +, czyli n h md v 0 v < n +) h md v 0 + v, co daje v < v 0 n +. ) JeÊli powy sza nieównoêç b dzie spe niona, to ównie mi dzy n )-szym a n-tym pà kiem b dzie obsza, do któego nie dolatujà czàsteczki. Zatem wzó ) jest szukanym waunkiem na dopuszczalny ozzut p dkoêci. ZADANIE 3 Rozwa my gumowy balonik, któy po nadmuchaniu powietzem ma kszta t kuli. a) Gdy pomieƒ balonika wynosi 0,m, to wewnàtz panowa o ciênienie p, 0 5 Pa. Jakie ciênienie panuje wewnàtz balonika, po nadmuchaniu go tak, by mia pomieƒ 3/)? W obu pzypadkach tempeatua powietza wewnàtz balonika jest ówna tempeatuze otoczenia i wynosi T K. CiÊnienie powietza otaczajàcego balonik jest ówne p 0,0 0 5 Pa. b) Balonik o pomieniu czyli po nadmuchaniu zgodnie z pkt. a) zanuzono powoli w wodzie na takà g bokoêç, by jego pomieƒ zmala do. Ile wynosi ta g bokoêç? Jakie sà tempeatua i ciênienie wewnàtz balonika po zanuzeniu? Zak adamy, e pow oka balonika nie pzepuszcza ciep a. Poczàtkowa tempeatua wewnàtz balonika by a ówna T 0. Balonik pzed zanuzeniem znajdowa si tu nad powiezchnià wody. c) Jakà pac wykonano w takcie zanuzania zgodnie z pkt. b? Enegia sp ysta gumy, z któej jest wykonany balonik, jest ówna E s /)αs, gdzie α jest pewnà sta à, a S powiezchnià balonika. Balonik jest na tyle ma y, e ównie po zanuzeniu w wodzie ma kszta t kuli. Pzyjmij, e powietze zachowuje si jak gaz doskona y o molowym cieple w a- Êciwym pzy sta ej obj toêci c V 5/)R, gdzie R jest uniwesalnà sta à gazowà. Guma, z któej jest wykonany balonik, ma zaniedbywalnà mas oaz zaniedbywalnà pojemnoêç cieplnà. Zaniedbaj ównie g stoêç powietza w poównaniu z g sto- Êcià wody d w 000 kg/m 3. Pzyspieszenie ziemskie g 9,8m/s. a) W stanie ównowagi, pzy infinitezymalnej zmianie pomienia o d, suma pac wykonanych pzez si y ciênienia zewn tznego i wewn tznego jest ówna zmianie enegii sp ystej balonika p p 0 )dv de s, czyli p p 0 )π d απ) d, co daje p p 0 8πα. Dla pomieni i dostajemy p p 0 8πα, stàd Ostatecznie p p 0 8πα, p p 0 p p 0. p p p 0 )+p 0,5 0 5 Pa. b) Poniewa w tym pocesie nie ma pzep ywu ciep a, a zanuzanie odbywa si powoli, z ównania adiabaty pv κ const mamy ) κ p 3 π3 p 3 3 π3 3) κ, 3/

3 gdzie p 3 jest ciênieniem w baloniku po zanuzeniu go w wodzie tak by mia pomieƒ ), a κ c V + R)/c V 7/5. Stàd p 3 p 6,3 0 5 Pa, 3 zatem ciênienie wody na zewnàtz balonika jest ówne p w p 3 8πα p 3 8πα p 3 ) p p 0 6, 0 5 Pa. W wodzie, na g bokoêci h, ciênienie jest ówne p 0 + d w gh, zatem h p w p 0 53 m. d w g Tempeatu wewnàtz balonika po zanuzeniu wyznaczymy, kozystajàc z ównania stanu gazu doskona ego pv nrt: V V 3 T 3 p 3V 3 nr p 3V 3 T 0 p V ) κ T 0 ) 3κ ) T 0 88 K. c) I sposób Paca W wykonana w tym pocesie jest ówna zmianie enegii uk adu ównej sumie zmian enegii wewn tznej gazu E g, enegii sp ystoêci gumy balonika E s i enegii obj toêciowej otoczenia E o E g nc V T 3 T 0 ), E s 8π α 3 ). Enegia obj toêciowa jest ówna pacy potzebnej do ozepchni cia wody lub innego oêodka), tak by w nim zmieêci o si dane cia o, i wynosi E o pv. atwo spawdziç, e dla cia a o sta ej obj toêci zmiana enegii obj toêciowej pzy zanuzeniu cia a jest ówna pacy wykonanej w tym pocesie.) W naszym pzypadku E o 3 πp πp w 3, zatem ) W nc V T3 T 0 +8π α 3 ) π p 0 + p w 3). IloÊç liczba moli) gazu jest ówna n p V /RT 0 ), sta a α ) p p 0 /8π ). Pozosta e paamety ju wyznaczyliêmy, zatem W 3 π c V p ) p p 0 T3 T R T 0 + π 0 3 ) πp w 3 3 πp 0 3 π c V R p π p p πp 3 π c V + R R p π p p π c V + R R ) 3κ 3 3 ) π 3 ) 3κ 3 p 0 + p ) p 0 p p πp 0 ) 3κ 3 3 π p p ). ) Podstawiajàc watoêci liczbowe, otzymujemy, e szukana paca jest ówna W 3,6 0 3 J. c) II sposób Si a wypou dzia ajàca na zanuzony balonik jest ówna w 3 π3 d w g, gdzie jest pomieniem balonika znajdujàcego si na g bokoêci z. Zwiàzek mi dzy pomieniem balonika a g boko- Êcià jest dany wzoem p to ciênienie wewnàtz balonika) p 0 + d w gz p 8πα p p p ) 0, co pozwala zapisaç: 3κ) κ d w gdz p κ+ p p 0 d. Zatem paca pzeciw sile wypou jest ówna h W w dz 0 3 π3 p 3κ) ) 3κ κ+ p p 0 ) d 3 π [p 3κ) ) 3κ ] κ p p 0 ) 3 d [ ) 3κ 3 π ) 3κ p 3 3κ κ 3 p p 0 ) ) 3κ 3 3 πp c V + R R 3 π 3 p p 0 ) 3 ), co jest zgodne z ). ]

4 ZADANIE DOÂWIADCZALNE Masz do dyspozycji: cienki dut z niemagnetycznego metalu, silny magnes sta y, ci aek o masie m 00,0 ± 0,5) g, statyw, p ty stalowe, uchwyty, linijk, geneato napi cia sinusoidalnego o egulowanej cz stotliwoêci, pzewody elektyczne z zaciskami, papie milimetowy. Wyznacz g stoêç liniowà mas na jednostk d ugoêci) dutu. Pzyspieszenie ziemskie wynosi g 9,8m/s. Wskazówka P dkoêç V fal popzecznych w stunie o g stoêci liniowej µ napi tej si à wya a si wzoem V µ. Cz Êç teoetyczna Zadanie mo na ozwiàzaç, badajàc cz stotliwoêç dgaƒ w asnych dutu obcià onego ci akiem ys. ). Ci aek nale y zawiesiç na statywie, wykozystujàc tylko cz Êç dutu. Luêne koƒce dutu nale y po àczyç z zaciskami geneatoa za pomocà kokodylków. Nale y zadbaç, aby nie wpowadzi o to dodatkowego nap enia dutu. Na odcinek dutu o d ugoêci L znajdujàcy si w pobli u magnesu dzia a si a elektodynamiczna popocjonalna do chwilowej watoêci nat enia pàdu I p ynàcego pzez dut oaz indukcji pola magnetycznego B wytwazanego pzez magnes BI L). Kieunek si- y jest postopad y zaówno do kieunku pàdu jak i wektoa indukcji B. Poniewa pzez dut p ynie pàd zmienny, to zwot si y zmienia si z cz stotliwoêcià zadanà pzez geneato. Cz stotliwoêç pàdu wytwazanego pzez geneato mo na dobaç Rys. tak, aby zówna a si z cz stotliwoêcià dgaƒ w asnych dutu. W ezonansie nawet niewielkie zabuzenie peiodyczne mo e dopowadziç do tak du ego wzostu amplitudy dgaƒ, e b dzie mo na je zaobsewowaç bez adnych dodatkowych pzyzàdów. Wtedy mo liwe b dzie odczytanie cz stotliwoêci ezonansowej wpost ze skali geneatoa. JeÊli potaktowaç dut jak stun zamocowanà z dwóch koƒców, to d ugoêç fali odpowiadajàca jego kolejnym dganiom w asnym wyniesie: λ n L/n, ) gdzie n liczba natualna. Z dugiej stony d ugoêç fali λ mo na wyaziç pzez p dkoêç V oaz cz stotliwoêç f n fali ozchodzàcej si w stunie: λ n V f n. ) Po podstawieniu zwiàzku ) do ) i skozystaniu ze zwiàzku V µ podanego we wskazówce do zadania, otzymujemy wya enie na cz stotliwoêç kolejnych dgaƒ w asnych uk adu: f n L µ n, 3) co mo na pzedstawiç w postaci: f n f n, ) gdzie f L µ to cz stotliwoêç dgania podstawowego. Pzed zastosowaniem tego wzou w dalszych ozwa- aniach nale y si zastanowiç, czy zeczywiêcie mo na potaktowaç dut obcià ony ci akiem jak stun zamocowanà z dwóch koƒców. Mo na do tego zagadnienia podejêç na ó ne sposoby: ) Mo na spawdziç doêwiadczalnie, e kolejne cz stotliwoêci ezonansowe dutu sà wielokotno- Êciami cz stotliwoêci podstawowej i w ten sposób wykazaç zasadnoêç stosowania wzou 3). ) Mo na agumentowaç, e dut jest badzo cienki i dlatego mo na pominàç wp yw jego sztywnoêci na cz stotliwoêç dgaƒ uk adu. Poniewa ma on znikomà mas w poównaniu z masà ci aka, to jego zamocowanie od stony ci aka mo na uznaç za sztywne. Dodatkowo niewielka masa dutu powoduje, e si naciàgu dutu mo na uznaç za sta à na ca ej d ugoêci jego napi tej cz Êci. Naciàg oke- Êlony jest wtedy jedynie pzez ci a obcià nika. Pzy spe nieniu powy szych waunków ównanie 3) jest ównie spe nione i szukana g stoêç liniowa stuny wyazi si wzoem µ L. 5) f 3/005 69

5 Cz Êç doêwiadczalna Obcià amy ci akiem dut i zawieszamy go na statywie tak, by zwisa tu pzy magnesie. Magnes powinien byç umieszczony na takiej wysokoêci, na któej spodziewamy si stza ki dgaƒ dutu. Dla dgaƒ podstawowych λ L), b dzie to w po owie dutu, dla dugiej cz stotliwoêci w asnej λ L) w odleg o- Êci / d ugoêci dutu, a dla tzeciej λ /3 L) odpowiednio w /6 lub / odleg oêci od jednego z koƒców. Po pod àczeniu dutu do geneatoa ustawiamy najni szà mo liwà cz stotliwoêç pàdu i powoli jà zwi kszamy, a do uzyskania ezonansu. W pzypadku, gdy amplituda dgaƒ jest zbyt du a i dut udeza o magnes, nale y zwi kszyç jego odleg oêç od magnesu. Ze skali geneatoa odczytujemy watoêci cz stotliwoêci, dla któych amplituda dgaƒ dutu silnie wzasta. W doêwiadczeniu wykonanym pzez ecenzenta u yto geneatoa G3 o oponoêci wyjêciowej 50 Ω. Bez obcià enia amplituda napi cia na wyjêciu tego geneatoa wynosi a 5 V. Rys. Dla dutu miedzianego o Êednicy 0,5 mm i d ugo- Êci cz Êci dgajàcej L 3, ± 0,) cm zmiezonej linijkà), pzy naciàgu mg 0,98 ± 0,005) N wyznaczono cz stotliwoêç dgania podstawowego dutu f 9 ± ) Hz. Kolejne cz stotliwoêci ezonansowe wynosi y odpowiednio 80 ± 0 Hz, 75 ± 0 Hz. Wyniki te mo emy nanieêç na wykes i dopasowaç postà ys. ). Z wykesu wynika, e w ganicach niepewnoêci odczytu zmiezone cz stotliwoêci sà ówne kolejnym wielokotnoêciom cz stotliwoêci dgaƒ podstawowych f. Bioàc pod uwag wspó czynnik nachylenia postej α 9 ± ) Hz, uzyskany z dopasowania do danych ekspeymentalnych, i kozystajàc ze wzou ), otzymamy µ,60 ± 0,) 0 kg/m. Poniewa ju niepewnoêç wzgl dna cz stotliwoêci podstawowej dgaƒ f /f 0,0 jest znacznie wi ksza od niepewnoêci wzgl dnej d ugoêci dutu i masy ci aka L/L m/m 0,005, to bez uszczebku dla dok adnoêci wyniku koƒcowego g stoêç liniowà dutu mo na wyznaczyç bez pomiau wy szych cz stotliwoêci ezonansowych. Po podstawieniu danych do wzou 5) uzyskujemy wtedy watoêç µ,55 ± 0,07) 0 kg/m. Dla dutu o Êednicy 0,5 mm daje to g stoêç obj toêciowà 8,8 ± 0,) 0 3 kg/m 3, któa zgadza si z watoêcià g stoêci podawanej dla miedzi 8, kg/m 3. AUTORZY d Jacek Jasiak zadania teoetyczne, d Andzej Wysmo ek zadanie doêwiadczalne. Obaj z Komitetu G ównego Olimpiady izycznej i Wydzia u izyki Uniwesytetu Waszawskiego. ot. Pawe Janiszewski GRATULUJEMY! zwyci zcy LIV Olimpiady izycznej Sieciechowi Czajce, uczniowi III klasy V Liceum Ogólnokszta càcego im. ks. Józefa Poniatowskiego w Waszawie oaz jego nauczycielowi fizyki Panu Andzejowi Majeowskiemu. Tadycyjnie list laueatów podamy azem z zadaniami III etapu, czyli w nast pnym zeszycie czasopisma. Redakcja 70