Oszacowanie współczynników' funkcji należących do dwóch klas A-symetrycznych funkcji jednokrotnych

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Oszacowanie współczynników' funkcji należących do dwóch klas A-symetrycznych funkcji jednokrotnych"

Tomasz Baran
5 lat temu
Przeglądów:

1 ROCZN IKI POLSKIEGO T O W A R ZYSTW A MATEMATYCZNEGO SE R IA I: PRACE M ATEM ATYCZNE V (1961) J. Z a m o r s k i (Wrocław) Oszacowanie współczynników' funkcji należących do dwóch klas A-symetrycznych funkcji jednokrotnych L. Spacek [9] dowiódł, że każda funkcja kształtu ( 1) f(z) = z exp P(*) 1 s ds i gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą, a funkcja p{z) = 1 \z\ < 1 ma część rzeczywistą nieujemną, jest funkcją jednokrotną. Niech 8aoznacza klasę wszystkich funkcji kształtu (1) dla ustalonego a. Funkcja f 1 Г Ю(s^ (2) /*(*) = [/(**) ]1,Ł = «exp -!-----* II aij s v n 7 jest oczywiście pewną funkcją klasy 8a. Niech 8 oznacza podklasę wszystkich funkcji klasy 8a, mających rozwinięcie (3) fk{z) = z Ą-ak+lzk+1f-a 2k+1z2k+1 widzimy, że każda funkcja należąca do podklasy 8* jest kształtu (2). Zachodzi następujące T w i e r d z e n i e 1. Współczynniki funkcji podklasy Sa spełniają nierówność Kfc+il ^ ( 1 + a*)-e/2 ^ knnl Znak równości zachodzi dla funkcji n 1 f j [(2+ jk y + j*va*]42. /*(*) = * ( 1 + Ч**)-1'*'1-»'». D ow ód tw ierd zen ia 1. Niech

2 102 J. Zamorski gdzie q = r, p(z) = 1 + axz + 1 ai zfk(z) k W - ~ = e [p tf)~ Ч f M Niech re{p(z)) у 0; stąd (5) oj (z) P(J)~ 1 J>(«*)+! 7 = 1 Tak określona funkcja co (z) spełnia nierówność со(г) < 1. Z (4) i (5) otrzymujemy albo inaczej "(«)[»/*(«) + ( 2 e - i ) / A(.«)] = «/*(«) /*(«)? O 00 oo (6) ^ cok)-zki Jy (jky2p)ajk_,1zjk-'1 = jkajk{lzik11. i=i?'=o Stąd oczywiście oo n 1 n OO \ ' J ] c o kjzkl {jk-[-2q)ajką J k ''1 = + J T % - n ^ ' fl 7 7 = 0 7-= 0 i = 0 7-= n + l gdzie Сд.+1 są pewnymi liczbami zespolonymi. Stosując do tej równości twierdzenie o wartości średniej modułu po kole \z\ = r < 1 i uwzględniając, że co (^)l < 1, dostajemy n oo n 1 fc2^ j al%*+il*r2(,*+1) + \0jk+i\^4ik+1) \ +29\2-\аЛс+1\2гЦ/'ки), 7 = 0 7= = 0 dla r < 1. Stąd czyli (7) \^nk-\-l 12 Dla w = 1 otrzymujemy n n 1 &2 yp\a}ką.i? < У li^ + 2cj 2 ct?7l-+1 2, 4 < n2k2 n l 2 jfe a2!«/*+il2- l»*+il < 2 f c /l + o 2"

3 Funkcje klas k-symetrycznycli Stąd i ze wzoru (7) przez łatwą indukcję otrzymujemy, że Łatwo sprawdzić, że dla funkcji /»(*) = *(i + ł)* r! '* {1-4, \ v \ = з, ostatnia nierówność przechodzi w równość, a więc podane oszacowanie jest ostre. W dowodzie tego twierdzenia posłużyliśmy się zmodyfikowaną metodą,1. Glunie go [3] szacowania współczynników funkcji gwiaździstych z biegunem. Dla a = 0, tj. dla k-symetrycznych funkcji gwiaździstych, twierdzenie to zostało udowodnione przez Gołuzina [5], Dunduczenkę [4] i Waadelanda [10]. Rozpatrzmy teraz klasę fc-symetrycznych funkcji kształtu («) gdzie ft jest k-symetryczną funkcją gwiaździstą i p(z) = 1 + a1«+..., rep (z) ^ 0. Jest to podklasa klasy funkcji liniowo osiągalnych Biernackiego [2], jak wiadomo (patrz Lewandowski [7]) równoważnej klasie L funkcji prawie wypukłych wprowadzonej później przez Kapłana [6]. Dla klasy (8) zachodzi T w i e r d z e n i e 2. Współczynniki funkcji kształtu ( 8 ) spełniają nierówności o lłówność jest osiągana przez współczynniki funkcji z. ь D ow ód tw ierd zen ia 2. Jeśli napiszemy, że O Л/11 9k(«) OO 00 p{zk) = 1 + yajzk\

4 104 J. Zamorski to ze wzoru (8) otrzymamy (9) l^-nic + l I 1 nk-f-1 Ponieważ z twierdzenia 1 mamy Укп+\-\~ ахук(п-1)+1-^г + ап-\ук+1-\- an\- 1 j~l J Р = 0 (trzeba w tezie twierdzenia przyjąć a 0) oraz ponieważ a,- < 2, więc podstawiając te wartości w (9), otrzymujemy przez łatwą indukcję, że ft 1 \a n k+l \ (2 +i^)-? = 0 Łatwo sprawdzić, iż równość jest osiągnięta dla funkcji / 0 a к р_g j> K ( l + e ł ) - ^ k - kdt, k = j- ES Dla к = 1 udowodnili to twierdzenie Bazilewicz [1] i Beade [8]. Prace cytowane 1 [1] И. E. Б а зи л е в и ч, Об одном случае интегрируемости в квадратурах уравнения Левнера-Куфарева, Матем. сб. 37 (1955), str [2] М. B ie rn a ck i, Sur la representation conforme des domaines lineairement accessibles, Prace Mat.-Fiz. 44 (1936), str [3] J. C lunie, On meromorpmc schlicht functions, Jour. London Matli. Soc. 34 (1959), str [4] Л. E. Д у н д у ч е н к о, О некоторых экстремальных задачах теории специальных классов конечно-многолистных аналитических функций, Киев. Изв. Политех, ин-та, 18 (1955), str [5] Г. М. Г о л у зи н, О некоторых оценках, относящихся к функциям, совершающим однолистное конформное преобразование круга, Матем. сб. 36 (1929), str [6] W. K a p la n, Close-to-convex schlicht functions, Michigan Math. Jour. 1 (1952), str [7] Z. L e w a n d o w sk i, Tiber gewissen Klassen von schlichten FunTctionen, Coll. Math. 7 (1959), str (streszczenie). [8] M. 0. R eade, On close-to-convex functions, Michigan Math. Jour. 3 ( ), str [9] L. Ś p acek, PHspevek k teorii funkci prostych, Ćasop. Pest. Mat. 62 (1933), str [10] H. W a a d e la n d, Tiber k-fach symmetrische, sternfdrmige schlichte Abbildungen des Einheitskreises, Math. Scand. 3 (1955), str

5 Funkcje klas k-symetrycznych 105 Ян Заморски (Вроцлав) О Ц ЕНКА КОЭФФИЦИЕНТОВ Ф УН КЦ И Й, ПРИНАДЛЕЖ АЩ ИХ К ДВУМ КЛАССАМ fc-симм ЕТРИЧЕСКИХ ОДНОЛИСТНЫ Х Ф УНКЦ И Й РЕЗЮМЕ Для коэффициентов fc-симметрических однолистных функций вида fk (z) = s e X p ( _ J L _ д, ) I 1 m J s I v o ' имеют место следующие оценки вида (1 + a2)~nl2 ifni Л\ J J [(2 + jk)2+ j 2k2a2]1!2. 1=o Подобным образом коэффициенты однолистных ^-симметрических функций удовлетворяют неравенству K t + l1 < = j о Г *. 7 = 0 p (sk)! п~г I I (2+#'<). J. Z a m o r sk i (Wrocław) ESTIM ATION OF THE COEFFICIENTS OF FUNCTIONS BELONGING TO TWO CLASSES OF ^-SYMM ETRIC SCHLICHT FUNCTIONS SUMMARY For the coefficients of fc-symmetric schlicht functions of the form ttk\ S, 4 * i 1 f P(s ) ~ 1 л fk{z) = ) z e x p L ds II at J s I о J the following inequality is valid: l*+il < (1 + a2)~nl2 knn\ f j [(2 + jk )2 + j 2k2a2y/2. 1=o Similarly the coefficients of fc-symmetric schlicht functions of the form f V n P(sk) Л = J 4 ( s> ~ ds satisfy the inequality 71 1 \агьк-\л I < - j ^ T / 7 (2 + ^ '

Podobne dokumenty

ECHANIKA METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

ECHANIKA METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Z E S Z Y T Y NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ TADEUSZ BURCZYŃSKI METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH ECHANIKA Z. 97 GLIWICE 1989 POLITECHNIKA