Porównanie nośności na wyboczenie słupów modelowanych za pomocą elementów belkowych i powłokowych

Transkrypt

1 ŻMUDA-TRZEBIATOWSKI Łukasz 1 Porównanie nośności na wyboczenie słupów modelowanych za pomocą elementów belkowych i powłokowych WSTĘP W projektowaniu elementów ściskanych niezwykle ważne jest uwzględnienie możliwości wyboczenia w płaszczyźnie lub z płaszczyzny. Ściskające siły normalne występują w takich konstrukcjach jak kratownice, słupy czy filary. Takie elementy spotyka się również w budownictwie transportowym w postaci kratownicowych dźwigarów dachowych w halach dworcowych albo słupów podtrzymujących zadaszenie na peronach kolejowych lub autobusowych (rysunek 1a). Analizy wyboczeniowe są przeprowadzane za pomocą liniowej analizy statycznej (LBA) dla idealnej konstrukcji lub geometrycznie (GNA) oraz geometrycznie i materiałowo (GMNA) nieliniowych analiz statycznych dla konstrukcji z pewnymi imperfekcjami. Na podstawie LBA otrzymuje się mnożniki krytyczne do maksymalnej siły ściskającej w analizowanym elemencie, natomiast w wyniku analiz nieliniowych zostają znalezione ścieżki równowagi, które pokazują zależność siły normalnej od przemieszczenia wybranego punktu analizowanego elementu. W artykule przedstawiono przykład analizy stateczności osiowo ściskanego słupa wspierającego zadaszenie na peronie przy użyciu liniowej analizy wyboczeniowej i nieliniowej analizy statycznej i dynamicznej z rozpatrzeniem geometrycznej oraz geometryczno-materiałowej nieliniowości. Rezultaty z LBA, GNA i GMNA zostały ze sobą porównane. Do wymodelowania słupa zostały wykorzystane elementy powłokowe oraz prętowe z sześcioma stopniami swobody w węźle. Na podstawie wyników oceniono, czy model prętowy jest wystarczający do obliczeń wyboczeniowych. Do znalezienia pokrytycznego zachowania konstrukcji w analizie statycznej wykorzystano metodę Riksa, która wykorzystuje sterowanie parametrem łuku. Pomimo częstego wykorzystywania w praktycznych obliczeniach nie jest ona pozbawiona wad. Czasami rozwiązanie jest niemożliwe do znalezienia z powodu niedokładności numerycznych, lokalnych postaci wyboczenia lub niestabilności materiałowych. Wyniki zależą również od kształtu imperfekcji konstrukcji oraz ich wielkości. Oprócz metod statycznych wykorzystano analizy dynamiczne, w których śledzono w czasie odpowiedź konstrukcji na narastające obciążenie. W takim przypadku rozwiązanie powinno osiągnąć zbieżność z uwagi na siły bezwładności i tłumienia, które dodatkowo występują w metodach dynamicznych. Odpowiednio długi czas przykładania obciążenia powoduje, że można taki proces traktować jako quasi-statyczny. O wykorzystaniu dynamiki w procesie analizy stateczności napisano w pracach [2]- [6]. Porównanie metod statycznych i dynamicznych w zakresie szacowania nośności konstrukcji z uwagi na wyboczenie przedstawiono w [7]. Nie zawarto tam jednak porównania obliczeń dla modelu powłokowego i prętowego. 1 OPIS KONSTRUKCJI I MODEL NUMERYCZNY Analizę stateczności przeprowadzono dla stalowego słupa o przekroju dwuteowym. Konstrukcja ma wysokość 8 m i jest wykonana z profilu walcowanego HEB 320. Geometria słupa oraz wymiary przekroju poprzecznego pokazano na rysunku 2b-c. Zdefiniowano materiał sprężysto-plastyczny z następującymi parametrami: moduł Younga E = 210 GPa, współczynnik Poissona υ = 0,3, granica plastyczności f y = 355 MPa i gęstość ρ = 7850 kg/m 3. Słup jest układem wspornikowym zablokowano translacje i rotacje we wszystkich kierunkach tylko w podłożu. Zadaszenie zastąpiono obciążeniem równomiernie rozłożonym na górnej części konstrukcji. 1 Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki; ul. Narutowicza 11/12, Gdańsk. Tel , lukasz.zmudaa@gmail.com

2 Rys. 1. Peron kolejowy w Szczecinie Dąbiu (a); geometria analizowanego słupa dwuteowego (b); wymiary przekroju poprzecznego (c). Obliczenia numeryczne wykonano za pomocą metody elementów skończonych zaimplementowanej w programie komercyjnym Abaqus [1]. Do analiz statycznych wykorzystano moduł Abaqus/Standard, natomiast do analizy dynamicznej moduł Abaqus/Explicit. Pierwszym krokiem było określenie typu elementu skończonego oraz wielkości dyskretyzacji układu. Powyższe parametry dobrano na podstawie ich wpływu na wyniki liniowej analizy wyboczeniowej, które pokazano na rysunku 2a. W przypadku modelu prętowego wykorzystano dwuwęzłowy przestrzenny element belkowy B33, a w układzie powłokowym rozważono dwa typy elementów skończonych czterowęzłowy element powłokowy ze zredukowanym całkowaniem S4R oraz z pełnym całkowaniem S4. W modelu prętowym rozmiar siatki elementów skończonych nie wpływał znacząco na wartości pierwszej siły krytycznej. Natomiast w modelu powłokowym szybciej zbieżność osiągnięto w przypadku elementu S4R i dlatego zastosowano go w dalszych analizach. Wielkość siatki uznano za wystarczającą dla wymiarów 25x25 mm. W modelu prętowym przyjęto dyskretyzację układu na elementy o długości 25 mm. Dla tak dobranych parametrów siatki elementów skończonych wyznaczono wartości sił krytycznych. W modelu prętowym pierwsza siła krytyczna wyniosła 746,9 kn, natomiast w powłokowym 697,4 kn. Różnica między obiema wartościami wynosi 6,62%. Siła eulerowska wynosi 748 kn. Wartość ta jest zbieżna z rezultatem numerycznym w modelu prętowym. W statycznych analizach nieliniowych została wykorzystana metoda Riksa, na podstawie której określono zależność mnożnika krytycznego obciążenia od pionowego przemieszczenie górnej części słupa δ. Na rysunku 2b przedstawiono cztery pierwsze postacie wyboczenia w modelu powłokowym. W obliczeniach rozważono konstrukcję idealną (bez imperfekcji) oraz z dwoma kształtami imperfekcji bazującymi na pierwszej i czwartej postaci wyboczenia. Wielkości imperfekcji również były różne przyjęto amplitudy w = 5, 20 i 100 mm. W nieliniowych analizach dynamicznych obciążenie narastało w różnych okresach czasu t a = 2, 3, 4, 5, 10 i 20 s. Im dłuższy czas przykładania obciążenia, tym rozwiązanie bardziej zbliża się ku statycznemu. W układach uwzględniono również tłumienie o parametrach domyślnie zdefiniowanych w programie

3 Rys. 2. Wykres zależności pierwszej siły krytycznej od rozmiaru elementu skończonego (a); cztery pierwsze postacie wyboczenia słupa z liniowej analizy statycznej (b). 2 REZULTATY 2.1 Geometrycznie nieliniowa analiza statyczna i dynamiczna Wyniki analiz statycznych i dynamicznych z uwzględnieniem tylko geometrycznej nieliniowości przedstawiono na rysunkach 3-8. Wykres na rysunku 3a pokazuje ścieżki równowagi dla układu prętowego pozbawionego imperfekcji. Można zauważyć, że brak jakichkolwiek niedoskonałości w geometrii konstrukcji uniemożliwił osiągnięcie punktu granicznego. Słup w wyniku ściskania ulega tylko skróceniu. Do wyboczenia w tym wypadku nie doszło. W modelu powłokowym (rysunek 3b) sytuacja przedstawia się nieco inaczej. Tylko w metodzie statycznej nie osiągnięto punktu granicznego. W analizie dynamicznej konstrukcja osiąga graniczny punkt obciążenia, którego przekroczenie oznacza utratę stateczności. W tym wypadku imperfekcje numeryczne będące rezultatem działających sił bezwładności i tłumienia okazały się dostateczne, by wystąpiło zjawisko wyboczenia. Największe wartości mnożnika krytycznego uzyskano dla krótkiego czasu przykładania obciążenia. Wraz ze wzrostem czasu narastania obciążenia nośność konstrukcji maleje. Rys. 3. Wykres zależności między mnożnikiem krytycznym obciążenia λ i osiowym (pionowym) przemieszczeniem górnej części słupa δ na podstawie analizy GNA bez uwzględnienia imperfekcji dla układu belkowego (a) i powłokowego (b). Na rysunku 4 przedstawiono ścieżki równowagi dla słupa z imperfekcjami bazującymi na pierwszej postaci wyboczenia o maksymalnej amplitudzie w = 100 mm. Tym razem zarówno w modelu belkowym, jak i powłokowym znaleziono pełną ścieżkę równowagi. Zarówno w układzie 11822

4 prętowym, jak i powłokowym, różnice między rozwiązaniem statycznym a dynamicznym dla t a = 20 s są niewielkie, rzędu 2,0%. Na rysunku 5 pokazano deformacje i mapy przemieszczeń słupa w momencie, gdy konstrukcja przenosi największą wartość obciążenia. Zarówno dla idealnej i niedoskonałej konstrukcji kształt deformacji jest identyczny jak pierwsza postać wyboczenia. Rys. 4. Wykres zależności między mnożnikiem krytycznym obciążenia λ i osiowym (pionowym) przemieszczeniem górnej części słupa δ na podstawie analizy GNA z uwzględnieniem imperfekcji "1" o amplitudzie w = 100 mm dla układu belkowego (a) i powłokowego (b). Rys. 5. Deformacje i mapy przemieszczeń słupa od analizy GNA dla układu bez imperfekcji (a) oraz z imperfekcją "1" o amplitudzie w = 100 mm (b). Porównanie rezultatów analiz statycznych i dynamicznych dla modelu prętowego i powłokowego przedstawiono na rysunku 6. Poprzez określenie "1d" rozumie się słup wymodelowany elementami belkowymi, a "2d" elementami powłokowymi. Dla idealnej konstrukcji słupa wykresy mocno się różnią. W zakresie liniowym rezultaty są podobne, jednak potem w układzie powłokowym dochodzi do zakrzywienia ścieżek równowagi. Wyniki dla konstrukcji z imperfekcjami w modelu prętowym i powłokowym są do siebie zbliżone. Można więc wysnuć wniosek, że model prętowy dość dokładnie odzwierciedla deformacje i proces obciążania konstrukcji. Na rysunku 7 pokazano zależność między obciążeniem, jakie jest w stanie przenieść konstrukcja, a wielkością imperfekcji. Można zaobserwować, że wraz ze wzrostem amplitudy imperfekcji nośność słupa maleje. W modelu powłokowym otrzymano na ogół nieco mniejsze wartości maksymalnego obciążenia niż w modelu prętowym. Różnice te wynoszą od 2,0 do 6,5% przy zastosowaniu imperfekcji odpowiadających pierwszej postaci wyboczenia oraz od 4,8 do 13,6% dla imperfekcji odpowiadających czwartej postaci wyboczenia

5 Rys. 6. Porównanie zależności między mnożnikiem krytycznym obciążenia λ i osiowym (pionowym) przemieszczeniem górnej części słupa δ na podstawie analizy GNA dla układu belkowego i powłokowego bez uwzględnienia imperfekcji (a) i z uwzględnieniem imperfekcji "1" o amplitudzie w = 100 mm (b). Rys. 7. Wykres zależności maksymalnego obciążenia P od wielkości amplitudy w na podstawie analizy GNA dla układu belkowego i powłokowego z uwzględnieniem imperfekcji "1" (a) i "4" (b). Rys. 8. Wykres zależności maksymalnego obciążenia P od czasu przykładania obciążenia t na podstawie analizy GNA dla układu belkowego i powłokowego z uwzględnieniem imperfekcji bazującej na pierwszej postaci wyboczenia (a) i czwartej (b). Analizowano również wpływ czasu obciążania konstrukcji na jej nośność, który pokazano na rysunku 8. Niezależnie od typu imperfekcji wraz ze wzrostem czasu przykładania obciążenia do słupa maksymalna wartość obciążenia, jakie jest w stanie przenieść ten obiekt inżynierski, spada. Na 11824

6 początku wpływ czasu jest duży, później zaczyna maleć. Widać także, że wykresy dążą do pewnej określonej wartości. 2.2 Geometrycznie i materiałowo nieliniowa analiza statyczna i dynamiczna Dwuteowy słup był również analizowany nieliniowo z uwzględnieniem własności plastycznych materiału. Na rysunku 9 przedstawiono ścieżki równowagi dla modelu prętowego i powłokowego, w których nie uwzględniono imperfekcji. Tym razem w układzie belkowym nośność konstrukcji wzrosła aż do wartości ok kn. Na podstawie wykresu można wywnioskować, że w tym momencie doszło do uplastycznienia przekroju. W modelu powłokowym dużo wcześniej osiągano graniczny punkt obciążenia. W przypadku analiz dynamicznych konstrukcja zaczęła wybaczać się przy sile równej 1200 kn, jednak słup nadal mógł przenieść większą wartość obciążenia. Podobnie jak w geometrycznie nieliniowej analizie dłuższy czas przykładania obciążenia przekładał się na niższą wartość maksymalnego obciążenia, jakie mogła przenieść konstrukcja. Wynik otrzymany ze statycznej analizy nieliniowej odbiega od ścieżek równowagi uzyskanych z analiz dynamicznych. Rys. 9. Wykres zależności między mnożnikiem krytycznym obciążenia λ i osiowym (pionowym) przemieszczeniem górnej części słupa δ na podstawie analizy GMNA bez uwzględnienia imperfekcji dla układu belkowego (a) i powłokowego (b). Rys. 10. Wykres zależności między mnożnikiem krytycznym obciążenia λ i osiowym (pionowym) przemieszczeniem górnej części słupa δ na podstawie analizy GMNA z uwzględnieniem imperfekcji "1" o amplitudzie w = 100 mm dla układu belkowego (a) i powłokowego (b). Na rysunku 10 przedstawiono ścieżki równowagi dla słupa z imperfekcjami odpowiadającymi pierwszej postaci wyboczenia i amplitudzie w = 100 mm. Wnioski wynikające z wykresów są identyczne jak w przypadku GNA. Deformacje przedstawione na rysunku 11 wyglądają podobnie jak w geometrycznie nieliniowej analizie. Jedynie w słupie bez imperfekcji w pewnym momencie dochodzi do lokalnego zniszczenia (wgniecenia) środnika dwuteownika

7 Rys. 11. Deformacje i mapy przemieszczeń słupa od analizy GMNA dla układu bez imperfekcji (a) oraz z imperfekcją "1" o amplitudzie w = 100 mm (b). Porównanie rezultatów analiz nieliniowych w modelu belkowym i powłokowym pokazano na rysunku 12. W konstrukcji idealnej wymodelowanej elementami belkowymi wykres nadal jest liniowy aż do osiągnięcia granicy plastyczności, natomiast w modelu powłokowym proces wyboczenia rozpoczyna się na poziomie 1200 kn (wyjątkiem jest metoda statyczna śledzenia ścieżki równowagi). Dla konstrukcji z imperfekcjami największe różnice w nośności słupa między modelem belkowym i powłokowym istnieją dla długiego czasu przykładania obciążenia. Rysunki 13 i 14 pokazują wpływ amplitudy imperfekcji i czasu przykładania obciążenia na maksymalne obciążenie, jakie może przenieść konstrukcja. Dla imperfekcji odpowiadających pierwszej postaci wyboczenia różnice te wynoszą od 0,4 do 25%, natomiast dla czwartej postaci wyboczenia od 2,0 do 27%. Rys. 12. Porównanie zależności między mnożnikiem krytycznym obciążenia λ i osiowym (pionowym) przemieszczeniem górnej części słupa δ na podstawie analizy GMNA dla układu belkowego i powłokowego bez uwzględnienia imperfekcji (a) i z uwzględnieniem imperfekcji "1" o amplitudzie w = 100 mm (b). Rys. 13. Wykres zależności maksymalnego obciążenia P od wielkości amplitudy w na podstawie analizy GMNA dla układu belkowego i powłokowego z uwzględnieniem imperfekcji "1" (a) i "4" (b)

8 Rys. 14. Wykres zależności maksymalnego obciążenia P od czasu przykładania obciążenia t na podstawie analizy GMNA dla układu belkowego i powłokowego z uwzględnieniem imperfekcji bazującej na pierwszej postaci wyboczenia (a) i czwartej (b). WNIOSKI Przedstawione w artykule wyniki analiz stateczności dwuteowego słupa wskazują, że model prętowy może być wystarczający do analiz wyboczeniowych, jeśli nie rozpatruje się materiału sprężysto-plastycznego. Różnice rzędu nawet 25%, które pojawiają się w geometrycznie i materiałowo nieliniowych analizach wskazują, że w tym przypadku dużo dokładniejszy jest model powłokowy, w którym zostają uwzględnione lokalne deformacje. Analizy dynamiczne mają przewagę nad analizami statycznymi w łatwości osiągnięcia punktu granicznego nawet w układach o idealnej geometrii. Ich zdecydowaną wadą jest czas obliczeń, który kilkukrotnie przekracza czas analiz statycznych. Ta różnica jest tym większa, im dłuższy jest czas przykładania obciążenia. Streszczenie W artykule przedstawiono porównanie analizy stateczności słupa podpierającego zadaszenie peronu kolejowego przy zastosowaniu modelu prętowego i powłokowego. Konstrukcja o rozpiętości 8 m wykonana ze stali S235 i profilu HEB320 została utwierdzona w podłożu. Obciążenie przyłożono do górnej części słupa. Do oceny stateczności konstrukcji wykorzystano liniowe i nieliniowe analizy statyczne i dynamiczne. Rozważono sprężysty oraz sprężysto-plastyczny model materiału. W wyniku liniowej analizy wyboczeniowej otrzymano różnicę 6,62% między pierwszymi siłami krytycznymi w modelu prętowym i powłokowym, przy czym niższą wartość uzyskano w modelu powłokowym. W analizach nieliniowych można zauważyć podobną zależność w modelu powłokowym występują mniejsze wartości maksymalnego obciążenia, jakie może przenieść konstrukcja. Różnice sięgają do 6,5% w analizie geometrycznie liniowej w słupie z imperfekcjami bazującymi na pierwszej postaci wyboczenia, a do 25% w analizie geometrycznie i materiałowo liniowej. Comparison of buckling resistance of columns modelled by beam and shell elements Abstract The paper compares two variants of stability analysis of a column supporting a railway platform roof modelled by beam and shell elements. A structure 8 m long made of steel S235 and profile HEB 320 was fixed in the ground. The load was applied to the upper part of the column. Linear and non-linear static and dynamic computations were done to assess stability of the structure. Elastic and elastic-plastic models of material were applied. The difference between linear buckling loads for beam and shell models was 6.62%, the lower value was referred to a shell model. Similar effect occurs in non-linear analysis the shell model detected lower values of structural load-carrying capacity. Geometrically non-linear analysis of a column with imperfections based on the first buckling mode resulted in a 6.5% difference, geometrically and materially non-linear analysis led to result of 25%

9 BIBLIOGRAFIA 1. Abaqus. Version Dassault Systemes Simulia Corp Botasso C., Bauchau O., Choi J.-Y., An energy decaying scheme for nonlinear dynamics of shells. Computer methods in applied mechanics and engineering 2002, No Choong K.K., Ramm E., Simulation of buckling process of shells by using the finite element method. Thin-Walled Structures 1998, No Chróścielewski J., Lubowiecka I., Witkowski W., Dynamics based on six-field theory of shells in the context of energy-conserving scheme. Shell Structures: Theory and Applications 2006, Vol Kobayashi T., Mihara Y., Fujii F., Path-tracing analysis for post-buckling process of elastic cylindrical shells under axial compression. Thin-Walled Structures 2012, No Kubiak T., Criteria of dynamic buckling estimation of thin-walled structures. Thin-Walled Structures 2007, No Żmuda-Trzebiatowski Ł., Iwicki P., Investigation of buckling resistance of columns using nonlinear static and dynamic analysis. Current Scientific Challenges in Concrete and Steel Structures, Material Technology and Structural Fire Protection, Kaiserslautern