VIII. USUWANIE NIEWIDOCZNYCH LINII I POWIERZCHNI

Transkrypt

1 VIII. USUWANIE NIEWIDOCZNYCH LINII I POWIERZCHNI 8.1. Wprowadzenie Otrzymywanie realistycznych obrazów obiektów dwu- lub trójwymiarowych na ekranie monitora lub innych urządzeniach graficznych (na przykład na drukarce lub ploterze) wymaga usunięcia na dwuwymiarowej płaszczyźnie rzutowania (na której tworzymy obraz) linii i powierzchni niewidocznych (zasłoniętych). Istnieje bardzo wiele algorytmów służących do tego. W tym rozdziale ograniczamy się do przedstawienia algorytmów najpopularniejszych i najczęściej stosowanych w przypadku wizualizacji obiektów w oknie na ekranie monitora. Wskazanie na najlepszy z nich nie jest możliwe, gdyż poszczególne algorytmy mają różne i na ogół dość specjalistyczne wymagania (założenia) dotyczące wizualizowanego obiektu. Jedna z technik rysowania obiektów nieprzezroczystych na ekranie monitora polega na kolejnym nanoszeniu ich obrazów. Obrazy nanoszone później mogą przy tym przykrywać obrazy już znajdujące się w oknie na ekranie i w ten sposób całkowicie lub częściowo je zasłaniać. Technika ta, sprowadzająca się do zmiany zawartości bufora okna ekranu, może nie mieć zastosowania w przypadku innych urządzeń rysujących. Na przykład na ploterze najpierw należałoby wyznaczyć fragmenty widoczne wszystkich obiektów, a dopiero później fragmenty te narysować. W ogólności oznacza to, że rodzaj urządzenia graficznego, na którym dokonuje się wizualizacji obiektu, może mieć istotny wpływ na wybór odpowiedniego algorytmu Porównywanie głębokości Załóżmy, że współrzędne (x, y, z) wszystkich punktów wizualizowanego obiektu są dane w układzie współrzędnych płaszczyzny rzutowania. W przypadku rzutu równoległego należy określić elementy widoczne wzdłuż kierunku rzutowania, a w przypadku rzutu perspektywicznego względem środka rzutowania. Dla danych dwóch punktów: P 1 o współrzędnych (x 1, y 1, z 1 ) i P 2 o współrzędnych (x 2, y 2, z 2 ), zagadnienie to sprowadza się do zbadania:! czy punkty P 1 i P 2 leżą na tej samej linii rzutowania,! jeśli oba punkty leżą na tej samej linii rzutowania, to który z nich leży bliżej płaszczyzny rzutowania. W rzucie równoległym dane punkty P 1 i P 2 leżą na tej samej linii rzutowania, gdy x 1 ' x 2 i y 1 ' y 2. Jeśli ponadto z 2 < z 1, to punkt P 1 jest przesłonięty przez punkt P 2 (zob. rys. 70), a gdy z 2 > z 1, to punkt P 1 przesłania punkt P 2. Gdy piksele odpowiadające poszczególnym punktom są zaznaczane na ekranie w różnych kolorach, to przypadek pokrywania się punktów (z 1 ' z 2 ) wymaga zastosowania dodatkowych kryteriów (na przykład na ekranie będzie zaznaczony punkt o mniejszej liczbie porządkowej).

2 8.2. Porównywanie głębokości 147 Rys. 70. Przesłonięcie punktu przy rzucie równoległym W rzucie perspektywicznym porównywanie głębokości jest bardziej skomplikowane. Jednak zamiast bezpośredniego porównywania głębokości można najpierw przekształcić wszystkie obiekty trójwymiarowe do takich postaci, dla których będzie możliwe użycie sposobu porównania podanego dla rzutu równoległego. Przy założeniu, że współrzędne odwzorowywanych obiektów są podane względem kanonicznego ostrosłupa widoczności (zob. p. 5.3), ich przekształcenie do kanonicznego równoległościanu widoczności (zob. także p. 5.3) opisuje (we współrzędnych jednorodnych) macierz (8.1) gdzie z f oznacza położenie przedniej płaszczyzny ograniczającej w kanonicznym ostrosłupie widoczności. Macierz T f jest iloczynem trzech macierzy: które określają kolejno:

3 148 VIII. Usuwanie niewidocznych linii i powierzchni! przekształcenie kanonicznego ostrosłupa widoczności w równoległościan widoczności ograniczony płaszczyznami x ' 1, x ' &1, y ' 1, y ' &1, z ' 0 i z ' 1,! przesunięcie układu współrzędnych o wektor v ' i % j, gdzie i oznacza wektor jednostkowy w kierunku osi x, a j w kierunku osi y (w wyniku tego przekształcenia początkiem nowego układu współrzędnych stanie się punkt (&1, &1, 0), a równoległościanem widoczności będzie równoległościan ograniczony płaszczyznami x ' 0, x ' 2, y ' 0, y '2, z ' 0 i z ' 1),! skalowanie w kierunku osi x i y o czynnik 1/2. Oczywiście przekształcenie opisane macierzą (8.1) zachowuje uporządkowanie elementów w kierunku osi z. Należy dodać, że ewentualne obcinanie należy wykonać przed tą transformacją, a więc względem kanonicznego ostrosłupa widoczności. W kilku przedstawionych dalej algorytmach usuwania niewidocznych linii i powierzchni, dotyczących płaskich wielokątów zamkniętych, będziemy rozważać wyłącznie rzut równoległy, przyjmując tym samym założenie, że ewentualna transformacja z ostrosłupa widoczności do prostopadłościanu widoczności została już wykonana. Jednym z algorytmów wykorzystujących porównywanie głębokości jest tzw. algorytm z buforem głębokości (ang. Z-buffer algorithm, depth buffer algorithm). Służy on do wyznaczania widocznych fragmentów ścian szerokiej klasy obiektów i ich wizualizacji nie tylko na ekranie, ale na dowolnym urządzeniu rastrowym. Zauważmy przede wszystkim, że piksel na urządzeniu rastrowym nie przedstawia punktu w sensie matematycznym, a raczej jest ograniczonym obszarem, który może zawierać teoretycznie nieskończoną liczbę punktów. Konwersja (skanowanie) pojedynczego punktu polega na spowodowaniu iluminacji piksela, który zawiera ten punkt. Oczywiście wiele punktów matematycznych może być odwzorowanych w ten sam piksel. Algorytm z buforem głębokości w gruncie rzeczy polega na zapamiętywaniu najmniejszych wartości z 1) tych punktów obiektu, znajdującego się w równoległościanie widoczności, które są widoczne z piksela płaszczyzny rzutowania o współrzędnych (i, j). Wartości te są pamiętane w specjalnym buforze zwanym Z buforem lub buforem głębokości. Oznaczmy przez Z buf (i, j) wartość z pamiętaną w Z-buforze dla piksela płaszczyzny rzutowania o współrzędnych (i, j), a d niech oznacza odległość tylnej płaszczyzny ograniczającej równoległościanu widoczności od płaszczyzny rzutowania (zob. p. 5.2). Dwa kroki wstępne algorytmu z buforem głębokości można opisać następująco:! zainicjowanie płaszczyzny rzutowania z każdym pikselem w kolorze tła,! przypisanie każdej komórce Z-bufora wartości d, tj. dla każdego piksela (i, j). Właściwa część algorytmu polega na wyznaczeniu dla wszystkich wielokątów (ścian) rysowanego obrazu i dla każdego piksela (i, j) zawartego w ich rzutach, współrzędnej z przeciwobrazu leżącego na tych wielokątach, tj. wartości Z(i, j). Jeśli liczbę wielokątów oznaczymy przez n, to dla każdego k ' 1, 2,..., n należy: 1) Zakładamy, że układ współrzędnych płaszczyzny rzutowania jest układem prawoskrętnym i odwzorowywany obiekt znajduje się w równoległościanie widoczności położonym za płaszczyzną rzutowania (w kierunku dodatnich wartości z).

4 8.2. Porównywanie głębokości 149! obliczyć współrzędne rzeczywiste (x, y) k-tego wielokąta odpowiadające pikselowi (i, j) oraz wyznaczyć Z(i, j),! gdy Z(x, y) < Z buf (x, y), to z jednoczesnym ustaleniem koloru piksela (i, j), który odpowiada (lub jest równy) kolorowi punktu danego wielokąta (danej ściany) o współrzędnych (x, y). W przypadku, gdy kierunki rzutowania będą prawie równoległe do rzutowanych wielokątów, podczas realizacji tego algorytmu mogą pojawić się trudności. Niewielkie niedokładności przy obliczaniu współrzędnych rzeczywistych (x, y) odpowiadających pikselowi (i, j) mogą wówczas znacznie zmienić wartości Z(x, y). Zastosowanie algorytmu z buforem głębokości wymaga znajomości sposobu określania współrzędnych (x, y, z) punktu P (leżącego na wizualizowanym wielokącie) ze współrzędnych rzutu tego punktu na płaszczyznę rzutowania oraz wyznaczania pikseli (i, j) zawartych w rzutach wielokątów. W celu rozwiązania pierwszego problemu, załóżmy, że mamy dany obiekt wielościenny przedstawiony w postaci listy krawędzi, wierzchołków lub wielokątów. Jeśli znamy krawędzie dowolnej ściany, to równanie zawierającej ją płaszczyzny możemy wyznaczyć z zależności (8.2) gdzie n ' n 1 i % n 2 j % n 3 k oznacza wektor normalny płaszczyzny, a (x 0, y 0, z 0 ) współrzędne dowolnego jej punktu (punktem tym może być jeden z wierzchołków wielościanu należący do danej ściany). Wyznaczenie wektora normalnego jest łatwe: dla dowolnych trzech wierzchołków P 1, P 2 i P 3 rozpatrywanej ściany o współrzędnych odpowiednio (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) oraz (x 3, y 3, z 3 ) wektor ten jest iloczynem wektorowym wektorów P 2 & P 1 i P 3 & P 1, a więc Jeśli płaszczyzną rzutowania jest płaszczyzna xy, a kierunek rzutowania jest określony przez wektor u ' u 1 i % u 2 j % u 3 k, który nie jest równoległy do tej płaszczyzny, to współrzędne (x, y, z) dowolnego punktu ściany nierównoległej do kierunku rzutowania określimy ze współrzędnych jego rzutu na podstawie zależności (por. p ) gdzie (4.3) (4.4)

5 150 VIII. Usuwanie niewidocznych linii i powierzchni Gdy ściana jest równoległa do kierunku u, czyli gdy nbu ' 0, to punktowi o współrzędnych odpowiada nieskończenie wiele punktów tej ściany o współrzędnych (x, y, z) leżących na prostej Tego przypadku można jednak w ogóle nie rozważać, gdyż dla określonego wielościanu punktowi o współrzędnych będzie odpowiadał punkt o współrzędnych (x, y, z) innej ściany nierównoległej do płaszczyzny rzutowania i na jego podstawie określimy kolor piksela i przypiszemy odpowiednią wartość do Z-bufora. Przy założeniu, że płaszczyzna rzutowania xy pokrywa się z płaszczyzną urządzenia rastrowego (oknem ekranu), a okno widoczności z rozmiarami tego urządzenia (z rozmiarami okna ekranu), w podanych zależnościach przyjmujemy ' (i, j). Wyznaczenie pikseli należących do rzutu odpowiedniej ściany jest zadaniem trochę trudniejszym. Większość algorytmów stosowanych do tego celu polega na przeglądaniu tych rzutów (wielokątów) liniami poziomymi lub pionowymi i określaniu pikseli wewnętrznych na podstawie przecięć tych linii z krawędziami wielokątów. W przypadku grafiki ekranowej i popularnych języków programowania wysokiego poziomu rozważane zadanie można stosunkowo łatwo rozwiązać wykorzystując funkcje i procedury standardowe zdefiniowane w tych językach Algorytm liniowego skanowania W algorytmie liniowego skanowania wykonuje się przeglądanie liniami przestrzeni, w której znajduje się obiekt. Przeglądanie liniami prostopadłymi do osi x jest przy tym zagłębione w przeglądanie liniami prostopadłymi do osi y. Załóżmy, że obiekt składa się z rozłącznych i wypukłych wielokątów, płaszczyzną rzutowania jest okno ekranu monitora (lub płaszczyzna innego urządzenia rastrowego), a układ współrzędnych tej płaszczyzny pokrywa się z układem współrzędnych (pikselowych) okna ekranu. Dla każdej wartości y ' j wykonujemy przecięcia wielokątów płaszczyzną skanowania (płaszczyzna ta jest równoległą do płaszczyzny xz). W wyniku tej operacji na płaszczyznach y ' j powstaną odcinki (zob. rys. 71). Następnie dla każdej wartości x ' i przecinamy powstałe odcinki prostą x ' i, leżącą na płaszczyźnie y ' j, w wyniku czego otrzymamy zbiór punktów leżących na tej prostej. Punkty te sortujemy względem współrzędnej z. Punkt o współrzędnych (x, y, z) z najmniejszą wartością z jest punktem widocznym. Kolor wielokąta zawierającego ten punkt przypisujemy pikselowi (i, j). Przedstawiony wyżej ogólny opis algorytmu liniowego skanowania nie uwzględnia żadnych zależności pomiędzy różnymi elementami rysowanego obiektu, a przez to liczba koniecznych do wykonania obliczeń może być bardzo duża. Zależności te, zwane koherencjami (ang. coherences) można podzielić na cztery grupy:! koherencje liniowego skanowania polegające na tym, że jeśli jakiemuś pikselowi znajdującemu się na linii przeglądania odpowiada punkt leżący wewnątrz wielokąta, to poza skrajnymi przypadkami, pikselowi sąsiedniemu będzie odpowiadał punkt, który też leży wewnątrz tego samego wielokąta,

6 8.3. Algorytm liniowego skanowania 151! koherencje krawędziowe, które polegają na tym, że jeśli pewna krawędź wielokąta przecina daną linię przeglądania, to na ogół (poza skrajnymi przypadkami) przecina ona także sąsiednią linię przeglądania,! koherencje powierzchniowe dostatecznie małemu obszarowi obrazu odpowiada na ogół obszar leżący wewnątrz pojedynczego wielokąta,! koherencje przestrzenne polegające na możliwości określenia pewnych własności obiektu poprzez zbadanie jego rozszerzenia, tj. figury geometrycznej otaczającej obiekt (dla obiektów płaskich figurą taką jest zwykle prostokąt, a dla obiektów przestrzennych prostopadłościan). Rys. 71. Skanowanie liniowe Ostatnie koherencje są na ogół wykorzystywane w krokach wstępnych algorytmu liniowego skanowania. W wariancie tego algorytmu, podanym poniżej, podczas wykonywania przeglądania liniami prostopadłymi do osi y wykorzystuje się koherencje skanowania i koherencje krawędziowe. Ponieważ przeglądanie liniami prostopadłymi do osi y powoduje utworzenie listy odcinków potencjalnie widocznych, zamiast rekonstruowania tej listy przy każdej zmianie linii skanowania można ją tylko uaktualniać w przypadkach, gdy jest to konieczne. Lista taka nazywa się listą krawędzi aktywnych (będziemy ją oznaczać skrótem LKA). Jej efektywne konstruowanie i przetwarzanie jest podstawą algorytmu. W przytoczonym algorytmie konstruuje się następujące struktury danych:! listę krawędzi (LK),! listę wielokątów (LW),! wspomnianą listę krawędzi aktywnych (LKA),! tzw. listę wielokątów aktywnych (LWA). Lista LK zawiera wszystkie niepoziome krawędzie rzutów wszystkich wielokątów (krawędzie poziome będą wyświetlane na ekranie automatycznie). Ponieważ nie uwzględniamy krawędzi poziomych, więc jeden z końców każdej krawędzi ma mniejszą współrzędną y. Oznaczmy tę współrzędną przez y min, odpowiadającą jej współrzędną x przez x ymin, a współrzędne drugiego końca krawędzi przez (x ymax, y max ). Elementy LK sortujemy względem y min i wyniki umieszczamy

7 152 VIII. Usuwanie niewidocznych linii i powierzchni w komórkach pamięci (komórki te nazywa się kubełkami), z których każda odpowiada wierszowi pikseli prostopadłemu do osi y. W kubełkach wykonujemy kolejne sortowanie względem rosnących wartości x ymin, a w przypadku równych wartości x względem odwrotności współczynnika kierunkowego krawędzi, tj. wielkości Po wykonaniu tych operacji każdy element listy LK powinien zawierać:! współrzędną x końca krawędzi o najmniejszej współrzędnej y (y min ), czyli x ymin,! współrzędną y drugiego końca tej krawędzi, czyli y max,! wartość m,! wskaźnik do listy identyfikującej rzuty wielokątów, do których dana krawędź należy (zwykle lista ta zawiera numery wielokątów). W języku Pascal strukturę tę możemy opisać następująco: type LK = ^LKElement; LKElement = record Xymin, Ymax : Integer; RealXymin, m : Real; PolNumber : Integer; Next : LK end; gdzie pole RealXymin oznacza rzeczywistą wartość współrzędnej x wykorzystywaną do obliczania kolejnych wartości x ymin (zob. dalej). Ponieważ listy typu LK powinny być utworzone dla każdej linii przeglądania y ' j, a liczba tych linii zależy od rozdzielczości okna ekranu (urządzenia rastrowego) w kierunku osi y, która może być różna, więc wygodne będzie utworzenie jeszcze jednej listy (elementami tej listy są kubełki): type YScan = ^YScanElement; YScanElement = record YLine : LK; Next : YScan end; Lista LW zawiera informacje o wszystkich wielokątach. Każdy element tej listy powinien składać się z następujących danych:! współczynników równania płaszczyzny zawierającej dany wielokąt, na podstawie którego będziemy określać głębokość, tj. wartość z dla piksela (x, y) ' (i, j) (dla ogólnego równania płaszczyzny Ax % By % Cz % D ' 0 należy zapamiętać cztery współczynniki A, B, C i D),! pola (nazwijmy je InOut) o wartości logicznej, które podczas przeglądania liniami będzie informowało, czy znajdujemy się wewnątrz czy też na zewnątrz rzutu danego wielokąta (przyjmiemy, że wartość logiczna True oznacza położenie we wnętrzu tego rzutu, a początkową wartością jest False),! oznaczenia koloru (lub informacji o kolorze) danego wielokąta. Struktura ta w języku Pascal może mieć postać type LW = ^LWElement; LWElement = record A, B, C, D : Real; InOut : Boolean;

8 8.3. Algorytm liniowego skanowania 153 Id : Integer; Color : Word end; Dla rzutu nieortogonalnego wartości zapisane w polach A, B, C i D powinny uwzględniać fakt, że równania płaszczyzny będą obliczane ze współrzędnych ekranowych. Pole Id służy do przechowywania identyfikatora (numeru) wielokąta. Lista LKA zawiera dla każdej wartości przeglądania w kierunku osi y, czyli dla y ' j, gdzie liczba j przebiega zbiór pikseli w kierunku tej osi, zbiór krawędzi przeciętych płaszczyzną y ' j. Krawędzie te są sortowane zgodnie z rosnącymi wartościami x ymin. Struktura LKA jest taka sama, jak LK. Wreszcie, lista LWA zawiera dla każdej wartości przeglądania w kierunku osi x, czyli dla x ' i (liczba i przebiega zbiór pikseli w kierunku osi x), zbiór wszystkich wielokątów, których pole InOut ma wartość logiczną True oraz liczbę tych wielokątów. W języku Pascal struktura ta może być rekordem zdefiniowanym następująco: type LWA = ^LWAElement; LWAElement = record Polygons : LW; Number : Integer end; Poniżej podajemy formalny opis algorytmu liniowego skanowania z listą krawędzi aktywnych. 1. Inicjowanie a) Utwórz pustą listę LKA. b) Każdemu pikselowi ekranu przypisz kolor tła. c) Przypisz zmiennej całkowitej y numer pierwszego niepustego kubełka w LK (numer ten określimy przeglądając listę YScan, w której dla wszystkich pustych kubełków wartością pola YLine powinien być adres pusty, czyli nil). Z uwagi na układ współrzędnych ekranu kubełki powinny być ponumerowane od 0. Powtarzaj następujące kroki 2 i 3 aż do chwili, gdy nie będzie możliwe wykonywanie dalszych operacji na strukturze LKA. 2. Przeglądanie względem y a) Uaktualnij listę LKA przez dołączenie do niej informacji zawartej w kubełku y, tj. w liście LK, na którą wskazuje pole YLine. b) Posortuj listę LKA względem rosnących wartości x ymin. 3. Przeglądanie względem x Dla każdej krawędzi zawartej w liście LKA wykonaj następujące czynności: a) Zmień wartość logiczną pól InOut w liście LW dla tych wielokątów, które zawierają rozpatrywaną krawędź. b) Utwórz strukturę LWA z tych elementów listy LW, których pole InOut ma wartość True. c) Określ liczbę wielokątów w liście LWA. Jeśli jest ona równa 1, to wielokąt zawierający rozpatrywaną krawędź jest widoczny, chyba że wielokąt ten jest zredukowany do odcinka. W takim przypadku wykonaj porównanie głębokości dla danego piksela i na tej podstawie ustal jego kolor. W przeciwnym przypadku, tzn. gdy wielokąt nie jest zredukowany do odcinka, wszystkim pikse-

9 154 VIII. Usuwanie niewidocznych linii i powierzchni lom na linii y pomiędzy x ymin z danej krawędzi i x ymin z następnej krawędzi (łącznie z wartościami skrajnymi) przypisz kolor rozpatrywanego wielokąta. Gdy liczba wielokątów w liście LWA jest większa od 1: wyznacz dla rozważanego piksela i dla każdego wielokąta z LWA wartość z (dla każdego wielokąta wartość z oblicza się z równania płaszczyzny zawierającej dany wielokąt), z wyznaczonych wartości z wybierz wartość najmniejszą, która określa wielokąt widoczny, przypisz wszystkim pikselom na linii y (pomiędzy x ymin z danej krawędzi i x ymin z następnej krawędzi) kolor rozpatrywanego wielokąta, chyba że wielokąt jest zredukowany do odcinka. W takim przypadku pozostaw piksele niezmienione. Jeżeli liczba wielokątów w liście LWA jest równa 0, to nie zmieniaj koloru pikseli. d) Przypisz polom InOut w strukturze LW wartość logiczną False dla wszystkich rozważonych wielokątów zredukowanych do odcinka. e) Podczas rozpatrywania ostatniej krawędzi w liście LKA wykonaj następujące czynności: usuń z listy LKA te krawędzie, dla których y (bieżąca wartość skanowania) jest równe y max (jeśli lista LKA nie zawiera już żadnych krawędzi, to algorytm jest zakończony), dla wszystkich pozostałych krawędzi w liście LKA zmodyfikuj zawartość pola Xymin przypisując mu wartość x ymin % m 1) (w ten sposób otrzymamy punkty przecięcia krawędzi z następną linią skanowania wzdłuż osi y, tj. z linią y % 1), posortuj listę LKA względem rosnących wartości x ymin, zwiększ wartość y o 1 i powtórz punkt 2. Algorytm ten ma dwie ważne zalety: może być zaimplementowany na dowolnym urządzeniu rastrowym (nie tylko w oknie na ekranie) oraz stosunkowo łatwo można go uogólnić na przypadek, gdy wielokąty nie są wypukłe lub gdy ściany obiektu nie są wielokątami. Rys. 72. Punkty dwukrotne w algorytmie liniowego skanowania Zastosowanie podanego algorytmu w praktyce wymaga pewnych modyfikacji. Podczas jego realizacji ten sam punkt może bowiem wystąpić dwukrotnie w zbiorze punktów przecięcia z krawędziami (w liście LKA). Teoretycznie przy założeniu, że wszystkie rozważane wielokąty są wypukłe, przy ich przeglądaniu w kierunku osi y powinniśmy dla każdej linii y ' j otrzymać co najwyżej dwa punkty należące do jednego wielokąta. W przytoczonym algorytmie w liście LKA możemy jednak otrzymać do czterech punktów, czego konsekwencją jest brak zaznaczenia pewnych pikseli na ekranie (zob. rys. 72). Usunięcie jednego lub dwu punktów dwukrotnych nie RealXymin % m. 1) Dokładniej: polu Xymin należy przypisać wartość Round(RealXymin % m), a polu RealXymin wartość

10 8.4. Algorytm sortowania głębokości 155 jest trudne wystarczy policzyć w liście LKA liczbę punktów należących do jednego wielokąta i w przypadku, gdy jest ona równa 3 lub 4, podjąć odpowiednie działania (sprowadzają się one do usunięcia jednego lub dwu elementów listy) Algorytm sortowania głębokości Algorytm sortowania głębokości, zwany też algorytmem malarza, polega na takim uporządkowaniu wielokątów, jak byłyby one obrazowane w oknie na ekranie, a więc w kolejności ich odległości od obserwatora. Oznacza to, że wielokąty bardziej oddalone powinny być przedstawiane na ekranie najpierw, a wielokąty bliższe w dalszej kolejności, częściowo lub całkowicie zasłaniając te pierwsze. W algorytmie sortowania głębokości każdemu wielokątowi przypisuje się określony priorytet wynikający z analizy jego usytuowania w stosunku do innych wielokątów. W analizie tej korzysta się z pojęcia rozpiętości (ang. extent) wielokąta. Przez z-rozpiętość (lub rozpiętość w kierunku osi z) wielokąta należy rozumieć obszar ograniczony płaszczyznami z ' z min oraz z ' z max, gdzie z min i z max oznaczają odpowiednio najmniejszą i największą współrzędną z wierzchołków tego wielokąta. Podobnie definiuje się x-rozpiętość (rozpiętość w kierunku osi x) i y-rozpiętość (rozpiętość w kierunku osi y) danego wielokąta. Część wspólna x-, y- i z-rozpiętości nazywa się rozpiętością wielokąta. Niech P oznacza pewien ustalony (dany) wielokąt. W celu stwierdzenia, czy wielokąt ten nie przesłania innego wielokąta Q, wykonuje się następujące testy (w podanej kolejności): test 0 sprawdzenie, czy z-rozpiętości wielokątów P i Q nie przecinają się, tzn. czy spełniona jest nierówność z max (Q) < z min (P), gdzie z max (Q) oznacza największą wartość współrzędnej z wierzchołków wielokąta Q, a z min (P) najmniejszą wartość tej współrzędnej dla wierzchołków wielokąta P (zob. rys. 73 a), test 1 sprawdzenie, czy y-rozpiętości wielokątów P i Q nie mają części wspólnej, tj. czy y max (Q) < y min (P) (zob. rys. 73 b), test 2 sprawdzenie, czy x-rozpiętości obu wielokątów nie mają części wspólnej, tj. czy x max (Q) < x min (P), test 3 sprawdzenie, czy wszystkie wierzchołki wielokąta P leżą po tej stronie płaszczyzny zawierającej wielokąt Q, która jest bardziej oddalona od okna widoczności (ściślej: płaszczyzna zawierająca wielokąt Q dzieli przestrzeń na dwie podprzestrzenie, z których jedna zawiera okno widoczności, a druga nie; wielokąt P powinien znajdować się w podprzestrzeni, która nie zawiera okna widoczności zob. rys. 73 c), test 4 sprawdzenie, czy wszystkie wierzchołki wielokąta Q leżą po tej stronie płaszczyzny zawierającej wielokąt P, która jest położona bliżej okna widoczności (ściślej: płaszczyzna zawierająca wielokąt P dzieli przestrzeń na dwie części, z których jedna zawiera okno widoczności; wielokąt Q powinien znajdować się w tej samej podprzestrzeni, co okno widoczności zob. rys. 73 d), test 5 sprawdzenie, czy rzuty wielokątów P i Q na płaszczyznę xy (zakładamy, że płaszczyzna ta pokrywa się z płaszczyzną ekranu) nie mają części wspólnych; w tym celu wystarczy zbadać, czy żaden bok (a więc odcinek) jednego wielokąta nie przecina żadnego boku drugiego wielokąta. Testy zostały wymienione od najłatwiejszego do najtrudniejszego do weryfikacji. Jeśli jest spełniony dowolny z nich, to wielokąt P nie przesłania wielokąta Q.

11 156 VIII. Usuwanie niewidocznych linii i powierzchni Rys. 73. Testy zasłaniania Formalny opis algorytmu sortowania głębokości, w którym wykonuje się powyższe testy, jest następujący: 1. Utwórz listę wszystkich rozważanych wielokątów posortowaną względem rosnących wartości z max (największych wartości współrzędnej z wierzchołków każdego wielokąta). Rozpoczynając od końca listy, dla każdego wielokąta P wykonaj kroki 2 i 3.

12 8.4. Algorytm sortowania głębokości Znajdź wszystkie wielokąty Q (poprzedzające wielokąt P w liście), których z-rozpiętości mają części wspólne z z-rozpiętością wielokąta P (test 0). Jeśli takie wielokąty nie istnieją, oznacza to, że wielokąt P nie zasłania żadnego innego wielokąta. W takim przypadku rysujemy (i wypełniamy) rzut wielokąta P, usuwamy go z listy i powtarzamy p Dla każdego wielokąta Q wykonaj kolejno testy 1 5 a) Jeśli któryś z testów zakończył się pomyślnie dla każdego wielokąta Q, oznacza to, że wielokąt P nie zasłania żadnego z nich. Możemy narysować (i wypełnić) jego rzut, a następnie usunąć go z listy i powtórzyć p. 2. b) Gdy któryś z testów nie wypadł pomyślnie dla wielokąta Q, zamień miejscami na liście wielokąty P i Q oraz oznacz wielokąt Q jako wymieniony. Jeżeli wielokąt Q jest już oznaczony jako wymieniony, to użyj płaszczyznę zawierającą wielokąt P do podziału wielokąta Q na dwa wielokąty Q 1 i Q 2. Usuń wielokąt Q z listy i wstaw do niej wielokąty Q 1 i Q 2, zachowując na liście porządek względem rosnących wartości z max, po czym powtórz p. 2. W celu zredukowania nakładu obliczeń w p. 3 przed rozpoczęciem algorytmu można wykonać triangulację (podział na trójkąty) rozważanych wielokątów.