Zastosowanie hipotez wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego do analitycznej oceny trwałości zmęczeniowej łożysk tocznych 3

Transkrypt

1 Paweł Romanowicz 1 Politechnika Krakowska Bogdan Szybiński Politechnika Krakowska Zastosowanie hipotez wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego do analitycznej oceny trwałości zmęczeniowej łożysk tocznych 3 Wprowadzenie Węzły łożyskowe występują praktycznie we wszystkich maszynach, w których podzespoły wykonują ruch obrotowy. Są to zespoły, których elementy (łożyska toczne lub ślizgowe) przenoszą obciążenia z wirujących elementów na podpory lub nieruchomy korpus maszyny. Tarcie toczne występujące w łożyskach tocznych, jak również tarcie hydrodynamiczne występujące w łożyskach ślizgowych jest znacznie mniejsze od klasycznego tarcia ślizgowego. Istotnym zagadnieniem dotyczącym projektowania, doboru i eksploatacji łożysk tocznych jest problem zużycia i trwałości zmęczeniowej. Na proces zużycia wpływ ma wiele czynników, do których zalicza się m.in.: geometrię, rodzaj i kierunek obciążenia, wartość i kierunek względnego ruchu elementów łożyska, rodzaj stosowanej cieczy smarującej, obecność luźnych cząstek, twardość materiału. W literaturze przedmiotu wyróżnia się następujące rodzaje zużycia: Zużycie ścierne, Pitting (zmęczenie powierzchowne), Spalling (zmęczenie podpowierzchnowne), Zużycie adhezyjne, Zatarcie, Zużycie korozyjne. Dominującymi mechanizmami zniszczenia w łożyskach tocznych są pitting i spalling. Pęknięcia zmęczeniowe pojawiają się zwykle tuż pod powierzchnią w miejscu gdzie występuje największa amplituda naprężeń ścinających. Pęknięcia mogą również propagować się od powierzchni w głąb obciążonego materiału. W obu wymienionych przypadkach czynnik smarny przyspiesza rozwój uszkodzenia. Związane jest to ze zjawiskiem wciskania cieczy (nieściśliwej) w szczelinę. Prowadzi to do wzrostu ciśnienia w istniejącym już pęknięciu i dalszej propagacji uszkodzenia. Ostatecznie następuje większe lub mniejsze wykruszenie części materiału. Dalsze użytkowanie łożyska prowadzi do coraz szybszej degradacji współpracujących ze sobą powierzchni i powoduje wzrost generowanego hałasu przez łożysko. W praktyce łożyska toczne dobiera się w oparciu o empiryczny wzór sformułowany przez Palmgrena i Lundberga [6, 7]. L k C, P (1) lub jego modyfikację zalecaną przez ISO [, 3] L a a a C 1 3 k P, () 1 3 Dr inż. P. Romanowicz, adiunkt, Politechnika Krakowska, Wydział Mechaniczny, Instytut Podstaw Konstrukcji Maszyn M3. Dr hab. inż. B. Szybiński, adiunkt, Politechnika Krakowska, Wydział Mechaniczny, Instytut Podstaw Konstrukcji Maszyn M3. Artykuł recenzowany. 16

2 gdzie: L trwałość w milionach obrotów, C nośność dynamiczna łożyska, P obciążenie zastępcze działające na łożysko, k współczynnik zależny od rodzaju elementów tocznych, a 1, a, a 3 współczynniki korekcyjne opisane w literaturze. Obie powyższe zależności mają charakter empiryczny i wymagają doświadczalnego wyznaczenia nośności dynamicznej łożyska C dla analizowanego łożyska. Tego typu badania są zarówno czasochłonne jak i kosztowne. Alternatywą dla powyższych zależności empirycznych wydaje się być zastosowanie współcześnie rozwijanych hipotez wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego do określenia trwałości łożysk. Hipotezy te uwzględniają złożony i nieproporcjonalny stan naprężenia charakterystyczny dla współpracujących elementów łożyska. Należy tutaj zaznaczyć, że w elementach tocznych łożyska występuje złożony stan naprężenia z przesuniętymi w fazie efektami ściskającymi i ścinającymi. Zastosowanie powyższych kryteriów daje zauważalne korzyści w procesie doboru łożysk tocznych. Jedną z nich jest to, że poziom zastępczych naprężeń zmęczeniowych odnoszony jest do własności materiałów (zwykle są to trwała wytrzymałość na zginanie Z GO i skręcanie Z SO dla cyklu obustronnie zmiennego), z których wykonane są elementy łożyska, a nie do nośności łożyska jak to jest w przypadku zależności empirycznej zaproponowanej przez Palmgrena-Lundberga. Obciążenie łożyska Przebiegi naprężeń w elementach tocznych i bieżniach można wyznaczyć wykorzystując oprogramowanie bazujące na metodzie elementów skończonych (np.: Ansys, Abakus, etc.). Jest to jednak metoda czasochłonna i wymaga użycia komputerów o znacznych mocach obliczeniowych. Zakładając, że w łożyskach występuje czysto sprężysty stan naprężenia, przebiegi naprężeń można określić korzystając z teorii Hertza. Bazując na rozwiązaniach podanych przez Hertza Radzimovsky [9] podał rozwiązanie matematyczne dla przypadku kontaktu liniowego (przypadek występujący np. w łożyskach walcowych). Bardziej skomplikowane jest rozwiązanie dla kontaktu eliptycznego sformułowane przez Sackfielda i Hillsa [14]. W tym przypadku można wyznaczyć naprężenia podpowierzchniowe w objętości znajdującej się wyłącznie pod obszarem kontaktu. Zaobserwowano jednak, że najbardziej wytężone punkty zawierają się pod strefą styku dwóch ciał, co daje możliwość zaimplementowania powyższego rozwiązania do analizy zmęczeniowej łożysk tocznych. Największy wpływ na wytrzymałość zmęczeniową łożyska mają geometria elementów tocznych oraz promienie krzywizn bieżni tocznych [11, 1]. Szczególnie związane jest to z zależnością między promieniami krzywizn elementu tocznego i bieżni. Zależność ta jest określana przy pomocy współczynników zgodności krzywizn f, określanych według poniższych wzorów: f i ri, d f o ro, d gdzie: r i promień krzywizny bieżni wewnętrznej, r o promień krzywizny bieżnie zewnętrznej, d średnica elementu tocznego (np. kulki). Zwykle współczynnik zgodności krzywizn zawiera się w zakresie 0,51 f 0,57. W przypadku, gdy promienie krzywizny są identyczne (f = 0,5) w łożysku występują najmniejsze naciski kontaktowe, ale z kolei pojawiają się duże efekty cierne. Wraz ze wzrostem współczynnika f maleją opory cierne w łożysku, lecz jednocześnie rosną naciski, co skutkuje zmniejszeniem trwałości zmęczeniowej łożyska. W związku z tym, w łożyskach kulkowych współczynnik f najczęściej przyjmuje się równy 0,5. W celu określenia naprężeń niezbędne jest oszacowanie siły działającej na pojedynczy element toczny łożyska. W przypadku łożysk wzdłużnych siłę tą określa się z poniższego wzoru: Fa Q, i Z sin() (3) (4) 163

3 gdzie: F a obciążenie osiowe łożyska, i ilość rzędów elementów tocznych, Z liczba elementów tocznych w jednym rzędzie tocznym łożyska, α kąt między składową promieniową i osiową zewnętrznej siły działającej na łożysko. W przypadku łożysk promieniowych obciążonych tylko siłą promieniową, najbardziej obciążony element przenosi siłę wyrażoną wzorem: Q max Fr An, i Z cos( ) gdzie: F r obciążenie promieniowe łożyska, i ilość rzędów elementów tocznych, Z liczba elementów tocznych w jednym rzędzie tocznym, α kąt między składową promieniową i osiową siły działającej na łożysko, A n współczynnik maksymalnego obciążenia. Podany we wzorze (5) współczynnik A n określa się w oparciu o rodzaj kontaktu (punktowy, liniowy) oraz na podstawie współczynnika rozkładu obciążenia na części toczne łożyska ε. Jego wartość można odczytać z wykresu załączonego na rysunku 1. Wartość współczynnika ε związana jest z kątem rozkładu obciążenia na części toczne ψ ε i określana jest zgodnie z informacjami zamieszczonymi na rysunku. Zwykle kąt ψ ε zawiera się w zakresie (5) Rys. 1. Graficzna zależność pomiędzy współczynnikiem maksymalnego obciążenia An a współczynnikiem rozkładu obciążenia ε dla kontaktu punktowego (linia ciągła) oraz kontaktu liniowego (linia przerywana) 164

4 Rys.. Wartości współczynnika kąta rozkładu obciążenia na części toczne ε oraz kąta rozkładu obciążenia na części toczne ψ ε dla wybranych rozkładów nacisków na obwodzie bieżni łożyska Naprężenia zmęczeniowe w łożysku tocznym Zarówno w przypadku kontaktu punktowego (rysunek 3a) jak również kontaktu liniowego (rysunek 3b) można wyróżnić 3 charakterystyczne punkty, w których może dojść do inicjacji pęknięcia zmęczeniowego. Są to punkt Bielajewa (maksimum naprężeń zastępczych) i dwa punkty Palmgrena- Lundberga (maksimum i minimum naprężeń stycznych). Przykładowe przebiegi naprężeń na promieniach punktu Bielajewa i Palmgrena-Lundberga zamieszczono na rysunku 4. W punkcie Bielajewa występuje największe co do wartości naprężenie zredukowane liczone z hipotezy H-M-H. Punkt ten może być niebezpieczny w przypadku, gdy stykające się ciała nie wykonują względnego ruchu i są obciążone zmiennymi siłami ściskającymi. Punkty Palmgrena-Lundberga (P-L) znajdują się bliżej powierzchni niż punkt Bielajewa. Cechą charakterystyczną punktów P-L jest to, że rozkład naprężeń stycznych jest asymetryczny. Przy toczeniu powoduje to, że na promieniu punktów P-L występuje maksymalna amplituda naprężenia stycznego, większa niż na promieniu punktu Bielajewa. Należy ponadto zauważyć, że w obu punktach występuje złożony stan naprężenia ze znacznym trójosiowym ściskaniem i z przesunięciem w fazie między naprężeniami normalnymi i stycznymi. a) b) Rys. 3. Przyjęte oznaczenia oraz układy współrzędnych dla przypadku: a) kontaktu eliptycznego, a, b półosie elipsy kontaktu, p o maksymalne naciski kontaktowe b) kontaktu liniowego, b połowa szerokości pola kontaktu 165

5 a) b) Rys. 4. Przebiegi podpowierzchniowych naprężeń normalnych i ścinających w elemencie tocznym łożyska kulkowego o oznaczeniu 604* na: a) promieniu punktu Bielajewa b) promieniu punktów Palmgrena-Lundberga Obciążenie łożyska: Q max =153 N, f i = Fundamentalne zależności dla beztarciowego kontaktu ciał sprężystych zostały sformułowane przez Hertza. Umożliwiają one wyznaczenie obszaru kontaktu ściskanych ciał oraz wartości nacisków kontaktowych. Dla przypadku dwóch ściskanych cylindrów o osiach równoległych połowa szerokości pola kontaktu wynosi [4]: b 4Q R E * *, (6) gdzie: Q obciążenie zewnętrzne, R* zastępczy promień kontaktu, E* stała materiałowa zależna od modułów Younga i współczynników Poissona ściskanych ciał: R 1 1 R 1 R, * 1 (7) E * E 1 E 1, (8) Podczas pracy łożyska naciski kontaktowe oraz naprężenia podpowierzchniowe powstałe na wskutek ściskania powtarzają się cyklicznie. Prowadzi to do zmęczeniowego uszkodzenia materiału, które zwykle obserwuje się tuż pod powierzchnią kontaktu w miejscu gdzie występuje największa amplituda naprężenia stycznego (promień punktów Palmgrena-Lundberga). W celu poprawnego oszacowania trwałości zmęczeniowej niezbędne jest określenie przebiegów naprężeń podpowierzchniowych w czasie. Dla kontaktu liniowego naprężenia te można obliczyć według poniższych wzorów [9]: 166

6 q q x e sin b b q y e sin b q q z e sin b b q xz sinh sin b cosh xy yz 0 sin sinh sin sinh sin cos 1 cosh 1 cosh sinh cos sinh cos, (9) gdzie: q jest to obciążenie jednostkowe (obciążenie zewnętrzne odnoszone do jednostki długości kontaktu), i są stałymi Lamego, i są współrzędnymi eliptycznymi. Wzory transformacyjne względem układu kartezjańskiego x z (patrz rys. 3b) są następujące: x b cosh( ) cos( ). z b sinh( ) sin( ) W przypadku kontaktu eliptycznego, występującego w łożyskach kulkowych, naprężenia można wyznaczyć przy pomocy rozszerzonej teorii Hertza zaproponowanej przez Sackfielda i Hillsa [14]. W celu wyznaczenia półosi elipsy kontaktu (a i b) należy wyliczyć stałe A oraz B. Stałe te zależne są od promieni krzywizn stykających się ciał i wyznaczane są ze wzorów: (10) B A 0, A B 0,5R R R R, R R R R R R R R cos, (11) (1) gdzie: R 11, R 1 najmniejszy i największy główny promień krzywizny pierwszego ciała, określane w początkowym punkcie kontaktu R 1, R najmniejszy i największy główny promień krzywizny drugiego ciała, określane w początkowym punkcie kontaktu - kąt między płaszczyznami zawierającymi główne promienie krzywizn. Dla wyznaczonych stałych A i B półosie elipsy kontaktu wynoszą: a m 1 k 3 Qk ; 3 1 k b n, 3 Q k 4 A B 3 4 A B (13) gdzie: 1i ki ; E i i 1,, (14), E współczynnik Poissona i moduł Younga. Maksymalne naciski kontaktowe p o wywołane siłą ściskającą F występują w środku obszaru kontaktu i mogą być wyznaczone z zależności: 167

7 p o 3 Q, a b (15) Wartości współczynników m oraz n zależą od kąta θ. W literaturze ich wartości podawane są dla wybranych wartości kąta θ. Przykładowe wartości można znaleźć w monografii [17] dla zakresu θ = <30 ; 90 > z rozdzielczością co 5, lub w pracy [1] dla zakresu θ = <1 ; 90 > z rozdzielczością co 1. Na podstawie powyższych danych zaproponowano ciągłe funkcje umożliwiające określenie współczynników m oraz n [1]: m , (16) n , gdzie kąt (podany w radianach) zdefiniowany jest w postaci: cos 1 B A. A B 3 (17) (18) Na wykresie na rysunku 5 zamieszczono wykres funkcji m -1 (16) oraz n (17) (linie ciągłe) oraz wybrane wartości podane w literaturze [1, 17]. Otrzymano wystarczającą zgodność. Pozwala to na zastosowanie zaproponowanych aproksymacji (16, 17) w obliczeniach numerycznych. Rys. 5. Wartości współczynników m oraz n dla różnych przypadków kontaktu dwóch ściskanych ciał Zależności matematyczne umożliwiające określenie naprężeń podpowierzchniowych w przypadku kontaktu eliptycznego są znacznie bardziej skomplikowane aniżeli dla kontaktu liniowego. Muszą być przy tym spełnione założenia Hertza. Ponadto naprężenia podpowierzchniowe można obliczyć wyłącznie pod obszarem kontaktu ściskanych ciał. Zależności matematyczne oraz metodykę określania naprężeń można znaleźć w pracach [1, 14]. 168

8 Obliczenia zmęczeniowe Norma ISO 81:007 [3], zakłada że elementy toczne łożyska wykonane są ze stali łożyskowej o wysokiej wytrzymałości AISI 5100 (100Cr6). W normie tej zakłada się, że stal ta posiada trwałą wytrzymałość zmęczeniową odpowiadającą naprężeniu zastępczemu (w oparciu o hipotezę H-M-H) σ vm = 900 MPa. Dla przypadku kontaktu eliptycznego naprężenie to odpowiada naciskom maksymalnym równym około 1500 MPa. Powyższe założenie jest jednak czasami krytykowane a badania doświadczalne dla stali AISI 5100 nie wykazują istnienia trwałej wytrzymałości zmęczeniowej dla tej stali [15, 16]. Do obliczeń zmęczeniowych wymagane są dwie stałe materiałowe wytrzymałość zmęczeniowa dla naprężeń normalnych dla cyklu obustronnie zmiennego (Z GO ) oraz wytrzymałość zmęczeniowa dla naprężeń stycznych dla cyklu obustronnie zmiennego (Z SO ). Dla stali łożyskowej AISI 5100 wartości te można oszacować stosując zależności zaproponowane przez Shimizu [16] dla prawdopodobieństwa zniszczenia na poziomie N=50% i N=10%: Z GO ( GPa). N50%, (19) Z SO ( GPa).58 N10%, (0) Z SO ( GPa).58 N50%. (1) Krzywe wytrzymałości zmęczeniowej przedstawiono również w postaci wykresów na rysunku 6. Zakładając określoną liczbę cykli do zniszczenia można określić wytrzymałość zmęczeniową materiału, a następnie oszacować maksymalne dopuszczalne obciążenie zmęczeniowe działające na łożysko toczne. Przykładowe graniczne wartości wytrzymałości zmęczeniowej dla N f = 10 7 oraz N f =10 8 cykli zestawiono w tabeli 1. Rys. 6. Wykres S-N dla stali łożyskowej AISI 5100 dla obustronnie zmiennych naprężeń normalnych i stycznych z prawdopodobieństwem zniszczenia na poziomie 10% i 50%. 169

9 Tab. 1. Trwałość zmęczeniowa stali łożyskowej AISI 5100 dla N f = 10 7 i N f =10 8 cykli N f [cykle] Z GO [MPa] dla N 50% Z SO [MPa] dla N 50% Z SO [MPa] dla N 10% Ze względu na złożony i nieproporcjonalny stan naprężeń występujący w elementach tocznych łożyska niezbędne jest użycie hipotez wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego. Dotychczasowe badania wykazały, że dla materiałów twardych o wysokiej wytrzymałości najodpowiedniejsze są hipotezy, w których naprężenia są uśrednianie przy pomocy sformułowań całkowych. Do grupy tych hipotez należy kryterium zaproponowane przez Papadopoulosa w 1997 roku [8]. Cechą charakterystyczną tego modelu jest fakt, że nie uwzględnia ono wpływu przesunięcia w fazie na poziom ekwiwalentnych naprężeń zmęczeniowych. Zjawisko to jest zgodne z wynikami badań doświadczalnych dla tzw. twardych stali o wysokiej wytrzymałości. Do takich materiałów można zaliczyć stal łożyskową AISI W kryterium Papadopoulosa [8] użyta jest uśredniona miara uogólnionej amplitudy naprężeń stycznych określana w pewnym punkcie P konstrukcji oraz maksymalna wartość pierwszego niezmiennika tensora naprężenia zgodnie z poniższą zależnością: 5 3t P1 a 3 f max d 1,, sin d d H, ZSO, () Amplituda naprężenia stycznego we wzorze () zależy od orientacji płaszczyzny materiałowej Δ (CDF) przedstawionej na rysunku 7 i obliczana jest ze wzoru: a,, 0.5 max,,, t min,,, t, (3) tt tt Rys. 7. Orientacja płaszczyzny materiałowej Δ(CDF) przechodzącej przez punkt O (punkt P zmierza do punktu O); kąt χ definiuje kierunek wersora s na płaszczyźnie Δ; wersor n jest prostopadły do płaszczyzny Δ Wyniki obliczeń Szczegółowe obliczenia wykonano dla kilku losowo wybranych łożysk walcowych i kulkowych (wzdłużne i promieniowe). We wszystkich przypadkach naprężenia wyznaczone zostały przy pomocy rozwiązań analitycznych przedstawionych w pracy. Następnie wybrane przypadki zostały zweryfikowane przy pomocy metody elementów skończonych [10, 11, 13]. Zastosowanie hipotezy wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego umożliwiło określenie granicznego obciążenia zmęczeniowego. Obliczenia wykonano przy założeniu, że łożysko ma wytrzymać milion obrotów z prawdopodobieństwem uszkodzenia na poziomie 10%. Dla łożysk walcowych naprężenia wyznaczono przy pomocy zależności podanych przez Radzimovskiego [9], natomiast w przypadku łożysk kulkowych użyto rozwiązania 170

10 sformułowanego przez Sackfielda i Hillsa [14]. Należy zaznaczyć, że otrzymane wyniki wymagają znajomości jedynie geometrii elementów łożyska (promienie kulek lub wałeczków, promienie bieżni oraz liczba elementów tocznych) oraz charakterystyki zmęczeniowej materiału (ewentualnie wytrzymałości zmęczeniowych na zginanie i skręcanie dla cyklu obustronnie zmiennego dla określonej liczby cykli). Wyznaczony został również poziom uszkodzenia dla zmęczeniowego obciążenia katalogowego. Zdefiniowany on został w formie współczynnika bezpieczeństwa x i liczony był jako stosunek wytrzymałości zmęczeniowej dla przyjętej liczby cykli (odpowiadającej milionowi obrotów łożyska) i naprężenia zmęczeniowego przy określonym obciążeniu (w tym przypadku było nim katalogowe obciążenie zmęczeniowe). W tabeli zestawiono dane katalogowe badanych łożysk [5] oznaczenie, wymiary główne, nośność statyczną i dynamiczną oraz obciążenie zmęczeniowe katalogowe F u. Dane katalogowe uzupełniono wynikami obliczeń. Maksymalne obciążenie zmęczeniowe w sensie hipotezy Papadopoulosa F u (P1) wyznaczano dla łożysk walcowych przy założeniu, że długość kontaktu jest równa 80% długości wałeczka. Założenie to związane jest z kształtem elementów tocznych i uwzględnia łagodne zaokrąglenie końców wałeczka w celu uniknięcia wystąpienia nacisków na krawędziach elementów tocznych. Wykonane obliczenia wykazały dobrą zgodność zastosowanej procedury z zaleceniami podawanymi w katalogu producenta (SKF). Obliczone wartości maksymalnego obciążenia zmęczeniowego były nieznacznie większe od katalogowych. Po części związane jest to z pominięciem współczynnika skali w wykonanych obliczeniach zmęczeniowych. Maksymalną różnice zaobserwowano dla największego z badanych łożysk (średnica d = 10 mm) i wyniosła ona ok. 16%. Poprawność przyjętej metody potwierdzają również obliczenia wykonane dla obciążenia zmęczeniowego katalogowego. Wartość współczynnika bezpieczeństwa x dla wszystkich badanych łożysk znajduje się blisko granicy zniszczenia (zakłada się, że zniszczenie nastąpi jeżeli x 1). Różnica między oczekiwaną wartością (x=1) a uzyskaną nie przekracza 10%. Należy zauważyć, że uzyskane wyniki (F u (P1) ) nie wymagają znajomości nośności łożyska ani katalogowego obciążenia zmęczeniowego. Do obliczeń wymagana była znajomość długości wałeczka, ilość elementów tocznych oraz wartości promieni krzywizn wałeczka i bieżni. Maksymalne obciążenie można więc wyznaczać już na etapie projektowania łożyska bez konieczności wykonywania czasochłonnych i kosztownych badań doświadczalnych. Daje to istotne korzyści np. możliwość zmniejszenia kosztów związanych z przeprowadzeniem koniecznych badań zmęczeniowych łożysk, jak również pozwala zastąpić czasochłonne obliczenia MES (które każdorazowo wymagają przygotowania nowej geometrii z dużym zagęszczeniem elementów w obszarze styku ciał) prostszymi metodami obliczeniowymi. Zastosowane sformułowanie dla zagadnienia kontaktu liniowego pozwala na szybkie i dokładne określenie poziomu dopuszczalnego obciążenia zmęczeniowego. Tab.. Wyniki obliczeń dla łożysk walcowych wzdłużnych przy założeniu zniszczenia z prawdopodobieństwem N 10% po przepracowaniu przez łożysko 1 miliona obrotów Oznaczenie łożyska Podstawowe wymiary łożyska d [mm] D [mm] H [mm] Nośność łożyska C [kn] C 0 [kn] Katalogowe obciążenie zmęczeniowe F u [kn] Wsp. bezpieczeństwa (F=Fu) x = Z SO /τ P1 Wyznaczone maksymalne obciążenie zmęczeniowe K 8106 TN ,4 1,05 14,7 K TN ,6 1,07 19,1 K TN ,5 1,05 35,7 K 8113 TN ,0 1,06 56,6 K 814 TN ,08 11 F u (P1) [kn] 171

11 W przypadku łożysk kulkowych o poziomie naprężeń decyduje przede wszystkim relacja między promieniem kulki a promieniem tocznym bieżni. Powyższa zależność jest określana poprzez współczynnik zgodności krzywizn f (3). W katalogach producentów łożysk te dane z reguły nie są podawane. W praktyce najczęściej stosuje się wartość f i = 0,5. Dla takiej wartości dla dwóch losowo wybranych łożysk kulkowych zestawionych w tabeli 3 otrzymano większe obciążenia zmęczeniowe aniżeli podawane w katalogu (wyniki obliczeń oraz wybrane dane katalogowe podano w tabeli 4). Należy jednak zauważyć, że niewielka zmiana współczynnika f skutkuje znacznym zmniejszeniem trwałości zmęczeniowej łożyska. Przykładowo dla łożyska o numerze katalogowym 604* zwiększenie wsp. zgodności krzywizn z f i = 0,5 na f i = 0,54 spowodowało zmniejszenie maksymalnego obciążenia zmęczeniowego prawie o połowę, a otrzymany wynik jest zgodny z katalogowym obciążeniem zmęczeniowym. Zakładając, że łożyska wykonano tak, że współczynnik f i zawierałby się w najbardziej prawdopodobnym zakresie (tzn. 0,5 0,54), to wówczas trwałość łożyska wynosiłaby: N 10% = cykli naprężeń przypadających na elementy toczne. Odpowiada L 10 =1 1.5 miliona obrotów łożyska do wystąpienia uszkodzenia zmęczeniowego. W opinii autorów otrzymane wyniki są więc zgodne z danymi podawanymi w katalogu [5]. Otrzymane rozbieżności wynikają z braku informacji o dokładnej geometrii łożyska (obliczenia wykonano dla kilku kombinacji promieni bieżni i kulki z zakresu f i = 0,51 0,57). Na obciążenie zmęczeniowe ma również wpływ charakter rozkładu nacisków na elementy toczne. W obliczeniach dla łożyska promieniowego przyjęto wariant, w którym naciski występują na połowie obwodu łożyska (A n = 4,37 dla ε = 0,5 i ψ ε = 90 ). Tab. 3. Podstawowe informacje (wymiary, nośność, obciążenie zmęczeniowe katalogowe) badanych łożysk kulkowych Oznaczenie Podstawowe wymiary łożyska Nośność łożyska Katalogowe obciążenie Rodzaj łożyska zmęczeniowe d [mm] D [mm] H [mm] C [kn] C 0 [kn] F u [kn] 604* ,5 6,55 0,8 promieniowe ,1 9 1,08 wzdłużne Tab. 4. Oszacowane obciążenie zmęczeniowe dla badanych łożysk kulkowych przy założeniu różnych skojarzeń promieni elementów tocznych Oznaczenie łożyska Oszacowane obciążenie zmęczeniowe[kn], N 10% = 10 7 [cykli] f i = 0,51 f i = 0,5 f i = 0,54 f i = 0,57 Katalogowe obciążenie zmęczeniowe F u [kn] 604* 0,68 0,44 0,8 0,0 0, ,71,8 1,47 1,06 1,08 Oszacowane obciążenie zmęczeniowe [kn], N 10% = 10 8 [cykli] Oznaczenie łożyska f i = 0,51 f i = 0,5 f i = 0,54 f i = 0,57 Katalogowe obciążenie zmęczeniowe F u [kn] 604* 0,8 0,1 0,14 0,97 0, ,80 1,1 0,71 0,53 1,08 Wnioski Możliwość szybkiego oszacowania maksymalnego obciążenia zmęczeniowego przy pomocy rozwiązań analitycznych, Uzyskane wyniki obliczeń dla losowo wybranych łożysk są zgodne z danymi katalogowymi, Uwzględnienie rzeczywistych przebiegów naprężeń w elementach tocznych łożyska, Obliczenia uwzględniają wpływ trójosiowego ściskania z nieproporcjonalnie zmiennymi składowymi tensora naprężenia, 17

12 W obliczeniach wymagana jest jedynie znajomość geometrii łożyska (liczba elementów tocznych, promienie elementów tocznych i krzywizny bieżni) i krzywej S-N materiału, z którego wykonane są elementy łożyska. Streszczenie Celem pracy było zaproponowanie metody obliczania trwałości zmęczeniowej łożysk tocznych nie wymagającej znajomości nośności dynamicznej łożyska C. W pracy zaprezentowano nowatorskie podejście do określania trwałości zmęczeniowej kulkowych i walcowych łożysk tocznych. Zaprezentowana metoda bazuje na zastosowaniu hipotezy wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego. Naprężenia podpowierzchniowe, mające decydujący wpływ na trwałość łożyska obliczane były przy użyciu sformułowań matematycznych bazujących na teorii Hertza. Weryfikację zaproponowanej metody przeprowadzono dla losowo wybranych łożysk walcowych oraz kulkowych, a otrzymane wyniki są zgodne z danymi podawanymi przez producentów łożysk. Słowa kluczowe: łożyska toczne, wytrzymałość zmęczeniowa, hipotezy wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego. Application of high-cycle fatigue hypothesis to analytical assessment of durability of bearings Abstract The main aim of the presented study was to propose a method for calculation of bearing durability or fatigue life, which does not require application of basic dynamic load rating C of rolling bearings. The novel approach of determining of rolling bearing durability or fatigue life is presented in this paper. The proposed method is based on application of multiaxial high-cycle fatigue criterion. Subsurface stresses, which have important influence on bearing life are calculated using mathematical solutions based on the Hertz theory. Verification is made for randomly selected ball and roller bearings. The obtained results remain in good agreement with data given by manufacturers. Key words: rolling bearings, fatigue, multiaxial high-cycle fatigue criteria. LITERATURA / BIBLIOGRAPHY [1]. Cooper D. H., Tables of Hertzian contact-stress coefficients, University of Illinois, Report R-387, []. ISO, Rolling Bearings Dynamic Load Ratings and Rating Life, Draft International Standard ISO/DIS 81, ISO, Geneva, Switzerland [3]. Johnson K.L., Contact mechanics, Cambridge university press, 004. [4]. ISO 81:007, Rolling bearings - Dynamic load ratings and rating life, 007. [5]. Katalog łożysk SKF, [6]. Lundberg, G., Palmgren, A., Dynamic Capacity of Rolling Bearings, Acta Polytech. Scand., Mech. Eng. Ser. 1947, str [7]. Palmgren, A., Ball and Roller Bearing Engineering, SKF Industries, Philadelphia [8]. Papadopoulos I.V., Davoli P., Gorla C., Filippini M., Bernasconi A., A comparative study of multi-axial high-cycle fatigue criteria for metals, Intern. Journal of Fatigue, Vol. 19 (3), 1997, str

13 [9]. Radzimovsky E. I., Stress distribution and strength condition of two rolling cylinders pressed together, University of Illinois Bulettin, Vol. 50, (44), 1953, str [10]. Romanowicz P., Szybiński B., Analytical estimation of maximal fatigue loads in cylindrical roller bearings, Applied Mechanics and Materials Vols , 014, str [11]. Romanowicz P. Szybiński B., Estimation of maximum fatigue loads and bearing life in ball bearings using multi-axial high-cycle fatigue criterion. App. Mech. And Mat. 61, 014, str [1]. Romanowicz P., Szybiński B., Analytical and numerical assessment of fatigue properties in rolling bearings, Integrity, Reliability and Failure of Mechanical Systems (IRF 013), Porto 013. [13]. Romanowicz P., Application of selected multi-axial high-cycle fatigue criteria to rolling contact problems. Key Engineering Materials, Vol. 54, 013, str [14]. Sackfield A., Hills D.A., Some useful results in the classical Hertz contact problem, Journal of Strain Analysis, Vol. 18 (), 1983, str [15]. Saki T., Review and prospects for current studies on very high cycle fatigue of metallic materials for machine structure use, Proc. 4th International Conference on Very High Cycle Fatigue (VHCF- 4), TMS (The Minerals, Metals and Materials Society), 007, str [16]. Shimizu S., Tosha K., Tsuchiya K., New data analysis of probabilistic stress-life (P_S_N) curve and its application for structural materials, Intern. Journal of Fatigue, Vol. 3, 010, str [17]. Timoshenko S., Goodier J. N., Teoria sprężystości, McGraw-Hill Book Company,