jest przemienny. h f J.

12. Wykład 12: Moduły injektyne. Deinicja 12.1. Niec będzie pierścieniem, leym -modułem. eżeli dla każdego -modułu M i omomorizmu : M Ñ zacodzi następujący arunek: dla każdego leego -modułu N idlakażdego monomorizmu g : M Ñ N istnieje omomorizm : N Ñ taki, że g (inaczej: diagram 0 M g N 5 5 5 5 którymgórnyierszjestdokładny,jestprzemienny),tomoduł nazyamy modułem injektynym. Tierdzenie 12.1. Niec będzie pierścieniem, niec t i : i P Iu będzie rodziną leyc -modułó. Wóczas ś ipi i jest modułem injektynym tedy i tylko tedy, gdy i, i P I, sąmodułamiinjektynymi. Doód jest bardzo podobny do doodu analogicznego rezultatu dlamodułóprojektynycipozostaiamy go czytelnikoi jako nietrudne ćiczenie. Ponieaż pojęcia modułu olnego nie da się dualizoać, to znaczy nie istnieje coś takiego jak moduł koolny, ięc nie można udoodnić rezultató dualnyc do Wniosku 11.1 (to znaczy nie istnieje tierdzenie, orzekające że każdy moduł koolny jest modułem injektynym ), ani do Uagi 11.1 (to znaczy nie istnieje tierdzenie orzekająze, że moduł jest injektyny tedy i tylko tedy, gdy jest składnikiem prostym modułu koolnego ). Okazuje się jednak, że można dualizoać Uagę 11.2, to znaczy można udoodnić tierdzenie orzekające, że każdy moduł można zanurzyć peien moduł injektyny, skąd z kolei ynika prosta dualizacja Tierdzenia 11.1(1)i(2).Pozostałą część niniejszego ykładu pośięcimy doodoi takiej dualizacji, ograniczając się szakże do przypadku leyc -modułó unitarnyc nad pierścieniami z jedynką. Zaczniemy od następującej carakteryzacji unitarnyc modułó injektynyc. Tierdzenie 12.2 (lemat Baer a). Niec będzie pierścieniem z jedynką, leym unitarnym - modułem. Wóczas jest injektyny tedy i tylko tedy, gdy dla każdego leostronnego ideału I Ÿ raz z kanonicznym zanurzeniem : I ãñ iomomorizmu : I Ñ istnieje omomorizm : Ñ taki, że. Inaczej: diagram jest przemienny. 0 I 8 8 8 8 Doód. Implikacja pñq ynika prost z deinicji modułu injektynego, pozostaje ięc udoodnić implikację pðq. ozażmydiagramodokładnymierszu: 0 M g N 5 5 5 5. 55

56 Niec S tpn 1, 1 q : N 1 ă N,im g Ă N 1, 1 : N 1 Ñ jest omomorizmem takim, że 1 gæ g 1 pn 1 qu izdeiniujmyzbiorzes relację ă arunkiem pn 1, 1 q ă pn 2, 2 q tedy i tylko tedy, gdy N 1 Ă N 2 ^ 2 æ N 1 1. Złatościąspradzamy,żeS H, ă jest relacją częścioego porządku oraz że każdy łańcuc S ma ograniczenie górne. Tym samym, obec lematu Kuratoskiego-Zorna, S istnieje element maksymalny pn 0, 0 q. Pokażemy, że N 0 N. Naodrót,przypuśćmy,żeistniejen P N taki, że n N 0.NiecN 1 będzie podmodułem generoanym przez zbiór N 0 Ytnu. Wóczas N 1 tn 0 ` rn : n 0 P N 0,r P u. Niec ponadto I tr P : rn P N 0 u.beztruduspradzamy,żei jest leostronnym ideałem pierścienia, zaśodzoroanieα : I Ñ N 0 dane zorem αprq rn jest omomorizmem. ozażmy diagram 0 I 0 α α N 0. 0 Wobec założenia istnieje omomorizm : Ñ taki, że 0 α. Zdeiniujmyodzoroanie 1 : N 1 Ñ zorem 1 pn 0 ` nrq 0 pn 0 q`rp1q. Pokażemy, że 1 jest dobrze zdeinioane. Załóżmy boiem, że n 0 `rn n 1 0 `r1 n.wóczaspr r 1 qn n 1 0 n 0 P N 0,ięcr r 1 P I. Stąd 0 pn 1 0 n 0q 0 ppr r 1 qnq 0 αpr r 1 q pr r 1 q pr r 1 qp1q, ięc 0 pn 0 q`rp1q 0 pn 1 0 q`r1 p1q. ónie prosto spradzamy, że 1 jest omomorizmem. Tym samym pn 1, 1 qps oraz pn 0, 0 q ň pn 1, 1 q,codajesprzeczność. Wniosek 12.1. Niec będzie pierścieniem z jedynką, leym unitarnym -modułem. Wóczas jest injektyny tedy i tylko tedy, gdy dla każdego leostronnego ideału I Ÿ iomomorizmu : I Ñ istnieje element j P taki, że prq rj, dla r P. Doód. pñq: UstalmyleostronnyideałI Ÿ raz z łożeniem : I ãñ irozażmydiagram: Wszczególności,dlaustalonegor P I: imożemyprzyjąćj p1 q. 0 I 8 8 8 8 prq prq pprqq prq r p1 q

pðq: UstalmyleostronnyideałI Ÿ raz z łożeniem : I ãñ irozażmydiagram: 0 I 8 8 8 8 gdzie omomorizm : Ñ zdeinioany jest zorem prq rj, dlar P. WobeclematuBaer a moduł jest injektyny. Tierdzenie 12.3. Niec będzie pierścieniem z jedynką, niec M będzie leym -modułem unitarnym. Wóczas istnieje moduł injektyny, któryzanurzasięm. Doód. Ustalmy pierścień z jedynką i ley unitarny -moduł M. ozażmy rodzinę F tpi,q : I jest ideałem leostronnym pierścienia, : I Ñ M jest omomorizmemu. Niec F ř pi,qpf xx pi,qy, gdziexx pi,q y dla pi,qpf, będziemodułemolnymobazietx pi,q : pi,qpfu. ZdeiniujmymodułQ 1 pmq F ˆ M{xtp rx pi,q,prqq : pi,qpf,r P Iuy oraz oznaczmy przez ν : F ˆ M Ñ Q 1 pmq epimorizm kanoniczny dany zorem νp,mq p,mq`xtp rx pi,q,prqq : pi,qpf,r P Iuy. Wóczas oczyiście ker ν xtp rx pi,q,prqq : pi,qpf,r P Iuy. Zdeiniujmyponadtoomomorizm 1 : M Ñ Q 1 pmq zorem 1 pmq νp0,mq oraz, dla ustalonego pi,qpf, paręomomorizmó : Ñ F ˆ M oraz 1 : Ñ Q 1 pmq zorami: prq prx pi,q, 0q oraz 1 prq ν prq. Wóczas, dla ustalonyc pi,qpf oraz r P : azatem,dlaustalonegopi,qpf, diagram 1 prq νprx pi,q, 0q νp0,prqq 1 pprqq, I M ι 2 F ˆ M ν 1 1 Q 1 pmq jest przemienny, przy czym ι 2 : M Ñ F ˆ M oznacza tu kanoniczne łożenie. Pokażemy, że 1 jest monomorizmem. Ustalmy tym celu m P ker 1.Wóczasp0,mqPker ν, a ięc dla penyc pi 1, 1 q,...,pi n, n qpf idlapenycr 1,...,r n P zacodzi: nÿ p0,mq p r i x pii, i q, i pr i qq. i 1 Ponieaż moduł F jest olny, ięc szczególności r 1... r n 0, skąd i pr i q 0, dlai Pt1,...,nu, atymsamymm 0. 57

58 Wobec tego możemy identyikoać elementy m P M i 1 pmq PQ 1 pmq. Tymsamym,dlaustalonego pi,qpf idlar P I: prq 1 pprqq vp prqq r v p1 q, czyli prq r j, dlapenegoj P Q 1 pmq. Zdeiniujmy liczbę α arunkiem ℵ α,gdy jest nieskończony oraz α 1,gdzy jest skończony. Dla doolnej liczby porządkoej ξ ă ω α`1 deiniujemy rekurencyjnie Niec Q 0 pmq M, Q ξ pmq Q 1 pq ζ pmqq, gdyξ ζ ` 1, Q ξ pmq Ť ηăξ Q ηpmq, gdyξ jest graniczna. ď ξăω α`1 Q ξ pmq. Oczyiście M ãñ. Pokażemy, że Q jest injektyny. Ustalmy leostronny ideał I Ÿ i omomorizmu : I Ñ. Wóczas im ďℵ α,ięcdlapenejliczbyporządkoejξ ă ω α`1 zacodzi im Ă Q ξ pmq. ozażmy diagram: I F ˆ Q ξ pmq 1 ν im ι 2 Q ξ pmq Q 1 pq ξ pmqq Q ξ`1 pmq Istnieje zatem przedłużenie 1 : Ñ Q ξ`1 pmq Ă omomorizmu, aięc jest postaci 1 prq r j, dla penego j P. WobecWniosku12.1,moduł jest injektyny. Tierdzenie 11.1 (1) i (2) można teraz prosto zdualizoać następujący sposób: Tierdzenie 12.4. Niec będzie pierścieniem z jedynką, leym unitarnym -modułem. Następujące arunki są rónoażne: (1) moduł jest injektyny; (2) każdy ciąg dokładny 0 Ñ ÝÑ M g ÝÑ N Ñ 0 rozszczepia się; (3) jest składnikiem prostym każdego modułu, którego jest podmodułem. Doód. p1q ñp2q: Załóżmy,żeciąg 0 Ñ ÝÑ M g ÝÑ N Ñ 0

59 jest dokładny. W szczególności, diagramie 0 id M 7 7 7 7 iersz jest dokładny, istnieje ięc omomorizm : M Ñ taki, że id.wobectierdzenia9.3 ciąg 0 Ñ ÝÑ M g ÝÑ N Ñ 0 rozszczepia się. p2q ñp3q: DladoolnegomodułuM, dlaktórego jest podmodułem, ciąg 0 Ñ Ă ÝÑ M κ ÝÑ M{ Ñ 0 jest rozszczepialnym ciągiem dokładnym, ięc im jest składnikiem prostym M. p3q ñp1q: WobecTierdzenia12.3 jest podmodułem penego modułu injektynego Q. Wobec(3) oraz Tierdzenia 12.1, jest injektyny. Na zakończenie podamy jeszcze zastosoanie Wniosku 12.1 (a ięc, pośrednio, lematu Baer a) do skazania ażnego przykładu modułó injektynyc. Deinicja 12.2. Niec pd, `q będzie grupą abeloą. Grupę D nazyamy podzielną, jeżeli Przykład: (1) Grupa Q jest podzielna. @y P D@n P Zzt0uDx P Dpnx yq. Uaga 12.1. Każda grupa abeloa podzielna jest Z-modułem injektynym. Doód. Niec pd, `q będzie grupą abeloą podzielną. edynymi ideałami pierścienia Z są ideały głóne pnq, n P Z, azatemjeżeli : pnq ÑD jest omomorizmem, to istnieje x P D takie, że pnq nx. Zdeiniujmy : Z Ñ D zorem pmq mx. Wóczas jest omomorizmem oraz, gdzie : pnq ãñ Z jest kanonicznym łożeniem.