EEKTYKA 03 Zeszyt ok Janusz WAZAK, Agnieszka JAKUBOWSKA Instytut Elektrotechniki i Informatyki, Politechnika Śląska w Gliwicach EZONANS W ÓWNOEGŁYM OBWODZIE EAKTANYJNYM UŁAMKOWEGO ZĘDU Streszczenie. Artykuł dotyczy analizy zjawiska rezonansu fazy w prostym równoległym obwodzie, zawierającym rzeczywistą cewkę i kondensator (np. superkondesator), modelowane jako elementy ułamkowego rzędu. W artykule przyjęto proste modele matematyczne rzędu ułamkowego i wyprowadzono zależności na admitancję zastępczą analizowanego obwodu. Z ogólnego warunku rezonansu fazy wyprowadzono zależności opisujące częstotliwość rezonansową i przeanalizowano różne przypadki parametrów i, mogące wystąpić w obwodzie. Uzyskane wyniki zilustrowano przykładem i wyciągnięto wnioski z przeprowadzonej analizy. Słowa kluczowe: rezonans fazy, równoległy obwód, pojemność i indukcyjność ułamkowego rzędu. ESONANE IN PAAE FATIONA ODE EATANE IUIT Summary. The article analyzes phase resonance phenomenon in a simple parallel circuit consisting of a real coil and a capacitor (eg. supercapacitor), modelled as fractional order elements. Simple fractional order models have been assumed and relations for equivalent admittance of the concerned circuit have been derived. From the general phase resonance condition, relations describing resonance frequency have been derived too. Various cases of parameters and occuring in the circuit have been analyzed. Obtained results have been illustrated by an example and some conclusions from the analysis have been drawn. Keywords: phase resonance, parallel circuit, fractional order capacitance and inductance.. WPOWADZENIE W teorii obwodów wprowadza się elementy ułamkowego rzędu, jako uogólnienie klasycznie znanych elementów reaktancyjnych, opisujących rzeczywiste cewki i kondensatory [4]. Ich modele wywodzą się z analiz wykorzystujących matematyczny
nr str. Janusz Walczak, Agnieszka Jakubowska rachunek różniczkowo całkowy niecałkowitego rzędu [3]. W najprostszym przypadku impedancje częstotliwościowe tych elementów zapisuje się w postaci [-],[5-7],[]: oraz: Z Z ( j ) ( j) =, () ( j ) = ( j). () gdzie:, szeregowe rezystancje wewnętrzne,, indukcyjność i pojemność znamionowa,, parametry ułamkowego rzędu (bezwymiarowe). Modele ułamkowego rzędu elementów reaktancyjnych powinny opisywać w sposób poprawny zjawiska zachodzące w obwodach z tymi elementami. Klasycznie, rezonans fazy dla równoległego obwodu zachodzi dla innej częstotliwości f r w przypadku idealnego obwodu niż dla obwodu z szeregową rezystancją, np. wewnętrzną kondensatora (por. rys. ). ys. zęstotliwości rezonansowe f r dla wybranych prostych obwodów Fig. esonance frequencies f r for selected simple classic circuits W zależności od wartości rezystancji w równoległym obwodzie (rys. b) zjawisko rezonansu może, lecz nie musi wystąpić. Poprzez szeregowe połączenie elementów rzędu ułamkowego, można zrealizować ujemną lub dodatnią rezystancję, indukcyjność - dla wąskiego pasma częstotliwości, pojemność, stan zwarcia obwodu lub obwód o swobodnych oscylacjach, wówczas, gdy = [4]. Zjawisko rezonansu fazy i amplitudy w prostym szeregowym obwodzie zostało przenalizowane w pracach [8], [0-], natomiast rezonans w prostym obwodzie równoległym z superkondensatorem, jako elementem ułamkowego rzędu i idealną, bezstratną cewką opisano w pracy [9]. Niniejszy artykuł dotyczy analizy warunków zajścia zjawiska rezonansu w prostym równoległym obwodzie zawierającym dwa rzeczywiste elementy rzędu ułamkowego cewkę, oraz kondensator.
ezonans w równoległym obwodzie nr str.. MODE OBWODU EZONANSOWEGO Na rys. pokazany jest schemat równoległego obwodu, zawierający indukcyjność, oraz pojemność rzędu niecałkowitego. W przypadku pojemności została również uwzględniona jej szeregowa wewnętrzna rezystancja, która modeluje w rzeczywistych kondensatorach (np. superkondensatorach) straty energii ładunków w elektrolicie, na elektrodach i na doprowadzeniach kondensatora. Pominięto przy tym rezystancję wewnętrzną uzwojenia cewki, zakładając, że straty mocy są opisywane przez ułamkowy współczynnik. ys. Schemat analizowanego równoległego obwodu z pojemnością i indukcyjnością rzędu ułamkowego Fig. Model of the analyzed parallel circuit with fractional order capacitance and inductance Obwód z rys. zasilony jest ze źródła prądu, które generuje prąd o postaci: i S ( t) = I sin( t φ), (3) gdzie: I - wartość skuteczna prądu, ϕ faza. wzorem: Admitancja zastępcza obwodu z rys., zapisana w uproszczonej postaci, dana jest Y ( j) =. (4) ( j) ( j) Z admitancji danej wzorem (4) można wyznaczyć jej część rzeczywistą i urojoną, które przedstawiają się następująco: e{ Y ( j) } = ( ), (5) oraz:
nr str. Janusz Walczak, Agnieszka Jakubowska = sin sin } j Im{ Y. (6) Zapisując admitancję obwodu z rys. w postaci wykładniczej, jej moduł Y(j) i fazę φ() można wyrazić w postaci: = j Y, (7) oraz: = sin sin arctg ϕ. (8) Wyprowadzone zależności admitancji dla prostego równoległego obwodu z elementami reaktancyjnymi ułamkowego rzędu zostały zasymulowane oraz zilustrowane na wykresach z rys. 4 5. Ilustracje zostały umieszczone w dalszej części artykułu. 3. WAUNKI EZONANSU FAZY zęstotliwość rezonansowa f r rezonansu fazy w równoległym obwodzie z elementami reaktancyjnymi ułamkowego rzędu może być wyznaczona z ogólnego warunku rezonansu Im{Y(j)} = 0. Należy wówczas rozwiązać nieliniowe równanie dane wzorem:
ezonans w równoległym obwodzie nr str. sin sin ( ) = 0. (9) W przypadku pominięcia szeregowej rezystancji wewnętrznej kondensatora ułamkowego rzędu (np. superkondensatora) ( = 0) częstotliwość rezonansowa idealnego obwodu dana jest zależnością: sin f r =. (0) sin W szczególnych przypadkach, wówczas gdy = wzór (0) przybiera postać: f r =, () natomiast, gdy = = : f r =, () czyli opisującą klasyczny równoległy obwód (). Jak się okazuje, częstotliwości rezonansu fazy prostego równoległego i szeregowego obwodu nie są jednakowe. zęstotliwość rezonansu fazy szeregowego obwodu została wyprowadzona w pracy [] i jest określona wzorem: sin f r =. (3) sin Analizując wzór (0), tak jak w przypadku opisanym wzorem (3) widać, że nie dla wszystkich wartości współczynników i rezonans może wystąpić. Na rys. 3 przedstawiono warunki istnienia rezonansu fazy w równoległym obwodzie w funkcji ewolucji współczynników i.
nr str. Janusz Walczak, Agnieszka Jakubowska ys. 3 Warunki istnienia rezonansu w równoległym obwodzie w funkcji ewolucji współczynników i Fig. 3 onditions of phase resonance occurring in parallel circuit as a function of and coefficients W przypadku uwzględnienia szeregowej rezystancji wewnętrznej kondensatora ułamkowego rzędu, która dla superkondensatorów może wynosić nawet kilkadziesiąt Ω, należy rozwiązać nieliniowe równanie dane wzorem (9). W kolejnym rozdziale artykułu zostanie przedstawiony przykład obliczeniowy równoległego obwodu z elementami reaktancyjnymi ułamkowego rzędu, oraz pokazany graficzny sposób rozwiązania równania (9) i wyznaczania częstotliwości rezonansu fazy tego obwodu. Polega on na numerycznym szukaniu punktu przecięcia funkcji: oraz: f sin f =, (4) sin = ( ). (5) Analiza drugiego warunku rezonansu fazy Im{Z(j)} = 0 dla omawianego obwodu pokazuje, że równanie opisujące częstotliwość rezonansową f r ma postać identyczną jak równanie (9). Oznacza to, że dla danego równoległego obwodu z elementami reaktancyjnymi ułamkowego rzędu istnieje jedna częstotliwość rezonansu fazy. 4. PZYKŁADOWY OBWÓD UŁAMKOWEGO ZĘDU Na podstawie wcześniejszych analiz zostały przeprowadzone symulacje zjawiska rezonansu fazy w przykładowym równoległym obwodzie z elementami reaktancyjnymi ułamkowego rzędu. Parametry modelowanego obwodu zostały dobrane następująco: cewka o indukcyjności = H, kondensator o pojemności znamionowej = 0, F i rezystancji wewnętrznej = Ω. Wyprowadzone zależności admitancji (5 8) zostały przedstawione na wykresach z rys. 4-5.
ezonans w równoległym obwodzie nr str. ys. 4 Wykresy funkcji a. e{y(j,)} oraz b. Im {Y(j,)} dla wybranych wartości współczynnika Fig. 4 Graphs of the functions a. e{y(j,)} and b. Im {Y(j,)}for selected coefficient values ys. 5 Wykresy funkcji a. Y(j,) oraz b. φ(,) dla wybranych wartości współczynnika Fig. 5 Graphs of the functions a. Y(j,) and b. φ(,) for selected coefficient values Z rys. 4b można zauważyć, że część urojona admitancji osiąga wartość zero dla danej wartości pulsacji rezonansu fazowego. Punkt ten zależy od dwóch wartości współczynników ułamkowego rzędu oraz. Wyznaczenie konkretnej wartości pulsacji rezonansowej jest możliwe przez numeryczne rozwiązanie równania (9). ys. 6 przedstawia graficzny sposób rozwiązania, opisany w poprzednim rozdziale (por. wzory (4) i (5)). ys. 6 Ilustracja graficznej metody szukania pulsacji rezonansowej r dla =0.9 Fig. 6 Graphical method of finding the resonance radial frequency r for =0.9
nr str. Janusz Walczak, Agnieszka Jakubowska Na rys. 7 pokazano wykresy zależności pulsacji rezonansowej układu z rys. w funkcji parametru dla kilku wybranych wartości rzędu. Z wykresów tych wynika, że w zależności od wartości rezystancji wewnętrznej kondensatora ułamkowego rzędu rezonans nie zawsze występuje. Parametr również ma wpływ na możliwość wystąpienia zjawiska rezonansu fazy w równoległym obwodzie oraz na wartość częstotliwości rezonansowej. Im mniejsza wartość, tym częstotliwość osiąga większe wartości, przy 0, r. Jednocześnie malejący parametr umożliwia wystąpienie rezonansu dla większych wartości szeregowej rezystancji kondensatora. W praktycznych zastosowaniach oznacza to, że parametr w rzeczywistości osiąga większe wartości, dla idealnej, bezstratnej cewki. ys. 7 Zależność pulsacji rezonansowej r w funkcji parametru dla wybranych wartości rezystancji szeregowej kondensatora oraz współczynnika : a. = 0., b. = 0.5, c. = 0.9 oraz d. = Fig. 7 Dependence of resonance radial frequency r as a function of parameter for selected capacitor series resistance values and coefficient : a. = 0., b. = 0.5, c. = 0.9 and d. = 5. PODSUMOWANIE W artykule zostały przeanalizowane warunki zajścia zjawiska rezonansu fazy w równoległym obwodzie z dwoma elementami reaktancyjnymi: stratną cewką oraz kondensatorem, modelowanymi jako elementy ułamkowego rzędu. Wyprowadzono zależności na admitancję zastępczą obwodu oraz z ogólnego warunku rezonansu fazy wyprowadzono zależności na częstotliwość (pulsację) rezonansową. W szczególnych
ezonans w równoległym obwodzie nr str. przypadkach wzory redukują się do klasycznych zależności opisujących równoległy obwód całkowitego rzędu. W ogólnym przypadku okazuje się, że na zajście zjawiska rezonansu ma wpływ szereg parametrów: pojemność znamionowa, indukcyjność, wartości współczynników rzędu ułamkowego i oraz wartość szeregowej rezystancji wewnętrznej kondensatora ułamkowego rzędu, którą często (np. w przypadku superkondensatorów) należy uwzględnić w analizie. Zbyt duża wartość rezystancji wewnętrznej może uniemożliwić zajście zjawiska rezonansu w równoległym obwodzie, tak jak w przypadku klasycznego równoległego obwodu, natomiast odpowiednia identyfikacja i dobór współczynników rzędu ułamkowego ( i mniejsze od ) może zwiększyć zakres istnienia częstotliwości rezonansowej, nawet dla dużych rezystancji wewnętrznych kondensatora. BIBIOGAFIA. Freeborn T.J., Maundy B., Elwakil A.S.: Measurement of supercapacitor fractional-order model parameters from voltage excited step response, IEEE Journal on Emerging and Selected Topics in ircuits and Systems, Vol. 3, No. 3, Sept. 03, pp.367-376.. Martin., Modeling electrochemical double layer capacitor, from classical to fractional impedance, The 4 th Medditeranean Electrotechnical onf., Ajaccio, 4 7 May 008, pp. 6 66. 3. Podlubny I., Fractional differential equations, Academic Press, San Diego, 999. 4. adwan A.G., Salama K.W.: Passive and active elements using fractional circuit, IEEE Trans. on AS, Part I, Vol. 58, No. 0, 0, pp. 388 397. 5. Sarwas G.: Modelowanie superkondensatorów przy użyciu rachunku różniczkowego ułamkowego rzędu, Prace Instytutu Elektrotechniki, Zeszyt 39, 008, str.7 8. 6. Schafer J., Kruger K.: Modelling of coils using fractional derivatives, Journal of Magnetism and Magnetic Materials, vol. 307, 006, pp. 9 98. 7. Schafer J. Kruger K.: Modelling of lossy colis using fractional derivatives, Journal of Applied Physics D: Applied Physics, vol. 4, 008, pp. 8. 8. Walczak J., Jakubowska A.: Analiza zjawisk rezonansowych w szeregowym obwodzie z superkondensatorem, Pomiary Automatyka Kontrola, vol.0, 03, pp. 05 08. 9. Walczak J., Jakubowska A.: Analysis of the parallel resonance circuit with supercapacitor, ZKWE 04, 8-9 April, 04 (w druku). 0. Walczak J., Jakubowska A.: Phase resonance in circuit with ultracapacitor, Materiały XXXVI I SPETO 03, Ustroń, -5 May, 03, pp. 47 48.. Walczak J., Jakubowska A.: Phase resonance in series circuit, PEE - AMTEE 03, oztoky k. Krivoklatu, 4-6 wrzesień, 03, zechy, part III 4.. Westerlund S., Ekstam.: apacitor Theory, IEEE Transactions on Dielectrics and Electrical Insulation, Vol. No. 5, October 994, pp. 86-839.
nr str. Wpłynęło do edakcji dnia Janusz Walczak, Agnieszka Jakubowska ecenzent: Tytuł naukowy Imię i Nazwisko ecenzenta Abstract The article aims to analyze phase resonance phenomenon conditions in a simple parallel circuit containing both a real coil and a capacitor (eg. supercapacitor), modelled as fractional order elements. There are numerous fractional order mathematical models of capacitors in literature, differing in complexity and accuracy. To the analysis, simple fractional order models of the reactive elements have been assumed and relations for equivalent admittance of the concerned circuit have been derived. From the general phase resonance condition Im{Y(j)} = 0, relations describing resonance frequency have been derived too. In general case, including internal series resistance in the circuit, resonance frequency does not become a closed solution. Instead we obtain a non-linear equation, given by formula (9), that depends on five parameters: the capacitance, the inductance, the series resistance and coefficients and. It is possible to solve it numerically for given values of these parameters. In special cases, when = and especially when = =, relations reduce to those describing classic parallel circuit with series resistance in capacitor branch. In case of = 0, formula for resonance frequency archives a closed solution. Moreover, it is proved that the resonance frequencies for parallel and series circuit are not the same. As it turns out, the second general phase resonance condition Im{Z(j)} = 0 leads to the same equation as formula (9). Obtained results for general case have been simulated and illustrated by an exemplary parallel circuit. It is shown that all five parameters have an impact on phase resonance occurrence in the analyzed circuit. onclusions and summary are the last part of the article.