Miejsce na identyikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY LISTOPAD 0 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 80 minut. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania..). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zapisz w miejscu na to przeznaczonym.. W rozwiązaniach zadań rachunkowych przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl. 6. Zapisy w brudnopisie nie będą oceniane. 7. Obok numeru każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów możliwych do uzyskania. 8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Życzymy powodzenia! Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie 50 punktów. Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO KOD ZDAJĄCEGO Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON. Kopiowanie w całości lub we fragmentach bez zgody wydawcy zabronione. Wydawca zezwala na kopiowanie zadań przez dyrektorów szkół biorących udział w programie Próbna Matura z OPERONEM.
Zadanie. () 4 Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru m równanie: x+ ( m+ ) = x m 0 ma dwa różne pierwiastki dodatnie.
Zadanie. (5 pkt) x x Narysuj wykres funkcji: f()= x + +, dla 0. + x 4 4, dla x> 0 Określ liczbę rozwiązań równania f()= x m w zależności od parametru m.
Zadanie. () O wielomianie W()=+++ x x ax bx c wiadomo, że liczba jest jego pierwiastkiem dwukrotnym oraz że W() x jest podzielny przez dwumian x +. Oblicz współczynniki a, b, c. Dla obliczonych wartości a, b, c rozwiąż nierówność W x+ < 0. ( ) 4
Zadanie 4. ( pkt) Liczby a, b, k są całkowite i k jest różna od zera. Wykaż, że jeśli liczby a+ boraz ab są podzielne przez k, to liczba a - b też jest podzielna przez k. 5
Zadanie 5. () Określ dziedzinę funkcji: f()= x log log ( x+ ). 6
Zadanie 6. (5 pkt) Wiedząc, że ciąg () a n jest ciągiem arytmetycznym oraz wyraz ogólny ciągu b n () określony jest a wzorem b n n = 5, wykaż, że ciąg () b n jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz, w zależności od n, iloczyn b b b b n, przyjmując, że pierwszy wyraz ciągu () a n jest równy, a jego różnica jest równa. 7
Zadanie 7. (5 pkt) Rozwiąż równanie: sinx cos x = 05,, gdzie x Î 0, p. 8
Zadanie 8. () Okrąg o środku A i promieniu długości r jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku B i promieniu długości R ( R> r). Prosta k jest styczna jednocześnie do obu okręgów i tworzy z prostą AB kąt ostry a. Wyznacz sina w zależności od r i R. 9
Zadanie 9. () W trójkącie ABC punkty K=(, ), L= (, ), i M= (, ) są odpowiednio środkami boków AB, BC, AC. Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta A BC, który jest obrazem trójkąta ABC w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. 0
Zadanie 0. () W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku B jest ostry, długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa 5 oraz AC = 6, AB = 0. Na boku BC wybrano taki punkt K, że BK =. Oblicz długość odcinka AK.
Zadanie. () W zielonym pudełku jest 0 monet pięciozłotowych i 5 monet dwuzłotowych, a w białym pudełku są monety pięciozłotowe i monety dwuzłotowe. Z zielonego pudełka losujemy jedną monetę i wrzucamy ją do białego pudełka. Następnie z białego pudełka losujemy jednocześnie monety. Oblicz prawdopodobieństwo, że z białego pudełka wylosujemy w sumie 7 złotych.
Zadanie. () W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa. Płaszczyzna tego przekroju tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze a. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 0 W niniejszym schemacie oceniania zadań otwartych są prezentowane przykładowe poprawne odpowiedzi. W tego typu zadaniach należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są inaczej sformułowane, ale ich sens jest zgodny z podanym schematem, oraz inne poprawne odpowiedzi w nim nieprzewidziane. Numer zadania Modelowe etapy rozwiązywania zadania. Postęp: zapisanie tylko warunków: x x> 0 i x+ x > 0 Istotny postęp: zapisanie warunków: D > 0 i x x> 0 i x+> x 0 zastosowanie wzorów Viete a i wyznaczenie: 4 D= m+ 5, x x=+ m, x+= x m + zauważenie, że wszystkie warunki 4 D= m+> 5 0, x x= m+> 0, x+= x m +> 0 zachodzą dla mî R. Istotny postęp: poprawne narysowanie każdej części wykresu, niekoniecznie uwzględniając dziedzinę sporządzenie całego wykresu funkcji y= f() x Liczba punktów pkt pkt pkt pkt (po pkt za każdą część) pkt y 4 6 5 4 0 4 5 6 7 8 x zapisanie 0 rozwiązań dla m (,0), rozwiąznie dla m ( 4, + ), rozwiązania dla m { 04, }, rozwiązania dla m 4, ), 4 rozwiązania dla m ( 0, ). 5 pkt (, jeśli popełniono jeden błąd) www.operon.pl
Numer zadania. Postęp: zapisanie: W()= x ( x ) ( x+ ) Modelowe etapy rozwiązywania zadania Istotny postęp: uporządkowanie postaci iloczynowej i porównanie: x +++= ax bx c x + 6x 4 wyznaczenie: a = 0, b= 6, c = 4 zapisanie wielomianu: W( x+ )= x+ 6x rozwiązanie nierówności i zapisanie zbioru rozwiązań: (, ) 4. Postęp: zapisanie: a = b ( a b) a++ ab b ( ) przekształcenie drugiego czynnika: a = b ( a b) ( a+ b) ab ( ) stwierdzenie na podstawie założenia, że jeżeli liczby ( a+ b) i ab są podzielne przez k, to ich różnica jest podzielna przez k oraz a- b jest liczbą całkowitą lub zapisanie: a = b ( a b) (( a+ b) ab)= ( a b) ( k p kq)= k( a b) ( kp q), gdzie p i q są liczbami całkowitymi oraz a- b i kp - q są liczbami całkowitymi 5. Postęp: () x+> 0 zapisanie warunków: () log( x+ )> 0 () log log( x+ ) 0 rozwiązanie jednego z warunków () lub () () log ( x+ )> log 0<+< << x x 0 () log 0 ( x+ ) <+ < x x Liczba punktów pkt pkt pkt pkt pkt pkt pkt pkt ( pkt, jeśli rozwiązano jeden warunek) rozwiązanie układu wszystkich warunków D=, x> << x 0 < x i zapisanie: www.operon.pl
Numer zadania Modelowe etapy rozwiązywania zadania 6. Istotny postęp: zapisanie: b an+ an+ r an r r r = 5 = 5 = = 5 5 b 5, n N i 5 liczba n+ a a zapisanie: b = b b... b an n 5 +++... Rozwiązanie prawie całkowite: zastosowanie wzorów na n-tą sumę częściową n n n 5 wyznaczenie b b b b = 7. Postęp: zapisanie alternatywy układów: cos x 0 cos x< 0 lub sinxcos x= sinxcos x= Istotny postęp: zastosowanie wzoru na sinx cos x 0 cos x< 0 lub sinx= sinx= rozwiązanie równań dla x Î 0, p : sinx = p 5p p 7p x = lub x =,lub x =,lub x = sinx= 7p p 9p p x = lub x =,lub x =,lub x = Rozwiązanie prawie całkowite: poprawne rozwiązanie każdego z układów: cosx 0 cosx < 0 x p 5p p 7p,,, lub x 7p p 9p p,,, x p 5p, lub x 7p p, zapisanie rozwiązania x p 5p 7p p,,, n + Liczba punktów pkt ( pkt, jeśli niewyjaśniono, że 5 r jest liczbą) pkt 5 pkt pkt pkt pkt 5 pkt www.operon.pl
Numer zadania 8. Postęp: wykonanie rysunku Modelowe etapy rozwiązywania zadania N k Liczba punktów pkt P a M r A R B lub opis oznaczeń: P punkt przecięcia prostej k z prostą AB M punkt styczności o() Ar, z prostą k N punkt styczności o() BR, z prostą k Istotny postęp: zastosowanie twierdzenia Talesa: BN AM R r = BP AP, R++ r a = a, gdzie AP = a R r r wyznaczenie AP== a ( + ) R r r R wyznaczenie z trójkąta AMP: sina= = r AP R+ r 9. Postęp: oznaczenie wierzchołków trójkąta: A=( x, y), B=( x, y), C=( x, y ) A A B B C C i wykorzystanie wzoru na współrzędne środka odcinka: xa+ xb ya+ y B xb+ xc yb+ y C x A K= L M = =,,, i + x + C ya yc, Istotny postęp: zapisanie odpowiednich układów równań: xa+ x B ya+ yb = = xb+ xc yb y + C = i = xa+ x C ya+ yc = = rozwiązanie układów równań i zapisanie współrzędnych punktów: A= () 0,, B= () 4,, C= ( 5, ) wyznaczenie obrazów punktów A, B, C symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych A = (, 0), B = (, 4), C = () 5, pkt pkt pkt pkt pkt 4 www.operon.pl
Numer zadania Modelowe etapy rozwiązywania zadania 0. Postęp: zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta ABC i obliczenie sin( ABC)= 5 Liczba punktów pkt Istotny potęp: pkt obliczenie cos( ABC)= 4 5, ABC kąt ostry zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta ABK AK =+ 0 0 4 5 obliczenie AK = 6. Postęp: obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania z zielonego pudełka 5 zł oraz zł P ()= B P B ()= Istotny postęp: obliczenie prawdopodobieństw przy losowaniu z białego pudełka 4 8 p= = p= = 6 5 6 5 narysowanie drzewka i podpisanie odpowiednich gałęzi pkt pkt pkt pkt 5 5 zł 8 5 zł 7 zł inna kwota 7 zł inna kwota Uwaga: Jeżeli uczeń od razu narysował drzewko odpowiadające opisanej w zadaniu sytuacji i poprawnie wpisał prawdopodobieństwa na potrzebnych gałęziach, to również otrzymuje pkt. obliczenie: + = 8 6 5 5 45 www.operon.pl 5
Numer zadania Modelowe etapy rozwiązywania zadania. Postęp: sporządzenie poprawnego rysunku z oznaczeniami: OW wysokość bryły, LW wysokość trójkąta powstałego w przekroju W Liczba punktów pkt D H h C A K L a M O lub opisanie oznaczeń bez rysunku i wyjaśnienie, że kąt a jest wyznaczony przez wysokość przekroju i przekątną podstawy B P Istotny postęp: wyznaczenie długości odcinka OL: OL a = 4 wyznaczenie z trójkąta OLW długości wysokości ostrosłupa: H= OW= a tga 4 a wyznaczenie objętości ostrosłupa: V = tga pkt pkt 6 www.operon.pl