Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r
Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów maksymalnie 2% ma wady fabryczne. Właściciel salonu z telefonami chce sprawdzić czy jego dostawca jest wiarygodny. Jak to zrobić? 1 Zakładamy, że wadliwość danej partii wynosi 2%. 2 Sprawdzenie: z partii telefonów pobierana jest losowa próba o określonej liczbie elementów - w naszym przypadku 80. Następnie, oznaczając przez n - liczbę wadliwych elementów obliczamy prawdopodobieństwa:
Przykład 2.1 - c.d. n 0 1 2 3 5 6 7 8 P(X = n) 0.198 0.32 0.261 0.138 0.05 0.016 0.00 0.0009 0.00017 P(X n) 1.000 0.801 0.77 0.215 0.076 0.022 0.005 0.0011 0.00020 3 Wyciąganie wniosków: Przypuszczenie słuszne, niefortunnie dobrana próba danych. Próba danych poprawna, przypuszczenie nie było prawdziwe Konkluzja: po zaobserwowaniu więcej niż 6 telefonów z wadami fabrycznymi należy uznać stwierdzeni producenta za fałszywe.
Hipoteza statystyczna Definicja Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu zmiennej losowej. (X, A, P = {P θ, θ Θ}) - przestrzeń statystyczna. Hipotezy dzielimy na: 1 hipoteza zerowa 2 hipoteza alternatywna H 0 : θ Θ 0 H 1 : θ Θ 1 Θ 0 Θ, Θ 1 = Θ\ Θ 0
Test statystyczny Test statystyczny to reguła precyzująca dla jakich wartości próby X = (X 1, X 2,, X n ) podejmowana jest decyzja o przyjęciu H 0 jako prawdziwej, a dla jakich o odrzuceniu H 0. Obszarem odrzucenia (obszarem krytycznym) nazywa się zbiór B przestrzeni obserwacji X, dla którego hipoteza H 0 jest odrzucana. Obszarem przyjęcia nazywa się dopełnienie obszaru odrzucenia B C = X \ B. Definicja 2.1 Testem niezrandomizowanym hipotezy H 0 przeciwko hipotezie H 1 nazywamy funkcję ϕ: X {0, 1} postaci: ϕ(x) = { 1, jeżeli x B 0, jeżeli x B C
Test statystyczny - statystyka testowa Obszar odrzucenia H 0 zwykle jest konstruowany w oparciu o pewną statystykę, będącą funkcją próby, nazywaną statystyką testową. Wówczas obszarowi odrzucenia B odpowiada pewien zbiór krytyczny C.
Test statystyczny - statystyka testowa Przykład 2.2 Niech X = (X 1, X 2,, X n ) próba z populacji o rozkładzie N (µ 0, σ 2 0 ). Dla statystyki testowej T = ( X µ 0 ) n σ 0 opartej na tej próbie obszar krytyczny może być zdefiniowany jako: B = {x: ( x µ 0 ) n/σ 0 > c}. Odpowiadający mu zbiór krytyczny jest postaci: C = {t : t > c}, gdzie t to wartość statystyki T.
Test statystyczny Definicja 2.2 Testem zrandomizowanym hipotezy H 0 przeciwko hipotezie H 1 nazywamy funkcję ϕ : X [0, 1], gdzie ϕ(x) [0, 1] jest prawdopodobieństwem podjęcia decyzji o odrzuceniu hipotezy H 0, gdy zaobserwowano x.
Błędy Definicja 2.3 Błędem I rodzaju nazywamy błędne odrzucenie hipotezy H 0, gdy jest ona prawdziwa. Definicja 2. Błędem II rodzaju podjęcie decyzji o nieodrzuceniu hipotezy H 0, gdy jest ona fałszywa. Który błąd groźniejszy w skutkach?
Błędy Prawdopodobieństwo popełnienia błędu 1 I rodzaju : E θ [ϕ(x)], θ Θ 0 2 II rodzaju : 1 E θ [ϕ(x)], θ Θ 1 Kontrolujemy błąd I rodzaju ograniczając jego prawdopodobieństwo z góry przez małą liczbę. Za hipotezę H 0 będziemy przyjmowali to z przypuszczeń, którego błędne odrzucenie spowoduje poważniejsze skutki niż jego błędne przyjęcie.
Przykład 2.3 Cecha X populacji ma rozkład N (µ, 16). Do weryfikacji hipotezy H 0 : µ = 35 przy alternatywie H 1 : µ = 0 zastosowano test: jeśli średnia z próby 9 elementowej jest większa od 38 to hipotezę odrzucamy na rzecz alternatywy. Obliczyć prawdopodobieństwo popełnienia błędów I i II rodzaju. X N (µ, 16), a stąd X N (µ, 16 9 ) Prawdopodobieństwo błędu pierwszego rodzaju wyznaczamy jako: P( X ( > 38) = P X ) ( ) 35 16 9 > 38 35 16 9 = P X 35 3 > 3 3 = 1 P ( X 35 3 2.25 ) = 1 Φ(2.25) = 0.0122
Przykład 2.2 - c.d. Prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju wyznaczamy jako: ( P( X 38) = P X ) ( ) 0 16 9 38 0 16 9 = P X 0 3 2 ( ) 3 = P X 0 3 1.5 = Φ( 1.25) = 0.067
Test ϕ hipotezy H 0 przy hipotezie alternatywnej H 1 nazywamy testem na poziomie istotności α, jeżeli: E θ [ϕ(x)] α θ Θ 0 Funkcję β ϕ : Θ [0, 1] o wartościach β ϕ (θ) = P θ (X B) nazywa się funkcją mocy testu z obszarem odrzucenia B β ϕ (θ) = { P(błąd I rodzaju) jeżeli θ Θ0 1 P(błąd II rodzaju) jeżeli θ Θ 1
Przykład 2. Cecha X populacji ma rozkład N (µ, 16). Do weryfikacji hipotezy H 0 : µ = 35 przy alternatywie H 1 : µ = 1 zastosowano test: jeśli średnia z próby 9 elementowej jest większa od c to hipotezę odrzucamy na rzecz alternatywy. Wyznaczyć liczbę c tak, aby poziom istotności testu był równy 0.1 ( P( X > c) ) α P X 35 3 > c 35 3 = 0.1 ( ) 1 Φ c 35 3 = 0.1 c 35 3 = Φ 1 (0.9) c 35 3 = Φ 1 (0.9) c = 39.7
Literatura: Bartoszewicz J.,Wykłady ze statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1989. M. Krzyśko,Statystyka matematyczna, Wyd. UAM, Poznań 200. R. Zieliński,Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1990.