JANUSZ KOLENDA (GDATŚ SK) 1. Wstę p

MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 16 (1978) DRGANIA WYMUSZONE LENII WAŁÓW Z UWZGLĘ DNIENIEM ASYMETRII SZTYWNOŚĆ GIĘ TNEJ I PODATNOŚ CI FUNDAMENTÓW METODA IDENTYFIKACJI PODATNOŚ CI DYNAMICZNEJ FUNDAMENTÓW LINII WAŁÓW JANUSZ KOLENDA (GDATŚ SK) 1. Wstę p Analiza drgań linii wałów wymaga z reguły uwzglę dnienia pdatnś ci filmu lejweg w łż yskach i knstrukcji pdpierają cej linię wał ów. Literatura dtyczą ca teg zagadnienia nie bejmuje przypadku, gdy linia wałów zawiera dcinki zróż nicwanych głównych centralnych mmentach bezwładnś ci przekrju pprzeczneg. Przypadek taki wystę puje np. w liniach wałów zawierają cych wały krbwe, których analizę drgań prwadzi się p zastą pieniu wału krbweg mdelem złż nym z mas dyskretnych i prstych dcinków wału. Załż enie jednakwej sztywnś ci gię tnej w płaszczyź nie wykrbienia i w pł aszczyźnie prstpadł ej d płaszczyzny wykrbienia graniczał dtychczas przydatnś ć teg mdelu d bliczeń drgań gię tnych. Przedstawiny w niniejszej pracy matematyczny pis drgań linii wałów nie wymaga spełnienia takieg zał ż enia. 3 N-2 ' N-1 _ N 'n-1 Rys. 1. Schemat analizwaneg układu, a ź ródł napę du; b sprzę gł elastyczne; c sprzę gł kłnierzwe; d ł ż ysk ś lizgwe;/ siła wymuszają ca; n liczba ł ż ysk; N liczba dcinków bliczeniwych linii wał ów; a> = cnst prę dkść ką twa wirwania linii wał ów Zapewnienie należ ytej dkł adnś ci infrmacji pdatnś ci filmu lejweg i knstrukcji pdpierają cych linie wałów nie jest w praktyce zagadnieniem zamknię tym. Charakterystyki filmu lejweg są nieliniwe, Utrudnia t dkł adne bliczenie pdatnś ci filmu dla warunków eksplatacyjnych, gdyż zależy na m.in. d nieznanych a priri reakcji w łż yskach. Wyznaczanie dynamicznej pdatnś ci knstrukcji pdpierają cej przy pmcy wzbudników drgań zwią zane jest z mankamentami [1], a dla niektórych knstrukcji jest trudne bą dź niemż liwe d zrealizwania. Dtyczy t zwł aszcza przypadków, gdy ł ż yska są wbudwane, jak t ma miejsce np. z łż yskiem stewwym wału ś rubweg, wbudwanym w sekcję rufwą statku. W niniejszej pracy zaprpnwan pś rednią metdę wyzna-

518 J. KOLENDA czania dynamicznej pdatnś ci knstrukcji pdpierają cych linie wałów (ł ą cznie z filmem lejwym) na przykładzie ukł adu przedstawineg schematycznie na rys. 1, której stswanie mże być w pewnych przypadkach bardziej celwe. Oznaczenia macierzy stswane w tekś cie a = - macierz klumnwa, a 2 a 2 a n.,a _J = macierz diagnalna, a 2 A = macierz blkw diagnalna (kwadratwa), Ai = (Ark = [am] macierz dtyczą ca?- teg dcinka linii wał ów, A» [«fc!] mn macierz wymiarach ra«,.4 = [a k[ ] tt macierz kwadratwa stpnia n, A T transpnwana macierz A. 2. Opis drgań linii wałów przy wymuszeniach kreswych Analizwany układ traktwany jest jak liniwy. Zakłada się, że kł zamachwe, sprzę gła kł nierzwe itp. elementy stanwią masy dyskretne. Przyję t, że główna centralna ś bezwł adnś ci każ deg dcinka linii wał ów pkrywa się z sią brtu. Zakłada się takż e, że wektry reakcji działają cych na wał w łż yskach przechdzą przez ś rdki cię ż kśi c przekrjów pprzecznych wału w płwie długś ci łż ysk (przy czym długść ł ż yska nie musi być mała w prównaniu z długś cią daneg dcinka wał u, gdy pdatnś ci dynamiczne wyznacza się jak w p. 3). Linię wał ów pdzieln na szereg dcinków bliczeniwych. Pdziału, dknan w przekrjach, gdzie wystę pują sił y skupine (reakcje ł ż ysk bą dź sił y wymuszają ce), w przekrjach przechdzą cych przez ś rdki cię ż kśi cmas dyskretnych raz w miejscach łą czenia dcinków róż nych stałych materiałwych bą dź dcinków róż nią cych się kierunkami głównych centralnych si bezwł adnś ci przekrju pprzeczneg. Przyję t knwencję znaków jak na rys. 2. Osie tl, t 2, X[ 3 stanwią lkalny ukł ad współ rzę dnych i- teg dcinka, wirują cy wraz z dcinkiem. Osie n, i3 są równległ e d dpwiednich gł ównych centralnych si bezwł adnś ci przekrju pprzeczneg / - teg dcinka. Oś Xa pkrywa się z sią brtu linii wał ów i z głównymi centralnymi siami bezwł adnś ci dcinków. Zakłada się, że wektry ugólninych sił zewnę trznych, gł ówne centralne sie bezwł adnś ci mas dyskretnych i gł ówne sie sprzę gła elastyczneg pkrywają się z dp-

DRGANIA WYMUSZONE UNII WAŁÓW 519 wiednimi siami lkalnych ukł adów współ rzę dnych. Wpł yw bcią ż eń rzł ż nych nie jest w niniejszej pracy rzpatrywany. Wielkś ci dnszą ce się d pszczególnych przekrjów dcinków znaczn nastę pując: tl - n = njzh (/ = 1,2,...,JV; a = 1,2,...,6) Ui = {Uia} u i = {} uu {K««} {} macierze klumnwe ugólninych przemieszczeń, Pi = Pi = {Pia} Pa {/?««} macierze klumnwe ugólninych sił wewnę trznych, tl = U fi {//a} macierz klumnwa ugólninych sił zewnę trznych, Mi- r~tni _J diagnalna macierz bezwł adnś ci masy dyskretnej, Cf = cf«i diagnalna macierz sztywnś ci sprzę gła elastyczneg. Pite/ \ Pii PiH Pil2 u, 1 1 ' Pi+1,2 111,6 Pil3 Rys. 2. Schemat bliczeniwy dla dwóch dcinków wał u dpwiedni równległ ych siach lkalnych układów współrzę dnych./ (a ugólnina siła zewnę trzna, działają ca na i- ty dcinek bliczeniwy wał u w kń cwym jeg przekrju w kierunku a; /< długść /- teg dcinka;/ >«a ugólnina siła wewnę trzna w kń cwym przekrju /- teg dcinka w kierunku a ;pi+ 1,a ugólnina sił a wewnę trzna w pczą tkwym przekrju (j+ l)- g dcinka w kierunku a; ut m - - ugólnine przemieszczenie w przekrju. / - teg dcinka w kierunku a Ograniczają c się d technicznej terii drgań belek [2], równania drgań r- teg dcinka wał u napiszemy w pstaci: 3 (2.1) =, a = 1 4, ( ) = bt ' gdzie Q ia jest liniwym peratrem róż niczkwym' ze wzglę du na zmienną przestrzenną

52 i- K.OLENDA (2.2) IE] 8- [Eh\ 3* Qiil ~~ U It ~d Y ' ~ \~Afli'8 T ' Ei mduł Yunga (dla - teg dcinka), Qi gę stś, ćat ple przekrju pprzeczneg, (/ 2 ),-, (I 3 )i gł ówne centralne mmenty bezwł adnś i c przekrju pprzeczneg, Q sztywnść skrę tna jednstki dł ugś i c wał u, (Qi mment bezwł adnś i c jednstki dł u- gś ci wał u wzglę dem si brtu. Warunki brzegwe dla linii wał ów przedstawinej na rys. 1 mają pstać: (2.3) fiia - ± >«a Wia, a = 1,..., 6, (2.4) PNia ~ - W^JVa^A r / a ~\- C)^ au^i^. Przy pdwójnych znakach + " i,, " dlny znak dtyczy a. 5,6. W przekrjach, w których dział ają skupine sił y zewnę trzne i w przekrjach przechdzą cych przez ś rdki cię ż kś i cmas dyskretnych, speł nine są warunki: \ lm "<+ i,a-, n - n +f Pita Pi+l.azJZJia, (2.6) \Pila = { ll Warunki (2.5) i (2.6) dtyczą, przypadków, w których sie lkalnych ukł adów współ - rzę dnych / - teg raz (( + l)- g dcinka wał u są d siebie dpwiedni równległ e tzn. gdy dcinki te wykazują kł wą symetrię sztywnś ci gię tnej lub ich gł ówne centralne sie bezwł adnś ci przekrji pprzeczneg są d siebie dpwiedni równległ e. W przeciwnym przypadku należy zestawić analgiczne warunki p dniesieniu wielkś ci dtyczą cych?"- teg dcinka d lkalneg ukł adu współ rzę dnych (/ + l)- g dcinka. Dla uprszczenia pminię t w (2.6) wpł yw sił y cię ż kś i c/ - tej masy dyskretnej; mże n być uwzglę dniny jak / fa w (2.5). Znane zewnę trzne sił y wymuszają ce znaczymy w dróż nieniu d reakcji ł ż ys k ddatkw indeksem górnym w" i zapiszemy je w pstaci: (2.7) /j = C/ S lw csva>r+./ S aw sin, v =,1, 2,...; «= 1,... 6, gdzie a> cnst pdstawwa czę stść wymuszeń. Przyjmiemy, że czę stść w jest równa prę dkśi cką twej wirwania linii wał ów (c z reguł y zachdzi w praktyce dla iikł adów bezprzekł adniwych). Analgicznie przedstawimy nieznane wielkś ci: (2.8) f ia = Jj (fti (2.9) u ia = V (u (2.1), p ia m V (pf$csvwt+p?$sinvmt). V v

DRGANIA WYMUSZONE LINII WAŁ ÓW 521 Pdstawiając (2.9) d równań (2.1) i uwzglę dniają, c że llis 1/ ^3, Wi6 = = Mi2> ( ) = = ~~ > trzymuje się znane rzwią zania [2], które wraz z rzwią zaniami dla v zapisać mż na w pstaci macierzwej: (2.11) Ui = ]? CQ(al lv) csvct + af M smva>t), v =, 1,2,..., ' macierze klumnwe współ czynników rzwią zań dla v- tych harmnicznych, 1 3 2 1 3 2 1. 1-3 2-2 -1 3 2 2 1 ( O. sin A O O ( v) 2 CO (Cg*) 2 = inź O cs K l p sin Af O = O«>) - Ff-I (AD; - W dalszej czę śi cpracy pminię t indeksy (v) w wyraż eniach A ', A^1' 3, A, Af 5.

522 J. KOLENDA Siły wewnę trzne zwią zane są z przemieszczeniami u ia relacjami: (2.12) Pi ** Z C (nt PtX2 ~=*E- (1 2 )'u''' X2 P ' X3 = ~Ei'(I ]'u'- ' X3 ' W wyniku uwzglę dnienia pstaci rzwią zań (2.11) i relacji (2.12) trzymuje się : (2.13) p i = ' AV - EA, -- 6E T 2 -- 6ET 2-2EI 2-6EI 3 6EI 3 2EI 3 Ch ( 5 (45) i = EAXfSinX r EAX r csx r EI 2,sX 2 El 2X 3 2zsX 2 - El 2 Afs hx, El 2X\ś mx 2 EI 2 X\c\iX 2 El2 X\ś a.x 2 - El2X\z\\X 2 - EI 3 XlsmX 3 EI 3 Xlcsl 3 EI 3 X - EI 3 A sia 3 Ei r 3X 3 3sh l 3 EI 3 X 3 ć h X 3 - EI 3 XlchX El 3 X 2 3ś hx 3 3 X CI ina s CI s X s csx s W celu ułatwienia dalszych bliczeń przekształ cimy wyraż enia (2.7), (2.8), (2.11) i (2.13) d pstaci : (2.14) ffi =, A* = -. - *. -, - ( (2.15) / ta =

DRGANIA WYMUSZONE LINII WAŁÓW 523 (2.16) U i = ^ W (2.17) Jia ~2 y/ JfSWi /- w(o) _ pl(o) /- w _ 1 f/ "wl(i)) ;/ '»2 Jia ) > Jia ~~ Jia > Jia yl/ lj JJia I Jia ^"(/ ia + / / ia )j / (a =./(a i Jia = ^{jia." ~jfia )j 7 jednść urjna. P pdstawieniu wyraż eń (2.15) (2.17) d warunków (2.5) trzymuje się : (2.18) fł» = {f}p}, «=!,..., 6, ffl = - -,' M& = "21 56 >* P* W. = Pzstał e elementy macierzy F^ są zerwe. Macierze B\** mgą być traktwane jak macierze przejś cia, wią ż ąe cwspółczynniki /^- tych harmnicznych rzwią zań dla dwóch są siednich dcinków wał u. Mają ne blkw diagnalną pstać: (2.19) BP = (EA) ią h

524 J. KOLENDA (2.19) [cd] (El), 3/? If O ^- 2/, 1 If h 1. h I. csa r / sina r / csaj/ e^csa/ e^sha/ 4"'chA/ ( 1 2 M+ l przy czym dla $ należy pdstawić I = I 2, X X 2 raz dla B<$:I = / 3, A = A 3. Wykrzystując wzór (2.18) dla przypadku, gdy (s- 1) dalszych dcinków blicze'niwych bcią ż nyc h jest w swych kń cwych przekrjach sił ami skupinymi, trzymuje się: \i../ Xi) fl)+ s = = - Bj+ s l "i+ i 2 - "i W bliczeniach drgań linii wał ów przypadki takie mgą mieć miejsce wówczas, gdy wpł yw niektórych mas dyskretnych (np. sprzę gieł kł nierzwych) jest zaniedbywalny, natmiast reakcje ł ż ys k nie mgą być pminię te. Liczba macierzy B (v \ mnż nych przez siebie wedł ug zależ nśi c(2.2), mże być wówczas znaczna. Macierze B (v) mają jednakże tę dgdną wł asnś 1 ć', że dla dcinków wał u jednakwych stał ych materiał wych zależ nść 11 Przyję cie liniweg mdelu tł umienia wewnę trzneg w linii wał ów raz uwzglę dnienie wpł ywu na drgania gię tne stał ych sił psiwych, dkształ ceń pstaciwych d sił pprzecznych i mmentów sił bezwł adnś i c brtu nie eliminuje tej wł asnś ci.

DRGANIA WYMUSZONE LINII WAŁ ÓW 525 (2.2) redukuje się d pstaci: (2.21) a<f2 s = %%- ija^+b?js- 1 j+ 1 FPfr+Bft s uii. 2 Frm\+ - + Wffi- i- Macierze Bj$,- i,(+t i zastą pienie k przez pwstają z macierzy < v) przez pdstawienie («W), = (e?>)«- («>)» - (e^)t - U (e ( 2 ">), = m = Ż '» Należy zaznaczyć, że wł asnś i ctej nie psiadają sptykane w literaturze macierze przejś cia dla wektrów stanu utwrznych z elementów tym samym wymiarze [2]. Przy wystę pwaniu masy dyskretnej równania kreś lają e c macierze klumnwe współ czynników af^ mają na pdstawie warunków (2.6) i wyraż eń (2.16), (2.17) pstać: (2.22) fltffr = B%W\ Macierze B\ ), B'f* są identyczne jak w (2.19), natmiast (2.23) B l n M l J m l pcsl 2 l - m^si 2 f 2 mc 6 l cha 2 Z **- L«Macierze JS^ trzymuje się z macierzy JJ$ zastą pieniem ms w) przez m ( p, mty przez mg 1 raz A 2 przez A 3. Oznaczn tu: JO) 3 "'i2 ~ / i-.,- - 3-\ > ( / 2;. m i5 (va>) 2 (ł, _ m i6 (vc) ~ '"I Ukazana pwyż ej wł asnść ilczynów macierzy B[ v) nie dtyczy ilczynów typu B^- Bt- p, BP- Bf\ Bp- Bl v \ Relację pmię dzy macierzami klumnwymi a^^ raz fl < dwóch pł ą cznych ze sbą ( ") dcinków wał ów róż nych stał ych materiał wych pisują macierze przejś cia B$ v) (2.19) : (2.24) atffr = tfpdfi, 8 Mech. Teret. i Sts. 4/ 78

526 J. KOLENDA Wyprwadzne pwyż ej zależ nśi cdnszą się d ruchmych układów współ rzę dnych. W celu uwzglę dnienia ddziaływania knstrukcji pdpierają cej linię wałów przyję t nieruchmy rtgnalny ukł ad współrzę dnych X, X 2, X 3 (rys. 1), któreg ś X pkrywa się z sią brtu linii wałów. Osie X 2, X 3 są w chwili t = Iknjai, k =,1, 2,... dpwiedni równległe d si i2, i3 lkalnych układów współ rzę dnych tych dcinków bliczeniwych, dla których (I 2 )t = (/ 3 )j. Osie tl, i3 lkalnych ukł adów współ rzę dnych tych dcinków, dla których (7 2 )j # (,h)i, mgą w gólnym przypadku nie być w chwili t dpwiedni równległe d si X 2, X 3. Niech zatem <5 ; znacza ką t brtu lkalneg ukł adu współ rzę dnych / - teg dcinka bliczeniweg w stsunku d układu X t, X 2,X 3, mierzny w kierunku wirwania wałów w chwili t. Dla uprszczenia pisu wprwadzn cią g indeksów 1, 2,..., n (n liczba łż ysk), dpwiadają cych klejnym pdprm łż yskwym. Amplitudy ^- tych harmnicznych ugólninych reakcji łż ysk i przemieszczeń wału w miejscach pdpór łż yskwych w lkalnych układach współrzę dnych znaczn Analgiczne wielkś ci w układzie X t, X 2, X 3 znaczn Zatem w dwlnej chwili t zachdzą relacje: (2.25) u t = n,m ft = IV = h...,«, = ^ <> = rn;,n;j, n; - Macierze IIj mż na przedstawić w pstaci: (2.26) ;, ń. jj n; =

DRGANIA WYMUSZONE LINII WAŁÓW 527 W celu wyprwadzenia zależ nśi cbejmują cej n ł ż ysk twrzymy macierze: (2.27) n = ń ep("jc/) + ft + ń ep(jft>, Dynamiczne własnś ci knstrukcji pdpierają cej linię wałów mż na kreś lić przy pmcy macierzy pdatnś ci dynamicznej tej knstrukcji: ^f = K%] 6, O./ 8-1...6J «.. - v,... - 1,,1...!»..., gdzie 4 ( j2/j J est wartś ci ą ilrazu amplitudy /i- tej harmnicznej przemieszczenia w miejscu r- tej pdpry łż yskwej w kierunku a i amplitudy /*- tej harmnicznej wywłują cej t przemieszczenie siły, przył ż nej w miejscu j-tej pdpry łż yskwej w kierunku /?: (2.28) ^ " Jak łatw stwierdzić, zachdzi przy tym 2> (2.29) d[rf - «fl& gdzie rf/ jijj mże być kreś lne w znany spsób [2]: (2.3) djf = 5jap[y(*»f+ «$,)] [ r>ep Qvct)]~\ u\3,f$ rzeczywiste amplitudy przemieszczenia i siły (w układzie X 1, X 2, e i5«j3 ką t przesunię cia fazweg, wywłaneg tłumieniem w knstrukcji. Twrzymy macierze klumnwe: Ogólna zależ nść pmię dzy macierzami klumnwymi f w i u^ ma pstać: (2.31) w ( " ) = Z> ( «/<">. Zależ nść ta nie bejmuje wpływu pdatnś ci filmu lejweg w ł ż yskach. W celu uwzglę dnienia pdatnś ci filmu rzpatrzymy wał na dwóch pdprach, któreg schemat bliczeniwy przedstawin na rys. 3. Film lejwy traktwany jest jak nieważ ki, dlateg siła ddziaływania wału na film w danym łż ysku jest równa sile działają cej na pdprę teg łż yska. Zachdzi zatem czywista zależ nś: ć przy czym amplituda ugię cia filmu pd wpływem siły f 2 fi l ' ) ep(jfj.ct) wynsi 2) Zastswane w niniejszej pracy przedstawienie wielkś ci harmnicznych przy pmcy dwóch wirują cych w przeciwnych kierunkach wektrów na płaszczyź nie zmiennej zesplnej i rzszerzenie pję cia macierzy pdatnś ci dynamicznej na ujemne wartś ci fi jest zwią zane z pstacią macierzy JJ (2.27).

528 J. KOLENDA gdzie b 2, c 2 współczynniki zlinearyzwanych charakterystyk tłumienia lepkś ciweg i sztywnś ci filmu lejweg w łż ysku 2. Mż na wię c napisać: i analgicznie dla pdpry fig = gdzie df> i 4 A) są zesplnymi pdatnś ciami dynamicznymi filmu lejweg w łż yskach 1 i 2: # - {.Ci+jjuabtT 1, i = 1,2. Rys. 3. Schemat przemieszczenia wału z uwzglę dnieniem pdatnś ci filmu lejweg i knstrukcji pdpierają cej. b u b z, e,, c 2 współczynniki tłumienia lepkś ciweg i sztywnś ci filmu lejweg w_łż yskach 1 i 2; di; współczynniki pdatnś ci dynamicznej knstrukcji pdpierają cej (/,/ = l,2);/ 2 sił a dynamiczneg ddziaływania waiu na film lejwy w łż ysku 2; h, / 2 wyskś ci filmu lejweg w łż yskach 1 i 1, u 2 przemieszczenie wału w miejscu pdpry 2; % f ugię cie filmu lejweg w łż ysku 2 pd wpływem siły f 2 Ugólniają c pwyż sze rzważ ania mż na zamiast (2.31) napisać: (2.32) u w =- D (l 'Y l \ gdzie D m róż ni się d macierzy D w tym, że jej elementy na głównej przeką tnej są równe 3) : (2.33) d\$ a = df& a + (c ;a +j/ ua)b ia )~ l. Pczynają c d zależ nśi c(2.28) siły w łż yskach traktwan jak siły działają ce na pdpry ł ż yskwe i film lejwy, a uprzedni jak reakcje ddziaływują ce na wał. D dalszych rzważ ań stswać bę dziemy zatem zamiast (2.32) zależ nś: ć (2.34) u w = - D w f w, gdzie/ ''" jest macierzą klumnwą amplitud / t- tych harmnicznych reakcji działają cych na wał w łż yskach, w układzie X 1,X 2,X 3. 3) Lub dftla - d^+(.c^+jlia>b^)~ l, w isttny spsób d czę stś i cwymuszeń. gdy współczynniki sztywnś ci i tłumienia filmu zależą

DRGANIA WYMUSZONE LINII WAŁ ÓW 529 Z zależ nśi c (2.25) (2.27) i (2.34) wynikają równania: (2.35) Rzpatrzymy gólny przypadek, gdy analiza drgań winna bjąć harmniczne Meg wł ą cznie. Odrzucając z równań (2.35) harmniczne rzę du wyż szeg d r macierze klumnwe rzę du d i twrząc trzymuje się: (2.36) C/ (r) H ( '» = R m ir \ ~ ft n n n n n n ii n u ń ft u u n n ii ii D<- lł n

53 J. KOLENDA Pzstałe blki macierzy U (n i i? (r> są zerwe. Z równania (2.36) trzymuje się 4) : (2.37) u in = (ZT^JRW/ w. Zależ nśi c(2.35) (2.37) ukazują sprzę ż eni e klejnych harmnicznych sił i przemieszczeń, c uniemż liwia wyznaczenie sumaryczneg rzwią zania jak superpzycji rzwią zań dla każ deg rzę du harmnicznej drgań. Mż liwść taka istnieje w przypadku, gdy wszystkie dcinki linii wałów wykazują kłwą symetrię sztywnś ci gię tnej (7 2 = / 3 ). Analizę drgań mż na wówczas prwadzić w nieruchmym układzie współrzę dnych, wykrzystują c zamiast (2.37) zależ nść (2.34). Pniż ej przedstawin schematycznie spsób wyznaczenia rzwią - zań z wykrzystaniem zależ nśi c (2.37). Warunki brzegwe (2.3) i (2.4) mż na dla knkretnej linii wał ów przedstawić w pstaci: (2.38) A^af> =, I JSJ- BSPCf w )* -., k=l gdzie macierz A ir) wyznacza się z warunków (2.3) przez wykrzystanie zależ nśi c (2.16) i (2.17) (dla = ), macierze B w, Bj v) i B^ pwstają w wyniku wymnż enia dpwiednich macierzy przejś cia dla cał ej linii wał ów, / jest liczbą punktów przył ż enia zewnę trznych sił wymuszają cych, przy czym (f ww h - {(.f«w f h}, «- 1.» 6- macierz klumnwa amplitud :' ^- tych harmnicznych sił wymuszają cych w /c- tym punkcie Unii wałów. Twrzą c macierze klumnwe ą V = {a[- '\... 4-W a[ \ <$>...., «?>}> 7 WW = {(f ww ), (/ ww ) a,.», CT? ł )j}, rw(- l)?w() iv( mż na na pdstawie (2.38) napisać: (2.39) ^Wfljp =, (2.4) 5 cr =, B(.n A 4) Wykrzystują c rtgnalnś ć macierz y itmż na (W r >)-* trzymać z macierzy J7< r ) przez zastą pienie U, II macierzami transpnwanymi JU, ffl.

DRGANIA WYMUSZONE UNII WAŁÓW 531 Ii. jjc... _B«] 6 X 6, Pzstałe blki macierzy A v), B ">, J? (r > i B lr) są zerwe. Z klfei należy wyrazić u m w funkcji niewiadmych/ (r) i a l p. Gdy i- ty dcinek bliczeniwy pdparty jest na swym kń cu j- tym ł ż yskiem, t macierz klumnwa amplitud «- tych harmnicznych przemieszczeń w tym przekrju wału jest równa: (2.41) u\? = W wyniku wyznaczenia aj**' w funkcji a ( / i wprwadzenia cią gu indeksów 1, 2,..., n dla klejnych łż ysk, zależ nść (2.41) przyjmie pstać: (2.42) gdzie Ij jest liczbą punktów przyłż enia wymuszeń zewnę trznych na dcinkach pdpartych ł ż yskami 1,2,...,j. Kjarzą c zależ nśi c(2.42) dla / = 1,2,...,n trzymuje się : gdzie macierz C (y) ma wymiar 6n 61 i jej pstać zależy d rzmieszczenia punktów przył ż enia wymuszeń zewnę trznych, natmiast Cf fcfi 6n Zatem dla wszystkich rzpatrywanych harmnicznych. (2.44) M (P > = l

532 J. KOLENDA c (r) C C1 > C _ 6n(2r+ l)6/ (2r+ l Pzstał e blki macierzy C (1 i C (r) są zerwe. Z zależ nśi c(2.37) i (2.44) trzymuje się: (2.45) f (r) = P (r) (C m i Z zależ nśi c(2.39), (2.4) i (2.45) wyznaczyć mż na macierz a'/ ': r i p czym krzystając z macierzy przejś cia i zależ nśi c (2.16), (2.17), (2.45) parametry drgań wymusznych wszystkich dcinków linii wał ów. 3. Wyznaczenie współ czynników pdatnś ci dynamicznej Pdbnie jak dla ukł adu rzpatrywaneg w [1], pszukiwane współ czynniki pdatnś ci wyznaczyć mż na na pdstawie wyników pmiarów drgań linii wał ów przy znanych wymuszeniach. Na wstę pie wyznaczymy dpwiednie zależ nśi cdla* przypadku, gdy linia wał ów zawiera dcinki wykazują ce asymetrię sztywnś ci gię tnej, a znane wymuszenia dział ają przy wirwaniu wał ów. W tym celu wykrzystamy gólne wyraż enia, wynikają ce z zależ nśi c (2.25)*, (2.27) i (2.34): (3.1) w (r) = ( / (r >)- ł M (r >, (3.2) / (r) = U ir) f m (3.3) «w = Z równań (2.44) i (3.1) trzymuje się: (3.4) /«> = (gc))

DRGANIA WYMUSZONE LINII WAŁ ÓW 533 W wyniku pdstawienia (3.4) d warunku (2.4) mż na wykrzystując warunek (2.39) napisać: (3.5) ą V. Z zależ nśi c(3.2), (3.4) i (3.5) wynika: (3.6) f n = U < n ( ^ - l { i ( U ^ - i - ^ ^ Jeś li macierz klumnwą amplitud znanych sił wymuszają cych w / - tym wariancie pmiarwym znaczymy przez (f wco )i, a macierz dpwiadają cych im amplitud przemieszczeń wał u w ł ż yskach przez (u m )i, t macierz zawierają ca pszukiwane macierze pdatnś ci dynamicznej knstrukcji pdpierają cej (ł ą czni e z filmem lejwym) wyznaczyć mż na z zależ nśi c: (3.7) D m m U^(F m )- \ Relacje (2.29) i (2.3) pzwalają zmniejszyć wymiary macierzy w zależ nśi c(3.7) i niezbę dną liczbę wariantów pmiarwych z 6n(2r+l) na 6n(r+l) (tj. na pdstawie pmiarów wystarczy wyznaczyć macierz > Cr) = pź > (), i> (1>,..., - D ( 2- J6/ >(r+ i))- t Zakł ada się przy tym liniwą niezależ nść macierzy klumnwych (/ (r) )j dla i = 1, 2,..., 6n(r+ 1). W szczególnś ci mż na t uzyskać dyspnując jednym ź ródł em sił wymuszających, przykł adając je klejn w / = n punktach linii wał ów 5), w kierunkach dpwiadają cych a = 1,..., 6 i z czę stś ciami, a>, 2a>,...,r>. W przypadku, gdy przy pmiarach linia wał ów nie wiruje, równaniami wyjś ciwymi d pdbneg wyprwadzenia zależ nśi ckreś lają ce j macierz pdatnś ci D (v) są wyraż enia (2.34), (2.38) i (2.43) dla fi - v, w (I = ««,'/ *» = / (p). Gdy wszystkie dcinki linii wał ów wykazują kł wą symetrię sztywnś ci gię tnej i analiza prwadzna jest przy wirują cej linii wał ów w nieruchmym ukł adzie współ rzę dnych, wykrzystać mż na zależ nśi c(2.34), (2.38) i (2.43) dla / i= vz zamianą w na u m i /<* na / (v> raz dniesieniem znanych sił wymuszają cych d nieruchmeg ukł adu współ - rzę dnych. 5) Przy zmianach punktów przył ż eni a sił wymuszają cych macierze Ć (r >, C m, C <r>, <r \ L ln i Af (r) nie ulegają zmianm, gdy pdział linii wał ów na dcinki bliczeniwe (p. 2) uwzglę dnia wszystkie te punkty.

534 J. KOLENDA 4. Uwagi kń cwe W celu zachwania gólnś ci rzważ ań nie uwzglę dnin w niniejszej pracy, że wpływ pdatnś ci fundamentów przy drganiach skrę tnych linii wałów jest pmijalny i dpwiednie elementy macierzy pdatnś ci dynamicznej pza główną przeką tną są równe zeru, a na gł ównej przeką tnej zredukwane d czł nów dtyczą cych wpływu filmu lejweg w łż yskach. T sam dtyczy drgań pdłuż nych linii wałów gdy fundament nie przejmuje sił psiwych, np. przy braku łż yska prweg. Elementy macierzy pdatnś ci dynamicznej dnszą ce się d drgań gię tnych mgą być wyznaczne na pdstawie 4«(r+ l) wariantów pmiarwych, a przy graniczeniu się d drgań pprzecznych na pdstawie 2n(r+l) wariantów (przy czym ź ródł em stał ej sił y wymuszają cej w ruchmym ukł adzie współrzę dnych mże być sadzna na wale niewyrównważ na masa, wirują ca wraz z wałem). Pmiary przy wirują cym wale mają tę zaletę, że wł asnś ci twrzą ceg się wówczas w łż yskach klina smarneg są bardziej zbliż ne d analgicznych własnś ci w warunkach eksplatacyjnych, niż charakterystyki warstwy leju smarneg w łż yskach przy nieruchmym wale. Przedstawina pwyż ej metda identyfikacji pdatnś ci dynamicznej knstrukcji pdpierają cej łą cznie z filmem lejwym wymaga pmiarów przemieszczeń wału w łż yskach wzglę dem nieruchmeg układu współrzę dnych. Jeden ze spsbów realizacji teg zadania mże plegać na równczesnej rejestracji wzglę dnych przemieszczeń wał u w łż ysku (mierznych np. czujnikiem bezkntaktwym) i drgań budwy łż yska raz na zsumwaniu wyników w/ w pmiarów, dnszą cych się d teg sameg kierunku wzglę dem nieruchmeg układu współ rzę dnych. Literatura cytwana w tekś cie 1. J. KOLENDA, Metda identyfikacji pdatnś cidynamicznej fundamentów maszyn, Mech. Ter. i Sts., 3, 16 (1978). 2. R. E. D. BISHOP, G. M. L. GLADWELL, S. MICHAELSON, Macierzwa analiza drgań,wnt, Warszawa 1972. P e 3 i M e BBIHy^KflEHHBIE KOJIEBAHHJI BAJIOnPOBOflOB C y^ietom ACHMMETPHH H3rHBHOfł a<ectkocth H IIOflATJIHBOCTH (SYHflAMEHTOB. METOfl H,ECEHTH*HKAU;HH flhhambraeckofł noflatjihbocth fyhflamehtob BAJIOriPOBOflOB P a6ia KacaeTCH Kjie6aHHił BajinpcmflOB nph nephflmecrai B3AiymeHHHX, c y^etom nflatotf- BOCTPT MacjiHHr CJICWI B nfliintminka H (JjyHHaMeirra. BbiBe#eiim.ie 3aBHCHMcnł OTHOCHTCH K Hec- HpJDKeHHblM H3rn6HbIM, KpyTHJIbHBIJU Et npoflojibhbim KOJieSaHHHM, OIIHCaHHblM JDHHeHHBIMH flu(j)(j5epeh- UMajIŁHblMH ypabhehhhmh B HaCTHWX IipOH3BOflHbIX. EtpH 3TOM He Tpe6yeTCH CHMMeTpiIJI K3ril6HH >KecrKcTH. JJJIH ymehtuiehhh pa3meps MaTpntq cactembi nphmehhitch MaTpKubi nepefla, CBfl3BiBa- KacpepHijHeHTŁi peinehhft cceflbmx yqactkb BannpBOAa. Tamie Maipimbi nepefla npme nepefla cbh 3braimn BeKTpbi nepememehmfi H ycjtmdł j a HX ymhmeime MOH<eT 6trn> B cjiy^ae ytłactkob c flhhakobbimh 4>H3H^iecKHMH napawetpamh 3aMeHeHO cymmhpbahhem aprymehtob

DRGANIA WYMUSZONE LINII WAŁÓW 535 H, HaflHin.tfcH B STECX MaTpnua. Peuienne njiyyaetch H3 CHcreivibi cnpimtehhm OTHOCJIIUHXCH K BCeM paccmatphbaemłim l'apmohh^ieckhm COCTaBJIHIOmilM. TCH MeTOfl npenenerw; K3<ł>d_)HLiileHTOB flhhamhieckoh nflatjihbctii BMecre c MacnHHBiM CJIOSM Ha OCHOBC pe3yjibtatob M3mepeHHH icjiesamiił BannpBaa npii H3BeerHbi B3MymeHiw, npiikjiafltibaembi B JIIO6MX TOMica BannpBfla. Summary FORCED VIBRATIONS OF SHAFTINGS WITH ASYMMETRY OF A BENDING RIGIDITY ON FLEXIBLE FOUNDATIONS. IDENTIFICATION METHOD OF THE DYNAMICAL RECEPTANCES OF SHAFTING FOUNDATIONS In this paper the peridically ecited vibratins f shaftings are cnsidered with the fleibility f an il film in bearings and f a fundatin taken int accunt. The derived frmulae are cncerned with uncupled bending, trsinal and lngitudinal vibratins gverned by linear partial differential equatins, fr which the symmetry f a bending rigidity is nt assumed. The size f system matrices is reduced by means f the transfer matrices related t slutin cefficients fr adjacent shaft pieces. Such transfer matrices have simpler frm then nes related t state vectrs and their multiplicatin in the case f shaft pieces with equal physical prperties can be replaced by adding arguments f functins eisting in these matrices. Slutins arc btained frm the set f cupled matri equatins relating t all the harmnics cnsidered. The identificatin methd f dynamical receptances f a fundatin tgether with an il film is presented which is based n measurements f shafting vibratins caused by knwn ecitatins being put in arbitrary shafting pints. POLITECHNIKA GDAŃ SKA INSTYTUT OKRĘ TOWY Praca zstał a zł ż naw Redakcji 16 stycznia 1978 r.