TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej
ĆWICZENIE 5 BADANIE STABILNOŚCI UKŁADÓW ZE SPRZĘŻENIEM ZWROTNYM 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest ugruntowanie wiadomości z zakresu elementarnej teorii sprzężenia zwrotnego oraz zbadanie za pomocą kryterium Bodego i Nyquista stabilności prostych układów ze sprzężeniem zwrotnym. 2. Wprowadzenie 2.1. Zarys ogólnej teorii sprzężenia zwrotnego Sprzężenie zwrotne może być zdefiniowane w sposób ogólny jako oddziaływanie odpowiedzi układu na pobudzenie- sygnał wejściowy. Na rysunku 1 przedstawiono uproszczony schemat blokowy układu ze sprzężeniem zwrotnym, w którym można wyróżnić dwie części, czwórnik aktywny i pasywny układ sprzężenia zwrotnego. i i + f o K f β Rysunek 1. Ogólny schemat układu ze sprzężeniem zwrotnym. Na podstawie rysunku możemy zapisać: f = β + ( = K i f gdzie: K transmitancja czwórnika aktywnego (transmitancja z otwartą pętlą sprzężenia zwrotnego) β - transmitancja pętli sprzężenia zwrotnego Na podstawie powyższych wzorów po przekształceniach można wyznaczyć transmitancje układu ze sprzężeniem zwrotnym ) 2
K f = i K = 1 βk Wielkość βk nazywa się transmitancją pętli lub wzmocnieniem pętli sprzężenia zwrotnego. Transmitancję tę ze znakiem minus nazywamy stosunkiem zwrotnym T = - βk a wielkość F = 1- βk różnicą zwrotną. Jeżeli moduł różnicy zwrotnej jest większy od jedności 1 - βk > 1 to mówimy, że jest to ujemne sprzężenie zwrotne w przeciwnym przypadku mówimy o dodatnim sprzężeniu zwrotnym 1 - βk < 1. We wzorze na transmitancje układu ze sprzężeniem zwrotnym występuje w mianowniku czynnik 1 - βk, wskazuje to na możliwość wystąpienia osobliwości, gdy βk = 1 wówczas wzmocnienie staje się nieograniczone, co w fizycznych układach oznacza niestabilność. 2.2. Stabilność układów ze sprzężeniem zwrotnym W projektowaniu układów ze sprzężeniem zwrotnym bardzo ważnym zagadnieniem jest zapewnienie stabilności. Dla sprawdzenia czy układ ze sprzężeniem zwrotnym będzie stabilny należy posłużyć się odpowiednim kryterium. Można zastosować w tym celu algebraiczne kryterium Routha-Hurwitza jednak znacznie wygodniej jest skorzystać z kryterium Nyquista lub Bodego. Kryterium Nyquista Układ stabilny z otwartą pętlą sprzężenia zwrotnego pozostanie stabilny po zamknięciu pętli, jeżeli wykres transmitancji pętli βk przy zmianie pulsacji od -ω do ω, nie obejmuje punktu krytycznego 1 + j. a) Im (K β ) b) Im (K β ) ω = ω = 1+j Re (K β) 1+j Re (K β) c) Im (K β ) ω = 1+j Re (K β) Rysunek 2. Wykresy Nyquista transmitancji pętli układu ze sprzężeniem zwrotnym a) stabilnego, b) warunkowo stabilnego, c) niestabilnego. 3
Kryterium Bodego Układ z jednopętlowym sprzężeniem zwrotnym jest bezwzględnie stabilny, jeżeli przy pulsacji ω T, przy której moduł stosunku zwrotnego jest równy zero decybeli, nachylenie charakterystyki modułu stosunku zwrotnego jest, co do wartości bezwzględnej mniejsze od 4dB/dek. a) b) K β db -2dB/dek -4dB/dek -6dB/dek K β db -2dB/dek ω T ω ω T ω Rysunek 3. Wykresy Bodego stosunku zwrotnego układów: a) niestabilnego, b) stabilnego 3. Opis układu pomiarowego Uproszczony schemat blokowy badanego obwodu zamieszczono na rysunku 4. Składa się on z trzech układów całkujących odseparowanych separatorami oraz wzmacniacza o przełączanym wzmocnieniu ( -1 lub 1). Pozwala to na realizacje układów o funkcji transmitancji jedno, dwu lub trójbiegunowej. Odpowiednią liczbę biegunów osiąga się poprzez załączanie kondensatorów w układach całkujących. Wzmacniacz oraz separatory zostały zrealizowane przy wykorzystaniu układu µa741. We β Wy -1 R 1 R 2 R 3 (-1) C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 R 1 = R 2 = R 3 = lk, C l = C 2 = C 3 = C 4 = C 5 = C 6 = 33nF. Rysunek 4. Schemat badanego układu 4
4. Program ćwiczenia a) Pomierzyć charakterystyki amplitudowe i fazowe badanego układu bez biegunów z otwartą pętlą sprzężenia zwrotnego. W celu realizacji pomiaru należy przełącznik wzmocnienia pierwszego wzmacniacza ustawić na 1 oraz odłączyć wszystkie kondensatory układu całkującego. b) Pomierzyć charakterystyki amplitudowe i fazowe badanego układu z jednym, dwoma i trzema biegunami z otwartą pętlą sprzężenia zwrotnego. Odpowiednią liczbę biegunów otrzymuje się poprzez załączenie kolejnych kondensatorów w układach całkujących. c) Zbadać doświadczalnie stabilność układów po zamknięciu pętli sprzężenia zwrotnego. Obserwacje należy przeprowadzić dla układu bez biegunów oraz z jednym, dwoma i trzema biegunami. W celu realizacji pomiaru należy przełącznik wzmocnienia pierwszego wzmacniacza ustawić na 1. Następnie jedno wyjście układu zewrzeć z wejściem a drugie podłączyć na wejście oscyloskop. 5. Opracowanie wyników. a) Na podstawie pomiarów z punktu 4a i 4b wykreślić wykresy Nyquista wzmocnienia pętli dla wszystkich pomierzonych układów. b) Na podstawie pomiarów z punktu 4a i 4b wykreślić wykresy Bodego modułu stosunku zwrotnego dla wszystkich pomierzonych układów. c) Korzystając z kryterium Nyquista określić na podstawie wykresów stabilność wszystkich badanych układów. d) Korzystając z kryterium Bodego określić na podstawie wykresów stabilność wszystkich badanych układów. e) Porównać wyniki otrzymane w punkcie 5c i 5d z pomiarami stabilności wykonanymi w punkcie 4c. f) Skomentować otrzymane wyniki. 6. Pytania kontrolne a) Narysować ogólny schemat układu ze sprzężeniem zwrotnym. b) Napisać ogólne wyrażenie na transmitancję układu ze sprzężeniem zwrotnym. c) Omówić kryterium Bodego badania stabilności układów ze sprzężeniem zwrotnym. d) Omówić kryterium Nyquista badania stabilności układów ze sprzężeniem zwrotnym. 5