Elementy teorii przeżywalności

Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1.1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 8 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 3 lat 3. P-two, że noworodek dożyje wieku 5 4. P-two, że noworodek umrze między 2 a 5 rokiem życia 5. P-two, że noworodek umrze między 5 a 9 rokiem życia 6. P-two, że noworodek umrze między 2 a 5 rokiem życia pod warunkiem, że umrze między 1 a 5 rokiem życia 7. P-two, że noworodek umrze między 15 a 45 rokiem życia, o ile umrze przed 8-tką 8. P-two, że noworodek umrze między 1 a 2 rokiem życia pod warunkiem, że umrze między 15 a 25 rokiem życia Zadanie 1.2 Przeczytaj 1. 2. 3. F (5) F (13) F (6) F (1) F (8) F (2) s(15) s(16) s(26) 1 s(2) Zadanie 1.3 Zapisz symbolicznie 1. Prawdopodobieństwo, że 5-latek umrze w ciągu 5 lat 2. P-two, że 5-latek przeżyje co najmniej 1 lat 3. P-two, że 2-latek dożyje 8tki 4. P-two, że 3-latek nie dożyje 5tki 5. P-two, że 62-latek umrze w ciągu 4 lat 6. P-two, że 4-latek dożyje 9tki 7. P-two, że 2-latek umrze powyżej 5 roku życia 8. P-two, że 21-latek umrze przed 5tką 9. P-two, że noworodek dożyje wieku 56 1. P-two, że 53-latek dożyje co najmniej do 75 roku życia 11. P-two, że 53-latek umrze przed 75 rokiem życia 12. P-two, że 4-latek umrze przed 41 urodzinami 13. P-two, że 3-latek przeżyje rok 1

14. P-two, że noworodek umrze przed 4-tką 15. P-two, że 5-latek umrze w ciągu roku 16. P-two, że 4-latek dożyje 5-go roku życia 17. P-two, że 2-latek przeżyje 5 lat, ale umrze w ciągu następnych dwóch lat 18. P-two, że 5-latek przeżyje 1 lat, a następnie umrze w przeciągu 3 lat 19. P-two, że 3-latek przeżyje następnych 3 lat, ale nie przekroczy 8-tki 2. P-two, że 13-latek przeżyje 1 lat, ale umrze w ciągu roku Zadanie 1.4 Zapisz na trzy sposoby (przy użyciu p, s, F ) 1. P-two, że 6-latek przeżyje następnych 3 lat a następnie umrze w ciągu 3 lat 2. P-two, że 2-latek przeżyje 8 lat a następnie umrze w przeciągu 1 lat 3. P-two, że 16-latek przeżyje 6 lat a następnie umrze w ciągu roku 4. P-two, że 16-latek dożyje 6-tki a następnie umrze w ciągu roku Zadanie 1.5 Funkcja przeżycia dana jest wzorem s(x) = 1 1 1 x dla x [, 1]. Oblicz 1. P-two, że noworodek umrze między 46 a 75 rokiem życia 2. P-two, że 2-latek nie dożyje 5-tki 3. P-two, że 46-latek nie przeżyje kolejnych pięciu lat 4. P-two, że 19-latek umrze przed 64 rokiem życia 5. P-two, że 46-latek dożyje wieku 75 lat 6. P-two, że 21-latek dożyje wieku 4 lat i umrze przed ukończeniem 57 roku życia. Hipoteza jednostajnej umieralności w ciągu roku (UDD) (w książce Błaszczyszyna Rolskiego (HU)). Zakładamy, że rozkład zgonów między całkowitymi liczbami lat jest równomierny. Zakładamy: gdzie t [, 1) i x =, 1, 2... s(x + t) = (1 t) s(x) + t s(x + 1) Zadanie 1.6 Przy założeniu (UDD) wyznaczyć wzór na t q x oraz t p x. Zadanie 1.7 Zakładając (UDD) obliczyć prawdopodobieństwo, że siedemdziesięciolatek umrze między 7,5 a 71,5 rokiem życia, jeżeli q 7 =, 4, q 71 =, 5. Zadanie 1.8 Niech q x =, 559 oraz q x+1 =, 62. Zakładając (UDD) obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe, że (x)-latek przeżyje 1,2 roku pod warunkiem, że dożyje x +, 5 roku. Zadanie 1.9 Przyjmując założenie (UDD) wyznacz,5,3 q x+,4, gdy p x =, 989, p x+1 =, 986. Zadanie 1.1 Niech p x =, 989 oraz p x+1 =, 987. Przyjmując założenie (UDD) oblicz 1.,5,8 q x 2

2.,7,6 q x 3.,6 p x+,7 Zadanie 1.11 Niech q x =, 88 oraz p x+1 =, 93. Przyjmując założenie (UDD) oblicz 1,5 q x+,2. Zadanie 1.12 Przyjmując hipotezę jednostajnej umieralności obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba w wieku 85 lat umrze między 85,5 a 86,5 rokiem życia wiedząc, że q 85 =, 14921 oraz q 86 =, 1629. Funkcja intensywności wymierania µ, wskaźnik przyszłej długości życia e x trwanie życia) oraz przeciętne całkowite dalsze trwanie życia e x (przeciętne dalsze µ x = f(x) s(x) = F (x) s(x) = (1 s(x)) s(x) tp x = e x x+t µ ydy e x = E(T x ) = tp x dt = e x = E(K x ) = k+1p x = k= = s(x) s(x) ω x ω x 1 k= tp x dt = ( ln s(x)) k+1p x Zadanie 1.13 Przyszły czas życia noworodka ma rozkład wykładniczy z parametrem,1. Obliczyć: 1. Prawdopodobieństwo śmierci nie później niż w 45 roku życia 2. P-two dożycia 8 lat a kolejno śmierci w ciągu roku 3. P-two śmierci między 45 a 8 rokiem życia Zadanie 1.14 Znaleźć l t, jeśli l = 1 i µ = at. Zadanie 1.15 Funkcja przeżycia dana jest wzorem s(x) = 1 1 1 x dla x [, 1]. Oblicz 1. 17 p 19 2. 15 13 q 36 3. f(36) 4. µ 5 5. E(X) Zadanie 1.16 Funkcja intensywności wymierania dana jest wzorem µ x+t = 1 85 t + 3 15 t. Oblicz 1. P (T x > 2) 2. 3 p x Zadanie 1.17 Wiedząc, że dla danej populacji z wiekiem granicznym 1 funkcja intensywności wymierania dana jest wzorem µ x = 2 1 dla x (, 1). Oblicz prawdopodobieństwo, że 4 1 x 24 x letnia osoba umrze między 55 a 74 rokiem życia. 3

Zadanie 1.18 W populacji z wiekiem granicznym 11 funkcja natężenia wymierania populacji dana jest wzorem µ x = 2 dla x >. Wyznaczyć przeciętne trwanie życia 5-letniej osoby z tej populacji. 11 x Zadanie 1.19 W populacji A intensywność zgonów jest dana wzorem µ A z = 1 dla x < 1, a w 1 x populacji B wzorem µ B x = n dla x < 1, gdzie n jest parametrem. Wiadomo ponadto, że ludzie 1 x z populacji A mają przed sobą przeciętnie o 1% więcej życia, niż ludzie z B w tym samym wieku. Oblicz n. Zadanie 1.2 Funkcja µ x =, 1x opisuje natężenie zgonów. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba obecnie w wieku 45 lat umrze między 55 a 75 rokiem życia. Zadanie 1.21 Wiadomo, że przeciętna liczba dożywających wieku x l x = 121 x dla x [, 121]. Obliczyć prawdopodobieństwo, że 21-latek dożyje wieku 4 lat i umrze przed ukończeniem 57 roku życia. Zadanie 1.22 Wyznaczyć prawdopodobieństwo przeżycia przez osobę 55-letnią co najmniej 1 lat, jeśli analogiczne prawdopodobieństwo dla osoby 25-letniej wynosi,8 oraz intensywność zgonów opisuje funkcja µ x = kx dla x >. Zadanie 1.23 Intensywność zgonów opisuje funkcja µ x+t = be x+t, gdzie b >. Dla jakiej wartości parametru b prawdopodobieństwo tego, że 3 -latek przeżyje następnych 1 lat, po czym umrze w ciągu kolejnych 5 lat, wynosi r, oraz prawdopodobieństwo 1 p 3 = 5r. Zadanie 1.24 Intensywność zgonów opisuje funkcja µ x = x. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, 1 że osoba w wieku 15 lat umrze między trzydziestym piątym a czterdziestym piątym rokiem życia. Zadanie 1.25 Wyznacz prawdopodobieństwo przeżycia przez osobę (55) co najmniej 1 lat, jeżeli analogiczne prawdopodobieństwo (25) jest równe,8 oraz funkcja intensywności wymierania jest postaci µ x = kx dla x >. Zadanie 1.26 Oczekiwane dalsze całkowite trwanie życia (x) wynosi 28,5. Znajdź prawdopodobieństwo p x jeśli wiadomo, że e x+1 = 27, 7. Zadanie 1.27 (*) Funkcja natężenia wymierania pewnej populacji z wiekiem granicznym 12 dana jest wzorem 2, dla x (, 3] 9 x µ x = 1, dla x (3, 12]. 12 x Obliczyć 1 p 2, 1 p 3, 2 p 2. Wyznaczyć przeciętne dalsze trwanie życia 5-letniej osoby z tej populacji populacji oraz przeciętne dalsze trwanie życia 2 letniej osoby z tej populacji. Prawa wymierania Prawo de Moivre a (istnieje wiek ω oraz rozkład dalszego trwania życia jest jednostajny). Dla x [, ω) µ x = 1 ω x, ω x wtedy s(x) = w Prawo Gompertza (natężenie zgonów jest wykładnicze) gdzie B >, x >, c > 1 µ x = Bc x wtedy s(x) = e B ln c (cx 1) 4

Zadanie 1.28 Przy założeniach de Moivre a wyznacz wzory na t p x, t q x, e x, e, e x, e. Zadanie 1.29 Oblicz 1 p x jeśli wiadomo, że (x) pochodzi z populacji de Moivre a o wieku granicznym ω oraz e x = 37. Zadanie 1.3 W danej populacji śmiertelnością rządzi prawo de Moivre a z wiekiem granicznym ω. O wieku x wiadomo, że osoby w tym wieku umierają w ciągu doby dwa razy rzadziej niż osoby dwukrotnie starsze. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x dożyje wieku 2x. Zadanie 1.31 Obliczyć p 1, p 2, p 3, p 4 przyjmując, że rozkład trwania życia noworodka podlega prawu Gompertza z parametrami B =, 26155, c = 1, 7826. Zadanie 1.32 Niech µ 2 =, 5644 oraz µ 3 =, 132678 i rozkład trwania życia noworodka podlega prawu Gompertza. Obliczyć 1 p 25. Hipotezy interpolacyjne Jednostajna umieralność w ciągu roku (UDD) - patrz zadania 6-12 s(x + t) = (1 t) s(x) + t s(x + 1) Stała intensywność wymieralności (CFM) Dla każdego t (, 1) wtedy µ x+t = µ x = µ. s(x + t) = s(x) 1 t s(x + 1) t Hipoteza Balducciego (B) - Prawdopodobieństwo tego, że (x) umrze przed końcem n-tego roku, pod warunkiem, że przeżyje część t tego roku, jest proporcjonalne do pozostałej części roku tj. 1 t. Dla t (, 1) 1 s(x + t) = (1 t) 1 s(x) + t 1 s(x + 1) Zadanie 1.33 Wyznacz wzory na t p x, t q x zakładając 1. (CFM) 2. (B) Zadanie 1.34 Rozwiąż zadania 7-12 zakładając zamiast (UDD) odpowiednio (CFM), następnie (B). Zadanie 1.35 Przyjmując założenie, że natężenie wymierania jest przedziałami stałe, wyznaczyć,5,3q x+,4 jeśli dane są p x =, 989 oraz p x+1 =, 986. Zadanie 1.36 Dane jest q x =, 88 oraz p x+1 =, 93. Oblicz 1,5 q x+,2 przy założeniu o jednostajnym rozkładzie zgonów w ciągu roku. Zadanie 1.37 Przyjmując założenie o stałej intensywności wymierania wyznaczyć,7,6 q x jeśli dane są p x oraz p x+1. Zadanie 1.38 Przyjmując założenie o stałej intensywności wymierania wyznaczyć,4,8 q x jeśli dane są q x oraz 2 p x. Zadanie 1.39 Mając dane p x =, 99 oraz p x+1 =, 94 obliczyć prawdopodobieństwo,6 p x+,7 stosując hipotezę Balducciego oraz założenie o stałej intensywności wymierania w ciągu roku. 5

Zadanie 1.4 Znajdź µ 65,25 założeniach jeśli rozkład obciętego czasu życia jest dany przez TTŻ-PL97k przy 1. (UDD) 2. (CFM) 3. (B) Zadanie 1.41 Wiedząc, że p x =, 989, p x+1 =, 987 obliczyć,5,8 q x przy założeniu (UDD) i Balducciego i porównać wyniki. Wskazać większy. Zadanie 1.42 Zakładając, że natężenie śmiertelności jest stałe dla x 6 oraz e 6 = 25 obliczyć p 73. Zadanie 1.43 Zakładając, że intensywność śmiertelności jest stała dla x 5 oraz e 5 = 4, obliczyć p 6. Zadanie 1.44 Zakładając, że natężenie śmiertelności jest stałe dla x 42 i e 42 = 4 obliczyć 35 p 52 Zadanie 1.45 Obliczyć q x jeśli wiadomo, że,3 q x obliczone przy założeniu (UDD) stanowi,9 wartości tego prawdopodobieństwa obliczonego przy założeniu hipotezy Balducciego. Zadanie 1.46 Zakładając (UDD) oblicz P (T (3) > 1, 25) wiedząc, że 1 p 3 =.99 oraz q 4 =, 15. Zadanie 1.47 1 osób urodzonych 1 września 1939 roku spotkało się 1 stycznia 1997 roku. Ile z nich stawi się najprawdopodobniej na umówione spotkanie 1 września 27 roku, jeśli jedyną przyczyną nieobecności może być śmierć? Zakładamy, że ich życia są niezależne oraz p 57 =.9, 9 p 58 =.4, p 67 =.85. Zakładamy (UDD). Zadanie 1.48 Przyjąć (UDD) i obliczyć 1 1,5 q 3 wiedząc, że l 3 = 523, l 4 = 436, l 41 = 427, l 42 = 417. Zadanie 1.49 Wiedząc, że zachodzi (CFM) na podstawie TTŻ-PL97k znaleźć,5 q 56 oraz µ 58,75 Zadanie 1.5 Obliczyć,5 q 56, 2p 56,5 i 2 q 56,5 zakładając, że prawo życia jest opisane przez TTŻ- PL97k oraz 1. (UDD) 2. (CFM) Zaobserwować niewielkie różnice wyników obliczonych przy różnych hipotezach. Zadanie 1.51 Wiedząc µ x+t = k dla t [, 1] oraz, że 1 4 q x =, 6 1 2 q x obliczyć 3 q 4 x+ 1 8 Zadanie 1.52 W populacji osób urodzonych 1 stycznia dla pewnego wieku x prawdopodobieństwo q x =, 6. Podaj, dla którego dnia roku (1 rok=365 dni) nastąpi zrównanie prawdopodobieństwa śmierci t q x, t [, 1) wyznaczonego przy hipotezie Balducciego z prawdopodobieństwem przeżycia t p x wyznaczonym przy jednostajnym rozkładnie zgonów w x-tym roku. Zadanie 1.53 Wiedząc, że oczekiwane dalsze trwanie życia jest równe e x = 28, 5, e x+1 = 27, 7 wyznaczyć p x przy założeniu (UDD). Znając p x oraz e x+1 obliczyć e x przy założeniach (UDD). 6

Znając p x oraz e x obliczyć e x+1 przy założeniach (UDD). Zadanie 1.54 Jaka jest oczekiwana liczba osób z populacji miliona trzydziestopięciolatków, które umrą po ukończeniu 36 lat i 4 miesięcy życia przed ukończeniem 37 lat i 8 miesięcy? Przyjmujemy założenie Balducciego oraz, że jeden miesiąc to 1 roku. Dane są również 12 Podać najbliższą wartość. q 35 = 3 1 3, q 36 = 6 1 3, q 37 = 9 1 3. Zadanie 1.55 Wiadomo, że dla pewnego x prawdopodobieństwo,6 q x obliczone przy założeniu hipotezy Balducciego jest równe,85. Obliczyć,6 p x przy założeniu o stałej intensywności wymierania w ciągu roku. Zadanie 1.56 Oblicz prawdopodobieństwo,3,8 q x przy założeniu hipotezy Balducciego, jeśli wiadomo, że q x =, 559 oraz 2 q x =, 62. Zadanie 1.57 Obliczyć prawdopodobieństwo p x, wiedząc, że prawdopodobieństwo,3 q x obliczone przy założeniu hipotezy Balducciego jest o 14% większe niż prawdopodobieństwo,3 q x obliczone przy założeniu UDD. Zadanie 1.58 Wiadomo, że dla pewnego wieku x prawdopodobieństwo,7 p x obliczone przy założeniu UDD jest równe prawdopodobieństwu,3 p x obliczonemu przy założeniu hipotezy Balduciego. Oblicz prawdopodobieństwo,5 p x przy założeniu o stałym wymieraniu w ciągu roku. Zadanie 1.59 W populacji z nieprzekraczalnym wiekiem 1 funkcja natężenia wymierania jest dana wzorem µ = 1 1+x. Obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba 6-letnia dożyje wieku 6 + e 6. 7

Ubezpieczenia Zadanie 2.1 Zapisz jakiego rodzaju ubezpieczenia dotyczy podane oznaczenie. 1. A 4 2. A x 3. A 2 4. A x 5. A 1 4:1 6. A 1 14:25 7. A 1 x:n 8. A 1 4:1 9. A 1 14:25 1. A 1 x:n 11. A 1 4:1 12. A 1 12:15 13. A 1 x:n 14. A 12:15 15. A 55:2 16. A x:n 17. A 12:15 18. A 55:2 19. A x:n Zadanie 2.2 Zapisz odpowiednie oznaczenie 1. jednorazowa składka netto w bezterminowym ubezpieczeniu sześćdziesięciolatka płatnym 1 na moment śmierci 2. JSN w bezterminowej polisie dla (x)-latka płatnej 1 na koniec roku śmierci 3. jednorazowa składka netto w dwudziestoletnim ubezpieczeniu na życie czterdziestolatka ze świadczeniem płatnym 1 na moment śmierci 4. jednorazową składkę netto w piętnastoletnim ubezpieczeniu na życie (55)-latka ze świadczeniem płatnym 1 na koniec roku śmierci 5. jednorazowa składka netto w piętnastoletnim ubezpieczeniu na życie i dożycie płatnym w momencie śmierci z sumą ubezpieczenia 1 dla osoby w wieku 45 lat 8

6. jednorazowa składka netto dla ubezpieczenia pięćdziesięciolatka, któremu wystawiono dziesięcioletnią polisę na życie i dożycie gwarantującą wypłatę 1 w chwili śmierci lub dożycia 6 lat A x:n = A x:n = A x = n n 1 k= v t f Tx dt = A 1 x:n = n v t tp x µ x+t dt v t tp x µ x+t dt A 1 x:n = vn np x v t tp x µ x+t dt + v n np x = A 1 x:n + A 1 x:n A x = v k+1 kp x q x+k k= n 1 A 1 = x:n k= v k+1 kp x q x+k v k+1 kp x q x+k + v n np x = A 1 x:n + A 1 x:n Zadanie 2.3 Obliczyć jednorazową składkę netto w bezterminowym ubezpieczeniu płatnym na moment śmierci, jeśli wiadomo, że ubezpieczony (x)-latek pochodził z populacji wykładniczej z parametrem µ =, 1. Wykonać obliczenia dla i = 5%. Zadanie 2.4 Obliczyć jednorazową składkę netto w bezterminowym ubezpieczeniu na życie (x)-latka płatnym w momencie śmierci z sumą ubezpieczenia 2. Funkcja natężenia zgonów jest w danej populacji stała i wynosi µ =, 6. Natężenie oprocentowania δ =, 5. Zadanie 2.5 Wyznaczyć JSN w bezterminowym ubezpieczeniu na życie x-latka ze świadczeniem 1 płatnym w chwili śmierci. Funkcja natężenia zgonów jest w danej populacji stała i wynosi µ =, 4. Natężenie oprocentowania δ =, 6. Zadanie 2.6 Obliczyć JSN ubezpieczenia (x)-latka płaconego 5 w momencie śmierci jeżeli wiadomo, że natężenie oprocentowania δ =, 1, zaś gęstość rozkładu zmiennej losowej T x dana jest wzorem t, dla t 1 g(t) = 5, dla t > 1. Zadanie 2.7 Na osobę w wieku x wystawiono bezterminową polisę dającą wypłatę 48 w momencie śmierci. Dalsze trwanie życia x-latka opisuje funkcja gęstości: t + 1, dla t 1 f(t) = 6, dla t > 1. Wyznacz JSN przy natężeniu oprocentowania δ =, 2. Zadanie 2.8 Mając dane z tablic d 4 = 421, l 4 = 9412, d 41 = 46, d 42 = 5 obliczyć A 1 4:3 przy 1. i = 4%, 9

2. i = 12%. Zadanie 2.9 Mając dane (z TTŻ-PL97m) l 44 = 9287, l 4 = 9412 oraz wiedząc, że A obliczyć obowiązującą stopę procentową. 1 4: 4 =, 8 Zadanie 2.1 Obliczyć jednorazową składkę netto w dwudziestoletnim ubezpieczeniu na życie czterdziestolatka z populacji de Moivere a z wiekiem granicznym ω = 1 ze świadczeniem 15 płatnym na koniec roku śmierci. Stopa procentowa i = 5%. Zadanie 2.11 Obliczyć jednorazową składkę netto w piętnastoletnim ubezpieczeniu na życie (55)- latka z populacji de Moivere a z wiekiem granicznym ω = 12 ze świadczeniem 15 płatnym na koniec roku śmierci. Stopa procentowa i = 5%. Zadanie 2.12 Zakładając prawo de Moivere a z wiekiem granicznym ω = 1. Obliczyć JSN w dwudziestopięcioletnim ubezpieczeniu na życie płatnym w momencie śmierci z sumą ubezpieczenia 1 dla w wieku trzydziestu pięciu lat. Natężenie oprocentowania δ =, 6. Zadanie 2.13 Rozważmy polisę 25-latka, z której wypłaca się świadczenie na moment śmierci. Do wieku 5 lat suma ubezpieczenia jest równa 1, gdy śmierć nastąpi między 5 a 67 rokiem życia to świadczenie jest równe 5, natomiast po 67 roku życia wypłacana jest kwota 3. Obliczyć JSN za tę polisę przyjmując, że ubezpieczony pochodzi z populacji de Moivre a z wiekiem granicznym ω = 1, zaś natężenie oprocentowania δ =, 2. Zadanie 2.14 W populacji A funkcja natężenia wymierania jest stała i wynosi µ >. Dla (x)-latka z populacji A JSN w bezterminowym ubezpieczeniu na życie wypłacającym 1 w momencie śmierci jest równa 429. Podaj JSN dla analogicznego ubezpieczenia dla (x)-latka w populacji B, w której intensywność wymierania jest dwukrotnie wyższa przy założeniu, że natężenie oprocentowania jest o połowę niższe. Zadanie 2.15 (*) Bezterminowe ubezpieczenie na życie daje wypłatę 1 w momencie śmierci. Odchylenie standardowe wartości obecnej tej wypłaty jest równe JSN w tym ubezpieczeniu. Oblicz JSN, jeśli wiadomo, że długość życia rozważanej populacji ma rozkład wykładniczy. Zadanie 2.16 Obliczyć A 3:1 przy i = 4%, gdy przyszły czas życia jest oparty na TTŻ-PL97m. Zadanie 2.17 Zakładając prawo de Moivere a z wiekiem granicznym ω = 1 oblicz jednorazową składkę netto w piętnastoletnim ubezpieczeniu na życie i dożycie płatnym w momencie śmierci z sumą ubezpieczenia 1 dla osoby w wieku 45 lat. Natężenie oprocentowania δ =, 5. Zadanie 2.18 Na pięćdziesięciolatka wystawiono dziesięcioletnią polisę na życie i dożycie gwarantującą wypłatę 1zł w chwili śmierci lub dożycia 6 lat. Wyznacz jednorazową składkę netto dla ubezpieczenia jeśli wiadomo, że ubezpieczony pochodzi z populacji de Moivere a z wiekiem granicznym ω = 11 lat, zaś natężenie oprocentowania wynosi,5. Zadanie 2.19 W 25-letnim ubezpieczeniu na życie i dożycie dla 45-latka z populacji de Moivre az wiekiem granicznym 15 lat świadczenie płatne jest na moment śmierci lub dożycia wieku 7 lat. Suma ubezpieczenia jest równa 15 w przypadku śmierci oraz 24 w przypadku dożycia wieku 7 lat. Napisać wzór na wartość obecną tego świadczenia i obliczyć JSN za tę polisę przyjmując, że natężenie oprocentowania δ =, 3. 1

Zadanie 2.2 Rozważmy dwudziestoletnie ubezpieczenie na życie i dożycie dla (x)-latka z populacji wykładniczej z parametrem µ =, 7. Świadczenie śmiertelne płatne jest na moment śmierci. Jeśli śmierć nastąpi w ciągu pierwszych dziesięciu lat to suma ubezpieczenia jest równa 2zł. Jeśli śmierć nastąpi w ciągu następnych 1 lat, to świadczenie wzrośnie do 25zł, natomiast jeżeli ubezpieczony dożyje wieku x + 2, to wówczas suma ubezpieczenia wynosi 3zł. Natężenie oprocentowania δ =, 3. Napisz wzrór na wartość obecną tego świadczenia i oblicz JSN za tę polisę. Zadanie 2.21 Osoba pięćdziesięcioletnia z populacji de Moivere a z ω = 1 zakupiła bezterminowe świadczenie na życie płatne w momencie śmierci. Jeśli ubezpieczony umrze przed ukończeniem sześćdziesiątego roku życia, to suma ubezpieczenia jest równa 1 1t 2, gdzie t jest czasem jaki upłynął od momentu podpisania umowy. Jeśli umrze później, to suma ubezpieczenia jest równa 9. Napisać wzór na wartość obecną świadczenia i obliczyć JSN przyjmując δ =, 95. Zadanie 2.22 Zapisz jakiego rodzaju ubezpieczenia dotyczy podane oznaczenie. 1. m A x 2. m A x 3. m n A x 4. m n A x 5. (I A) x 6. (IA) x 7. (IA) 1 x:n 8. (I A) 1 x:n 9. (IA) x 1. (IA) 1 x:n 11. (DA) 1 x:n 12. (D A) 1 x:n 13. (DA) 1 x:n m na x = (I A) x = (I A) x = (IA) x = m+n 1 k= k=m v k+1 kp x q x+k t v t tp x µ x+t dt [t + 1] v t tp x µ x+t dt (k + 1)v k+1 kp x q x+k 11

n (I A) 1 = x:n t v t tp x µ x+t dt n 1 (IA) 1 = (k + 1)v k+1 x:n kp x q x+k (D A) x = k= (n [t]) v t tp x µ x+t dt n 1 (DA) 1 = (n k)v k+1 x:n kp x q x+k k= Zadanie 2.23 Wiadomo, że A 1 x:2 =, 3. Wyznaczyć JSN (DA)1 x:2 jeśli (IA)1 x:2 =, 8(DA)1 x:2. Zadanie 2.24 Mając dane (DA) 1 = 1, 2362 ze świadczeniem płatnym na koniec roku śmierci oraz x:1 A 1 =, 221, v =, 95, q x:1 x =, 241, q x+1 =, 54, 1 q x =, 2946 wyznaczyć (DA) 1. x+1:1 Zadanie 2.25 Dla ubezpieczenia dziesięcioletniego kredytu zawarto dziesięcioletnie ubezpieczenie na życie. Wyznacz JSN, jeśli świadczenie jest płatne na moment śmierci, suma ubezpieczenia maleje jednostajnie wraz z upływem czasu od 1 do oraz δ =, 4, µ x+1 = 1 dla < t 1. 5 Zadanie 2.26 Na (x)-latka wystawiono polisę, która po 15 latach odroczenia daje trzydziestoletnie ubezpieczenie na życie ze świadczeniem 1 płatnym na koniec roku śmierci. Wyznacz JSN za tę polisę, jeżeli µ x+t =, 6 dla t > oraz natężenie oprocentowania wynosi,9. Zadanie 2.27 W 1 letnim ubezpieczeniu na życie (x) ze świadczeniem płatnym na moment śmierci suma ubezpieczenia rośnie jednostajnie wraz z upływem czasu od 1zł do 5zł. Wyznaczyć JSN, jeżeli wiadomo, że funkcja natężenia zgonów w danej populacji jest stała i wynosi µ =, 4, zaś δ =, 6. Zadanie 2.28 Osoba (4)-letnia z populacji de Moivere a z wiekiem ω = 12 zakupiła bezterminowe ubezpieczenie na życie. Suma ubezpieczenia płatna na moment śmierci jest równa 1(3 + t), gdzie t jest czasem jaki upłynął od podpisania na nią umowy. Obliczyć JSN jeśli δ =, 5. Zadanie 2.29 W bezterminowym ubezpieczeniu na życie 4-latka z populacji de Moivre a z wiekiem granicznym 115 lat świadczenie śmiertelne płatne na koniec roku śmierci jest równe 1 w ciągu pierwszych 25 lat i rośnie o 5 w każdą 25-tą rocznicę podpisania umowy. Napisać wzór na na wartość obecną tego świadczenia i obliczyć JSN za tę polisę, jeśli wiadomo, że natężenie oprocentowania δ =, 5 (UDD) (UDD) A x = i δ A x A 1 x:n = i δ A1 x:n (UDD) (IA) 1 x:n = i δ (IA)1 x:n Rekurencja A x = vq x + vp x A x+1 Rekurencja (IA) x = vq x + vp x (A x+1 + (IA) x+1 ) 12

Funkcje komutacyjne D x = v x l x, C x = v x+1 d x, M x = w x 1 C x+k. A x = M x D x m A x = M x+m D x A 1 x:n = D x+n D x A 1 x:n = M x M x+n D x A x:n = M x M x+n + D x+n D x Zadanie 2.3 Obliczyć JSN dla 15-letniego ubezpieczenia (45)-latka na życie i dożycie wypłacającego 1 w chwili śmierci lub dożycia 6 lat mając dane v =, 9, D 45 = 15664, 31, M 45 = 5937, 8375, M 6 = 3948, 3771, 15 p 45 =, 75. Zakładamy (UDD) Zadanie 2.31 Rozwiąż Zadanie 2.16 używając funkcji komutacyjnych. Zadanie 2.32 Wypłata 1zł na koniec 2 roku, gdy (x)-latek żyje. Zwrot JSN na koniec roku śmierci w wysokości π jeśli umarł przed upływem tego czasu. Wyrazić π przez funkcje komutacyjne. Zadanie 2.33 W dwudziestoletnim ubezpieczeniu na życie (x)-latka świadczenie jest płatne na moment śmierci. Suma ubezpieczenia rośnie jednostajnie z upływem czasu od 1 do 7. Wyznaczyć JSN jeśli wiadomo, że natężenie zgonów w danej populacji jest stałe i wynosi µ =, 4 a natężenie oprocentowania δ =, 6. Zadanie 2.34 Zapisać za pomocą funkcji komutacyjnych JSN dla polisy dla 4-latka, z której wypłaca się 2C na koniec roku śmierci do wieku 65 lat, natomiast C, gdy śmierć nastąpiła po 65 roku życia. Zadanie 2.35 Oblicz JSN za bezterminowe ubezpieczenie na życie (41)-latka gwarantujące wypłatę 1 na koniec roku śmierci, jeśli wiadomo, że analogiczna składka dla osoby rok młodszej jest o 3% tańsza, i = 4%. Ponadto dane są wartości funkcji komutacyjnych D 4 = 19528, D 41 = 18744. Zadanie 2.36 Obliczyć JSN dla 15-letniego ubezpieczenia 45-latka na życie i dożycie wypłacającego 1 w chwili śmierci lub dożycia 6 lat, jeśli dane są v =, 9, 15 p 45 =, 79, D 45 = 15664, 31, M 45 = 5937, 8375, M 6 = 3948, 3771. Zakładamy UDD. Zadanie 2.37 Wyznaczyć JSN w bezterminowym ubezpieczeniu 25 latka ze świadczeniem 1 płatnym na koniec roku śmierci mając dane (IA) 24 =, 6461, (IA) 25 =, 6818, q 24 =, 18 oraz δ =, 9. Zadanie 2.38 Wyznaczyć A 77 mając dane A 76 =, 8, D 76 = 4, D 77 = 36 oraz i = 3%. Zadanie 2.39 W populacji de Moivr a z wiekiem granicznym ω mamy e 32 = 34. Obliczyć A 3 2 przyjmując, że i = 2%. Zadanie 2.4 Przeczytaj zadanie 2.2. Oblicz roczną składkę netto za opisaną w nim polisę, płaconą w stałej wysokości w formie renty dyskretnej z góry przez cały okres ważności polisy. Oblicz rezerwę składek netto po 1 latach, przy założeniu, że ubezpieczony żyje. k= 13

3 Renty Zadanie 3.1 Napisz czym są poniższe oznaczenia 1. a T (x) 2. a x 3. a 2 4. a T (x) n 5. a x:n 6. a 4:5 7. m a x 8. 15 a 2 a x = v t tp x dt a x = 1 A x δ a x:n = n v t tp x dt a x:n = 1 A x:n δ m a x = a x a x:n m a x = A x:m A x δ m a x = v m mp x a x+m Zadanie 3.2 Oblicz JSN renty dożywotniej ciągłej dla dwudziestolatka z populacji de Moivre a z ω = 11 i δ =, 3. Zadanie 3.3 Oblicz JSN renty dożywotniej ciągłej dla (4) z populacji z rozkładem wykładniczym dla µ =, 8 i δ =, 4. Zadanie 3.4 Znając JSN w bezterminowym ubezpieczeniu płatnym 1 w chwili śmierci dla 6 latka oraz JSN dożywotniej renty ciągłej dla tej osoby wyznaczyć i. Zadanie 3.5 Znając JSN w bezterminowym ubezpieczeniu płatnym 1 na koniec roku śmierci dla (5) obliczyć JSN dożywotniej renty ciągłej dla tej osoby. Dane jest natężenie oprocentowania δ. Zakładamy UDD. Zadanie 3.6 Wyznacz JSN w rencie ciągłej piętnastoletniej wypłacającej z intensywnością 1 na rok dla 45-latka z populacji de Moivre a z wiekiem granicznym ω = 15, δ =, 4. Zadanie 3.7 Oblicz JSN w dwudziestoletniej rencie ciągłej dla (5) znając D 7, D 5 oraz A 1 5:2. Zakładamy UDD, i = 4%. 14

Zadanie 3.8 Rozważmy dożywotnią rentę ciągłą dla 45-latka z populacji de Moivre a z wiekiem granicznym 9 lat, odroczoną o 2 lat płatną z intensywnością 15 na rok. Napisz wzór na wartość obecną renty i obliczyć JSN za tę polisę, przyjmując, że natężenie oprocentowania δ =, 3. Zadanie 3.9 JSN na dożywotnią rentę ciągłą dla (x)-latka odroczoną o 15 lat jest o 45% niższa od JSN na dożywotnią rentę ciągłą dla osoby w wieku x + 15 z tej samej populacji. Obliczyć 15 p x jeśli składki kalkulowano przy technicznej stopie procentowej i = 4%. Zadanie 3.1 Wyznaczyć JSN dla dożywotniej renty ciągłej dla (26) odroczonej na 2 lat płacącej z intensywnością 1zł na rok, i = 4%, D 26 = 3577, D 45 = 15664, D 46 = 14957, M 46 = 5938. Zakładamy UDD. Zadanie 3.11 Wyznaczyć JSN dla dożywotniej renty ciągłej dla (26) odroczonej na 2 lat płacącej z intensywnością 1zł na rok, i = 4%, D 26 = 3577, D 45 = 15664, D 46 = 14957, M 45 = 5938. Zakładamy UDD. Zadanie 3.12 Napisz co czym są poniższe oznaczenia 1. ä K(x)+1 2. ä x 3. ä 2 4. a K(x) 5. ä K(x)+1 n 6. ä x:n 7. ä 4:2 8. a x:n 9. a 4:5 1. m ä x 11. 15 ä 2 ä x = v k kp x k= ä x = 1 A x d a x = ä x 1 ä x:n = n 1 k= v k kp x ä x:n = 1 A x:n d n a x:n = v k kp x k=1 m a x = a x a x:n 15

m ä x = A x:m A x d m ä x = v m mp x ä x+m ä x = 1 + vp x ä x+1 ä x = N x D x a x = N x+1 D x ä x:n = N x N x+n D x a x:n = N x+1 N x+n+1 D x Zadanie 3.13 Wyznaczyć JSN dla dożywotniej renty dla 52-latka płacącej 1zł na początku każdego roku życia. Stopa procentowa i = 4%. Ponadto dane są: D 52 = 15664, D 53 = 14957, M 53 = 5938. Zadanie 3.14 Wyznaczyć JSN dla 5-letniej renty na życie dla (65) płacącej 1 na koniec każdego roku. Mamy dane D 64 = 5484, D 65 = 518, D 66 = 4745, D 67 = 4397, D 68 = 462, D 69 = 3742, D 7 = 3436. Zadanie 3.15 Wyznaczyć JSN dla pięcioletniej renty z góry dla osoby w wieku 5 lat płacącej 1 na początku roku. Dane i = 4%, l 5 = 87731, l 51 = 86793, l 52 = 85791, l 53 = 84722, l 54 = 83586. Zadanie 3.16 Osobie (35) wystawiono polisę na dożywotnią rentę odroczoną na 25 lat płatną w wysokości 1 na początek roku. Wyznacz JSN jeśli wiadomo, że A 1 35:25 =, 1135, ä 35 = 9, 78, 25 p 35 =, 74, i =, 1. Zadanie 3.17 Wyznaczyć JSN dla dożywotniej renty dla (46) płacącej 2zł na początku każdego roku życia. Stopa procentowa i = 4%. Ponadto dane są: D 45 = 11161, D 46 = 1598, M 45 = 4976. Zadanie 3.18 Korzystając z tablic funkcji komutacyjnych obliczyć A 2 i ä 2 dla i = 4%. Zadanie 3.19 Obliczyć a 4, a 4:2 oraz 2 ä 4 korzystając z funkcji komutacyjnych oraz wiedząc, że i = 4%. Zadanie 3.2 Obliczyć JSN dla następującej renty (3). Jeśli żyje pod koniec pierwszego roku, to wyłata wynosi 1. Jeśli żyje pod koniec drugiego roku wypłata wynosi 3. Jeśli żyje pod koniec trzeciego roku, to wypłat wynosi 6. Obliczenia dokonaj dla TTŻ-PL97m oraz 4%. Zadanie 3.21 Osoba urodzona 2 lipca w wieku x+ 1 rozpoczyna 2 letnią rentę życiową, wypłacającą 2 1zł każdego 2 stycznia (od zaraz). Podaj JSN wiedząc, że jeśli ä x:2 = 7, 8149, 2 q x =, 97, q x =, 55, i =, 5 oraz śmiertelność w ciągu każdego roku ma rozkład jednostajny. Zadanie 3.22 (*) Osoba urodzona 1 lipca zawarłą 1 października w wieku x + 1 lat ubezpieczenie 4 rentowe na 3 wypłaty po 1zł płatne w kolejne 3 daty 1 stycznia. Podaj JSN za to ubezpieczenie, jeśli q x = q x+1 =, 12, q x+2 =, 16, v =, 95 oraz śmiertelność w ciągu każdego roku ma rozkład zgodny z hipotezą Balducciego. Zadanie 3.23 JSN na dożywotnią rentę z góry dla (x+15) stanowi 2,5 raza JSN dla bezterminowej renty dla (x) odroczonej na 15 lat i płacącej 1 na początku każdego roku. Oblicz 15 p x wiedząc, że i = 5%. 16

Zadanie 3.24 Dane są następujące wartości dla i =, 3 Obliczyć p 73. x 72 73 74 75 ä x 8,6 7,73 7,43 7,15 t rata t+1p x 2,8 Zadanie 3.25 Dana jest 3 letnia renta dyskretna z góry dla (x) taka, że 1 3,75 2 4,5 prawdopodobieństwo, że wartość obecna tych płatności przekroczy 4. Wiemy, że i =, 1. Wyznacz Zadanie 3.26 Dla 4 letniej renty na życie dla (6) płacącej 1 na koniec każdego roku życia wyznacz x 6 61 62 63 64 65 JSN. Mamy dane i = 4% oraz l x 7545 73295 71452 69517 67491 65373. Zadanie 3.27 Napisać wzór na wartość obecną 2-letniej renty z dołu oraz JSN dla wypłat w/g t rata 1, 2, 3 1 tabeli 4, 5, 6 12 7, 8,...2 15 Zadanie 3.28 Zakładając prawo de Moivre a z ω = 4, obliczyć JSN następującego ubezpieczenia życiowo- rentowego: jeśli ubezpieczony noworodek umrze przed upływem 2 lat, to wypłata 1 jest płatna na koniec roku śmierci. Po upływie 2 lat jest wypłacana renta w wysokości 1 na początku każdego roku życia. Przeprowadzić obliczenia dla δ =, 2. Zadanie 3.29 Obliczyć 2 a 45, jeśli wiadomo, że A 1 45:2 =, 1365, ä 45 = 15, 144, 2 p 45 =, 69 oraz i = 4%. Zakładamy UDD. 17

4 Składki i Rezerwy Zadanie 4.1 Wiedząc, że P = wartość oczekiwane wartości obecnej gwarantowanego świadczenia wartość oczekiwana wartości obecnej wpłat napisz czym są poniższe oznaczenia oraz podaj wzór na ich obliczanie. 1. P x 2. P 1 x:n 3. P 1 x:n 4. P x:n 5. k P x 6. P (A x ) 7. P (A x ) 8. P (A x:n ) 9. P (A x:n ) 1. P (A x ) 11. n P (A x ) 12. r P x:n 13. r P (A x:n ) Zadanie 4.2 Znając wartość A x oraz i obliczyć P (A x ). Zadanie 4.3 Znając wartość A x oraz i obliczyć P (A x ). Zakładamy UDD. Zadanie 4.4 Znając wartości A x oraz i obliczyć P x. Zadanie 4.5 Znając wartości A 1 1:2, A 1 1:2 oraz i obliczyć P 1:2. Zadanie 4.6 Polisa bezterminowa dla 4-latka z populacji wykładniczej z µ =, 4 gwartantuje wypłatę 1 na koniec roku śmierci. Składki pobierane są na początku każdego roku. Oblicz P 4 jeśli wiadomo, że δ =.5. Zadanie 4.7 Polisa bezterminowa dla 3-latka z populacji de Moivre a z ω = 11 gwartantuje wypłatę 1 na koniec roku śmierci. Składki pobierane są na początku każdego roku. Oblicz P 3 jeśli wiadomo, że δ =.5. Zadanie 4.8 (2)-latek z populacji o stałym µ =, 1 kupuje polisę na dożycie, z której ubezpieczenie wypłaci 1 w wieku 5. Ubezpieczony płaci składki w sposób ciągły przez cały okres trwania polisy. Oblicz intensywność tych składek wiedząc, że δ =.4. Zadanie 4.9 (2)-latek z populacji o stałym µ =, 1 kupuje polisę na dożycie, z której ubezpieczenie wypłaci 1 w wieku 5. Ubezpieczony płaci składki w formie renty dyskretnej z góry przez cały okres trwania polisy. Oblicz składkę netto wiedząc, że δ =.4. 18

Zadanie 4.1 Na (4)-latka z populacji de Moivre a z ω = 9 wystawiono polisę, która jeśli śmierć nastąpi w wieku 4 + t wypłaca 1 e 4+t. Podaj roczną intensywność składki w tym ubezpieczeniu. Zadanie 4.11 W pełni ciągłym modelu składki netto przyjęto stałe natężenie zgonów µ x = µ oraz daną sumę µ + δ =, 1. Obliczyć składkę P (A x:1 ). tv (A x ) = A x+t P (A x ) a x+t tv = A x+t P x ä x+t tv ( A 1 ) 1 x:n = A x+t:n t P ( A 1 x:n ) ax+t:n t tv x:n = A 1 x+t:n t P x:n ä x+t:n t Zadanie 4.12 Wykupiono polisę na całe życie ze składką roczną płatną na początku każdego roku dopóki ubezpieczony żyje wynoszącą 1zł. Na jaką sumę ubezpieczewnia została wypisana polisa jeśli i = 4% oraz przyjęto śmiertelność w/g TTŻ-PL97m? Obliczyć rezerwę netto po pierwszym roku. Przyjąć x = 3. Zadanie 4.13 Mając dane i = 5%, ä x+k = 2, 8, k V (A x ) =, 52. Obliczyć P (A x ). Zakładamy UDD. Zadanie 4.14 W pełni dyskretnym modelu ubezpieczenia na życie dla (x) mamy dane i = 5%, ä x+k = 2, 8, k V x =, 52. Obliczyć P x. Zadanie 4.15 Mając dane i = 4%, ä x = 1, 7, 2 p x =, 92, A 1 x:2 =.8 obliczyć 2V (A x ). Zakładamy UDD. Zadanie 4.16 Wyznaczyć JSN na 2-letnie ubezpieczenie na życie i dożycie dla (45) jeśli wiadomo, że A 55:1 =, 76 i 1 V 45:2 =.3782. Zadanie 4.17 Obliczyć 2 V 25 jeśli wiadomo, że 1 V 25 =, 1 i 1 V 35 =, 2. Zadanie 4.18 W ubezpieczeniu na całe życie (5) ze świadczeniem w wysokości 1 wypłacanym w momencie śmierci stała roczna składka opłacana jest w formie renty ciągłej. Wyznacz poziom rezerwy składek netto po 25 latach ubezpieczenia, jeśli dane są δ =, 1, t p 5 = 1 t dla t (, 5] oraz 5 tp 75 = 1 t dla t (, 25]. 25 Zadanie 4.19 Osoba x-letnia zakupiła dożywotnią rentę ciągłą odrocznoną o 2 lat płatną z intensywnością 12 na rok. Wyznaczyć roczną składkę netto za tę polisę, płaconą w jednakowej wysokości na początku każdeego roku przez cały okres odroczenia, jeśli wiadomo, że funkcja natężenia wymierania µ x+t =, 4 dla t >, zaś techniczna stopa procentowa i = 4%. Zadanie 4.2 Jednorazowa składka netto za dożywotnią rentę z góry dla 47-latka jest o 18% wyższa od analogicznej składki dla osoby o 2 lat starszej. Obliczyć rezerwę 2 V 47. Zadanie 4.21 W 3-letnim ubezpieczeniu życiowym (45) świadczenie śmiertelne jest płacone w momencie śmierci lub dożycia wieku 75 lat. Wynosi ono 2 w ciągu pierwszych 1 lat oraz 15 w ciągu pozostałych dwudziestu lat. Jeśli ubezpieczony dożyje wieku 75 lat, to ubezpieczyciel wypłaci kwotę 25. Składka za to ubezpieczenie jest płacona w jednakowej wysokości na początku każdego roku ważności polisy. Wyznaczyć tę skąłdkę, przyjmując, że ubezpieczony pochodzi z populacji wykładniczej z parametrem µ =, 8, zaś natężenie oprocentowania jest równe δ =, 2. 19

Zadanie 4.22 35-latek z populacji wykładniczej z parametrem µ =, 8 zakupił dożywotnią rentę odroczoną o 3 lat płatną z intensywnością 2 na rok. Wyznaczyć roczną składkę netto za tę polisę, płaconą w jednakowej wysokości na początku każdego roku przez cały okrez odroczenia. Natężenie oprocentowania δ =, 2. Zadanie 4.23 Mając dane i = 4%, ä x+2 = 17, 2 p x =, 92, A 1 x:2 =.22 obliczyć P (A x). Zakładamy UDD. Zadanie 4.24 Wyznaczyć JSN za bezterminowe ubezpieczenie na życie dla (x) ze świadczeniem płatnym na koniec roku śmierci jeśli wiadomo, że JSN za analogiczne ubezpieczenie dla osoby o 2 lat starszej jest równa,56548 zaś 2 V x =,34463. Zadanie 4.25 Rozważmy bezterminowe ubezpieczenie dla (x) z populacji wykładniczej z parametrem µ =, 6. Świadczenie śmiertelne płatne na moment śmierci jest równe 2(2 + t), gdzie t jest czasem jaki upłynął do podpisania umowy. Napisać wzór na wartość obeną tego świadczenia i obliczyć roczną składkę netto za tę polisę, płacona na początku każdego roku, dopóki (x) żyje. Natężenie oprocentowania δ =, 9. Zadanie 4.26 (*) W 3-letnim ubezpieczeniu na życie osoby 25-letniej świadczenie w wysokości 1 płatne jest na koniec roku śmierci. Zakładmay, że δ =, 1 oraz funkcja natężenia wymierania µ x = 1. Wyznaczyć składkę netto płaconą na początku każdego roku przez cały okres ważności 12 x polisy. 2