WIELOŚCIANY I BRYŁY OBROTOWE Uczeń: Wskazuje i oblicza kąty między ścianami wielościanu, między ścianami i odcinkami oraz między odcinkami takimi jak krawędzie, przekątne, wysokości Wyznacza związki miarowe w wielościanach i bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii Zadanie Graniastosłup ma 66 krawędzi Ile ścian bocznych ma ten graniastosłup? Zadanie Ile wierzchołków ma ostrosłup, który ma 44 krawędzie? Zadanie Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości Wysokość stożka jest równa 8 Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka Zadanie 4 Przekątna sześcianu ma długość 8 Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu Zadanie 5 Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 8 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem Zadanie 6 60 Oblicz objętość graniastosłupa Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoboczny o boku długości 5 cm Przekątna ściany bocznej jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem Zadanie 7 45 Oblicz objętość tego graniastosłupa Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość a i jest dwa razy krótsza niż krawędź boczna tego ostrosłupa a) Wyznacz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa b) Oblicz objętość tego ostrosłupa Zadanie 8 Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią boczną tego ostrosłupa kąt taki, że cos 0,8 Krawędź podstawy ma długość 6 cm Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa Zadanie 9 Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 6 Ściany boczne tego ostrosłupa tworzą z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 0 a) Oblicz objętość ostrosłupa b) Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa Zadanie 0 Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 0, a krawędź boczna Oblicz: a) sinus kąta, jaki tworzy krawędź boczna z krawędzią podstawy
b) kosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa c) kosinus kąta, jaki tworzy ściana boczna z podstawą ostrosłupa Zadanie a) Narysuj ostrosłup prawidłowy czworokątny b) Zaznacz w nim kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy c) Mając dane: długość krawędzi podstawy 6 m i długość wysokości bryły 4 m, oblicz: tangens wcześniej zaznaczonego kąta, objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, ile m blachy potrzeba na oklejenie dachu w kształcie tego ostrosłupa? Zadanie Wyznacz podaną wielkość z danego wzoru: a) h, P a 4ah b) a, V a h Zadanie Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb o boku długości Krawędź boczna AS ma długość 4 i jest jednocześnie wysokością tego ostrosłupa Długości pozostałych trzech krawędzi bocznych są równe (zobacz rysunek) Oblicz objętość tego ostrosłupa Zadanie 4 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej jest równy 0 Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy Zadanie 5 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest razy dłuższa od wysokości ostrosłupa poprowadzonej na tę podstawę Wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy Zadanie 6 Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6 Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 5 Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa Zadanie 7 Objętość walca, którego wysokość ma długość 8, jest równa 50 Oblicz pole przekroju osiowego tego walca
Zadanie 8 Powierzchna boczna walca po rozwinięciu na płaszczyźnie jest prostokątem o bokach 8 i Oblicz długość promienia podstawy tego walca Zadanie 9 Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o polu 45, którego podstawa ma długość 0 Oblicz: a) objętość stożka, b) pole powierzchni bocznej stożka Zadanie 0 Promień podstawy walca ma długość Przekątna przekroju osiowego walca tworzy z podstawą walca kąt o mierze Zadanie 60 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość walca a) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość stożka o promieniu podstawy r wiedząc, że tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem b) Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem, którego przekątna długości 8 tworzy z bokiem, Zadanie który jest wysokością walca, kąt o mierze 60 Oblicz objętość walca Oblicz pole powierzchni bocznej stożka o wysokości i objętości Zadanie 6 Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, którego bok ma długość 4cm Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego stożka Zadanie 4 Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest ćwiartką koła o promieniu 8 cm Oblicz wysokość tego stożka Zadanie 5 Kula ma objętość Zadanie 6 6 cm Oblicz promień tej kuli W stożku różnica długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 6 Cosinus kąta między tworzącą a płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy 5 Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka Zadanie 7 Tworząca stożka ma długość 7, a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka
STATYSTYKA Uczeń: Oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych Zadanie Oblicz średnią arytmetyczną i wyznacz medianę podanego zestawu danych: a),, 4, 5, 6, 7, 8 b) 4, 9,, 8,,,, 6, 4,, 9, Zadanie Oblicz a wiedząc, że średnia arytmetyczna zestawu danych,, 4,, 4, a, 7, jest równa,75 Zadanie Oblicz średnią arytmetyczną i medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności Wartość 0 Liczebność 4 Zadanie 4 a) Średnia wieku rodziców i ich dwójki dzieci jest równa lata Gdyby uwzględnić wiek dziadka, to średnia wieku wszystkich pięciu osób byłaby równa lat Oblicz, ile lat ma dziadek b) W klasie jest 0 dziewcząt i chłopców Średnia wzrostu dziewcząt wynosi 67,7 cm, a średnia wzrostu chłopców 76,5 cm Oblicz średnią wzrostu uczniów tej klasy c) Każdy z dziesięciu skoczków narciarskich oddał jeden skok Średnia długość skoku wyniosła 6 m Najlepszy skoczek z tej grupy osiągnął odległość 4 cm Oblicz średnią długość skoków pozostałych dziewięciu skoczków Zadanie 5 Oblicz średnią ważoną liczb, 5, 9 z wagami równymi odpowiednio: a) 0,7; 0,; 0, b) 5; ; Zadanie 6 Oblicz wariancję i odchylenie standardowe podanego zestawu danych:,, 4,, 5, Zadanie 7 Rolnik 0% zbiorów truskawek sprzedał po zł za kilogram, 50% zbiorów po,60 zł za kilogram i 0% zbiorów po,0 zł za kilogram Jaką średnią cenę za kilogram uzyskał rolnik? Zadanie 8 W pewnym szpitalu badano wagę noworodków przebywających na oddziale położniczym Uzyskano wagi (w kg):,7; 4,0;,5;,7;,5;,8;,5;,6;,9;,5; 4,5;,;,6; 4,;,;,8;,5;,4;,7; 5,0;,4;,6;,8;,6; 4,; 4,8;,0; 4,4;,0;, a) Podaj najczęściej występującą wagę noworodka b) Podaj wagę środkową noworodka na tym oddziale c) Oblicz średnią wartość wagi noworodków 4
d) Oblicz, jaki procent liczby noworodków ma wagę powyżej 4 kg Zdanie 9 Diagram kołowy przedstawia wyniki pewnej pracy klasowej z matematyki w klasie, która liczy 6 dziewcząt i 9 chłopców a) Uzupełnij tabelę Ocena 4 5 6 Liczba uczniów b) Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę wszystkich ocen Zadanie 0 Wykonano pomiary wysokości czterech krzeseł i każde dwa rezultaty były różne Adam zapisał wyniki w metrach i odchylenie standardowe jego danych było równe A Bogdan zapisał te wyniki w centymetrach i odchylenie standardowe jego danych było równe B Wynika stąd, że: A A 0 B, B A 00 B, C 0 A B, D 00 A B Zadanie Rzucono 00 razy sześcienną kostką do gry Średnia arytmetyczna liczb oczek w pierwszych 40 rzutach była równa,75, a średnia arytmetyczna liczb oczek w kolejnych 60 rzutach była równa 4,5 Średnia arytmetyczna liczb oczek w 00 rzutach jest : A mniejsza od 4 B równa 4 C równa 4,05 D większa od 4,05 Zadanie Adam otrzymał z trzech kolejnych klasówek następujące oceny: 6, 4, 4 Oblicz, jaką ocenę otrzymał Adam z czwartej klasówki, jeżeli odchylenie standardowe otrzymanych ocen jest równe 6 5
KOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Uczeń: Zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych Stosuje zasadę mnożenia Wykorzystuje sumę, iloczyn i różnicę zdarzeń do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń Oblicza prawdopodobieństwo zdarzeń losowych na podstawie definicji klasycznej Oblicza prawdopodobieństwa zdarzeń za pomocą drzewka Zadanie Używając cyfr należących do zbioru {0,,,, 4, 5} zapisujemy liczbę czterocyfrową o niepowtarzających się cyfrach Oblicz, ile możemy zapisać: a) liczb czterocyfrowych, b) liczb większych od 4999, c) takich liczb, że cyfra tysięcy i cyfra dziesiątek jest nieparzysta, a pozostałe dwie są parzyste, d) liczb podzielnych przez 5 Zadanie Liczb naturalnych trzycyfrowych, w zapisie których każda cyfra występuje co najwyżej raz oraz suma cyfry setek i cyfry jedności jest równa 4, jest: A mniej niż 4 B dokładnie 4 C dokładnie D więcej niż Zadanie Ile jest wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych, w zapisie których każda cyfra jest inna, żadna nie jest zerem oraz jedną z cyfr jest dziewiątka? A 56 B 68 C 6 D 504 Zadanie 4 Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 0 Zadanie 5 Na okręgu zaznaczono 6 punktów Ile jest wszystkich odcinków o końcach w tych punktach? Zadanie 6 Ze zbioru {,,, 4, 5, 6, 7} losujemy trzy cyfry ze zwracaniem i zapisujemy je w kolejności wylosowania, otrzymując liczbę trzycyfrową Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby: a) podzielnej przez 5, b) parzystej, c) większej od 00 Zadanie 7 W urnie jest pięć kul ponumerowanych:,,, 4 i 6 Losujemy dwie kule bez zwracania Wylosowane kolejno cyfry tworzą liczbę dwucyfrową a) wypisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, b) wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom: 6
A wypadła liczba większa od 0, B wypadła liczba podzielna przez 6 c) wyznacz: A B, A B, B \ A d) oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń A i B Zadanie 8 Rzucamy dwiema kostkami do gry Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że iloczyn oczek na tych kostkach będzie równy? Zadanie 9 W pudełku są piłki zielone i 7 białych Wyciągamy losowo jedną piłkę, zatrzymujemy ją, a następnie losujemy drugą Narysuj drzewo obrazujące to doświadczenie Zadanie 0 Rzucamy najpierw monetą, a potem kostką sześcienną do gry Wypisz zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia oraz narysuj drzewo obrazujące to doświadczenie Zadanie Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry Oblicz prawdopodobieństwo, że suma otrzymanych oczek nie będzie mniejsza od Zadanie Na parterze 6-pietrowego biurowca do windy wsiadły cztery osoby Oblicz prawdopodobieństwo tego, że każda osoba wysiadła z windy na innym piętrze Zadanie Zdarzenia losowe Zadanie 4 Niech A i B oraz B A Wiedząc, że A 4PA, 9 A Wiedząc, że P A B 0,, oblicz A P, oblicz A P P Zadanie 5 Ze zbioru liczb {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} losujemy jedną Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby nieparzystej lub liczby pierwszej Zadanie 6 Ze zbioru liczb {,,, 4} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb nieparzystych Zadanie 7 W urnie jest 6 kul białych i pewna liczba kul niebieskich Oblicz, ile jest kul niebieskich, jeżeli prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tej urny wynosi Zadanie 8 Rzucamy trzy razy monetą Które zdarzenie jest bardziej prawdopodobne: wypadną dwa orły czy wypadną co najmniej dwie reszki? 7
Zadanie 9 a) Przy danych: P ( A), P( A B), P( A B) Oblicz: P(B ) b) Oblicz P( A B), jeżeli wiadomo, że Zadanie 0 P ( A), P( B) oraz P( A B) 4 Bartek ma dwa pudełka z samochodzikami W pierwszym pudełku znajdują się samochodziki zielone, 4 czerwone i srebrne W drugim pudełku znajdują się samochodziki zielone, czerwone i 5 srebrnych Z każdego pudełka Bartek wyjmuje losowo po jednym samochodziku Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch samochodzików w takim samym kolorze Zadanie W pudełku jest 8 klocków: 5 czerwonych i zielone Z pudełka losujemy dwa razy bez zwracania po jednym klocku Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy: a) dwa klocki zielone, b) klocki różnych kolorów Zadanie Z cyfr,,,4,5,6 losujemy bez zwracania dwie Oblicz prawdopodobieństwo, że suma pierwszej i podwojonej drugiej jest liczbą parzystą Zadanie Z pojemnika, w którym jest pięć losów: dwa wygrywające i trzy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego Zadanie 4 Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 8 lub liczbę podzielną przez Zadanie 5 Ze zbioru sześciu liczb naturalnych,,,4,5,6 losujemy dwie różne liczby Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba 4 8
PODSTAWOWE WIADOMOŚCI Z DZIAŁÓW: Liczby rzeczywiste, wiadomości o funkcjach, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa, wielomiany, funkcja wymierna, funkcja wykładnicza, logarytmy i własności logarytmów, ciągi liczbowe, trygonometria, planimetria, geometria analityczna Zadanie Oblicz: 4 a) 5, b) 4 8 Zadanie Oblicz: a) 8, c), d) 4 6, 8 b) liczbę odwrotną do liczby a, Zadanie Przedstaw w postaci potęgi: a) 7 9 8 b ) 9, c) 5 5 Zadanie 4 00 99 98 Wykaż, że liczba 6 6 0 6 jest podzielna przez 7 Zadanie 5 Dane są ; A, B 4;8 Wyznacz: a) A B b) A B c) A B d) B A e) B N Zadanie 6, gdzie N zbiór liczb naturalnych a) O ile procent liczba 0 jest mniejsza od 65? b) O ile procent zmieni się pole prostokąta, jeżeli dłuższy bok zmaleje o 0%, a krótszy zwiększy się o 0%? c) Dany jest prostokąt o bokach a i b Zmniejszamy długość boku a o 0% oraz zwiększamy długość boku b o 0% Wyznacz stosunek b a, jeśli wiadomo, że otrzymany prostokąt ma taki sam obwód jak prostokąt wyjściowy d) Cenę jabłek zmniejszono najpierw o 0%, a potem zwiększono o 8% Czy cena uległa zmianie? O ile procent? e) Po dwóch obniżkach o 0% za każdym razem cena sukienki wyniosła 0 zł Oblicz, ile kosztowała sukienka przed obniżkami f) Na wycieczkę pojechało 7 dziewcząt, które stanowiły 4,75% liczby wszystkich uczestników wycieczki Ile osób pojechało na wycieczkę? 9
g) Towar z podatkiem 7% VAT kosztuje 00 zł Ile będzie kosztował ten sam towar, jeżeli podatek VAT zostanie podwyższony o punkty procentowe? h) Kwotę 000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4% w stosunku rocznym Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 9% Oblicz kwotę, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku i) W klasie jest cztery razy więcej chłopców niż dziewcząt Ile procent wszystkich uczniów tej klasy stanowią dziewczęta? Zadanie 7 a) Przybliżenie z niedomiarem liczby a wynosi 8 Błąd względny przybliżenia jest równy 4% Oblicz liczbę a b) Liczba 5 jest przybliżeniem z niedomiarem liczby x Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy 0,4 Oblicz liczbę x Zadanie 8 a) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą Wybierz największą z spośród liczb: f (4), f (44), f (45), f (48) b) Funkcja f, określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich, przyporządkowuje liczbie x ostatnią cyfrę jej kwadratu Wyznacz zbiór wartości funkcji f c) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej dwucyfrowej kwadrat sumy cyfr tej liczby Oblicz f(4) Zadanie 9 Wyznacz dziedzinę funkcji: a) f ( x) 6x, x b) f ( x), x 9 x c) f ( x) x 6 Zadanie 0 Liczba - jest miejscem zerowym funkcji f ( x) x mx x Oblicz współczynnik m Zadanie Dla jakiej wartości m punkt ;6 P należy do wykresu funkcji f ( x) ( 5m 6) x 7? Zadanie Podaj dziedzinę, zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności funkcji: 0
Zadanie Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji y f (x) Naszkicuj wykres funkcji g oraz podaj jej dziedzinę i zbiór wartości jeśli: a) g( x) f ( x), c) g( x) f ( x), b) g( x) f ( x), d) g ( x) f ( x ) Zadanie 4 Oblicz miejsca zerowe funkcji Zadanie 5 x dla x 0 f ( x) x dla x 0 Dla jakiej wartości m funkcja f ( x) (8m 4) x m jest malejąca? Zadanie 6 x x 6 x 4 a) Rozwiąż równanie i podaj jego dziedzinę: 0 x b) Rozwiąż nierówność: x x i zbiór rozwiązań tej nierówności zapisz za pomocą przedziału Podaj największą liczbę całkowitą nie spełniającą tej nierówność c) Zbiorem rozwiązań nierówności ax 6 0 z niewiadomą x jest przedział ; 4 Wyznacz a, Zadanie 7 Napisz wzór funkcji liniowej, jeżeli ( ) Zadanie 8 f oraz do wykresu tej funkcji należy punkt ; Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y 0 Zadanie 9 Dla jakiej wartości m proste y ( m ) x i y ( m ) x są prostopadłe? Zadanie 0 Rozwiąż nierówności: a) x 6x 7 0, b) x 5x e) x 4x x x, c) 5x 5 0 P x i przechodzącej przez punkt ; x, d) x 4x 4 0 P
Zadanie a) Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f ( x) x 4x w przedziale 0 ; b) Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f ( x) x 6x w przedziale 0 ; Zadanie a) Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, jeżeli ma dwa miejsca zerowe x, x 4 i do jej wykresu należy punkt 0; P b) Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej, jeżeli punkt ; 9 oraz ; 8 P należy do jej wykresu c) Dla jakiej wartości m największa wartość funkcji ( x) x m 4 f wynosi? W jest wierzchołkiem paraboli d) Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział ;, a wartość -5 osiąga ona dla dwóch argumentów: i 0 e) Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f ( x) x x c jest przedział (; 7 współczynnika c f) Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej f ( x) ax bx c, przechodzi przez punkt ;0 Oblicz wartość A oraz f ( ) f () 0 Oblicz odległość wierzchołka paraboli od początku układu współrzędnych g) Dana jest funkcja kwadratowa f ( x) x 4x 0 Dla jakiej wartości m prosta y m nie ma z wykresem funkcji f punktów wspólnych h) Funkcja kwadratowa f(x) dla x przyjmuje wartość największą równą 4 Do wykresu funkcji f Zadanie należy punkt A (; ) Zapisz wzór funkcji kwadratowej f(x) w postaci ogólnej W układzie współrzędnych narysowano część paraboli o wierzchołku w punkcie A 4; funkcji kwadratowej f, która jest wykresem Funkcja f może być opisana wzorem: A f ( x) x 4 B f ( x) x 4 Odpowiedź uzasadnij C f ( x) x 4 D f ( x) x 4
Zadanie 4 Wyznacz zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji : f, b) f ( x) x 6x 4 a) ( x) x 4 Zadanie 5 Wyznacz równanie osi symetrii paraboli y b) y x 4x a) x 5x Zadanie 6 W roku 05 na uroczystości urodzinowej ktoś spytał jubilata, ile ma lat Jubilat odpowiedział: jeżeli swój wiek sprzed 7 lat pomnożę przez swój wiek za 5 lat, to otrzymam rok swojego urodzenia Oblicz, ile lat ma ten jubilat Zadanie 7 a) Rozwiąż równanie x x 6x 0 5 b) Rozłóż na czynniki wielomiany W(x) i P(x), jeśli W( x) 5x 0x, P( x) 64x x 5 x c) Rozłóż na czynniki wyrażenie: Zadanie 8 W( x) ax x b i V( x) x x x są równe Oblicz a i b a) Wielomiany 4 b) Liczby - i są pierwiastkami wielomianu W( x) x x ax bx a Oblicz a i b Zadanie 9 x Wyrażenie zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów x x Zadanie 0 Rozwiąż równania: a) x x x x 5x 6, b) 0 x x x x, c) x, x x 6 d) Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które są rozwiązaniami równania: x x 4 Zadanie Funkcja wymierna f jest dana wzorem funkcja f przyjmuje wartość Zadanie x f ( x) x x Wyznacz wszystkie wartości argumentu, dla których x 6 W trójkącie dane są współrzędne wierzchołków: A 5;7, B ;, C 5; 9 a) wysokości poprowadzonej z wierzchołka A, b) symetralnej boku BC c) środkowej poprowadzonej z wierzchołka A, d) prostej równoległej do boku BC i przechodzącej przez wierzchołek A Napisz równanie:
Zadanie Wierzchołkami trójkąta są punkty 4;, B 5;, C ;6 Zadanie 4 Punkt M ; jest środkiem boku AB, a punkt N 8; boku kwadratu ABCD Zadanie 5 A Oblicz długość środkowej, to środek boku BC kwadratu ABCD Oblicz długość Napisz równanie środkowej CD trójkąta ABC, jeżeli ;, B 6;, C 7;0 Zadanie 6 A Napisz równanie wysokości trójkąta ABC poprowadzonej z punktu B, jeżeli 5; 6, B ;4, C ; Zadanie 7 Oblicz odległość punktu A od środka odcinka BC, gdzie ;, B 4;7, C ; Zadanie 8 Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach 4;, B ;, C 0; Zadanie 9 A A jest prostokątny Napisz równania osi symetrii odcinka AB, jeśli A ; 5, ;5 Zadanie 40 Punkty A a 4;6, 0;b Zadanie 4 Punkty A ; i 7;9 opisanego na tym prostokącie Zadanie 4 B B są symetryczne względem osi OX Oblicz a i b A B są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta Oblicz długość promienia okręgu Oblicz pole kwadratu ABCD, jeżeli A ;5, ; C Zadanie 4 W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty A ( ;5) i C (6;7) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu Wyznacz równanie prostej Zadanie 44 Oblicz długość wysokości trójkąta równobocznego ABC, jeżeli B ;, ; Zadania 45 Dla jakich wartości parametru m punkt S jest środkiem odcinka AB, jeżeli, 4k, B k ;, S ; A? Zadanie 46 Dane są punkty M ; i ; C N Punkt jest środkiem odcinka Wyznacz współrzędne obrazu punktu w symetrii względem początku układu współrzędnych 4
Zadanie 47 Dane są wierzchołki trójkąta ABC: A ;, B 9;5, C ;9 Z wierzchołka C poprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok AB w punkcie D Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt D i równoległej do boku BC Zadanie 48 Punkty A ; i B 9; są wierzchołkami trójkąta ABC, a punkt ;6 K jest środkiem boku AC Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej AB z wysokością tego trójkąta, poprowadzoną z wierzchołka C Zadanie 49 a) Kąt jest ostry i sin Oblicz tg 4 b) Wiedząc, że 0, 8 kąta tg i 90 ; 80, oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych 4 0 c) Zbadaj, czy istnieje kąt, który spełnia warunki: tg i sin 5 5 d) Dana jest liczba a sin 7 Zapisz liczbę tg 7 w zależności od a Zadanie 50 Drzewo rzuca cień długości m Oblicz wysokość drzewa wiedząc, że promienie słoneczne padają na płaszczyznę poziomą pod kątem Zadanie 5 0 W trójkącie prostokątnym długość przyprostokątnej leżącej przy danym kącie wynosi 0cm, a Oblicz długości pozostałych boków tego trójkąta Zadanie 5 Oblicz: a) sin 0 cos 0 sin 80, sin cos b), gdy tg, sin cos c) sin 5 tg50, 4 sin 5 d) Zadanie 5 n Ile wyrazów ujemnych ma ciąg a określony wzorem a n n n 4? Zadanie 54 n Wyznacz najmniejszy wyraz ciągu a określonego wzorem a n n 6n 7 Zadanie 55 Wyznacz wzór ogólny ciągu an oraz a 6, mając daną sumę n początkowych wyrazów tego ciągu S n n n Zadanie 56 Liczby, x, 8 są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego Oblicz x 5
Zadanie 57 Oblicz a 5 i a 6, jeżeli ciąg Zadanie 58 n n n n a jest określony wzorem an a) Oblicz sumę wszystkich parzystych liczb całkowitych dodatnich nie większych od 000 i niepodzielnych przez b) Wyrazami ciągu arytmetycznego są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę Zadanie 59 Ponadto a Oblicz a 5 Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego dla jest równa 564 Oblicz średnią arytmetyczną wyrazów a i a Zadanie 60 Oblicz dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego i S 5, jeżeli a 6 i a 5 Zadanie 6 Cena wymurowania pierwszego metra wynosi 540 zł Każdy następny metr jest droższy o 90 zł Ile wynosi koszt wybudowania komina o wysokości 0 m? Zadanie 6 Oblicz sumę 0 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ( a n ), jeśli a n n Zadanie 6 W ciągu arytmetycznym dane są wyrazy: a, a 9 Ile wyrazów tego ciągu należy do przedziału (0; 00)? 4 6 Zadanie 64 Znajdź wartość x, jeżeli liczby x 7, 5, 5 tworzą ciąg geometryczny Zadanie 65 W ciągu geometrycznym rosnącym pierwszy wyraz jest równy (-6), a siódmy wyraz jest równy Oblicz 4 kwadrat czwartego wyrazu Zadanie 66 W ciągu geometrycznym, w którym a,znane są wartości dwóch wyrazów : a k 6 i a k, gdzie k jest pewną liczbą całkowitą dodatnią Wyznacz wyraz a 0 Zadanie 67 Oblicz iloraz q ciągu geometrycznego ( a n ), mając dane a 6i a5 54 Zadanie 68 Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego ( a n ), jeśli a i a Zadanie 69 Kacper przez 5 dni zapisywał swoje wydatki Zauważył, że każdego dnia wydatki były niższe o 0% w stosunku do wydatków poprzedniego dnia Oblicz kwotę, jaką Kacper wydał w tym czasie, jeśli piątego dnia wydał 0,48 zł 6
Zadanie 70 n W ciągu geometrycznym a o różnych i niezerowych wyrazach różnica między wyrazami piątym i trzecim jest trzy razy większa niż różnica między wyrazami czwartym i trzecim Oblicz iloraz ciągu a Zadanie 7 x Sporządź wykres funkcji f ( x) a) Podaj zbiór wartości funkcji b) Oblicz miejsce zerowe funkcji c) Dla jakiego argumentu wartość funkcji wynosi 4? Zadanie 7 a) Jeżeli log a, wyraź log 4 za pomocą a b) Przyjmując, że log 5 a i log 7 b, wyraź za pomocą a i b wartość wyrażenia: log c) Zapisz za pomocą jednego logarytmu: log 4 d) Dane są liczby a log, b log Wyznacz logarytm dziesiętny z liczby 7 za pomocą a i b Zadanie 7 Oblicz x, jeżeli log x Zadanie 74 Oblicz: a) log 6 log 7 b) log 0, log0, 5 Zadanie 75 n c) log 6 log 4 d) log 5 9 (log 5 log 5 5) Czas połowicznego rozpadu pierwiastka to okres, jaki jest potrzebny, by ze 00% pierwiastka pozostało 50% tego pierwiastka Oznacza to, że ilość pierwiastka pozostała z każdego grama pierwiastka po x okresach rozpadu połowicznego wyraża się wzorem y W przypadku izotopu jodu I czas połowicznego rozpadu jest równy 8 dni Wyznacz najmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z g I nie więcej niż 0,5 g tego pierwiastka x 7 5 Zadanie 76 Kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku Suma ich miar jest równa środkowego Zadanie 77 Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych i liczbę przekątnych w ośmiokącie wypukłym Zadanie 78 50 Oblicz miarę kąta W trójkącie prostokątnym, przyprostokątne mają długości: 6 cm i 8cm Oblicz długość promienia okręgu opisanego i wpisanego w ten trójkąt 7
Zadanie 79 Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest o 4cm krótszy od promienia okręgu opisanego na tym trójkącie Oblicz długość wysokości i bok tego trójkąta Zadanie 80 Różnica miar kątów przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem, jest równa Oblicz miarę kąta przy krótszej podstawie Zadanie 8 a) Długości przekątnych rombu są w stosunku :, a jego pole jest równe Oblicz długość boku rombu b) Bok rombu ma długość 8 cm, a kąt ostry ma miarę 60 Oblicz długość wysokości tego rombu c) W rombie bok ma długość 7, jedna z przekątnych ma długość 0 Oblicz długość drugiej przekątnej Zadanie 8 Liczby 6, 0, c są długościami boków trójkąta równoramiennego Oblicz c Zadanie 8 Oblicz cosinus kąta ostrego rombu o boku cm i wysokości cm Zadanie 84 Ramiona trapezu maja długość i 6, a wysokość jest równa Oblicz pole tego trapezu, jeśli jego obwód jest równy Zadanie 85 Obwód czworokąta wypukłego ABCD jest równy 50 cm Obwód trójkąta ABD jest równy 46 cm, a obwód trójkąta BCD jest równy 6 cm Oblicz długość przekątnej BD Zadanie 86 Dany jest trójkąt ABC, w którym bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AC, sinus kąta BAC jest równy, a pole trójkąta jest równe 54 Oblicz długości boków AB i AC tego trójkąta Zadanie 87 Dany jest trójkąt równoramienny, w którym tangens kąta, jaki tworzy wysokość tego trójkąta opuszczona na podstawę z jego ramieniem, jest równy Oblicz pole trójkąta, wiedząc, że jego ramię ma długość 5 Zadanie 88 Dwa boki trójkąta mają długości 0 cm i cm, a jego pole jest równe 0cm Jaką miarę może mieć kąt tego trójkąta między danymi bokami? Zadanie 89 Boki trójkąta mają długość 7 cm, cm, 0 cm Oblicz: a) pole trójkąta b) długość promienia okręgu opisanego oraz wpisanego w ten trójkąt c) długość wysokości tego trójkąta opuszczonej na najkrótszy bok Zadanie 90 Pole trapezu jest równe 0cm, a wysokość jest równa 5cm Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu 40 8
Zadanie 9 W trapezie prostokątnym kąt ostry ma miarę długość dłuższej podstawy tego trapezu Zadanie 9 Trójkąt T jest podobny do trójkąta T w skali trójkątat jest równe 4 Oblicz pole trójkąta T 0, wysokość ma długość cm, a krótsza podstawa 4 cm Oblicz k, a trójkąt T jest podobny do trójkąta w skali k = Pole 6 Zadanie 9 Prosta jest styczna do okręgu w punkcie Oblicz miarę zaznaczonego kąta,jeśli Zadanie 94 Punkty,, dzielą okrąg na trzy łuki, których stosunek długości wynosi Oblicz miary kątów trójkąta Zadanie 95 W trójkącie ABC o bokach długości AC b, BC a, i kącie między nimi 60 poprowadzono dwusieczną kąta ACB, która przecięła bok AB w punkcie D Zapisz długość odcinka CD w zależności od a i b Zadanie 96 Punkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy 7 : 5 Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku Zadanie 97 Wiedząc, że punkt O jest środkiem okręgu, oblicz miarę kąta 9
Zadanie 98 Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek) Na rysunku zaznaczony jest wypukły kąt środkowy AOB, podaj jego miarę Zadanie 99 Punkty A, B, C, D są położone w tej kolejności na okręgu o środku O (zobacz rysunek) Odcinek DB jest średnicą tego okręgu i BAC i CBD, Wykaż, że 90 Zadanie 00 Końce odcinka AB o długości 9 są środkami okręgów o promieniach 6 i 4 (zobacz rysunek) Punkt C leży na odcinku AB i jest środkiem takiego okręgu, o promieniu większym od 6, że dwa dane okręgi są do niego wewnętrznie styczne Promień okręgu o środku C ma długość: A 6,5 B 7,5 C 8,5 D 9,5 Zestaw zadań został opracowany przez Elżbietę Guziejko i Barbarę Domysławską w oparciu o zbiory zadań dla szkół ponadgimnazjalnych, materiały i zbiory zadań z CKE, arkusze maturalne Jest on przeznaczony dla uczniów, którzy tuż przed maturą chcą powtórzyć podstawowe wiadomości z podstawy programowej lub przygotować się do egzaminu poprawkowego 0