METODA MORY W BADANIACH ROZKŁADÓW PRZEMIESZCZEŃ I KSZTAŁTU POWIERZCHNI

Krzysztof ŚCIGAŁA, Sylwia SZOTEK wszelkie prawa zastrzeżone METODA MORY W BADANIACH ROZKŁADÓW PRZEMIESZCZEŃ I KSZTAŁTU POWIERZCHNI 1. WPROWADZENIE Metoda mory to technika pomiaru przemieszczeń, kształtu, nachylenia lub krzywizny powierzchni badanego obiektu opierająca się na wykorzystaniu efektu interferencji mechanicznej zachodzącego przy nałożeniu się obrazu przynajmniej pary siatek (rastrów) czyli geometrycznych układów linii lub kropek. W metodzie tej jedna z siatek zostaje związana z obiektem, i poprzez jego kształt, lub przemieszczenie punktów na jego powierzchni powtarzalny układ linii lub kropek zostaje odkształcony. Druga z siatek pozostaje w stanie wyjściowym. W wyniku nałożenia tych dwóch siatek obserwujemy układ prążków, których położenie oraz kształt jest zależne od kształtu, lub stanu przemieszczeń obserwowanej powierzchni. Do zalet tej metody przede wszystkim można zaliczyć szeroki zakres aplikacji w jakich może być zastosowana poprzez wybór odpowiedniego układu pomiarowego oraz dobór odpowiednich siatek, bezdotykowy charakter pomiaru, możliwość rejestracji przemieszczeń lub warstwic powierzchni na całej badanej powierzchni, możliwość przygotowania układu pomiarowego korzystając z ogólnie dostępnych elementów, niski koszt prowadzenia badań w porównaniu z innymi optycznymi metodami pomiarowymi oraz w niektórych przypadkach możliwość prowadzenia pomiarów przez osoby z minimalnym przeszkoleniem (badania porównawcze w kontroli jakości wyrobów). Wady metod mory związane są głównie z trudnościami technicznymi wiązanymi z powiązaniem siatki z badaną powierzchnią, przygotowaniem powierzchni obiektu przedmiotu do badań, oraz mniejszą niż w innych metodach pomiarowych dokładnością pomiaru. 2. PODSTAWY FIZYCZNE ORAZ PODSTAWOWE ZALEŻNOŚCI 2. 1. INTERFERENCJA MECHANICZNA Podstawowym efektem jaki jest wykorzystywany w metodzie mory jest tzw. interferencja mechaniczna zwana inaczej interferencją geometryczną. Efekt ten jest widoczny przy nałożeniu na siebie obrazów dwóch geometrycznych układów linii lub kropek. Przyczyną tego efektu są zmiany natężenia światła przechodzącego przez układ dwóch siatek. Przykładem może być nałożenie dwóch siatek składających się z równoległych prostych linii, na przemian ciemnych (nie-transparentnych) i jasnych (transparentnych) o różnych podziałkach czyli różnych odległościach pomiędzy liniami (Rys. 1). W punkcie A, jasna linia siatki 1 i siatki 2 pokrywają się, tak więc natężenie światła w tym punkcie osiąga wartość maksymalną. W miarę przesuwania się w kierunku punktu B natężenie światła zmniejsza się ze względu na zmniejszającą się szerokość szczeliny pomiędzy ciemnymi liniami siatki. W punkcie B ciemna linia siatki 2 pokrywa się z jasną linią siatki 1 całkowicie ją zakrywając. Światło nie ma możliwości przejścia przez układ siatek w tym punkcie

i jego natężenie spada do zera. W punkcie B będziemy więc obserwować ciemny prążek, natomiast w punkcie A prążek jasny. B A c 1 B SIATKA 1 SIATKA 2 c 2 1+2 Rys. 1. Efekt interferencji mechanicznej Jak zatem widać z powyższego interferencja mechaniczna nie jest zjawiskiem nakładania się dwóch fal i nie należy jej utożsamiać z interferencją optyczną. 1.2. PODSTAWOWE OBRAZY PRĄŻKOWE ORAZ ZALEŻNOŚCI JE OPISUJĄCE Wśród obrazów prążkowych jakie powstają przy nałożeniu dwóch siatek, można wyróżnić pewne podstawowe układy prążków jakie powstają przy podstawowych rozkładach przemieszczeń bądź dla podstawowych kształtów badanych przemieszczeń. W badaniach przemieszczeń podstawowe obrazy prążkowe powstają przy czystym przemieszczeniu liniowym oraz przy czystym przemieszczeniu kątowym. Przez przypadek czystego przemieszczenia liniowego należy tu rozumieć nałożenie dwóch siatek o tej samej podziałce c w (czyli tej samej odległości pomiędzy liniami ciemnymi), z których jedna (związana z powierzchnią badanego obiektu) poddana została liniowemu odkształceniu x. W wyniku odkształcenia podziałka siatki obiektowej zwiększy się do wartości c o. Efekt nałożenia dwóch siatek będzie więc w tym przypadku identyczny jak efekt nałożenia dwóch siatek o różnych podziałkach c 1 i c 2 prezentowany na rys. 2. Efektem nałożenia siatek będzie układ prostoliniowych, równoodległych prążków, prostopadłych do kierunku odkształcenia powierzchni obiektu (Rys. 2). Siatka 1 Siatka 2 Rys. 2. Obraz prążków mory dla czystego przemieszczenia liniowego 1 + 2

Wartości przemieszczeń punktów na powierzchni obiektu mogą być w tym przypadku wyznaczone na podstawie zależności: ux mc w (1) gdzie: u x przemieszczenie w kierunku prostopadłym do kierunku prążków mory, m numer prążka, c w podziałka siatki nieodkształconej. Numer prążka można określić w ten sposób, że prążek o numerze 1 to prążek, którego odległość do punktu w którym przemieszczenie u x = 0 jest najmniejsza, odsuwając się od tego punktu kolejne prążki będą miały kolejne numery. Odległość pomiędzy kolejnymi prążkami można zmierzyć na obrazie prążkowym lub określić na podstawie wzoru: nc w (2) gdzie: - odległość pomiędzy kolejnymi prążkami mory, n liczba działek siatki wzorcowej pomiędzy osiami kolejnych prążków, c w podziałka siatki nieodkształconej. W przypadku czystego przemieszczenia kątowego jednej z siatek względem drugiej, czyli obrotu jednej z siatek wokół ustalonego punktu bez przemieszczenia liniowego. Dla takiego przypadku przemieszczenia dwóch siatek, obraz prążkowy, będzie składał się z równoległych, równoodległych prążków, ułożonych względem linii siatki wzorcowej pod pewnym kątem (Rys. 3). Składowe przemieszczeń prostopadłe do kierunku linii siatki wzorcowej możemy wyznaczyć na podstawie zależności (1). Kąt obrotu siatek względem siebie można określić na podstawie pomiaru odległości pomiędzy prążkami wg zależności: c sin w (3) 2 2 gdzie: - kąt obrotu siatek względem siebie, c w podziałka siatek, - odległość pomiędzy prążkami mory. Rys. 3. Obraz prążków mory dla czystego przemieszczenia kątowego

Dla bardzo małych wartości kąta powyższa zależność przyjmuje formę uproszczoną: cw (4) W przypadku ogólnym, podczas badania stanu przemieszczeń punktów na powierzchni danego obiektu, linie siatki z tą powierzchnia związanej doznają zarówno przemieszczeń liniowych jak i kątowych. W wyniku tego obraz pasm mory, który powstanie będzie wynikiem nałożenia się równoległych rodzin linii prostych siatki wzorcowej oraz rodziny linii zdeformowanych siatki obiektowej (Rys. 4). Rys. 4. Obraz prążków mory dla przypadku ogólnego Numery linii siatki wzorcowej i obiektowej na rys. 3 zostały dobrane w ten sposób, że linie obu siatek pokrywające się przed odkształceniem obiektu mają te same numery. Można zauważyć, że prążek rzędu m łączy punkty przecięcia linii obu siatek różniące się również o m. Wartości przemieszczeń w kierunku prostopadłym do kierunku linii siatki wzorcowej można zatem określić, na podstawie zależności: ux mc w (5) gdzie: u x przemieszczenie w kierunku prostopadłym do kierunku linii siatki wzorcowej, m numer prążka, c w podziałka siatki nieodkształconej. Z powyższej zależności wynika, że różnica wartości przemieszczeń dla kolejnych prążków jest równa podziałce siatki: u u c (6) 1 xm xm w Oznaczając, jak na rys. 4 składowe odstępu pomiędzy prążkami można wyznaczyć następujące zależności umożliwiające określenie składowych stanu odkształcenia w obszarze pomiędzy prążkami: c w u x x oraz c w u y Analogicznie obracając siatkę wzorcową o 90 0 v v można wyznaczyć wartości oraz. x y Na podstawie znanych związków Cauchy ego można wyznaczyć składowe stanu odkształceń dla przypadku ogólnego (zakładając małe wartości odkształceń liniowych i kątowych): y (7)

u x, x v y, y u v xy (8) y x Rys. 5. Odległość pomiędzy prążkami oraz jej składowe dla ogólnego przypadku analizy stanu przemieszczeń W badaniach kształtu podstawowe obrazy prążkowe powstają dla powierzchni płaskiej ustawionej pod kątem względem siatki odniesienia, dla powierzchni walcowej oraz powierzchni kulistej. Dla ustawionej pod kątem powierzchni płaskiej układ prążków będzie podobny jak dla czystego przemieszczenia liniowego prostoliniowe, równoodległe prążki mory. Prążki mory są wynikiem różnicy wartości podziałek siatki związanej z obiektem c o i siatki odniesienia c w. Zmiana podziałki siatki związanej z obiektem jest efektem skrócenia jej długości przy obserwacji pod pewnym kątem (Rys. 6a). Kąt nachylenia badanej powierzchni względem siatki odniesienia można wyznaczyć korzystając z zależności: c w cos (9) 2c gdzie: - kąt nachylenia badanej powierzchni względem siatki odniesienia, - odległość pomiędzy prążkami mory, c w podziałka siatki odniesienia. w a) b) Rys. 6. Obraz prążków mory dla powierzchni nachylonej do siatki odniesienia (a) oraz dla powierzchni walcowej (b)

W przypadku powierzchni walcowej obraz prążków mory to układ równoległych prostych linii. Odległość pomiędzy kolejnymi liniami jest zmienna, zmniejszając się od linii środkowej do krawędzi obrazu (rys. 6b). W przypadku powierzchni kulistej obraz prążków mory to układ koncentrycznych okręgów (Rys. 7). Rys. 7. Obraz prążków mory dla powierzchni kulistej W przypadkach ogólnych dla powierzchni o złożonym kształcie można również wyróżnić pewne charakterystyczne fragmenty obrazy prążków mory (Rys. 8). Pierwszy z obrazów tzw. oko byka jest zbliżony do obrazu charakterystycznego dla powierzchni kulistej. Powstaje on w miejscach w których powierzchnia badana jest wypukła a jego punkt centralny to punkt najbardziej zbliżony do siatki odniesienia. Drugi obraz tzw. siodło powstaje w miejscach w których powierzchnia badana jest wklęsła a jego punkt centralny to najbardziej oddalony od siatki punkt w tym rejonie. a) b) Rys. 8. Obrazy prążków mory typu oko byka (a) i siodło (b) 2. KLASYFIKACJA METOD POMIAROWYCH, PODSTAWOWE UKŁADY POMIAROWE Ze względu na sposób uzyskiwania prążków mory można podzielić techniki pomiarowe na: - techniki mory projekcyjnej, - techniki mory odbiciowej. W technice projekcyjnej obraz jednej lub obu siatek jest nakładany przez projekcję na powierzchnię obiektu, natomiast w przypadku mory odbiciowej powierzchnia badanego obiektu pełni rolę zwierciadła i rzucany na obiekt obraz siatki jest przez nią odbijany.

Podstawową różnicą pomiędzy obiema technikami jest zatem to, że w technice mory projekcyjnej obraz prążków mory powstaje bezpośrednio na badanej powierzchni, natomiast w przypadku mory odbiciowej na dodatkowym ekranie. W przypadku obu technik można wyróżnić, cały szereg odmian różniących się sposobem uzyskiwania prążków mory (Rys. 9). Podstawową techniką projekcyjną jest technika dwu-projektorowa. Układ pomiarowy do pomiarów kształtu powierzchni z użyciem tej techniki przedstawia Rys. 10. W układzie pomiarowym znajdują się dwa projektory, które rzutują obrazy dwóch siatek S 1 i S 2 na badaną powierzchnię. W wyniku nałożenia tych obrazów powstają prążki mory będące warstwicami badanej powierzchni. METODA MORY TECHNIKA PROJEKCYJNA TECHNIKA DWU-PROJEKTOROWA KLASYCZNA ZMODYFIKOWANA Z UŻYCIEM RÓWNOLEGŁYCH WIĄZEK ŚWIATŁA Z UŻYCIEM SIATEK HOMOGRAFICZNYCH TECHNIKA ODBICIOWA TECHNIKA LIGTENBERGA TECHNIKA SCHMODITS A TECHNIKA RIEDERA-RITTERA MODYFIKACJA CHIANGA I TREIBERA Z UŻYCIEM MATRYCY KAMERY CCD MORA LOGICZNA MORA CIENIOWA Rys. 9. Klasyfikacja technik mory Taki układ ma jednak szereg wad, z których podstawową jest to, iż uzyskane warstwice nie są liniami powstającymi w wyniku przecięcia badanej powierzchni z rodziną płaskich powierzchni lecz z rodziną powierzchni walcowych eliptycznych. Aby uzyskać warstwice topograficzne stosuje się zmodyfikowane układy pomiarowe, w których pomiar odbywa się z użyciem równoległych wiązek światła (rys. 10b) lub siatek homograficznych (rys. 10c) tzn. siatek, których podziałka jest liniowo zmienna. Modyfikacje metody dwu-projektorowej ograniczają jednak zakres pomiaru. W układach z równoległymi wiązkami światła zmniejsza się pole pomiarowe objęte obiema wiązkami projekcyjnymi, natomiast użycie siatek homograficznych powoduje, że wiązka projekcyjna może padać na obiekt, tylko pod określonym kątem. W technice używającej matrycy kamery CCD, technice mory logicznej oraz technice cieniowej główna modyfikacja układów pomiarowych polega na użyciu tylko jednej siatki, natomiast druga siatka jest generowana w inny sposób. W technice używającej matrycy kamery CCD rolę siatki odniesienia pełni element światłoczuły kamery CCD. Element ten ma postać matrycy fotodiod lub końcówek światłowodów, a więc również jest strukturą periodyczną i może pełnić rolę siatki obiektowej. W technice mory logicznej, siatka odniesienia nie istnieje jako obiekt fizyczny

lecz jest generowana jako obiekt logiczny przez obróbkę obrazu cyfrowego zarejestrowanego przez kamerą i przesłanego do komputera. a) b) c) Rys. 10. Układ pomiarowy do badań kształtu techniką dwu-projektorową klasyczną (a), z użyciem równoległych wiązek światła (b), siatką homograficzna (c) Najczęściej stosowaną metodą jedno-siatkową jest metoda cieniowa (Rys. 11). W metodzie tej w układzie pomiarowym znajduje się siatka odniesienia natomiast rolę siatki obiektowej pełni jej cień padający na powierzchnię badanego obiektu. Obraz mory jest w tym przypadku wynikiem interferencji siatki i jej cienia na badanej, zakrzywionej powierzchni. Rys. 11. Układ pomiarowy do badań kształtu powierzchni metodą cieniową W układzie jak na rysunku nr 11 możliwe jest określenie kształtu powierzchni, przez pomiar odległości siatki od danego punktu na powierzchni obiektu wg wzoru: mc w w (10) ' ' tg tg gdzie: w - odległości siatki od danego punktu na powierzchni obiektu wg zależności, m numer prążka, c w podziałka siatki, kąt pomiędzy kierunkiem padania światła a normalną do siatki, kąt pomiędzy kierunkiem obserwacji a normalną do siatki. Zaprezentowany układ pomiarowy posiada pewne wady, z których najistotniejszą jest fakt, iż dla każdego punktu na powierzchni obiektu kierunek padania światła jest inny, tak więc prążki mory nie stanowią warstwic topograficznych (różnica odległości

w = w i w i-1 dla kolejnych prążków jest zmienna). Modyfikacja, która umożliwia uniknięcie tej niedogodności polega na zastosowaniu równoległej wiązki światła dzięki czemu kąt padania światła dla wszystkich punktów jest taki sam. Wówczas odległość między rzędnymi na sąsiednich warstwicach wynosi: c w w (11) tg tg W obu opisanych układach technika mory cieniowej wymaga stosowania siatek o stosunkowo dużych wymiarach gabarytowych w porównaniu z innymi technikami mory projekcyjnej. Jednym z pierwszych układów pomiarowych wykorzystujących technikę mory odbiciowej był zaproponowany w 1954 roku układ do pomiarów ugięć płyt Ligtenberga. Zasadniczym elementem stanowiska badawczego jest transparentny walec (ekran) z naniesiona na nim siatką liniową (Rys. 12). Źródło światła jest umieszczone za ekranem i przez odpowiednie oświetlenie uzyskuje się odbicie siatki na powierzchni obiektu. Odbity od powierzchni obiektu obraz siatki rejestrowany jest przez otwór centralnie wykonany w ekranie. Obraz mory na ekranie powstaje w wyniku podwójnej ekspozycji siatki odbitej od modelu w stanie przed i po odkształceniu. Rys. 12. Układ pomiarowy Ligtenberga Podstawową modyfikacją techniki Ligtenberga jest technika Schmodits a. W wersji zmodyfikowanej układu pomiarowego światło porusza się w przeciwnych kierunkach niż zostało to zaprezentowane na rys. 12. Kamera zostaje zastąpiona projektorem z siatką, natomiast ekran pokryty jest papierem światłoczułym. Odbity od modelu obraz siatki naświetla papier światłoczuły. Podobnie jak poprzednio stosuje się technikę podwójnej ekspozycji. Podstawową wadą obu układów jest konieczność wykonania walcowego ekranu o wymiarach dostosowanych do badanego obiektu oraz przygotowanie odpowiednio dużej siatki lub rejestracja na zdjęciu o dużym formacie. Technika Riedera-Rittera umożliwia konstruowanie zwartych stanowisk o znacznie mniejszych gabarytach jak również pomiary o większej dokładności. W układzie przedstawionym na rys. 13a wiązka światła przechodzi przez matówkę oraz siatkę i pada na zwierciadło półprzepuszczalne. Następnie wiązka światła jest kierowana na obiekt, odbija się od jego powierzchni, przechodzi przez zwierciadło i trafia do kamery. Obraz mory na ekranie powstaje w wyniku podwójnej ekspozycji siatki odbitej od modelu w stanie przed i po odkształceniu. Modyfikacja Chianga i Treibera umożliwia również pomiar kształtu powierzchni. W układzie przedstawionym na rys. 13b światło przechodzące przez matówkę i siatkę pada na zwierciadło półprzepuszczalne, gdzie wiązka jest rozdzielana.

a) b) Rys. 13. a) Układ do pomiarów techniką Riedera-Rittera oraz b) z zastosowaniem modyfikacji Chianga i Treibera Część światła jest kierowana na obiekt i po odbiciu od jego powierzchni pada z powrotem na lustro półprzepuszczalne. Druga część wiązki po przejściu przez zwierciadło półprzepuszczalne pada na klasyczne zwierciadło i jest przez nie również kierowana z powrotem na zwierciadło półprzepuszczalne. W ten sposób w płaszczyźnie zwierciadła półprzepuszczalnego dochodzi do nałożenia obrazu siatki zdeformowanego przez odbicie od obiektu i obrazu wyjściowego siatki. Powstałe w ten sposób prążki mory są rejestrowane przez kamerę. 3. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ Metoda mory jest stosowana w mechanice do badań stanu przemieszczeń obiektów w badaniach podstawowych, w badaniach przemieszczeń elementów maszyn jak również w badaniach kształtu powierzchni elementów maszyn (np. kontrola jakości wyrobów). Może być również stosowana w badaniach stanów przemieszczeń czy kształtu innych obiektów (np.: badania przemieszczeń budynków, mostów lub do pomiarów kształtu powierzchni pleców w badaniach postawy ciała). Przykładami zastosowania metody mory do badania stanu przemieszczeń mogą być badania rozkładów przemieszczeń belki poddanej czystemu zginaniu (Rys. 14) oraz kołowej tarczy ściskanej (Rys. 15). a) b) -1 ugięcie [mm] 0 1 2 3 Rys. 14. Zastosowanie metody mory w badaniach przemieszczeń belki poddanej czystemu zginaniu: obraz prążków mory (a), wykres ugięcia belki (b)

W pierwszym przypadku belkę o wysokości 2,54 mm i długości 305 mm wykonaną z tworzywa sztucznego poddano obciążeniu jak na Rys. 14. Na belce naniesiono siatkę o podziałce c w =0,0845 mm. Obserwacje prowadzono przez siatkę odniesienia o takiej samej podziałce. Linie obu siatek ułożone były poziomo, równolegle do osi długiej belki. Prążki o najniższych numerach występują przy podporach, natomiast wraz ze zbliżaniem się do środka odcinka między podporami numery prążków rosną. Na przedstawionym wykresie punkty przez które przebiega linia ugięcia belki zostały wyznaczone na podstawie analizy obrazu mory, przez wyznaczenie punktów przecięcia prążków mory z osią symetrii belki. W przypadku tarczy kołowej obciążeniu dwiema siłami ściskającymi wzdłuż średnicy poddano tarczę o średnicy 12,7 mm wykonaną z poliuretanu. Na powierzchni tarczy naniesiona została siatka o podziałce c w =0,0845 mm. Linie siatki były ułożone pionowo, równolegle do ściskanej średnicy tarczy. Analizę rozkładu przemieszczeń przeprowadzono wzdłuż średnicy tarczy prostopadłej do osi ściskanej. Rozkład przemieszczeń u x równoległych do średnicy wzdłuż której prowadzono analizę przedstawia Rys. 15b. Na podstawie rozkładu przemieszczeń wyznaczono również rozkład odkształceń x. a) b) Rys. 15. Zastosowanie metody mory w badaniach tarczy ściskanej a) rozkład prążków mory b) rozkład przemieszczeń u x i odkształceń x Przykładami zastosowania metody mory w analizie kształtu obiektu są badania kształtu pleców przy skrzywieniach bocznych kręgosłupa i wadach postawy. Metoda mory umożliwia w tym przypadku szybką ocenę krzywizn kręgosłupa oraz wstępną diagnozę schorzenia. Nawet pobieżna analiza obrazu prążkowego pozwala określić asymetrię kształtu, natomiast analiza ilościowa pozwala określić np.: odstawanie łopatek, stopień skręcenia miednicy, wielkość skoliozy i inne.

Rys. 16. Graficzne przedstawienie wyników badań zniekształceń układu mięśniowo - kostnego placów człowieka LITERATURA 1. Asundi A., Yung K.H.: Logical Moiré and its Application. Experimental Mechanics, 1992. 2. Durelli, A.J, Parks V. J.: Moiré Analysis of Strain, Practice Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1970. 3. Jastrzębski P., Kapkowski J., Wichniewicz S., Wąsowski J., Patorski K.: Zastosowanie metody mory do badania elementów kjonstrukcji, Skrypt wykładów, Warszawa-Jabłonna 1981. 4. Rafałowski M.: Zautomatyzowane urządzenia do bezkontaktowych pomiarów kształtu i deformacji metodą mory projekcyjnej. Pomiary, automatyka, kontrola, 1992. 5. Reid G.T., Rixon R.C., Messer H.J.: Absolute and Comparative Measurements of Tree Dimentional Shape by Phase Measuring Moiré Topography. Opt. Laser Technol., 1981, 16, pp.: 1066-1073. 6. Orłoś Z. i inni: Doświadczalna analiza odkształceń i naprężeń. PWN, Warszawa 1977. 7. Wąsowski J.: Badanie ugięć płyt metodą mory. Mechanika teoretyczna i stosowana, 1978.