Układy Logiczne i Cyfrowe Wykład dla studentów III roku Wydziału Elektrycznego mgr inż. Grzegorz Lisowski Instytut Automatyki
Podział układów cyfrowych elementy logiczne bloki funkcjonalne zespoły funkcjonalne Podział ze względu na strukturę układy specjalizowane układy programowalne Podział ze względu na właściwości układy kombinacyjne układy sekwencyjne
Dla dwóch argumentów x i y mamy cztery możliwe kombinacje argumentów: x y 0 1 0 0 1 1 1 0
Jeżeli f i (x) będzie funkcją logiczną jednego argumentu x to można określić co najwyżej cztery takie funkcje.
Spośród funkcji dwuargumentowych f(x,y) najważniejszymi są: Nazwa Oznaczenie Wartość funkcji gdy (x,y) równa się (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) suma, dysjunkcja x+y, x y 0 1 1 1 iloczyn, konjunkcja xy, x y 0 0 0 1
Funkcje boolowskie spełniają następujące aksjomaty: l.p. Nazwa aksjomatu Aksjomaty dotyczące dodawania mnożenia 1 prawo łączności (A+B)+C=A+(B+C) (A*B)*C=A*(B*C) 2 prawo przemienności A+B = B+A A*B = B*A 3 Prawo istnienia jednego elementu identycznościowego A + 0 = A A * 1 = A 4 Prawo dopełnienia A A=1 A A=0 5 Prawo rozdzielczości A + B*C = (A+B)*(A+C) A*(B+C) = A*B + A*C
Podstawowe tożsamości l.p. Nazwa twierdzenia twierdzenia dotyczące dodawania mnożenia 1 prawo stałych elementów A+1=1 A 0 = 0 2 prawo powtórzenia A+A=A A A = A 3 prawo podwójnej negacji A = A 4 prawo de Morgana A + B=AB AB = A + B 5 reguła pochłaniania A+AB=A A(A+B)+A 6 reguła pochłaniania A AB = A + B + A( A + B) = AB 7 reguła sklejania AB + AB = A (A + B)(A + B) = A 8 reguła niepełnego sklejania 9 reguła uogólnionego sklejania AB + AB = (A + B)(A + B) = A + AB + AB A(A + B)(A + B) AB + CB = (A + B)(C + B) = AC + AB + CB (A + C)(A + B)(C + B)
Ogólny zapis liczby dziesiętnej przedstawia poniższy zapis: L = a a a a = a 10 10 n 2 1 0 i n i= 0 i a < 0, 9 > 3 2 1 0 1305 =1 10 + 3 10 + 0 10 + 5 10
W liczbach ułamkowych podstawa występuje w potęgach ujemnych, a zatem zapis liczby dziesiętnej ma postać: n 10 n 2 1 0 1 2 l i i = l L = a a a a, a a a = a 10 i L = b n b 2 b b 1 0,b 1 b 2 b l = i= n l b i P i gdzie: P oznacza dowolną podstawę
Dla P=2 otrzymujemy system dwójkowy (binarny). 3 2 1 0 1101 =1 2 + 1 2 + 0 2 + 1 2 czyli: 1101 2 = 13 10
Najbardziej rozpowszechnionymi kodami dwójkowymi są: kod naturalny dwójkowy, kod Grey'a, kod dwójkowo-dziesiętny BCD (ang. Binary Coded Decimial), kod pierścieniowy czyli kod 1 z 10 należący do grupy kodów 1 z n kod pseudopierścieniowy Johnsona,
Kod dwójkowy naturalny Kod dwójkowy naturalny jest kodem wagowym, w którym poszczególne wagi są kolejnymi potęgami liczby 2 (tzn. 2 i, gdzie i=0,1,2,3...). Istnieje wiele sposobów konwersji liczb z systemu dziesiętnego do dwójkowego i odwrotnie.
Konw ersja liczby dwójkow ej na dziesiętną. Dla kodów wagowych najprostsza metoda polega na sumowaniu albo wydzielaniu wag. Przykład: Należy zamienić liczbę binarną 11001 2 na liczbę dziesiętną. 11001 2 = 1*2 4 + 1* 2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 8 +1 = 25 10
Konwersja liczby dziesiętnej na dwójkową. Konwersja liczby dziesiętnej na dwójkową polega na wyszukiwaniu najwyższej potęgi liczby 2. Przykład: Należy zamienić liczbę dziesiętną 27 10 na liczbę binarną. Największą potęgą liczby 2 jest tutaj 2 4 = 16 a zatem, liczba dwójkowa będzie miała 5 bitów i na najstarszym bicie piszemy 1???? 2. Od liczby 27-16 = 11. W 11 najstarszą potęgą 2 jest 2 3. Zatem na następnym bicie piszemy 1 i uzyskujemy 11??? 2.. Następna operacja to: 11-8 = 3. Dla 3 najstarszą potęgą 2 jest 2 1. Ponieważ nie wystąpiła tutaj druga potęga liczby 2, to na drugiej pozycji piszemy 0, i otrzymujemy 110?? 2, natomiast na czwartej pozycji piszemy 1 ponieważ wystąpiła pierwsza potęga liczby 2, 1101? 2. Po odjęciu 3-2 = 1, gdzie 1 jest potęgą zerową liczby 2, bo 2 0 = 1. W ostateczności otrzymujemy liczbę dwójkową 11011 2.
Należy zamienić liczbę 11 10 na liczbę dwójkową: Reszta 11 : 2 = 5 1 najmłodszy bit 5 : 2 = 2 1 2 : 2 = 1 0 1 : 2 = 0 1 11 10 = 1011 2
Kod szesnastkowy Kod szesnastkowy (heksadecymalny) jest kodem wagowym, w którym poszczególne wagi są kolejnymi potęgami liczby 16 (tzn. 16 i, gdzie i=0,1,2,3...). Aby ułatwić zapis w kodzie heksadecymalnym wprowadzono następującą regułę. Dla liczb od 10 do 15 stosuje się odpowiedni zapis literowy: 10 - A, 11 - B, 12 - C, 13 - D, 14 - E, 15 - F.
Zamiana kodu dw ójkowego na kod sze snastkowy Przejście pomiędzy kodem dwójkowym a heksadecymalnym polega na pogrupowaniu zapisu dwójkowego w grupy czterobitowe i zapisaniu ich wartości wykorzystując liczby z zakresu 0... 15. Należy zamienić zapis liczby dwójkowej 11011001110 2 na zapis szesnastkowy kod dwójkowy (binarny) 110 1100 1110 kod szesnastkowy (heksadecymalny) 6 C E 11011001110 2 =6CE 16
Kod Grey'a Cechą charakterystyczną kodu Grey'a jest to, że sąsiadujące kombinacje kodowe różnią się wartościami tylko jednego bitu. Tablicę kodu Grey'a można utworzyć na podstawie tablicy kodu dwójkowego naturalnego posługując się następującą regułą: G = B B = B B + B B i i i + 1 i i + 1 i i + 1 gdzie: G i - i-ty bit kodu Grey'a, B i - i-ty bit kodu binarnego, B i+1 - i+1 bit kodu binarnego.
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 linia lustra 3 0 0 1 0 4 0 1 1 0 linia lustra 5 0 1 1 1 6 0 1 0 1 7 0 1 0 0 8 1 1 0 0 linia lustra 9 10 11 12 13 14 15 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
Kod dwójkowo dziesiętny BCD Kod dwójkowo dziesiętny jest odmianą kodu dwójkowego naturalnego gdzie każdej cyfrze dziesiętnej przyporządkowywuje się liczbę binarną. Nie następuje tutaj kodowanie całej liczby, a kodowana jest każda cyfra oddzielnie 0 0000 10 0001 0000 1 0001 11 0001 0001 2 0010 12 0001 0010 3 0011 13 0001 0011 4 0100 14 0001 0100 5 0101 15 0001 0101 6 0110 16 0001 0110 7 0111 17 0001 0111 8 1000 18 0001 1000 9 1001 19 0001 1001
Kod pseudopierścieniowy 0 000 1 001 2 011 3 111 4 110 5 100
Kod pierścieniowy 0 000000 1 000001 2 00010 3 00100 4 01000 5 10000
Tablica kodu dwa z pięciu. 0 11000 5 01010 1 00011 6 01100 2 00101 7 10001 3 00110 8 10010 4 01001 9 10100
Sposoby zapisu funkcji Opis słowny Tablica wartości Wykres czasowy Zbiór wartości zmiennych funkcji Tablica Karnaugha Zapis algebraiczny funkcji
Tablica wartości funkcji Numer zbioru Wartość zmiennych Wartość funkcji i x 1 x 2 x 3 f(x 1,x 2,x 3) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1
Do jednoznacznego określenia funkcji wystarczy podać zbiór wartości zmiennych funkcji oznaczany: F 1 dla którego funkcja przyjmuje wartość 1, lub zbiór F 0 dla którego funkcja przyjmuje wartość 0. 1 { } F = 010,011,101 x x x 1 2 3 0 { } F = 000,001,100,110,111 x x x 1 2 3
1 { } F = 2,3,5 x x x 1 2 3 0 { } F = 0,1,4,6,7 x x x 1 2 3 - F = { 4,5,6} x x x 1 2 3 1(-) F = { 2,4,6,(0,1) } x x x 1 2 3
Tablica Karnaugha f(x, x, x ) 1 2 3
Zapis algebraiczny funkcji f(x, x, x ) = x x + x x x 1 2 3 1 2 1 2 3
3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 x x x x x x x x x F + + = { } F 010,011,101 1 x x x 1 2 3 = { } F 000,001,100,110,111 0 x x x 1 2 3 = ) x x (x ) x x )(x x x )(x x x )(x x x (x F 3 2 3 2 1 3 2 1 0 1 3 2 1 2 1 3 + + + + + + + + + + =
Sposoby minimalizacji funkcji boolowskich metoda przekształceń algebraicznych metoda tablic Karnaugha, metoda Quine a - Mc Cluskeya, metoda tablic harwardzkich, metoda Patricka, metoda Blake a.
Metoda tablic Karnaugha Należy wyznaczyć minimalną postać funkcji, która jest opisana w następujący sposób. W pomieszczeniu znajdują się trzy czujniki pożarowe a, b, c. Przy sygnale równym 1 z dowolnego czujnika należy uruchomić sygnalizację pożaru (f 1 = 1), zaś przy sygnale 1 z co najmniej dwóch czujników należy uruchomić urządzenie gaśnicze (f 2 = 1).
f 1 1 = a + b + c
f 1 2 = ab + ac + bc
f 1 0 = a + b + c f = (a + b)(a + c)(b + c) 2 0 Łatwo można wykazać, że f 1 1 = f 1 0 oraz f = f 2 1 2 0.
Jeżeli podczas zakreślania obszarów wartości zmiennych określających obszar są inne niż zaznaczane wartości funkcji, (np. podczas zaznaczania 1 element funkcji ma 0), to jest on zapisywany jako sygnał zanegowany. Przedstawione to zostało na poniższym przykładzie. f 0 = ac + ab + bc f 1 = ( a + b )( a + c )( b + c )
Funktory układów cyfrowych Układy cyfrowe dzieli się na dwie podstawowe grupy: 1. układy kombinacyjne 2. układy sekwencyjne
Funktory układów kombinacyjnych - bramki Nazwa Symbol Realizowana funkcja Negacja, NOT a Suma, OR a + b Negacja sumy, NOR a + b Iloczyn, NAD a b Negacja iloczynu, NAND a b Suma modulo, EX-OR a b
Podstawowe funktory układów sekwencyjnych - przerzutniki
Przerzutnik typu RS Tablica przejść Symbol S R Q t+1 0 0 Q t 0 1 0 1 0 1 1 1 -
Przerzutnik typu JK Tablica przejść Symbol J K Q t+1 0 0 Q t 0 1 0 1 0 1 1 1 Q t
Przerzutnik typu D Tablica przejść Symbol D Q t+1 0 0 1 1
Przerzutnik typu T Tablica przejść Symbol T Q t+1 0 Q t 1 Q t
Typowe podzespoły układów cyfrowych Rejestry Liczniki Bloki arytmetyczne Komparatory Multipleksery Demultipleksery Konwertery kodów Pamięci
Rejestry Rejestrem nazywamy układ służący do przechowywania informacji
szeregowe - szeregowe wprowadzanie i wyprowadzanie informacji, tzn. kolejno bit po bicie; równoległe - równoległe wprowadzanie i wyprowadzanie informacji jednocześnie do wszystkich i ze wszystkich pozycji rejestru;
szeregowo-równoległe - szeregowe wprowadzanie i równoległe wyprowadzanie informacji; równoległo-szeregowe - równoległe wprowadzanie i szeregowe wyprowadzanie informacji.
Rejestry szeregowe charakteryzują się możliwością przesuwania wprowadzonej informacji bądź w prawo albo w lewo (rejestry przesuwające jednokierunkowe), bądź też zarówno w prawo, jak i w lewo (rejestry przesuwające dwukierunkowe, rewersyjne). SR
Liczniki Licznikiem nazywany jest sekwencyjny układ cyfrowy służący do zliczania i pamiętania liczby impulsów podawanych w określonym przedziale czasu na jego wejście zliczające.
Liczniki podlegają następującym kryteriom podziału: pod względem długości cyklu: liczniki o stałej długości cyklu liczniki o zmiennej długości cyklu pod względem kierunku zliczania: liczniki jednokierunkowe zliczające w przód zliczające w tył liczniki dwukierunkowe pod względem sposobu oddziaływania impulsów zliczanych na stan przerzutników licznika: liczniki asynchroniczne liczniki synchroniczne liczniki asynchroniczno - synchroniczne
Bloki arytmetyczne Podstawowym układem arytmetycznym jest sumator, którego zadaniem jest dodawanie lub odejmowanie liczb. Odejmowanie liczb jest możliwe w tzw. kodzie uzupełnień do dwóch
Komparatory Komparatory służą do porównywania wartości dwu lub więcej liczb dwójkowych. REJESTR RÓWNOLEGŁY LICZBY A KOMPARATOR A>B A=B A<B WYJŚCIE REJESTR RÓWNOLEGŁY LICZBY B REJESTR SZEREGOWY LICZBY A Schemat ideowy kom paratora równoległego KOMPARATOR A>B A=B A<B WYJŚCIE REJESTR SZEREGOWY LICZBY B Schemat ideowy kom paratora szeregowego
Multipleksery Multiplekser (inaczej selektor) wybiera jeden sygnał spośród wielu sygnałów wejściowych.
Demultipleksery Demultiplekser (inaczej kolektor) kieruje sygnał na jedną z wielu możliwych dróg. Ym D Yi Y2 Y1 A1 A2 AJ An
Konwertery kodów Konwertery kodów służą do zamiany liczby podanej w jednym kodzie na inny kod. Konwersji można dokonać tylko wówczas gdy liczba słów kodowych w obu kodach jest identyczna, natomiast długość słów obydwu kodów nie musi być identyczna.
Pamięci Pamięci - układy służące do przechowywania ciągów cyfr binarnych są nazywane pamięciami. Z punktu wykonywanej funkcji pamięci można podzielić na dwie klasy: pamięci z zapisem i odczytem tzw. pamięci RAM (Random Acces Memory); pamięci stałe, tylko z odczytem tzw. pamięci ROM (Read Only Memory).
Jako pamięci mogą być wykorzystywane następujące układy: przerzutniki: rejestry; układy pamięciowe scalone; pamięci ferrytowe; matryce diodowe
Synteza układów cyfrowych Po przeprowadzeniu minimalizacji funkcji wykorzystując tablicę Karnaugha, należy przystąpić do budowy układu realizującego otrzymaną funkcję. Do budowy układu można wykorzystywać układy stykowe, negacje, bramki AND, OR, negacje, NAND, NOR, multipleksery
Dla układów stykowych przyjmowana jest następująca zasada: sygnał prosty jest realizowany jako styk normalnie rozwarty; sygnał zanegowany jest realizowany jako styk normalnie zwarty;
suma sygnałów jest realizowana jako połączenie równoległe styków; a a+b b iloczyn sygnałów jest realizowany jako połączenie szeregowe styków; a b ab
Budowa układu przy wykorzystaniu układu stykowego, bramek AND i OR Mając funkcję przedstawioną jako minimalną postać normalną sumy lub iloczynu można bezpośrednio przejść do budowy układu składającego się z układów stykowych lub bramek AND i OR. Otrzymano następujące funkcje: f 11 = a+b+c, f 21 = ab+ac+bc, f 20 = (a+b)(a+c)(b+c).
Układ stykowy: c b a a+b+c Układ stykowy realizujący funkcję f 11
a b a c b c ab+ac+bc Układ stykowy realizujący funkcję f 21
a b a c b c (a+b)(a+c)(b+c) Układ stykowy realizujący funkcję f 20
a b c Układ bramek OR realizujący funkcję f 11
a b a c b c ab ac bc ab+ac+bc Układ bramek AND i OR realizujący funkcję f 21
a b a c b c (a+b) (a+c) (b+c) (a+b)(a+c)(b+c) Układ bramek AND i OR realizujący funkcję f 20
Dana jest funkcja a f = a + cb b c a+bc Układ bramek AND, OR realizujący funkcję f a b a+bc c Układ bramek AND, OR i negacji realizujący funkcję f
Budowa układu przy wykorzystaniu bramek NAND lub NOR Na podstawie wzoru funkcji określającej jej minimalną postać sumy (iloczynu) można zaprojektować układ zbudowany z elementów NAND (NOR). Układ tak zaprojektowany będzie składał się z trzech poziomów. Poziom I (licząc od wejść układu) zawiera układy które negują sygnały wejściowe. Poziom II realizuje poszczególne funkcje. Ilość funktorów NAND jest równa ilości składników sumy a ilość funktorów NOR jest równa ilości czynników iloczynu. Poziom III stanowi pojedynczy element NAND (NOR). UWAGA: Dwa ostatnie poziomy są niezbędne.
dla minimalnej postaci sumy funkcji f 11 = a+b+c, f 21 = ab+ac+bc. Poziom I Poziom II Poziom III a b c a b c a b c = a+b+c Realizacja funkcji f 11 przy pomocy bramek NAND
a b c Poziom I Poziom II Poziom III ab ac bc a b ac bc = ab+ac+bc Realizacja funkcji f 21 przy pomocy bramek NAND
dla minimalnej postaci iloczynu funkcji f 10 = (a+b+c), f 20 = (a+b)(a+c)(b+c). Poziom I Poziom II Poziom III a b c a+b+c = a+b+c Realizacja funkcji f 10 przy pomocy bramek NOR
a b c Poziom I Poziom II Poziom III a+b a+c b+c (a+b)+(a+c)+(b+c) = (a+b)(a+c)(b+c) Realizacja funkcji f 20 przy pomocy bramek NOR
UWAGA: Funkcja zapisana w formie sumy iloczynów, zazwyczaj realizowana jest za pomocą elementów typu NAND. Funkcja zapisana w formie iloczynu sum, zazwyczaj realizowana jest za pomocą elementów typu NOR. Jeżeli funkcja zapisana w formie sumy iloczynów, ma być zrealizowana jest za pomocą elementów typu NOR, to należy zanegować wszystkie wejścia i wyjścia. Jeżeli funkcja zapisana w formie iloczynu sum, ma być zrealizowana jest za pomocą elementów typu NAND, to należy zanegować wszystkie wejścia i wyjścia.
1 0 0 1 2 3 4 5 6 f 7 A1 A 2 A 3 a b c
Przerzutnik rs s r Q Q s r Q
Przerzutnik jk j k Q Q j k Q
Przerzutnik t t Q Q t Q
Przerzutnik RS S c R Q Q c S S c R Q Q R Q
Przerzutnik JK J c K Q Q c J J c Q Q K Q
Przerzutnik D D c Q Q c D c Q Q D Q
Przerzutnik T T c Q Q c T c Q Q T Q
Tablice wzbudzeń podstawowych przerzutników Q t Q t+1 D T JK RS 0 0 0 0 0 - - 0 0 1 1 1 1-0 1 1 0 0 1-1 1 0 1 1 1 0-0 0 - D=1 T=1 J=1 K=1 R=1 S=1 Warunek konieczny Warunek dozwolony Q t+1 1 1 1 0 0 1 Q t+1 1 0 - - - - Q t+1 - - 0 0 0 1 Q t+1 - - 1 1 - -
D = [F,F,(F 1 1 )] S = [F,(F,F 1 1 )] R = [F,(F,F 0 0 )] J = [F,(F,F,F 1 0 1 )] K = [F,(F,F,F 0 1 0 )] T = [F,F,(F 1 0 )]