Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy nosi nazwę hipotezy parametrycznej. Do weryfikacji takich hipotez używamy testów parametrycznych. Hipoteza określająca postać nieznanego rozkładu badanej cechy (w tym także jej parametry) nosi nazwę hipotezy nieparametrycznej. Do weryfikacji takich hipotez używamy testów nieparametrycznych.
Testowanie hipotez oznacza konieczność rozstrzygania czy daną hipotezę możemy uważać za prawdziwą czy też za fałszywą. Stąd, stawiamy na początku hipotezę (zwaną hipotezą H 0 ) i formułujemy hipotezę alternatywną (zwaną hipotezą H ), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 nie jest prawdziwa. Jeżeli wysuwamy tylko jedną hipotezę i celem testu statystycznego jest sprawdzenie czy ta hipoteza nie jest fałszywa i nie sprawdzamy innych hipotez, to taki test nazywamy testem istotności.
przykład Niech cecha X elementów pewnej populacji generalnej ma rozkład normalny (m,) o nieznanej wartości przeciętnej. Sądzimy, że nieznana wartość przeciętna wynosi 0, tzn. stawiamy hipotezę H 0 : m0 przeciwko hipotezie alternatywnej H : m 0. Jedynym sposobem, aby sprawdzić naszą hipotezę jest skonfrontowanie jej z próbką z populacji generalnej. Załóżmy, że wylosowano 0 elementową próbkę prostą i otrzymano: x, 0. Jest to zaobserwowana wartość statystyki X.
Przykład (c.d.) Dla populacji normalnych X ma rozkład 0,. Pozwala to na sprawdzenie, 0 jaka jest szansa na uzyskanie wyniku,0 jeżeli hipoteza H 0 jest prawdziwa: [ Φ(3,05) ] 0, 00 P( X,0) P( X 0,0 0) Musimy rozstrzygnąć czy hipoteza, że m0 jest prawdziwa czy też nie?.
Przykład II Przypuśćmy, że z tej samej populacji wylosowano 6 to elementową próbkę i otrzymano x 0,. Czy taki wynik pozwala na odrzucenie hipotezy H 0 : m0? Jeżeli H 0 jest prawdziwa to X ma rozkład normalny 0, : 4 [ Φ(0,4) ] 0, 69 P ( X 0,) P( X 4 0,4) Taki wynik nie pozwala na odrzucenie postawionej hipotezy: mówimy wtedy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0.
Schemat postępowania przy testowaniu hipotez parametrycznych. Stawiamy hipotezę H 0 :(QQ 0 ).. Ustalamy poziom istotności α. (testowanie istotności): 3. Losujemy n elementową próbkę prostą. 4. Wyznaczamy wartość u statystyki U (testu istotności). 5. Szukamy takiej wartości u 0 statystyki U, aby dla wybranego α zachodziła następująca nierówność: P ( U u ) α 0 6. Jeżeli u u 0, to hipotezę H 0 odrzucamy, dla małych prób operujemy statystykami U dokładnymi, dla dużych prób rozkładami granicznymi tych statystyk. u < u 0, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0.
Przykład Badano skuteczność działania dwóch środków A i B na próbce 0-ciu pacjentów cierpiących na bezsenność. Dodatkowe godziny snu uzyskane przez pacjenta w rezultacie zażycia środka A oznaczono przez X, a środka B przez Y.
Pacjent x y zx-y,9 0,7, 0,8 -,6,4 3, -0,,3 4 0, -,,3 5-0, -0, 0, 6 4,4 3,5 0,9 7 5,5 3,7,8 8,6 0,8 0,8 9 4,6 0,0 4,6 0 3,4,0,4
Rozwiązanie I Przyjmijmy, że porównujemy oba środki poprzez obserwację zmiennej losowej ZX-Y. Załóżmy, że Z ma rozkład ( m, σ ) o nieznanej wartości m i σ. Wysuwamy hipotezę H ( m 0) nie precyzując wartości σ, czyli stawiamy 0 hipotezę, że oba środki są jednakowo skuteczne. Do testowania tej hipotezy użyjemy statystyki t-studenta o 9-ciu stopniach swobody: t Z n S gdzie: z,58, s, 67. Ustalamy poziom istotności jako α0,0.
t,580,67 9 4,06 t X m n S f(t) -α0,99 0,005 0,005 t α -3,5 0 t α 3,5 Wartość t α znajdujemy w tablicach t-studenta o 9-ciu stopniach swobody. Ponieważ t> t to odrzucamy hipotezę H α 0, czyli środki na bezsenność nie są jednakowo skuteczne.
Rozwiązanie II Odrzućmy założenie dotyczące normalności zmiennej losowej Z. Przypuśćmy jedynie, że X i Y mają jednakowe rozkłady ciągłe. Wówczas P ( X < Y ) /, gdyż X<Y jest symetryczne względem zera. Stawiamy hipotezę: H ( m 0), co jest równoważne hipotezie 0 H 0 ( P( X < Y ) ). Wprowadźmy nową zmienną Z k o następujących wartościach: Z k 0 gdy X gdy X k k Y k Y k > 0 0 Niech Z. Jeżeli hipoteza H 0 jest prawdziwa to zmienna losowa Z ma 0 Z k k rozkład: k 0 k 0 0 P( Z k) k k 0
Obliczona wartość z próby z0. Obliczamy prawdopodobieństwo takiego wyniku: P 5 ( Z 5 5) P( Z 0) + P( Z 0) 0, 00 9 Wniosek: odrzucamy hipotezę H 0. Nasuwa się przypuszczenie, że lek A jest skuteczniejszy od leku B.
Rozwiązanie III Załóżmy, że lek A zaaplikowano jednemu zespołowi 0-cio osobowemu, a lek B drugiemu zespołowi dziesięciu pacjentów. Załóżmy, że cecha X ma rozkład ( m, σ ) a cecha Y ( m, σ ). Wysuwamy hipotezę H m ). Do jej zweryfikowania użyjemy statystyki U: 0 ( m X Y n n U ( n + n ), n S + n S n + n która ma rozkład t-studenta o n + n stopniach swobody.
W naszym przykładzie mamy: n n 0, 0 s i x x,33, 0 ( x ) 36, 0 s i y y 0,75, 0 ( y ) 8, 9 Stąd, U,86. Z tablic rozkładu t-studenta dla 8-stu stopni swobody znajdujemy, że: P ( t,86) 0, 08 Wniosek: nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy nawet na poziomie α0,05. Uwaga: do stosowania testu U potrzebne jest założenie σ. X σ Y
Sprawdźmy hipotezę dotyczącą równości wariancji (warunek korzystania z testu U), czyli stawiamy hipotezę H 0 ( σ ). n n 0, s 3,6, s, 8. X σ Y
-0,05 0,05 F 0,05 Obliczamy wartość F-Snedecora: 3,6 F,5.,8 Z tablic rozkładu F-Snedecora dla n 9, n 9 stopni swobody oraz α0,05 znajdujemy F 3, 8, a więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy 0,05 o równości wariancji w obu grupach pacjentów.
Przykład: W fabryce produkuje się pewien towar A, którego cecha X ma rozkład ( m, σ ) o nieznanej wartości σ. Założenia technologiczne wymagają, aby odchylenie standardowe badanej cechy wynosiło 4. Aby zweryfikować jakość produkcji pobrano próbkę prostą n5 elementową i otrzymano wartość odchylenia standardowego z próby s4,5. Czy produkcja przebiega według założeń technologicznych?
Stawiamy zatem hipotezę H ( σ 4). 0 Z Obliczamy wartość statystyki, która ma stablicowany rozkład χ o n- σ stopniach swobody: Z σ 5 (4,5) 4 Przyjmijmy α0,0. Szukamy takiej wartości z 0, aby: 9 Z P > z 0 0,0. σ Z tablic znajdujemy dla 4-stu stopni swobody z 0 9,. Zatem, przy założeniu, że hipoteza H 0 zachodzi prawdopodobieństwo Z P >9 jest większe od α. σ Wniosek: nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o tym, że proces technologiczny przebiega równomiernie.
Przykład: W partii towaru znajdują się sztuki dobre i sztuki wadliwe. Współczynnik wadliwości p nie jest znany. Zbadano próbkę prostą o liczebności 30 sztuk i znaleziono 4 sztuki wadliwe. Czy prawdziwa jest deklaracja wytwórcy, że wadliwość tej produkcji wynosi 0%? Wysuwamy hipotezę H ( p 0,). 0
Oznaczamy: sztuka k - ta jest dobra X, X k 30 X k. 0 sztuka k - ta jest wadliwa k Jeśli hipoteza jest prawdziwa, to: P( X r) 30 0, r r 30 0,9 r Otrzymaliśmy x 4. Pytamy: P ( X 4) P( X < 4) 3 r 0 30 0, r r 0,9 30 r,34 0,9 7 0,357 Wniosek: nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o tym, że nieznana wadliwość wynosi 0%.
Przykład: Badano współzależność między średnicą włókna bawełny a jego wytrzymałością. Dokonano 59 niezależnych badań, których wyniki zarejestrowano w tzw. tablicy -dzielczej przyjmując: X numer bawełny (odwrotność średnicy włókna w calach), Y wytrzymałość włókna (w gramach).
X 400 4300 4500 4700 4900 500 5300 5500 Razem Y 6,75 6,5 5 5,75 3 4 3 3 5,5 3 5 7 7 4,75 5 5 3 7 4,5 5 3,75 Razem 7 6 9 9 4 59
Z a k ła d a m y, ż e ( X,Y ) m a d w u w y m ia r o w y r o z k ła d n o r m a ln y. S ta w ia m y h ip o te z ę, ż e b r a k je s t z w ią z k u p o m ię d z y ś r e d n ic ą w łó k n a a je g o w y trz y m a ło ś c ią, tj. s ta w ia m y h ip o te z ę H ( ρ 0 ). 0 D o o c e n y k o r e la c ji z p r ó b y u ż y w a m y s ta ty s ty k i R : R n k n k ( X ( X k k X X ) ( Y ) n k k ( Y k Y ) Y ), i o trz y m u je m y r - 0,6 5. M o ż n a p o k a z a ć, ż e d la ρ 0 s ta ty s ty k a : t R R n m a r o z k ła d t- S tu d e n ta o n - s to p n ia c h s w o b o d y. O trz y m u je m y t - 5,8 6. P o n ie w a ż n > 3 0 ( p ró b k a d u ż a ) to s k o r z y s ta m y z p r z y b liż o n y c h ta b lic t- S tu d e n ta ( z ta b lic r o z k ła d u n o r m a ln e g o ) : P ( t 5,8 6 ) ( Φ (5,8 6 ) ) je s t r z ę d u 0-5. W n io s e k : h ip o te z ę o b r a k u z w ią z k u p o m ię d z y ś r e d n ic ą w łó k n a b a w e łn y a je g o w y trz y m a ło ś c ią n a le ż y o d r z u c ić.