A MMC TALES Konkurs Matematyczny MERIDIAN Sobota, 26 stycznia 2008 Czas pracy: 75 minut Maksymalna liczba punktów do uzyskania: 120 W czasie testu nie wolno używać kalkulatorów ani innych pomocy naukowych. 1. Na ostatniej stronie testu odpowiedzi wpisz swoje dane. 2. Zasady punktowania poprawnych odpowiedzi są następujące: - w pytaniach 1-10 za każde zadanie można uzyskać po 3 punkty, w pytaniach 11-20 po 4 punkty, w pytaniach 21-30 po 5 punktów. 6. Miejsce pomiędzy pytaniami i na trzech ostatnich stronach można wykorzystać jako Brudnopis. Zapisy w brudnopisie nie będą sprawdzane i oceniane. 7. Wyniki dostępne będą w Internecie na stronie www.meridian.edu.pl na początku marca. 3. W zadaniach od 1 do 30 podanych jest pięć odpowiedzi: A, B, C, D, E. Odpowiada im następujący układ kratek na karcie odpowiedzi. Wybierz tylko jedną odpowiedź i zamaluj kratkę z odpowiadającą jej literą, na przykład gdy wybrałeś odpowiedź B, zamaluj kratkę tak jak poniżej: A B C D E 8. Jeśli któryś z uczestników konkursu, opuszczając teren szkoły weźmie ze sobą arkusz testu, zostanie ZDYSKWALIFIKOWANY. 9. W razie jakichkolwiek niejasności ostateczna decyzja należeć będzie do Komisji Konkursowej Meridian. 10. Nie ma ujemnych punktów za błędny wybór. 4. Staraj się nie popełniać błędów przy zaznaczaniu odpowiedzi, ale jeżeli się pomylisz, błędne zaznaczenie kółkiem i zamaluj poprawna odpowiedż A B C D E
1. Ile jest liczb naturalnych spełniających warunek? (A) 2 (B) 3 (C) 0 (D) 1 (E) więcej niż 3 2. to w zaokrągleniu do jedności (A) 42 (B) 43 (C) 44 (D) 45 (E) 46 3. Okrągły talerz umieszczono na szachownicy (64 pola) tak, że jest styczny do każdej krawędzi. Ile pól szachownicy jest całkowicie przykrytych talerzem? (A) 48 (B) 32 (C) 36 (D) 44 (E) 40 4. Jeśli coś kosztuje 16 zł za 80 gramów, to jaka jest cena za kilogram cosia? (A) 80 zł (B) 20 zł (C) 50 zł (D) 200 zł (E) 160 zł 5. W Mieście odbyło się referendum w dwóch sprawach. Głosowało 500 obywateli. W sprawie mostu było 375 głosów za, w sprawie szpitala było 275 głosów za. Czterdziestu obywateli głosowało przeciw w obu sprawach. Ilu obywateli głosowało dwa razy za? (A) 200 (B) 190 (C) 180 (D) 310 (E) 460 2
6. Jeśli 3x = 2, to które z poniższych jest fałszywe? 7. Na urodzinach połowa gości piła tylko lemoniadę, jedna trzecia tylko colę, zaś piętnastu gości nie piło żadnego z tych napojów. Ilu gości było na urodzinach? (A) 30 (B) 60 (C) 90 (D) 120 (E) 150 8. Ile rozwiązań ma równanie? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D ) 4 (E) nieskończenie wiele 9. Który z poniższych ułamków jest najmniejszy? (A) (B) (C) (D ) (E) 10. Istnieją trzy różne pary dodatnich liczb całkowitych, których sumą jest sześć. Ile par takich liczb daje sumę tysiąc? 1 + 5 = 6 2 + 4 = 6 3 + 3 = 6 (A) 400 (B) 450 (C) 500 (D) 600 (E) 1000 3
11. Sara poszła do szkoły mając pięć lat. Uczyła się przez ćwierć życia, a następnie zaczęła pracować. Przepracowała połowę życia, a przez czternaście lat była na emeryturze. Ile miała lat, gdy przeszła na emeryturę? (A) 42 (B) 52 (C) 62 (D) 72 (E) 74 12. Pełnotłuste mleko zawiera ok. 3,4 g tłuszczu w 100 ml, a mleko odtłuszczone zawiera ok. 0,5 g tłuszczu w 100 ml. Jaki (w przybliżeniu) procent tłuszczu należy usunąć z mleka pełnotłustego, aby otrzymać odtłuszczone? (A) 7 (B) 17 (C) 71 (D) 85 (E) 97 D 13. Na rysunku punkt O jest środkiem okręgu, odcinek OE jest prostopadły do CD, a ich długości to OE = 2, CD = 8. Jaka jest długość okręgu? O E (A) 16π (B) 25 π (C) (D) (E) C 14. Każde z kół na rysunku ma promień 5. Jaką wysokość ma cała figura? (A) (B) (C) (D ) (E) 15. Ile rozwiązań ma równanie x + y + z = 12, jeżeli x, y i z mogą przyjmować tylko wartości ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6,7}? (A) 37 (B) 42 (C) 24 (D) 33 (E) 5 4
16. Dla ilu różnych wartości k = 1, 2, 3,... k-ty kwietnia wypada w tym samym dniu tygodnia co 2k-ty maja? (A) 1 (B) 3 (C) 2 (D) 0 (E) 4 17. Kupiec miał sześć beczułek o pojemnościach 15, 16, 18, 19, 20 i 31 litrów. Jedna z nich zawierała wino, a pięć pozostałych oliwę. Wino zachował dla siebie, a oliwę sprzedał dwóm klientom (jednemu dwa razy więcej niż drugiemu). Ile litrów wina było w beczułce? (A) 15 (B) 31 (C) 19 (D) 18 (E) 20 18. Jaka jest największa kwota opłaty pocztowej, której nie można uiścić dokładnie dysponując dowolną liczbą znaczków po 6 i 7? (A) 29 (B) 15 (C) 43 (D) 41 (E) 32 19. Jeśli D jest średnicą dużego koła, a d średnicą małego koła, to suma D + d jest równa a D b 20. Jeśli a, b i c są różne od zera i wielomian p(x) = x 3 ax 2 + bx c rozkłada się do postaci (x a)(x b)(x c), to wartość p(2) wynosi (A) 4 (B) 0 (C) 3 (D) 9 (E) 7 5
21. Koło wpisano w ćwiartkę koła o promieniu 8. Promień małego koła wynosi (A) (B) 4 (C) (D ) (E) 22. Jaką wartość ma poniższe wyrażenie... 23. R jest resztą z dzielenia każdej z liczb 128, 227 i 73 przez D (D jest liczbą całkowitą większą od 1). Zatem różnica D R wynosi (A) 5 (B) 11 (C) 7 (D) 13 (E) 4 24. Duży sześcian zbudowany jest z jednakowych nieprzezroczystych sześcianów. Ponad połowa małych sześcianów jest niewidoczna z zewnątrz. Jaka jest najmniejsza liczba małych sześcianów, których można użyć w takiej sytuacji? (A) 1728 (B) 125 (C) 729 (D) 1000 (E) 1331 6
25. ABCD jest kwadratem, E i F są środkami boków AD i AB. Jeśli pole trójkąta DEG wynosi 1, to pole kwadratu ABCD jest równe D C E G A F B (A) 14 (B) 12 (C) 16 (D) 18 (E) 20 26. Ile par dodatnich liczb całkowitych (a, b) spełnia warunki a b i (A) 3 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 5 27. Każdy wierzchołek kwadratu połączono ze środkami krawędzi. Powstała zacieniowana gwiazda. Jaką część pola kwadratu zajmuje gwiazda? 7
28. Jeżeli różnica między miarami kolejnych kątów pięciokąta wypukłego jest stała i całkowita, to ile różnych wartości może przyjmować miara najmniejszego z kątów? (A) 13 (B) 41 (C) 61 (D) 36 (E) 29 29. Największa taka wartość x, że 2 x jest dzielnikiem wynosi (A) 10 (B) 20 (C) 18 (D) 12 (E) 16 30. Kwadrat ABCD ma boki o długości 2. Pole trójkąta FBC wynosi A 60 o B F D C 8