Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres podstawowy Zakres rozszerzony 1. Liczby rzeczywiste przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, rozwinięcia dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg), obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych (w tym wymiernych), posługiwanie się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosowanie praw działań na pierwiastkach, obliczanie potęg o wykładnikach wymiernych i stosowanie praw działań na potęgach o wykładnikach wymiernych, wykorzystanie podstawowych własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką), wykorzystanie definicji logarytmu i stosowanie w obliczeniach wzorów na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi o wykładniku naturalnym, obliczanie błędu bezwzględnego i względnego przybliżenia, pojęcie przedziału liczbowego, zaznaczanie przedziałów na osi liczbowej, obliczenia procentowe, obliczanie podatków, zysków z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok). 2. Wyrażenia algebraiczne wzory skróconego mnożenia: (a±b) 2 oraz a 2 - b 2, wykorzystanie pojęcia wartości bezwzględnej i jej interpretacji geometrycznej, zaznaczanie na osi liczbowej zbiorów opisanych za pomocą równań i nierówności typu: xa = b, x-a < b, x-a b, stosowanie w obliczeniach wzoru na logarytm potęgi oraz na zamianę podstawy logarytmu. wzory skróconego mnożenia: (a±b) 3 oraz a 3 ± b 3, dzielenie wielomianów przez dwumian ax + b, rozkładanie wielomianów na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias, dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów, wyznaczanie dziedziny prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się
3. Równania i nierówności interpretacja geometryczna układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, nierówności pierwszego stopnia z jedną równania kwadratowe z jedną nierówności kwadratowe z jedną sprawdzanie, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności, definicja pierwiastka do rozwiązywania równań typu x 3 = -8, korzystanie z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x(x+1)(x-7) = 0, proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych, np., 4. Funkcje określanie funkcji za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego, obliczanie ze wzoru wartości funkcji dla danego argumentu, posługiwanie się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczania, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość, odczytywanie z wykresu własności funkcji (dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak, punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale wartość największą lub najmniejszą), na podstawie wykresu funkcji y=ƒ(x) szkicowanie wykresów funkcji łatwo sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych, dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych, rozszerzanie i skracanie (w łatwych przykładach) wyrażeń wymiernych. wzory Viète'a, równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem, układy równań, prowadzące do równań kwadratowych, twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x- a, twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych, równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych, łatwe nierówności wielomianowe, proste nierówności wymierne, np.,,, równania i nierówności z wartością bezwzględną, o poziomie trudności nie wyższym niż: x+1-2 = 3, x+3 + x-5 > 12. na podstawie wykresu funkcji y=ƒ(x) szkicowanie wykresów funkcji y = ƒ(x), y = cƒ(x), y = ƒ(cx), szkicowanie wykresów funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw, posługiwanie się funkcjami logarytmicznymi do opisu zjawisk fizycznych i chemicznych, także osadzonych w kontekście praktycznym, szkicowanie wykresu funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami, odczytywanie własności takiej funkcji z wykresu.
y = ƒ(x+a), y = ƒ(x)+a, y = -ƒ(x), y = ƒ(-x), rysowanie wykresu funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru, wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie, interpretacja współczynników występujących we wzorze funkcji liniowej, szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru, wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie, interpretacja współczynników występujących we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w ogólnej i iloczynowej (o ile istnieje), wyznaczanie wartości najmniejszą i największej funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym, wykorzystanie własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym), szkicowanie wykresu funkcji ƒ(x) = a/x dla danego a, korzystanie ze wzoru i wykresu tej funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, szkicowanie wykresów funkcji wykładniczych dla różnych podstaw, posługiwanie się funkcjami wykładniczymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym. 5. Ciągi wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym, badanie, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny, stosowanie wzoru na n. wyraz i na sumę npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, stosowanie wzoru na n. wyraz i na sumę npoczątkowych wyrazów ciągu geometrycznego. 6. Trygonometria korzystanie z definicji i wyznaczanie wartości funkcji sinus, kosinus i tangens wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem rekurencyjnym, obliczanie granic ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1/n, 1/n 2 oraz z twierdzeń o działaniach na granicach, rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych i obliczanie ich sum. miara łukowa, zamiana miary łukowej kąta na stopniową i odwrotnie,
kątów o miarach od 0 do 180, korzystanie z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora), obliczanie miary kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (dokładnej lub przybliżonej), stosowanie prostych zależności między funkcjami trygonometrycznymi, np. sin 2 α + cos 2 α = 1, sin(90 -α) = cosα, wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego na podstawie wartości jednej z nich. 7. Planimetria zależności między kątem środkowym i wpisanym, własności stycznej do okręgu, własności okręgów stycznych, rozpoznawanie trójkątów podobnych, wykorzystanie cech podobieństwa trójkątów (także w kontekście praktycznym), korzystanie z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej), badanie równoległości i prostopadłości prostych na podstawie ich równań kierunkowych, wyznaczanie równanie prostej równoległej lub prostopadłej do prostej danej w postaci kierunkowej i wykorzystanie definicji i wyznaczanie wartości funkcji sinus, kosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach (przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego), okresowość funkcji trygonometrycznych, posługiwanie się wykresami funkcji trygonometrycznych (np. do rozwiązywanie nierówności typu sinx >a, cosx a, tgx > a), wzory na sinus i kosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i kosinusów kątów, rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych typu sin2x = 1/2, sin2x+cosx = 1, sinx+cosx = 1, cos2x < 1/2. twierdzenie charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu, zastosowanie twierdzenia Talesa (prostego i odwrotnego) do obliczania długości odcinków i ustalania równoległości prostych, znajdowanie obrazów figur geometrycznych w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta), rozpoznawanie figur podobnych i jednokładnych, wykorzystanie własności figur podobnych (także w kontekście praktycznym), znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzeń sinusów i kosinusów. interpretacja graficzna nierówność liniową z dwiema niewiadomymi i układy takich nierówności, badanie równoległości i prostopadłości prostych na podstawie ich równań ogólnych, wyznaczanie równanie prostej równoległej lub prostopadłej do prostej danej w postaci ogólnej i
przechodzącej przez dany punkt, obliczanie współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych, wyznaczanie współrzędnych środka odcinka, obliczanie odległości punktów, znajdowanie obrazów figur geometrycznych (np. punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu. przechodzącej przez dany punkt, obliczanie odległości punktu od prostej, posługiwanie się równaniem okręgu (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 2, opisywanie koła za pomocą nierówności, wyznaczanie punktów wspólnych prostej i okręgu, obliczanie współrzędnych i długości wektora, dodawanie i odejmowanie wektorów, mnożenie ich przez liczbę, interpretacja geometryczna działań na wektorach, stosowanie wektorów do opisu przesunięcia wykresu funkcji.