Zadanie 1. (8pkt./12min.) Trzy liczby naturalne, które mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego, nazywamy TRÓJKĄ PITAGOREJSKĄ. Przykłady takich trójek: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 40, 198, 202. Już 3,5 tys. lat temu Babilończycy znali wiele takich trójek. Okazuje się, że jest ich nieskończenie wiele. Oto ogólna metoda znajdowania trójek pitagorejskich: wybieramy dodatnie liczby naturalne p, q takie, że p > q > 0 i obliczamy a, b, c (długości boków trójkąta prostokątnego), według wzorów: a = p 2 q 2, b = 2pq, c = p 2 + q 2. Tak otrzymane liczby naturalne stanowią trójkę pitagorejską, bowiem spełniają warunek: a 2 + b 2 = c 2. a) Znajdź dwie trójki pitagorejskie, inne niż podane w przykładzie, korzystając z opisanej metody (zapisz obliczenia); b) Sprawdź, wykorzystując odpowiednie twierdzenie, że jeśli p i q są liczbami naturalnymi oraz p > q > 0, to liczby a = p 2 q 2, b = 2pq, c = p 2 + q 2 mogą być długościami boków pewnego trójkąta prostokątnego (zapisz tok rozumowania). c) Znajdź trójkę pitagorejską, w której największą liczbą jest 20 (zapisz obliczenia). Uwaga: Możesz używać kalkulatora.
Zadanie 2a. (4pkt./10min.) Ten potężny władca i znany uczeń Arystotelesa, gdyby zmarł o 5 lat wcześniej, to rządziłby przez 25% swojego życia. Gdyby natomiast żył o 9 lat dłużej, to rządziłby przez 50% swojego życia. Ile lat żył i ile lat panował ów władca? Uwaga: Zapisz analizę zadania wraz z rozwiązaniem na kartce. Możesz używać kalkulatora.
Zadanie 2b. (6pkt./12min.) 33 lata życia i 12 lat panowania, to poprawne rozwiązanie poprzedniego zadania: Ten potężny władca i znany uczeń Arystotelesa, gdyby zmarł o 5 lat wcześniej, to rządziłby przez 25% swojego życia. Gdyby natomiast żył o 9 lat dłużej, to rządziłby przez 50% swojego życia. Ile lat żył i ile lat panował ów władca? Odpowiedz na pytania: a) O kim mowa w zadaniu? b) Zapisz za pomocą cyfr rzymskich, w którym wieku żył i panował ten jeden z największych zdobywców w dziejach? c) Jak nazywała się formacja wojskowa, którą wykorzystywał ów władca? d) Podaj nazwę broni, której używała owa formacja wojskowa. e) Podaj miarę kąta, pod jakim trzymała broń powyższa formacji wojskowa, począwszy od 5 6 szeregu? Czy jest to kąt wypukły, czy niewypukły? Odpowiedź uzasadnij. Uwaga: Potrzebne informacje do rozwiązania postawionego problemu znajdź w Internecie i zapisz je w swojej pracy.
Zadanie 3. (6pkt./12min.) Na stronie http://www.matemaks.pl/program-do-rysowania-wykresow-funkcji.php, znajdziesz program do sporządzania wykresów funkcji. Aby narysować w nim wykresy kilku funkcji w jednym układzie współrzędnych, należy wzory tych funkcji oddzielić średnikiem, tj.: f(x) = 3x 5; 6x + 9. Wykorzystując ten program, a w szczególności opcje menu dodatkowe ustawienia, m.in.: zaznaczanie punktów przecięcia z osiami układu współrzędnych, zaznaczanie wartości największej bądź najmniejszej (zaznacz w programie przycisk ekstrema), sporządź w jednym układzie współrzędnych wykresy następujących funkcji: oraz i odpowiedz na pytania: a) Jaka jest oś symetrii wykresu funkcji f? b) Względem jakiej prostej wykresy funkcji f oraz g są symetryczne? c) Czy istnieje punkt, względem którego wykresy funkcji f oraz g są symetryczne? Jeśli tak, to podaj jego współrzędne, a jeśli nie, to uzasadnij. d) Jakim czworokątem jest figura wyznaczona przez punkty przecięcia z osią X obu funkcji i wartość największą funkcji g oraz wartość najmniejszą funkcji f? Odpowiedź uzasadnij. e) Oblicz pole czworokąta z podpunktu (d). Uwaga: Możesz używać kalkulatora.
Zadanie 4. (8pkt./20min.) Wybory, wybory, wybory parlamentarne, prezydenckie, a może samorządowe. Każde z nich zmuszają nas do uważnego słuchania i analizowania tego, co proponują kandydaci, a następnie do podejmowania odpowiednich decyzji. Wyobraź sobie, że właśnie teraz w Krainie o wdzięcznej nazwie POLLANDIA mają odbyć się wybory parlamentarne, a Ty jesteś jednym z członków Komisji Wyborczej. Twoim zadaniem jest podsumowanie wyników głosowania i przygotowanie informacji o rozkładzie głosów na poszczególnych kandydatów. W tym celu rozwiąż problem: Otwórz plik Wybory.xls, znajdujący się w katalogu Potyczki_2015 na pulpicie Twojego komputera i wykonaj następujące polecenia: 1. W tabeli 1 z niepełnymi danymi, dotyczącymi wyników wyborów: uzupełnij komórki zaznaczono na żółto, wykorzystując funkcję sumy, oblicz procent głosujących w konkretnym okręgu (wykorzystując własną formułę) oraz w całej POLLANDI (komórka zaznaczona na zielono). 2. W tabeli 2: za pomocą funkcji SUMA.JEŻELI, oblicz sumę głosów uzyskanych przez poszczególnych kandydatów w POLLANDI, dane posortuj malejąco. 3. przygotuj na wykresie kołowym procentowy rozkład głosów, uzyskanych przez poszczególnych kandydatów w POLLANDI. Zadbaj o czytelność wykresu. Uwaga Procenty w tabeli zaokrąglij do części setnych, a na wykresie kołowym do jedności. Kiedy skończysz rozwiązywać ćwiczenie, zapisz wynik swojej pracy i zmień nazwę pliku na swoje imię i nazwisko.