POLITECHNIKA RZESZOWSKA KATEDRA METROLOGII I SYSTEMÓW DIAGNOSTYCZNYCH LABORATORIUM PRZETWARZANIA SYGNAŁÓW ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW (1) Podstawowe charakterystyki widmowe, aliasing I. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest przypomnienie podstawowych charakterystyk widmowych sygnałów, problemów związanych ze zjawiskiem odbicia widma (aliasing) oraz przykładów zastosowania prostego i odwrotnego dyskretnego przekształcenia Fouriera. II. Zagadnienia 1. Prosta i odwrotna DFT, podstawowe zależności, właściwości. Rozdzielczość częstotliwościowa DFT. 2. Widmo amplitudowe, widmo mocy, gęstość widmowa mocy: definicje, estymatory, przykładowe przebiegi dla typowych sygnałów zdeterminowanych (sinus, prostokąt, piła) i losowych (szum biały). Widmo jednostronne i dwustronne. 3. Próbkowanie równomierne sygnałów, częstotliwość Nyquista. Dobór częstotliwości próbkowania. Nakładanie się widm (aliasing) i sposoby eliminacji tego zjawiska. III. Przebieg ćwiczenia Do wykonania ćwiczenia wykorzystany zostanie komputer PC i programy: DASYLab, LabVIEW. 1. Podstawowe charakterystyki widmowe 1.1. Zbudować w programie DASYLab układ przedstawiony na rys. 1. Funkcje modułów: Silder00 Max. Value 1000, Resolution 1000, Unit Hz; (regulacja częstotliwości w zakresie 0-1000 Hz z rozdzielczością 1 Hz), Generator00 Modulation, Frequency modulation, Sine, Amplitude: 4V, Offset: 0; FFT00 Real FFT of a Real Signal; Y/t Chart00-01 Auto Scaling. Rys. 1. Układ do wyznaczania charakterystyk widmowych i obserwacji zjawiska aliasingu 1.2. Ustawić w menu programu Experiment/Experiment Setup opcje: Sample Rate/Ch = 1024 Hz, Block Size = 1024. Dla przebiegu sinusoidalnego o częstotliwości kilkudziesięciu Hz (np. 50 Hz) zmieniając opcje modułu FFT00 wyznaczyć i porównać przebiegi: jednostronnego widma amplitudowego (Amplitude Spectrum), dwustronnego widma amplitudowego (Fourier Analysis), widma mocy (Power Spectrum), gęstości widmowej mocy (Power Density Spectrum). - 1 - Opracowanie: dr inż. R. Hanus
Zwrócić uwagę na liczbę, amplitudę i położenie uzyskanych prążków na osi częstotliwości, zakresy tej osi oraz jednostki dla każdego typu widma. Dla widma dwustronnego (Fourier Analysis) sprawdzić efekty działania opcji Symmetrical Axis i porównać zakresy osi częstotliwości. Obliczyć i sprawdzić przy pomocy kursorów rozdzielczość widma. 1.3. Obserwacje z punktu 1.2 powtórzyć dla nastaw: Sample Rate/Ch = 1024 Hz, Block Size = 512 i tej samej częstotliwości sygnału z generatora. 1.4. Do sygnału wygenerowanego jak w p. 1.2 dodać składową stałą o amplitudzie 2 V (Generator00 Offset = 2V) i ponownie wyznaczyć oraz porównać poszczególne charakterystyki widmowe. 1.5 Wyniki pomiarów z punktów 1.2 1.4 zestawić w formie tabeli zawierającej: parametry sygnału oraz amplitudy i częstotliwości prążków dla poszczególnych typów widma. 2. Aliasing (nakładanie, odbicie) widma 2.1. W układzie z rysunku 1 (dla nastaw: Sample Rate/Ch = 1024 Hz, Block Size = 1024) zmieniając przy pomocy zadajnika Silder00 częstotliwość przebiegu sinusoidalnego bez składowej stałej w zakresie 0-1000 Hz zaobserwować zjawisko aliasingu widma amplitudowego przy zwiększeniu częstotliwości sygnału powyżej połowy częstotliwości próbkowania. Zwrócić także uwagę na dokładność odwzorowania na podstawie dyskretnych próbek przebiegu czasowego sygnału. W razie potrzeby przeskalować oś X modułu Y/t Chart00 (opcje: Zoom lub X Scaling: Zoomed Width) tak, aby w oknie wykresu widoczne było tylko 2 3 okresy przebiegu. Obserwacje powtórzyć dla innych nastaw częstotliwości próbkowania (w menu Experiment/Experiment Setup/Driver/Sampling rate/ch), np. 512 i 2048 Hz. 2.2. Dla częstotliwości próbkowania 1024 Hz i częstotliwości sygnału np. 700 Hz obliczyć i sprawdzić doświadczalnie dla jakiej częstotliwości w widmie amplitudowym wystąpi prążek odbity wskutek aliasingu. 2.3. Dla przebiegu prostokątnego i częstotliwości próbkowania 1024 Hz zaobserwować zmiany przebiegu widma amplitudowego przy stopniowym zwiększaniu częstotliwości sygnału. Obliczyć i sprawdzić doświadczalnie dla jakiej częstotliwości sygnału pojawi się aliasing np. 7 harmonicznej. 2.4. Dla określonej częstotliwości sygnału prostokątnego (np. 20 Hz) dobrać minimalną częstotliwość próbkowania aby w widmie amplitudowym uzyskać prawidłowe (bez aliasingu) odwzorowanie kolejno:3, 7, 11 harmonicznej. 2.5. Zapoznać się z programem demonstracyjnym Vibrations Analysis.vi (LabVIEW 7.1/ Open / Examples / Analyzing and Processing Signals / Signal Processing / Vibration Analysis.vi), ilustrującym błędne odwzorowanie widma spowodowane aliasingiem. 2.6. Zbudować układ wg rysunku 2. Funkcje modułów: Silder00-02 Max. Value 5000, Resolution 5000, Unit Hz; (regulacja częstotliwości w zakresie 0-5000 Hz z rozdzielczością 1 Hz), Generator00 Function group: Frequency Modulation (FM), Blok 0: Sine, 4V, Blok 1: Sine 3V, Blok 2: Sine 2V; Arithmetic00 Operation with two or more Operands, Add; FFT00 Real FFT of a Real Signal, Amplitude Spectrum; Y/t Chart00, Y/t Chart01 Auto Scaling. 2.7. Dla nastaw zadajników Silder00-02 podanych przez prowadzącego zinterpretować otrzymane widmo amplitudowe sygnału sumarycznego. - 2 -
Rys. 2. Układ do badania zjawiska odbicia widma. 3. Pomiar częstotliwości z wykorzystaniem analizy widmowej sygnałów 3.1. Połączyć układ przedstawiony na rys. 3. Funkcje modułów: Generator00 Without Modulation, Blok 1: Sine, Frequency: 10 Hz, Amplitude: 4V, Offset: 0; Blok 2: Noise, Amplitude: 9V, Offset: 0. Formula00 - IN(0) + IN(1); FFT00 Real FFT of a Real Signal, Amplitude Spectrum; Y/t Chart00-01 Auto Scaling, Statistics00 - Max Position, Running; Dig.Meter00 - Last Value. Rys. 3. Układ wirtualnego miernika częstotliwości. 3.2. Ustawić w menu programu Experiment/Experiment Setup opcje: Sample Rate/Ch = 1024 Hz, Block Size = 1024. Rozwinąć okna wizualizacji wyników. W oknie modułu Y/t Chart00 przyciskiem Multiple Charts zmienić typ wykresu na wielokrotny. W oknie modułu Y/tChart01 wybrać typ linii przebiegu Bar (wykres słupkowy). 3.3. Uruchomić program i zaobserwować przebiegi w dziedzinie czasu i częstotliwości. Zwrócić uwagę, że miernik Dig.Meter00 wyświetla wartość częstotliwości określoną na podstawie lokalizacji przez moduł Statistics00 położenia prążka o największej amplitudzie w widmie sygnału sumarycznego. Zrealizowany układ może więc służyć do pomiaru częstotliwości składnika okresowego ukrytego w szumie - zwrócić uwagę, że uzyskuje się poprawne wyniki mimo amplitudy szumu trzykrotnie większej od amplitudy sinusoidy. Przy tak dużym zaszumieniu z trudem można zauważyć okresowość w przebiegu czasowym sygnału sumarycznego. 3.4. W module Generator00 zmienić nastawy dla Bloku 1: Sine, Frequency: 100 Hz, Amplitude: 4V, Offset: 0. Uruchomić program, zaobserwować przebiegi w dziedzinie czasu i częstotliwości oraz wskazanie miernika Dig.Meter00. Określić rozdzielczość widma. 3.5. Do sygnału sinusoidalnego dodać składową stałą (moduł Generator00 - Blok 1: Offset: 5V). Zaobserwować i wyjaśnić wskazanie miernika Dig.Meter00. W module FFT00 uaktywnić opcję Suppress DC Component i powtórzyć doświadczenie. - 3 -
3.6. W module Generator00 zmienić nastawy dla Bloku 1: Sine, Frequency: 100,5 Hz, Amplitude: 4V, Offset: 0. Dobrać długość bloku danych (Block Size) aby uzyskać rozdzielczość 0,5 Hz. Uruchomić program i sprawdzić poprawność wskazań miernika. 3.7. Doświadczenie z punktu 3.5 powtórzyć dla częstotliwości sinusoidy 100,25 Hz. Zwrócić uwagę na wyraźne wydłużenie czasu uzyskania wyniku. Co może być tego przyczyną? 4. Analiza i synteza sygnałów przy wykorzystaniu DFT/IDFT 4.1. Zbudować układ wg rys. 4. Funkcje modułów: Silder00 Min Value: 0, Max. Value: 512, Resolution: 51, Unit: Hz; VarSet00 - ${VAR_1}; Generator00 Sawtooth, 10Hz, 4V; FFT00 Complex FFT of a Real Signal; FFT-Filter00 Blok 1 i 2: Frequency from 0 to ${VAR_1}, Cut out rest of spectrum, Mirror amplituds from interval; FFT01 Complex FFT of a Complex Signal, Inverse Fourier Transform, FFT02 Real FFT of a Real Signal, Amplitude Spectrum (obydwa kanały); Y/t Chart00-01 Auto Scaling. Rys. 4. Układ do obserwacji analizy i syntezy sygnałów przy zastosowaniu DFT 4.2. Uruchomić program i zmniejszając suwakiem częstotliwość od wartości maksymalnej zaobserwować przebiegi w dziedzinie czasu i częstotliwości. Zwrócić uwagę na efekty syntezy sygnału piłokształtnego przy redukcji liczby składowych harmonicznych. W szczególności zwrócić uwagę na przebiegi, które uzyskamy przy syntezie sygnału z trzech pierwszych, dwóch i jednej składowej widma. 4.3. Obserwacje z pkt. 4.2 powtórzyć dla sygnału prostokątnego. Zarejestrować przykładowe przebiegi. IV. Pytania kontrolne 1. Przedstawić twierdzenie o próbkowaniu. 2. Wyja snić zasady doboru częstotliwości próbkowania sygnałów przenoszących informację w dziedzinie czasu i częstotliwości. 3. Na czym polega zjawisko aliasingu (odbicia widma) sygnałów i jaka jest przyczyna jego powstawania? 4. Porównać efekty zjawiska aliasingu sygnałów w dziedzinie czasu i częstotliwości. 5. Jak można zapobiegać powstawaniu zjawiska aliasingu sygnałów? 6. Dany jest przebieg prostokątny o częstotliwości 20 Hz. Dobrać częstotliwość próbkowania, aby uzyskać prawidłowe odwzorowanie w dziedzinie częstotliwości pierwszych 7 składowych widma tego sygnału. 7. Dany jest przebieg harmoniczny będący sumą sinusoid o częstotliwościach: 30, 60 i 180 Hz oraz jednakowych amplitudach. Narysować przebieg widma amplitudowego (jednostronnego) po spróbkowaniu ww. przebiegu z częstotliwością 100 Hz. - 4 -
8. Podać zależności, na podstawie których wyznacza się widmo amplitudowe, widmo mocy i gęstość widmową mocy sygnału x(n), jeśli w wyniku działania DFT uzyskamy ciąg zespolonych wartości X(m) = X real (m) + jx imag (m). 9. Od czego zależy rozdzielczość częstotliwościowa DFT? 10. Sygnał sinusoidalny o częstotliwości 100 Hz spróbkowano z częstotliwością 1 khz zbierając 1000 próbek, a następnie stosujac DFT wyznaczono widmo amplitudowe tego sygnału. Określić odstęp próbkowania, liczbę próbek na okres sygnału oraz rozdzielczość otrzymanego widma. 11. Jak wygląda teoretyczne widmo amplitudowe przebiegu sinusoidalnego i szumu białego? Porównać widmo szumu wyznaczone przy zastosowaniu DFT z teoretycznym. 12. Do syntezy przebiegu piłokształtnego wykorzystano dwa pierwsze składniki widma amplitudowego tego sygnału. Jaki przebieg czasowy otrzymano? Literatura 1. Lyons R.G.: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów. WKiŁ, Warszawa 2000. 2. Smith S.W.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Praktyczny przewodnik dla inżynierów i naukowców. Wyd. BTC, Warszawa 2007. 3. Ozimek E.: Podstawy teoretyczne analizy widmowej sygnałów. PWN, Warszawa 1992. 4. Zieliński T.P.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań. WKiŁ, Warszawa 2005. 5. Szabatin J., Podstawy teorii sygnałów. WKiŁ, Warszawa 2007. 6. Wojtkiewicz J.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Wyd. Pol. Warszawskiej, Warszawa 1996. - 5 -