Kognitywistyka: tworzenie pojęć i rozumowanie Studium przypadku: rozumowania abdukcyjne Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl
Wiatr i okno Pewnego dnia w wietrzne, jesienne przedpołudnie zajmuję się w kuchni przygotowywaniem obiadu. Nagle słyszę dobiegający z sąsiedniego pokoju bliżej niezidentyfikowany hałas. Idę więc sprawdzić, co się stało. Otwieram drzwi i widzę: okno otwarte, firana powiewa, doniczka leży na podłodze, kilka liści wokół niej. Kiedy chwilę wcześniej wychodziłem z tego pokoju, okno było zamknięte, doniczka stała na parapecie, na podłodze nie było żadnych liści. Co się stało? kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 2 / 31
p p Próbuję sprawdzić za pomocą tabeli analitycznej tautologią której normalnej logiki modalnej jest formuła p p Metoda dowodowa jest efektywna, więc jeśli nie udaje mi się zamknąć tabeli stosując zwykłe reguły rozkładania złożonych formuł języka MRZ (w tym przypadku rozkładania zanegowanej implikacji oraz negowania i rozkładania operatorów modalnych), to jakie reguły zastosuję? kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 3 / 31
Plan 1 Peirce 2 Kilka wstępnych rozstrzygnięć 3 Trzy modele rozumowań abdukcyjnych 4 Model eksplanacyjno-dedukcyjny 5 Przykład procedury Metoda Tabel Syntetycznych kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 4 / 31
Peirce Struktura rozumowania abdukcyjnego [4]: Obserwujemy zaskakujące zjawisko C. Gdyby A było prawdziwe, zachodzenie C byłoby oczywiste. Mamy zatem podstawy, by podejrzewać, że A jest prawdziwe. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 5 / 31
Peirce, c.d. Peirce owską teorię rozumowań abdukcyjnych charakteryzują cztery tezy [3]: teza o inferencyjnym charakterze abdukcji: abdukcja jest procesem rozumowania, a przynajmniej zawiera taki proces jako jeden ze swoich składników; teza o celu abdukcyjnym: abdukcja jest strategią dokonywania (obalalnych) przypuszczeń i domysłów: rozważa potencjalne hipotezy i wybiera niektóre spośród nich, aby poddać je dalszej analizie; celem abdukcji jest zatem zalecenie pewnego sposobu działania ; teza o wszechstronności abdukcji: abdukcja (w nauce) obejmuje wszelkie metody i narzędzia, za pomocą których generowane są teorie; teza o autonomii abdukcji: abdukcja jest rozumowaniem odmiennym od i nieredukowalnym do dedukcji czy indukcji, a przynajmniej zawiera takie rozumowanie jako jeden ze swoich składników. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 6 / 31
Peirce, c.d. [W rozumowaniu abdukcyjnym] nie tylko stopień prawdopodobieństwa wniosku nie jest jednoznacznie określony, ale jednoznacznie określony nie jest też stopień prawdopodobieństwa przypisywany całemu rozumowaniu. Możemy jedynie stwierdzić, że [...] na danym etapie naszych poszukiwań badawczych powinniśmy rozważyć określoną hipotezę i że powinniśmy przyjąć ją roboczo na tak długo, jak to będzie możliwe. Nie ma tu mowy o prawdopodobieństwie. Jest to jedynie sugestia, którą przyjmujemy na próbę [3]. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 7 / 31
Kilka wstępnych rozstrzygnięć 1 Produkt czy proces? Model produktu, model procesu; Hipoteza abdukcyjna a rozumowanie abdukcyjne; Magiczne pudełko i adekwatność cokolwiek funkcjonalna. 2 Start i cel. Niespodzianka jako wyzwalacz : metafora? Hipotezy: zdania, reguły, teorie, reprezentacje niewerbalne? 3 Generowanie a ocena. Jedno czy oba? Razem czy osobno? kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 8 / 31
Trzy modele rozumowań abdukcyjnych [6] Zasada podziału: rodzaj postulowanego związku między hipotezą abdukcyjną a zjawiskami (czy też raczej reprezentacjami zjawisk), którym za jej pomocą próbujemy nadawać sens : czy przed hipotezą abdukcyjną stawia się zadanie wyjaśniania owych zjawisk oraz czy z hipotezy powinny one wynikać (a dokładniej, wynikać logicznie). Model eksplanacyjno-dedukcyjny: związek eksplanacyjny i dedukcyjny zarazem. Model eksplanacyjno-koherencyjny: związek eksplanacyjny, ale niededukcyjny. Model apagogiczny: związek nieeksplanacyjny i niededukcyjny. A co z czwartą możliwością? kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 9 / 31
Ajdukiewicz i deszcz [1] Siedzę przy stole zajęty bardzo ciekawą lekturą i nie zważam na to, co dzieje się dokoła mnie. W pewnym momencie [...] spostrzegam, że niebo jest pochmure, a ulica jest mokra, lecz deszcz nie pada. Spostrzeżenie to prowadzi mnie do wniosku, że widocznie, w czasie gdy czytałem książkę, padał deszcz. W tym wnioskowaniu przesłanką było zdanie Ulica jest mokra, wnioskiem zdanie Padał deszcz. [...] Jasną jest rzeczą, że wniosek wysnuty z tej przesłanki nie wynika z niej wcale; może przecież ulica być mokra, choć deszcz nie padał, gdy np. ulica została skropiona przez beczkowóz. Zachodzi natomiast stosunek odwrotny [...] Wynikanie, jakie zachodzi między wnioskiem tego wnioskowania a przesłanką, jest mianowicie wynikaniem entymematycznym ze względu na [...] zdanie [...] Jeżeli padał deszcz, to ulica jest mokra. Znaczy to, że z samego wniosku Padał deszcz nie wynika jeszcze logicznie przesłanka Ulica jest mokra, ale z tego wniosku i ze zdania Jeżeli padał deszcz, to ulica jest mokra wynika już logicznie przesłanka tego rozumowania. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 10 / 31
Model eksplanacyjno-dedukcyjny: składniki procedury abdukcyjnej 1 Logika bazowa. 2 Metoda dowodowa. 3 Mechanizm generowania hipotez. 4 Implementacja kryteriów oceny hipotez. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 11 / 31
Hipoteza abdukcyjna i problem abdukcyjny [2] H jest hipotezą abdukcyjną dla zdania A na gruncie teorii X wówczas, gdy, z uwagi na przyjęte standardy wyprowadzalności spełnione są następujące warunki: (C1) (C2) zdanie A nie jest wyprowadzalne z X oraz zdanie A jest wyprowadzalne z X i H łącznie. Problem abdukcyjny: mając dany zbiór zdań X oraz zdanie A, takie że A nie jest wyprowadzalne z X, znajdź zdanie H (hipotezę abdukcyjną), takie że z X (po jego ewentualnej rewizji) oraz H łącznie wyprowadzalne jest A. Czy luka eksplanacyjna musi być luką dedukcyjną? kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 12 / 31
Kryteria oceny hipotez (C3) niesprzeczność: X {H} jest zbiorem niesprzecznym. (C4) istotność: A nie jest wyprowadzalne z samego H. (C5) minimalność: H jest najsłabszym z dostępnych wyjaśnień. (C6) preferencyjność: H jest najlepszym wyjaśnieniem z uwagi na założony porządek preferencji. (C7) odwrotna istotność: H nie jest wyprowadzalne z A. (C8) odwrotna minimalność: z H nie jest wyprowadzalne zdanie logicznie mocniejsze od A. (C9) prostota informacyjna: H jest formułowana przy pomoy oszczędnych środków językowych. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 13 / 31
Metoda Tabel Syntetycznych (MTS) [5; 6] Przykład Tabela syntetyczna Ω 1 dla derywacji formuły p (q r) ze zbioru X ={(p q) (p r)}: p p p (q r) q p q (p q) (p r) q (p q) (q r) (p (q r)) r q r p (q r) r (q r) (p (q r)) r p r (p q) (p r) r (p r) ((p q) (p r)) Podkreśleniem zaznaczone są ostatnie wyrazy ścieżek, stanowiących porażki. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 14 / 31
MTS kilka pojęć Definicja Syntetyczna inferencja s formuły B ze zbioru formuł Y = {D 1,..., D k } jest: 1 sukcesem wtw spełniony jest co najmniej jeden z następujących warunków: 1 istnieje co najmniej jedna formuła D i Y, taka że D i jest wyrazem s; 2 formuła B jest wyrazem inferencji s; 2 porażką wtw wyrazami s są wszystkie spośród następujących formuł: D i,..., D k, B. Twierdzenie Formuła B wynika logicznie ze zbioru formuł Y (symbolicznie: Y B) wtw istnieje tabela syntetyczna Ω dla derywacji formuły B ze zbioru Y, taka że każda ścieżka s tabeli Ω jest sukcesem. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 15 / 31
Tabele częściowe Przykład Częściowa tabela Ψ 2 tabeli Ω 1 dla derywacji formuły p (q r) ze zbioru X ={(p q) (p r)}: p q p q (p q) (p r) r (q r) (p (q r)) q (p q) (q r) (p (q r)) r p r (p q) (p r) (Będące porażkami ścieżki tabeli Ω 1 ) kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 16 / 31
Literały uwikłane Literał B jest uwikłany w syntetycznej inferencji s zbioru formuł X gdy: B należy do X bądź B jest w s wykorzystany w sposób istotny do wyprowadzenia któregoś z elementów X albo negacji któregoś z elementów X. Wersja dla purystów: Definicja Niech ciąg s = s 1,..., s n będzie syntetyczną inferencją zbioru formuł X = {A 1,..., A k }. Literał B jest uwikłany w syntetycznej inferencji s wtw: 1 istnieje wskaźnik i (1 i n), taki że B = s i ; 2 1 istnieje wskaźnik g = 1,..., k, taki że s i = A g lub 2 istnieją wskaźniki j > i oraz g = 1,..., k, takie że s j = A g albo s j = A g a ponadto s j jest wyprowadzalne z takiego zbioru formuł Y, że wszystkie elementy zbioru Y poprzedzają s j w ciągu s oraz s i Y, przy czym nie istnieje podzbiór właściwy Z zbioru Y, taki że s j jest wyprowadzalne z Z. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 17 / 31
Literały uwikłane, c.d. Przykład Syntetyczna inferencja s 3 zbioru formuł X = {(p q) (p r)}: s 3 = q, p, p r, r, p q, (p q) (p r) Jedynym literałem uwikłanym jest p. Przykład Syntetyczna inferencja s 4 zbioru formuł X = {p (q r), (p q) (p r)}: s 4 = p, r, q, q r, p (q r), p r, p q, (p q) (p r) Zbiory literałów uwikłanych: { p} oraz {q, r} (reguły są niedeterministyczne). kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 18 / 31
Hipoteza abdukcyjna MTS Definicja Formuła H jest hipotezą abdukcyjną dla formuły A z uwagi na zbiór formuł X wtw (C1 ) istnieje tabela syntetyczna Ω i dla derywacji formuły A ze zbioru formuł X, taka że przynajmniej jedna ścieżka tabeli Ω i jest porażką oraz (C2 ) istnieje tabela syntetyczna Ω j dla derywacji formuły A ze zbioru formuł X {H}, taka że każda ścieżka tabeli Ω j jest sukcesem. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 19 / 31
MTS: problem abdukcyjny 1 Z tabeli syntetycznej dla derywacji formuły A ze zbioru formuł X należy wybrać wszystkie ścieżki będące porażkami. 2 Bazując na zbiorach literałów uwikłanych w poszczególnych ścieżkach, należy wygenerować taką formułę H, że każda ścieżka tabeli syntetycznej dla derywacji formuły A ze zbioru formuł X {H} będzie sukcesem. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 20 / 31
MTS: procedura generowania hipotez abdukcyjnych dla formuły A z uwagi na zbiór formuł X = {B 1,..., B k } 1 Zbuduj tabelę syntetyczną Ω dla derywacji formuły A ze zbioru formuł X. 2 Jeżeli wszystkie ścieżki tabeli Ω są sukcesami, z X wynika logicznie A i nie istnieją hipotezy abdukcyjne dla A z uwagi na X. 3 Jeżeli co najmniej jedna ścieżka tabeli Ω jest porażką, utwórz częściową tabelę Ψ = {s 1,..., s r } (r 1) tabeli syntetycznej Ω, której elementami są wszystkie ścieżki tabeli Ω będące porażkami. 4 Dla ścieżki s 1 : 1 określ zbiór literałów uwikłanych w s 1 ; niech wszystkimi literałami uwikłanymi w s 1 będą formuły C 1,..., C p (gdzie p 1); 2 zbuduj formułę D 1 = (C 1... C p ). 5 Wykonaj krok 4 dla ścieżek s 2,..., s r (jeśli takowe istnieją); 6 Zbuduj formułę E = D 1... D r ; 7 Sprowadź formułę E do APN. 8 Każdy składnik F i (i każda formuła logicznie równoważna F i ) otrzymanej w efekcie formuły F 1... F t (gdzie 1 i t) jest (bazową) hipotezą abdukcyjną dla formuły A z uwagi na zbiór formuł X. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 21 / 31
MTS: kryteria oceny hipotez (C3) niesprzeczność: X {H} jest zbiorem niesprzecznym. W tabeli syntetycznej Ω j dla derywacji formuły A ze zbioru formuł X {H} na co najmniej jednej ścieżce tabeli powinny wystąpić zarówno wszystkie formuły ze zbioru X, jak i formuła H. (C4) istotność: A nie jest wyprowadzalne z samego H. Tabela syntetyczna dla derywacji A ze zbioru {H} powinna zawierać przynajmniej jedną ścieżkę będącą porażką. (C5) minimalność: H jest najsłabszym z dostępnych wyjaśnień. Dla dowolnej innej hipotezy H, takiej że H i H nie są sobie logicznie równoważne, tabela syntetyczna dla derywacji H ze zbioru {H} zawiera przynajmniej jedną ścieżkę będącą porażką. itd. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 22 / 31
Jan i bankomat Załóżmy, że interesuje nas, dlaczego Jan włamał się do bankomatu. Załóżmy również, że wiemy o Janie, co następuje: z1 Jeśli Janowi zabrakło gotówki, to włamał się do bankomatu lub pożyczył pieniądze od Eustachego. z2 Jeśli Janowi nie zabrakło gotówki, to poszedł na zakupy lub do ulubionego baru. z3 Jeśli Jan włamał się do bankomatu lub poszedł na zakupy, to widziano go w centrum handlowym. z4 Jeśli Jan pożyczył pieniądze od Eustachego lub poszedł do ulubionego baru, to nie widziano go w centrum handlowym. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 23 / 31
Jan i bankomat, c.d. W języku KRZ schematami tych zdań są następujące cztery formuły: z1 r (p q) z2 r (s t) z3 (p s) v z4 (q t) v Szukamy zatem hipotezy abdukcyjnej dla zdania p z uwagi na zbiór zdań X = {r (p q), r (s t), (p s) v, (q t) v}. W tym celu należy zbudować tabelę syntetyczną Ω dla derywacji formuły p ze zbioru X, a następnie utworzyć zbiór składający się z tych jej ścieżek, które są porażkami (zbiór ten jest tabelą częściową tabeli Ω dla derywacji p ze zbioru X ). Jedną z możliwych tabel częściowych przedstawia następujący przykład: kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 24 / 31
p t s t r (s t) q p q q t r (p q) v (q t) v s (p s) (p s) v t (s t) r r r (s t) s s t r (s t) p s v (p s) v v t (q t) (q t) v q (p q) r r (p q) s t s t r (s t) (p s) q t (p s) v v (q t) v kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 25 / 31
Jan i bankomat, c.d. Zbiory literałów uwikłanych w poszczególnych ścieżkach są następujące (poczynając od skrajnej lewej ścieżki): { p, q, v, s, t}, { p, q, v, s, t, r}, { p, q, r, s, v, t}, { p, q, r, s, t, v}. Koniunkcją zanegowanych koniunkcji uwikłanych literałów jest zatem formuła następująca: ( p q v s t) ( p q v s t r) ( p q r s v t) ( p q r s t v) A pierwszy krok sprowadzenia tej formuły do APN wygląda tak: (p q v s t) (p q v s t r) (p q r s v t) (p q r s t v) kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 26 / 31
Jan i bankomat, c.d. Kilka hipotez (spośród 1080) wartych uwagi to, na przykład, formuły następujące: h1 v r h2 q s t h3 s r h4 q r h5 v r s h6 q r s Wszystkie one spełniają zarówno warunek niesprzeczności, jak i warunek istotności. Hipoteza h5 nie spełnia warunku minimalności, ponieważ słabsze od niej są h1 i h3, podobnie h6, od której słabsza jest h3. Hipotezy h1 h4 są najsłabszymi z sześciu wymienionych: logicznie słabsze od nich są jedynie alternatywy hipotez bazowych. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 27 / 31
Jan i bankomat, c.d. h1 v r Jana widziano w centrum handlowym, ale zabrakło mu gotówki. Stąd, że zabrakło mu gotówki oraz z faktu, że jeśli Janowi zabrakło gotówki, to włamał się do bankomatu lub pożyczył pieniądze od Eustachego (z1), wynika, że włamał się do bankomatu lub pożyczył pieniądze od Eustachego. Skoro jednak widziano go w centrum handlowym, to, na mocy z4, nie pożyczył pieniędzy od Eustachego. Zatem włamał się do bankomatu. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 28 / 31
Jan i bankomat, c.d. h2 q s t Jan nie pożyczył pieniędzy od Eustachego, nie poszedł do baru i nie poszedł na zakupy. Skoro nie poszedł ani do baru, ani na zakupy, to znaczy, na mocy z2, że zabrakło mu gotówki. Z z1 wiemy, że w takim razie włamał się do bankomatu lub pożyczył pieniądze od Eustachego. Skoro jednak, zgodnie z h2, pieniędzy nie pożyczał, musiał włamać się do bankomatu. itd. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 29 / 31
Słabości modelu eksplanacyjno-dedukcyjnego Są liczne, ale o tym następnym razem. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 30 / 31
Źródła [1] Ajdukiewicz, K. [1974]. Logika pragmatyczna. PWN, Warszawa. [2] Aliseda, A. [2006]. Abductive Reasoning. Logical Investigations into Discovery and Explanation. Springer, Dordrecht. [3] Kapitan, T. [1997]. Peirce and the structure of abductive inference. W: Houser, N., Roberts, D. D., Evra, J. V. (red.). Studies in the Logic of Charles Sanders Peirce, Indiana University Press, Bloomington, 477 496. [4] Peirce, C. S. [1931 1958]. Collected Works, Charles Hartshorne, Paul Weiss, Arthur W. Burks (eds.), Harvard University Press, Cambridge, MA. [5] Urbański, M. [2002]. Tabele syntetyczne a logika pytań. Wydawnictwo UMCS, Lublin. [6] Urbański, M. [2009]. Rozumowania abdukcyjne. Modele i procedury. WN UAM, Poznań. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 31 / 31