Janusz Woch Zakład Inżynierii Ruchu Instytutu Transportu w Katowicach TEORIA POTOKÓW RUCHU Katowice, wrzesień 2001 TPR0-1 1
TPR0-2 1
SPIS TREŚCI 0. Wstęp...7/10 Literatura...10 1. Systemy obsługi masowej stracony czas (wg Zitek, 1974)...11/28 1.1. Stracony czas...11 1.2. Systemy obsługi...12 1.3. Cele teorii obsługi masowej...14 1.4. Procesy stochastyczne...16 1.4.1. Kilka przykładów... 18 1.4.2. Zapis procesu...18 1.4.3. Probabilistyczne charakterystyki procesu...19 1.4.4. Podstawowe klasy procesów...23 1.4.5. Proces Poissona...32/37 2. Uogólniony typ procesu stochastycznego(wg Zitek, 1974)...39/25 2.1. Liczba pojazdów na drodze...39 2.2. Łańcuchy Markowa...41 2.3. Procesy Markowa...48 2.4. Procesy niemarkowskie...58/61 3. Modele najprostszych systemów obsługi(wg Zitek, 1974)...63/27 3.1. Klasyfikacja Kendalla...64 3.2. System M/M/1...64 3.3. Regulaminy kolejki...74 3.4. Systemy M/M/n...83/89 4. Inne systemy(wg Zitek, 1974)...91/27 4.1. Systemy z ograniczoną długością kolejki...91 4.2. Systemy niemarkowskie...94 4.3. System M/D/1...96 4.4. Systemy M / El / 1...100 4.5. Systemy M/G/1...104 4.6. Systemy GI/M/1...111 4.7. Ogólne systemy jednokanałowe...113 LITERATURA 1-4...115/116 5. Metody Monte Carlo a symulacja potoków ruchu (wg Drew, 1968)...117/33 5.1. Wprowadzenie...117 5.2. Metody Monte Carlo...117 5.3. Przypadkowe spacery...120 5.4. Symulowana próbka (symulacja)...121 5.5. Liczby losowe...121 5.6. Generator liczb pseudolosowych...122 5.7. Systemy liczbowe...123 5.8. Metoda potęgi rezydualnej...124 5.9. Ciągi losowe odpowiadające założonym rozkładom...125 5.10. Metoda odwrotnej funkcji dystrybuanty...125 5.11. Metoda rozkładu punktowego...126 5.12. Dyskretne zakłócenia losowe...126 5.13. Specjalne metody konwersji...127 5.14. Techniki skaningowe...128 5.15. Kroki w symulacji...130 5.16. Program symulacyjny...132 5.17. Kalibracja modelu...137 5.18. Dlaczego symulować (wg Morgenthaler, 1961)...138 TPR0-3 1
5.19. Przykład włączania do autostrady (wg Drew,1967)...140 Problemy...145 Literatura...147 6. Metody symulacyjne SystemuOceny UkładówTorowych(SOUT)(wgWoch, 1977).149 6.1. Ogólne ujęcie zagadnień przepustowości jako problemu wymiarowania układów kolejowych...149 6.1.1. Układy i ich przepustowość...149 6.1.2. Elementy i charakterystyki układów...152 6.1.3. Proces regulacji...154 6.1.4. Modele układów...156 6.2. Kryterium optymalności układu...158 6.2.1. Problemy oceny układów...158 6.2.2. Optymalne obciążenie ruchowe układu...158 6.2.3. Ogólne kryterium optymalności układu...160 6.3. Symulacja komputerowa i optymalizacja algorytmiczna układów...162 6.3.1. Modele symulacyjne...166 6.3.2. Problemy statystyczne symulacji...167 6.3.3. Optymalizacja algorytmiczna układów...173 6.4. Modele szczegółowe i programy symulacyjne układów...177/28 6.4.1. Węzły torowe...177 6.4.2. Układy rozrządowe...185 6.4.3. Układy wielkie, zagadnienia regulacji ruchu...192 6.4.4. Uwagi praktyczne...197 6.5. Kierunki rozwoju metodyki wymiarowania układów kolejowych...198 6.6. Problemy...201 Literatura...204/205 7. Podstawowy model potoku ruchu w ujęciu klasycznym (wg Ashton, 1966)...207/11 7.1. Definicje i mierniki parametrów ruchu...207 7.2. Model podstawowy...215 8. Teorie dynamiczne, modele potoku ruchu podążania za liderem(wg Ashton, 1966).217 8.1. Wstęp...217 8.2. Matematyczne równania w prostym modelu podążania za liderem...218 8.3. Alternatywne rozważania równań stacjonarnych...227 8.4. Rozszerzenie równania bodziec reakcja...229 9. Teorie kinematyczne i analogie płynów(wg Ashton, 1966)...235/10 9.1. Wprowadzenie...235 9.2. Teoria ciągła...235 9.3. Bardziej skomplikowane modele...239 9.4. Związek z teoriami podążania za liderem...241 9.5. Boltzmano podobne teorie potoku ruchu...241 10. Podstawowy model potoku ruchu porównanie różnych modeli(wg Ashton,1966).245 10.1. Porównanie kształtu wykresów różnych funkcji modeli podstawowych...245 10.2. Zastosowanie teorii kolejek do modelu dopędzania (model Millera)...251 11. Od sygnałów ruchowych do cybernetyki ruchowej(wg Ashton, 1966)...255 11.1. Wprowadzenie...255 11.2. Sygnały ruchowe...255 11.3. Wzór na opóźnienie na skrzyżowaniu z sygnalizatorami...256 11.4. Optymalne ustawienie świateł o stałym cyklu...259 12. Stochastyczne podejście do problemów opóźnienia statycznego(wg Ashton, 1966)263 12.1. Wstęp...263 12.2. Proste modele skrzyżowań priorytetowych...266 12.3. Modele bardziej złożone...274 TPR0-4 1
12.4. Skrzyżowania sterowane światłami...278 12.5. Opóźnienia na drodze swobodnej...284 12.6. Wąskie gardła...285/286 12.7. Literatura 7 12...287/288 13. Dwa modele potoku ruchu (teoriokolejkowe)(wg Woch, 1998)...289/10 13.1. Model Haighta 289 13.2. Model Heidemanna 289 13.3. Właściwa definicja kolejki ruchowej...291 13.4. Zlepione procesy kolejek...295 14. Model ruchomego bufora typu M + / M + / 1 (wg Woch, 1998)...299/7 14.1.Warunek płynności ruchu...299 14.2. Model podstawowy...301 14.3. Modele przybliżone...304 15. Maksymalna płynność potoku(wg Woch, 1998)...307/7 15.1. Stały dystans drogi...307 15.2. Porównanie optymalnych gęstości potoku w obu modelach...311 16. Porównanie numerycznych wyników modeli Heidemanna i ruchomego bufora oraz maksymalnej płynności potoku ruchu(wg Woch, 1998)...315/7 16.1. Obliczenia Heidemanna...315 16.2. Obliczenia wg modelu ruchomego bufora...316 16.3. Obliczenia wg modelu maksymalnej płynności ruchu...318 16.4. Podsumowanie...319 Literatura 13 16...320 17. Przepustowość złożonych węzłów torowych a efektywność sieci kolejowej(wg Woch, 1999c)...323/22 17.1. Wprowadzenie...323 17.2. Ocena opóźnień i czasów czekania w ruchu kolejowym a ocena płynności ruchu...326 17.3. Charakterystyki czasów czekania i płynności ruchu odstępów węzłowych (wypukłe i wklęsłe funkcje intensywności)...334 17.4. Porównanie numerycznych wyników modelu maksymalnej płynności potoku ruchu kolejowego...341 Literatura...342/344 18. Praktyczne procedury estymacji odstępu granicznego (wg Brilon, Koenig, Troutbeck, 1999)...345/29 18.1. Wprowadzenie...345 18.2. Technika estymacji dla warunków nasycenia: metoda Sieglocha...347 18.3. Technika estymacji dla warunków nienasycenia...349 18.3.1. Metoda zwłoki...349 18.3.2. Podstawowe rozważania dla następnych metod...350 18.3.3. Metoda Raffa...351 18.3.4. Metoda Ashworda...351 18.3.5. Metoda Hardersa...352 18.3.6. Procedury typu logit...352 18.3.7. Procedury ufności...355 18.3.8. Metoda Hewitta...357 18.3.9. Procedury największej wiarygodności...358 18.4. Kryteria klasyfikacji metod estymacji...359 18.4.1. Dystrybuanta...359 18.4.2. Zgodność...360 18.4.3. Moc metod...360 18.4.4. Zgodność modeli przepustowości...360 TPR0-5 1
18.5. Badania symulacyjne...361 18.5.1. Opis pomysłu symulacji...361 18.5.2. Wyniki analizy odstępu granicznego...361 18.5.3. Wyniki estymacji wariancji odstępu granicznego...366 18.6. Wnioski...367 Dodatek definicje zmiennych...368 Literatura...370/371 19. Badania odstępu granicznego w Polsce (wg Chodur, 2001)...373/9 19.1. Badania empiryczne dla estymacji odstępu granicznego...373 19.2. Analiza czynników określających odstęp graniczny...375 19.3. Wnioski...378 Literatura...380/9 TPR0-6 1
WSTĘP Zasadniczą przyczyną powstania podręcznika akademickiego Teoria Potoków Ruchu jest zupełny brak takiej literatury w Polsce. Z jednej strony chodzi o podręcznik na odpowiednim poziomie matematycznym, a z drugiej strony ma być to podręcznik adresowany do nie matematyków. Przed 10 laty, gdy autor przygotowywał nowe przedmioty transportowe dla kierunku TRANSPORT w Instytucie Transportu Politechniki Śląskiej w Katowicach, był już dobrze doświadczonym wykładowcą takich przedmiotów na Wydziale Transportu Politechniki Krakowskiej w latach 1985 92 oraz przedmiotów informatycznych na Wydziale Transportu Politechniki Śląskiej w Katowicach w latach 1976 79. Z drugiej strony, ponad 25 letnia działalność badawcza autora, w dziedzinie informatycznych problemów kolejnictwa w Centrum Naukowo Technicznym Kolejnictwa w Katowicach, należała do problematyki przepustowości sieci kolejowych, co w tamtych czasach rozwoju techniki komputerowej było zastosowaniem symulacji komputerowej do rozwiązywania problemów przepustowości. Tak więc, również było naukową awangardą w rozwoju metod modelowania matematycznego sieci kolejowych, gdzie powstawały nowe metody matematyczno - informatyczne oceny przepustowości sieci kolejowych, co przedstawiono w rozdziale 6. W literaturze amerykańskiej symptomami nowej ery teorii potoków ruchu opartej na teorii masowej obsługi (teorii kolejek) były dwie książki: Haight (1963) oraz Drew (1968), natomiast w literaturze brytyjskiej: Ashton (1966). Podręcznik Drew ( 1968) jest również wzorcem przystępności wykładu treści matematycznych ilustrowanych bardzo dużą liczbą dowcipnych rysunków, zdradzających talent artystyczny autora. To wyjątkowa książka inżynierska, na bardzo wysokim poziomie matematycznym lub wyjątkowa książka matematyczna, na wysokim poziomie inżynierskim. Natomiast książka Ashtona (1966), na której oparto zasadniczy nurt tej książki jest bardzo typową publikacją matematyczną zawierającą małą liczbę rysunków, jak na przykład skądinąd doskonała książka o teorii masowej obsługi Zitka (1974), która w najprzystępniejszej formie prezentuje trudne treści matematyczne. Dlatego pierwsze cztery rozdziały książki zastały oparte na książce Zitka (1974), wzbogaconej o rysunki i komentarze na temat symulacji komputerowej systemów kolejkowych. W latach 60. i 70., kiedy powstały te książki i kiedy powstały liczne publikacje na temat symulacji komputerowej ruchu transportowego wydawało się, że inne sposoby modelowania matematycznego potoków ruchu, niż ujęcia teoriokolejkowe odejdą do historii. Tak się jednak nie stało i do dzisiaj stosuje się modele ciągłe, kłócące się z naszą wyobraźnią na temat zakłóceń ruchu, co wywołuje różne protesty Heidemanna (1996) i Wocha (1998). Z tego względu autor w zakresie teorii potoków ruchu poszerzył zakres książki Ashtona (1966), zawierającej pełny przegląd modeli klasycznych, również ciągłych modeli, a z drugiej strony będącej brytyjskim, londyńskim spojrzeniem na problemy przepustowości dróg, będącej polem zainteresowania teorii potoków ruchu. Przesłanki leżące u wyboru Ashtona (1966) jako poligonu problemów ruchowych nie straciły dla nas na aktualności, ponieważ problemy ruchowe Londynu w latach 60. były większe, niż nasze polskie problemy ruchowe, związane z zatłoczeniem ruchu w centrach miast. W ramach studiów na kierunku TRANSPORT Politechniki Śląskiej w Katowicach istnieją trzy przedmioty zintegrowane, a więc przedmioty ruchowo informatyczno matematyczne z odpowiednim laboratorium komputerowym. Są to Statystyka Procesów Transportowych (patrz Woch, 2001a) w semestrze III, Podstawy Inżynierii Ruchu w semestrze IV oraz Teoria Potoków Ruchu w semestrze V, co daje odpowiednią kolejność technologiczną. W ramach Podstaw Inżynierii Ruchu w semestrze IV wykładana jest teoria masowej obsługi (teoria kolejek), która stanowi podstawę matematyczną Teorii Potoków Ruchu. Jest to najbardziej matematyczny wątek, dlatego oparto się na książce TPR0-7 1
Zitek (1974), najprzystępniejszej z tego zakresu, którą dodatkowo wzbogacono o liczne rysunki ilustrujące wątek matematyczny, bez dowodów, a więc na takim samym poziomie matematycznym, jak książka Drew (1968), przyjętej tutaj jako wzorzec dydaktyczny. Do tej części dodane zostały dwa rozdziały o symulacji komputerowej ruchu na pasie wyjazdowym i wjazdowym autostrady wg Drew (1968) rozdział 5 - oraz symulacji komputerowej węzłów torowych wg Wocha (1977) rozdział 6. Jest to inżynierskie uzupełnienie modeli teoriokolejkowych o symulację komputerową, będącą podstawowym narzędziem tych metod w praktyce. Wydaje się być oryginalnym pomysłem dydaktycznym ilustrowanie teorii masowej obsługi odpowiednimi problemami symulacyjnymi. Ponieważ literatura zasadniczego nurtu Teorii Potoków Ruchu - rozdziały 7 16 - została uzupełniona jedynie o artykuły przeglądowe o aktualnych metodach oceny przepustowości węzłów torowych Wocha (2001b) (rozdział 17) oraz aktualnych metod oceny przepustowości skrzyżowań z drogą główną, a właściwie metod oceny odstępu granicznego Brilon, Koenig, and Troutbeck, (1999) (rozdział 18), a następnie odpowiednich metod w Polsce Chodur (2001) (rozdział 19), a więc z rozmysłem nie zamieszczono literatury Teorii Potoków Ruchu nie wykorzystujących metod teoriokolejkowych, z wyjątkiem rozdziałów 7-12 obejmujących tak zwaną klasykę Teorii Potoków Ruchu. Ujęcie tej klasyki przez Ashtona (1966) dalej pozostaje aktualne, zwłaszcza po wzbogaceniu o rysunki. Ograniczenie tematyki Teorii Potoków Ruchu tylko do modeli teoriokolejkowych ma wielu zwolenników i zawiera pewną manifestację poglądów autora na inne metody modelowania matematycznego, stosowane czasami w Teorii Potoków Ruchu, co wyjaśnia się w dalszym ciągu. Celem podręcznika jest połączenie pewnej, wciąż aktualnej klasyki Teorii Potoków Ruchu z lat 60. i 70., zawartych w książkach Ashtona (1966), Drew (1968), Haighta (1963) oraz Wocha (1977) z najnowszymi modelami oceny przepustowości dróg Teorii Potoków Ruchu Woch (1998, 2001b) (rozdziały 13-17) oraz najnowszymi metodami oceny odstępu granicznego Brilon, Koenig, i Troutbeck, (1999) (rozdział 18) oraz odpowiednimi metodami w Polsce Chodur (2001) (rozdział 19), co wymaga wyłożenia w najprostszej formie metod teorii kolejek i metod Monte Carlo, będących podstawowymi narzędziami matematycznymi tego typu modeli Teorii Potoków Ruchu. Dlatego pierwsze cztery rozdziały poświęcone są teorii kolejek opartej znanym podręczniku Zitka (1974). Wprowadzenie metod Monte Carlo, będących naturalnym przedłużeniem metod teorii kolejek, oparto na znanej książce Drew (1968) rozdział 5 ponieważ jest to zarazem zastosowanie metod Monte Carlo stosowanych do modelowania ruchu samochodowego w latach 60. w USA, natomiast rozdział 6 poświęcono zastosowaniu metod Monte Carlo do zbudowania nowych metod oceny przepustowości węzłów torowych, opartych na doświadczeniach autora w latach 70. Woch (1977) nazwanych wtedy metodami soutowskimi. Natomiast poza zasięgiem podręcznika jest rozwój Teorii Potoków Ruchu nie wykorzystujących narzędzi teorii kolejek, jak na przykład Daganzo, (1998), które pod względem modelowym niewłaściwie ujmują fizyczne aspekty potoków ruchu. Autor, jak widać, reprezentuje poglądy znakomitej większości zwolenników metod naturalnych w Teorii Potoków Ruchu, to znaczy metod teoriokolejkowych, które oprócz modeli analitycznych prowadzą do budowy modeli symulacji komputerowej w sensie metod Monte Carlo, co sprawia, że metody teoriokolejkowe traktowane są jako główne narzędzie matematyczne Teorii Potoków Ruchu. Z tego powodu połowę treści Teorii Potoków Ruchu stanowią treści teorii kolejek oraz metod Monte Carlo w modelowaniu przepustowości dróg. Autor przeżył tu szczególne doświadczenia z lat 60., 70. i 80. z zastosowania symulacji komputerowej węzłów torowych dla oceny przepustowości, które doprowadziły do nowych metod oceny przepustowości sieci kolejowej, nazwanych metodami soutowskimi, szeroko stosowanymi w praktyce, przedstawione w rozdziale 6 in statu nascendi, tj. na początku lat 70. oraz z dzisiejszej perspektywy w rozdziale 17. TPR0-8 1
Owczesna technika komputerowa przedstawiona w rozdziale 5 (Drew, 1968), jak i 6 (Woch, 1977), wywołuje rozbawienie wśród znawców możliwości dzisiejszej techniki komputerowej, podwajającej swe możliwości co półtora roku. Z tego względu w obydwu rozdziałach w tych miejscach, w których to wydawało się słuszne, umieszczono odpowiednie komentarze. Od strony dydaktycznej takie rozdziały 5 i 6 wydają się być niezwykle cenne, ponieważ stanowią dobre wprowadzenie do metod Monte Carlo w zagadnieniach przepustowości sieci transportowych. Aktualne ujęcie przedstawione w rozdzale 17 (Woch, 2001b) jest połączeniem modeli ruchomego bufora rozdział 14 (Woch, 1998) oraz największej oczekiwanej płynności ruchu rozdział 15 (Woch, 1998) oraz numerycznego porównania modeli Heidmanna, ruchomego bufora, największej oczekiwanej płynności ruchu z HCM 1996 rozdział 16 (Woch, 1998) z metodami oceny przepustowości węzłów torowych widzianych z pozycji nowego wieku. Autor również reprezentuje pogląd wielu autorów, którzy nie zgadzają się na założenie poissonowskości procesów ruchu, to znaczy wykładniczości odstępów między pojazdami. Jak wiadomo, większość stosowanych modeli przepustowości zawiera takie założenie. Większość autorów, między innymi Ashton (1968), Haight (1964), Drew (1968) oraz Heidemann (1996), a w inżynierii ruchu kolejowego Węgierski (1971) i Woch (1977) podają inne rozkłady prawdopodobieństwa niż Poissona lub wykładniczy. Ci, którzy nie zgadzają się na założenie wykładniczych odstępów potoków ruchu byli pionierami w zastosowaniu metod Monte Carlo do oceny przepustowości dróg, ponieważ do niedawna metody analityczne teorii kolejek nie spełniały oczekiwań. Sytuacja zmieniła się w roku 1998, kiedy powstały nowe narzędzia modelowe teorii kolejek, które pozwalają na budowę nowych modeli podstawowych: modelu ruchomego bufora - rozdział 14 (Woch, 1998) oraz modelu największej oczekiwanej płynności ruchu rozdział 15 (Woch, 1998). Modele te zyskują co raz więcej zwolenników. Istotą wszystkich potoków ruchu transportowego jest mała wariancja odstępów powstająca w wyniku konieczności utrzymywania bezpiecznych odległości. Jeżeli oznaczymy przez 1 µ oczekiwany odstęp między pojazdami, a - minimalny odstęp, to stosunek minimalnego odstępu do oczekiwanego jest w rzeczywistości bliski 0.8, jak to wykazał Heidemann (1996) w badaniach statystycznych w Niemczech. Dlatego wydaje się jedynie kwestią odpowiedniego czasu potrzebnego na popularyzację nowych, opracowanych przez autora, narzędzi teoriokolejkowych, tak zwanych zlepionych modeli M + / M + /1, pozwalających na modelowanie bezpiecznej odległości między pojazdami, za pomocą tego typu nowych narzędzi matematycznych. Pozwalają one na zakładanie przesuniętego rozkładu wykładniczego odstępów miedzy przybyciami oraz przesuniętego rozkładu czasu obsługi, gdzie elementarnym składnikiem drogi jest tak długi odcinek, że pozwala na płynny przejazd pojazdu, a więc za pomocą tych modeli można ocenić przepustowość drogi. Za pomocą modelu ruchomego bufora oraz modelu największej oczekiwanej płynności ruchu, które pozwalają na bardzo interesujące analizy porównawcze różnych modeli przepustowości. Zwolenników nowych modeli przepustowości drogi przybywa, powstała również wersja kolejowa tych modeli przedstawiona w rozdziale 17 (Woch, 2001b). Również najnowszym ujęciem jest przegląd metod oceny odstępu granicznego przedstawiony w rozdziale 18 (Brilon, Koenig, and Troutbeck, 1999) oraz odpowiednich polskich metod w rozdziale 19 (Chodur, 2001) TPR0-9 1
Autor ma nadzieję, że prezentowany podręcznik akademicki spotka się z życzliwością studentów oraz kolegów wykładowców. Gdyby pojawiły się jakieś uwagi Czytelników proszę o przesłanie na adres e-mail: janusz.woch@polsl.pl. Katowice, 27 września 2001 Janusz Woch Zakład Inżynierii Ruchu Instytutu Transportu w Katowicach Literatura Ashton, W.D., 1966. The theory of road traffic flow. METHUEN & CO LTD. Brilon, W., Koenig, R., Troutbeck, R.J., 1999. Useful estimation procedures for critical gaps. Transportation Research Part A 33, 161-186. Chodur, J., 2001. Estimation of the critical gaps performance of priority type intersection. Archives of Transport 13-1, 15-28. Drew, D. R.,1968. Traffic flow theory and control. McGraw-Hill Book Company, New York. Haight, F. A.,1963. Mathematical theories of traffic flow. Academic Press, New York. Heidemann, D.,1996. A queueing theory approach to speed-flow-density relationships. In: Transportation and Traffic Theory. (ed Lesort), Pergamon, 103-118. Woch, J.,1977. Ogólne ujęcie zagadnień przepustowości jako problemu wymiarowania układów kolejowych (w): Informatyka w planowaniu technicznym przewozów kolejowych (praca zbiorowa pod redakcją A. Truskolaskiego i J. Węgierskiego). WKŁ Warszawa. Woch, J.,1998. Kształtowanie płynności ruchu w gęstych sieciach transportowych. Polska Akademia Nauk Oddział w Katowicach, Komisja Transportu. Katowice, Wydawnictwo Szumacher. Woch, J., 2001a. Statystyka procesów transportowych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice. Woch, J., 2001b. Complex railway junctions capacities and railway network effectiveness. Archives of Transport,13-3, 87-108 Zitek, F., 1974. Stracony czas, Elementy teorii obsługi masowej. PWN, Warszawa. TPR0-10 1