Temat: Liczby definicje, oznaczenia, własności. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Podobne dokumenty
Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).

Systemy liczbowe. Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

O liczbach niewymiernych

Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV. Dział programowy: DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB NATURALNYCH

Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z?

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII

Wymagania z matematyki KLASA VII

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7

Zbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R.

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII SZKOŁY PODSTAWOWEJ

Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII

Wstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Zapis liczb. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015

Wstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Matematyka z plusem

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =

LICZBY - Podział liczb

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki w klasie VII.

Lista działów i tematów

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

stopień oblicza jeden z czynników, mając iloczyn i drugi czynnik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII

Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π

Definicja pochodnej cząstkowej

Systemy zapisu liczb.

SZKOŁA PODSTAWOWA NR 1 IM. ŚW. JANA KANTEGO W ŻOŁYNI. Wymagania na poszczególne oceny klasa VII Matematyka z kluczem

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY

NaCoBeZU z matematyki dla klasy 7

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy IV

Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne do klasy VII szkoły podstawowej na rok szkolny 2018/2019

Systemy liczenia. 333= 3*100+3*10+3*1

Lista działów i tematów

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN):

Zakres tematyczny - PINGWIN. Klasa IV szkoły podstawowej 1. Zakres treści programowych z I etapu kształcenia. 2. Liczby naturalne i działania:

Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum

Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

Kryteria ocen z matematyki w klasie IV

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

SZKOŁA PODSTAWOWA NR 1 IM. ŚW. JANA KANTEGO W ŻOŁYNI. Wymagania na poszczególne oceny klasa VIII Matematyka z kluczem

Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy 7 na podstawie planu wynikowego z rozkładem materiału

Matematyka z kluczem. Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7

Matematyka z kluczem. Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7

Wymagania edukacyjne niezbędne do otrzymania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki dla klasy VIII

KURS MATURA ROZSZERZONA część 1

TEMATY JEDNOSTEK METODYCZNYCH

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

Matematyka z kluczem

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY IV

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA IV

WYMAGANIA EGZAMINACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM

Ciągi liczbowe wykład 3

Systemy liczbowe. 1. System liczbowy dziesiętny

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

MATEMATYKA Z KLUCZEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY SIÓDMEJ

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Matematyka klasa 7 Wymagania edukacyjne na ocenę śródroczną.

Wymagań edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

Ciągi liczbowe. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IV

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Plan wynikowy z rozkładem materiału

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1

Matematyka. Klasa IV

I. LICZBY I DZIAŁANIA

Transkrypt:

Temat: Liczby definicje, oznaczenia, własności A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e

Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 2

System liczbowy System liczbowy to sposób zapisywania i nazywania liczb. Symbole słuŝące do zapisywania liczb to cyfry. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 3

System liczbowy Współcześnie powszechnie uŝywany jest system dziesiątkowy. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 4

Dziesiątkowy system liczbowy W systemie dziesiątkowym dziesięć jednostek niŝszego rzędu tworzy jedną jednostkę następnego, wyŝszego rzędu (rzędy: jedności, dziesiątek, setek, tysięcy, dziesiątek tysięcy, itd.). A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 5

Dziesiątkowy system liczbowy Liczby zapisuje się przy uŝyciu dziesięciu cyfr: 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 6

Dziesiątkowy system liczbowy Jest to system pozycyjny - wartość liczby zaleŝy od pozycji, na której zapisano cyfrę. 2 9 9 2 pozycja pozycja pozycja pozycja dziesiątek jedności dziesiątek jedności A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 7

Dziesiątkowy system liczbowy Wartości kolejnych pozycji moŝna wyrazić jako potęgi liczby 0.... 0 5 0 4 0 3 0 2 0 0 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 8

Inne systemy liczbowe Dwójkowy (pozycyjny, cyfry: 0, ) Szesnastkowy (pozycyjny, cyfry: 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) Rzymski (addytywny, cyfry: I, V, X, L, C, D, M) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 9

Dygresja R o z r óŝnia się systemy liczbowe pozycyjne i addytywne. W p o z y c y j n y c h s y s t e m a c h l i c z b o w y c h l i c z b a j e s t p r z e d s t a w i a n a j a k o c iąg cyfr, a wartość poszczególnych znaków cyfrowych z a l eŝy od ich połoŝenia (pozycji) względem sąsiednich znaków c y f r o w y c h ; n a t o m i a s t w a d d y t y w n y c h s y s t e m a c h l i c z b o w y c h w a r t ość przedstawionej liczby jest sumą wartości jej znaków c y f r o w y c h. P o z y c y j n y m i s y s t e m a m i l i c z b o w y m i są m. in.: d z i e s iątkowy, dwójkowy, a addytywnymi: hieroglificzny, rzymski, a l f a b e t y c z n y. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 0

Liczby naturalne Liczby naturalne to liczby: 0,, 2,..., 2,..., 0,..., 345,... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e

Oś liczbowa Oś liczbowa to prosta z zaznaczonym zwrotem, punktem początkowym i jednostką. 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 2

Oś liczbowa KaŜdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada liczba. A 0 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 3

Przykład Jeśli punkt A leŝy w odległości 2 jednostek na prawo od zera, to odpowiada mu liczba 2; mówimy, Ŝe punkt A ma współrzędną równą 2, co zapisujemy A=(2). A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 4

Przykład cd. A 0 2 A=(2) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 5

Uwaga Liczby nazywa się punktami na osi liczbowej, mówimy np. liczba 2 lub punkt 2. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 6

Interpretacja graficzna Liczby naturalne moŝna przedstawić na osi liczbowej: 0 2 3 4 5... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 7

Liczby całkowite Liczba przeciwna do a, to a. Na osi liczbowej liczby przeciwne a, a leŝą w tej samej odległości od zera, ale po jego przeciwnych stronach. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 8

Liczby całkowite Liczby całkowite to liczby naturalne, a takŝe liczby przeciwne do naturalnych:..., 3, 2,, 0,, 2, 3,... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 9

Uwaga KaŜda liczba naturalna jest liczbą całkowitą. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 20

Interpretacja graficzna Liczby całkowite moŝna przedstawić na osi liczbowej:... -3-2 - 0 2 3... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 2

Pojęcia... -3-2 - 0 2 3... a < 0 liczba ujemna a > 0 liczba dodatnia A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 22

Pojęcia cd.... -3-2 - 0 2 3... a 0 liczba niedodatnia a 0 liczba nieujemna A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 23

Pojęcia cd. Liczba 0 nie jest dodatnia i nie jest ujemna (mówimy, Ŝe 0 nie ma znaku). A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 24

Liczby wymierne Liczby wymierne to liczby, które moŝna przedstawić w postaci ilorazu (ułamka) liczb całkowitych p, q, gdzie q 0: p : q = p q licznik kreska ułamkowa mianownik A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 25

Przykłady 3 3 = = 6 2 0 = 0 3 = 3 3,52 = 352 00 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 26

Uwaga. Jeśli n jest dowolną liczbą naturalną, to n = n zatem kaŝda liczba naturalna jest liczbą wymierną. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 27

Uwaga 2. Jeśli c jest dowolną liczbą całkowitą, to c = c zatem kaŝda liczba całkowita jest liczbą wymierną. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 28

Rozwinięcie dziesiętne Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne (postać dziesiętną) liczby wymiernej p q naleŝy wykonać dzielenie p : q A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 29

Przykłady 3 = 0,5 = 0, 75 2 4 3 = 0,33... = 0, (3) 0 = 7, (42857) Powtarzającą się cyfrę lub grupę cyfr w rozwinięciu dziesiętnym nazywamy okresem. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 30

Uwaga. Rozwinięcie dziesiętne kaŝdej liczby wymiernej jest skończone lub nieskończone okresowe. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 3

Uwaga 2. Liczba przedstawiona w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego lub nieskończonego okresowego jest wymierna. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 32

Przykłady 0,(36) = 3 22 0,0(8) = 4 45 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 33

Interpretacja geometryczna Liczby wymierne na osi liczbowej:... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 34

Pytanie Czy po zaznaczeniu wszystkich liczb wymiernych na osi liczbowej zostaną jakieś niezaznaczone punkty? Tak! A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 35

Liczby niewymierne Liczba niewymierna to taka liczba, której nie moŝna przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych p, q, gdzie q 0. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 36

Przykłady liczb niewymiernych 2 3 π e A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 37

Liczba niewymierna 2 Liczba niewymierna 2 przedstawia długość przekątnej d kwadratu o boku a =. d a a A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 38

Liczba niewymierna 2 d a = a = Z tw. Pitagorasa: d = 2 + 2 = 2 2,4 42... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 39

Uwaga Niech n oznacza liczbę naturalną. Liczba postaci jest niewymierna, jeśli liczba n nie jest kwadratem innej liczby naturalnej. n A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 40

Uwaga cd. Zatem liczby: 2, 3, 5, 6, 7, 8, itd. są niewymierne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 4

Uwaga cd. Natomiast liczby: 0 = 0, 2, 4 = 3, 9 = 4, 6 = itd. sa wymierne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 42

Liczba niewymierna π Liczba π przedstawia stosunek długości okręgu do jego średnicy. l s π = s l długość okręgu s długość średnicy π 3,4K A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 43

PrzybliŜenia liczby π π 3,4K π 3,4592 653 589 793 238 462 643K A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 44

Mnemotechnika liczby π Dawno, dawno temu, w czasach gdy nie znano jeszcze komputerów osobistych, zapamiętanie wielu cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π ułatwiały wierszyki, w których liczby liter w kolejnych słowach odpowiadały cyfrom rozwinięcia dzięsiętnego. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 45

Mnemotechnika liczby π Wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego: Kuć i orać w dzień zawzięcie, 3 4 5 9 bo plonów nie-ma bez trudu, 2 6 5 3 5 Złocisty szczęścia okręcie kołyszesz... 8 9 7 9 Kuć. My nie czekajmy cudu, robota to potęga ludu. 3 2 3 8 4 6 2 6 4 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 46

PrzybliŜenia liczby π Kiedy Kto PrzybliŜenie π ok. 2000 lat p.n.e. Babilończycy 3 ok. 2000 lat p.n.e. III w. p.n.e. Egipcjanie Archimedes, Grecja 6 9 22 7 2 3,60... 3,428... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 47

PrzybliŜenia liczby π cd. Kiedy Kto PrzybliŜenie π XII w. XVI w. V w. Bhaskara, Indie Metius, Holandia Cu-Czungczy, Chiny 754 240 3,466... 355 dokładność do 6. 3 miejsca po przecinku A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 48

A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 49 PrzybliŜenia liczby π cd. PrzybliŜenie liczby π moŝna obliczyć ze wzoru Leibniza: ( ) = = + + + = 4 π 9 7 5 3 2 n n n K

Liczba niewymierna e e 2,78 28828 459K A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 50

Liczba niewymierna e e def = lim + n n n A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 5

A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 52 Liczba e w matematyce Suma szeregu: e n n = + + + + + = = K 4 3 2 3 2 2! 0

Liczba e w matematyce cd. Podstawa funkcji wykładniczej: f(x) = e x Obliczanie wartości e x : e x x n = n! n=0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 53

Liczba e w matematyce cd. Podstawa logarytmu naturalnego: log = e x ozn ln x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 54

Uwaga. JeŜeli a jest liczbą niewymierną, to liczby a+, a+2, a+3, itd. teŝ są liczbami niewymiernymi. Ogólniej: suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 55

Uwaga. cd. Zatem liczbami niewymiernymi są np.: + 2, 2 + e, 3 + π, itd. + 3, + e, + π, itd. 2 3 4 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 56

Uwaga 2. JeŜeli a jest liczbą niewymierną, to liczby a, a, 2, 3 4 a itd. teŝ są liczbami niewymiernymi. Ogólniej: iloczyn liczby niewymiernej i wymiernej róŝnej od 0 jest niewymierny. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 57

Uwaga 2. cd. Zatem liczbami niewymiernymi są np.: 7 7 3 4, 2 e, π, itd. 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 58

Uwaga 3. Rozwinięcie dziesiętne kaŝdej liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 59

Uwaga 4. Liczba przedstawiona w postaci rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego i nieokresowego jest niewymierna. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 60

Przykłady a = 2,3 33 333 3333... b = 4, 7 8 77 8 777 8 7777 8 77777... Cyfry rozwinięć dziesiętnych występują według takiej reguły, Ŝe nie moŝna wskazać miejsca, od którego powtarza się ta sama grupa cyfr. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 6

Liczby rzeczywiste Liczby wymierne i niewymierne wypełniają całą oś liczbową. Wszystkie liczby reprezentowane przez punkty na osi liczbowej to liczby rzeczywiste. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 62

Podsumowanie LICZBY RZECZYWISTE LICZBY WYMIERNE l. w. ma postać q p, gdzie p, q liczby całkowite, q 0 LICZBY NIEWYMIERNE l. nw. nie ma postaci q p, gdzie p, q liczby całkowite, q 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 63

Porównywanie liczb Do porównywania liczb rzeczywistych przydatna jest postać rozwinięcia dziesiętnego (reprezentacji dziesiętnej). A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 64

Na zakończenie... Uwaga o liczbach zespolonych w odniesieniu do rozwiązań równania x 2 + = 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 65