MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr.56, ISSN 1896-771X MODELOWANIE ZJAWISK KONTAKTOWYCH W ŁOŻYSKU SKOŚNYM METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Jan Kosmol 1a, Paweł Lis 1b 1 Katedra Budowy Maszyn, Politechnika Śląska a jkosmol@polsl.pl Streszczenie Obliczenia oporów ruchu w łożysku tocznym wymagają informacji o oddziaływaniach pomiędzy kulką i bieżniami łożyskowymi w strefach kontaktowych. Istniejące modele obliczeniowe nie zapewniają wystarczającej dokładności, ponieważ nie uwzględniają wpływu prędkości obrotowej na opory ruchu. Współczesne, komercyjne programy klasy Ansys umożliwiają modelowanie zjawisk kontaktowych, wykorzystując dostępne modele kontaktowe. W analizowanym przypadku wzięto pod uwagę model Frictional, który umożliwia modelowanie zarówno tarcia jak i przemieszczeń kulki względem bieżni pierścieni. W programie Ansys można symulować występowanie sił odśrodkowych wynikających z ruchu obiegowego kulki oraz sił żyroskopowych wnikających z ruchu obrotowego kulki wokół własnej osi i z jej ruchu obiegowego. Program Ansys pozwala obliczać siły (reakcje) występujące w strefach kontaktowych. Te siły, wraz ze współczynnikiem tarcia tocznego, pozwalają na oszacowanie momentu oporów ruchu łożyska w funkcji prędkości obrotowej i napięcia wstępnego łożyska. W referacie przedstawiono przykładowe wyniki takich badań dla wybranego łożyska tocznego skośnego. Słowa kluczowe: łożysko skośne, opory ruchu, MES MODELLING OF CONTACT EFFECTS IN BALL BEARING USING FINITE ELEMENT METHOD Summary Calculation of ball bearing resistance needs information about reactions in contact zone. Having such information and taking into account a coefficient of rolling friction the designer can calculates the resistance motion of a bearing. The contact forces depend on rotational speed and on preload of bearing. The rotational speed influences on centrifugal force and gyroscoping force. Professional finite element codes like Ansys makes possible to simulate contact effects in ball bearing using exited models of contact. We have used the Frictional model which enables to model friction and displacements of balls. Ansys makes possible to calculate the influence of centrifugal and gyroscopig forces caused by the ball while turn round the inner ring and turn round own axis on the forces in contact zones. The paper presents examples of results obtained from our simulation as an influence of rotational speed and preload on forces in contact zones and resistance motion of a bearing calculated on such forces. Keywords: ball bearing, resistance of movement, FEM 1. WSTĘP Rozwój obróbki ubytkowej w kierunku tzw. szybkościowego skrawania HSC (High Speed Cutting) wymusza znaczące zmiany w konstrukcji obrabiarek, które mają umożliwiać prace z wyraźnie większymi prędkościami obrotowymi, kilkanaście, a czasami i kilkadziesiąt tysięcy obr/min oraz prędkościami ruchów postępowych, sięgających 30-60 m/min i więcej. Ponadto maszyny takie muszą charakteryzować się wyraźnie lepszymi parametrami dynamicznymi, tzn., wysokimi przyspieszeniami ruchów w stanach przejściowych. Jedną z istotniejszych konsekwencji wyższych parametrów kinematycznych jest wzrastająca ilość ciepła, jaka powstaje w ruchowych parach kinematycznych. Wzrost prędkości obrotowej skutkuje wzrostem mocy strat (Nstrat=Moporow 65
MODELOWANIE ZJAWISK KONTAKTOWYCH W ŁOŻYSKU SKOŚNYM ω wrzeciona, gdzie: Nstrat jest stratami mocy, Moporów jest momentem oporów ruchu, ω wrzeciona jest prędkością kątową), i zmianami sił w strefach kontaktu elementów tocznych z pierścieniami łożyskowymi (wzrost prędkości obrotowej przyczynia się do wzrostu sił odśrodkowych i żyroskopowych od wirujących elementów tocznych), które wpływają na moment oporów ruchu. W literaturze [1] dostępne są analityczne modele obliczeniowe oporów ruchu łożysk tocznych, które bazują głównie na modelu Palmgrena. Model ten nie uwzględnia wpływu prędkości obrotowej na opory ruchu, dlatego może być stosowany w zakresie niższych prędkości obrotowych. Dla wyższych prędkości konieczne jest oszacowanie oporów ruchu od sił odśrodkowych i żyroskopowych. Obliczanie oporów ruchu wymaga informacji o siłach pomiędzy kulkami a bieżniami pierścieni i o współczynniku tarcia tocznego. W literaturze [1], [4], [5] dostępne są modele analityczne, które pozwalają oszacować wartości sił kontaktowych w funkcji napięcia wstępnego łożyska i jego prędkości obrotowej (prędkości pierścienia wewnętrznego lub zewnętrznego). Przyjmując, że siły tarcia tocznego w strefach kontaktowych są proporcjonalne do sił kontaktowych, można oszacować opory ruchu na drodze analitycznej. Takie oszacowanie będzie obarczone błędem doboru współczynnika tarcia tocznego. Ponadto, jak wykazują badania eksperymentalne [2], wyniki niekoniecznie pokrywają się z wynikami obliczeń analitycznych. Badania numeryczne, np. metodą elementów skończonych, stwarzają możliwość uwzględnienia tarcia ślizgowego przy wyznaczaniu oddziaływań pomiędzy kulkami i bieżniami łożyska w strefach kontaktowych. Współczesne komercyjne programy do obliczeń MES dostarczają bogatego wyboru modeli kontaktowych, w których istnieje możliwość uwzględnienia tarcia ślizgowego. Dlatego wydaje się zasadne, aby przeprowadzić stosowne badania numeryczne i porównać otrzymane wyniki z wynikami badań analitycznych i eksperymentalnych. Taki też jest główny cel niniejszego artykułu. c) 2. MODEL GEOMETRYCZNY ŁOŻYSKA DLA POTRZEB MES Badania numeryczne przeprowadzono w systemie Ansys dla łożyska skośnego typu FAG 7OB13-E-T-P4. Jest to łożysko jednorzędowe, o średnicy zewnętrznej 100 mm i wewnętrznej 65 mm, szerokości 18 mm, liczbie kulek 19 i kącie działania 25 0. Model geometryczny CAD łożyska przedstawiono na rys. 1. Z uwagi na dużą liczbę płaszczyzn i osi symetrii do badań symulacyjnych metodą elementów skończonych można było użyć modelu bardzo uproszczonego, jak na rys. 2a i rys. 2b. Rys. 1. Model CAD łożyska tocznego skośnego Dla ułatwienia procesu zagęszczania siatki elementów skończonych wyodrębniono, w sposób geometryczny, te obszary, w których występują zjawiska kontaktowe, tj. obszar kontaktu kulki z bieżnią pierścienia zewnętrznego i z bieżnią pierścienia wewnętrznego. Na Rys. 2a i Rys. 2b można te obszary wyraźnie dostrzec. Dla takiego modelu geometrycznego, uwzględniając zagęszczenie siatki w obszarach kontaktu, liczba elementów skończonych i tak przekroczyła 150 tyś., przy czym wielkość elementu w strefie zagęszczonej wyniosła 0,1-0,15 mm a w pozostałych strefach ok. 0,5 mm. Widok modelu łożyska po wygenerowaniu siatki ES przedstawia Rys. 2c. Przyjęto, że wszystkie elementy łożyska mają takie same właściwości materiałowe jak stal łożyskowa ŁH 15, znajdująca się w bazie materiałowej Ansysa. Rys. 2. Model geometryczny łożyska: a) i b) dla potrzeb MES, c) widok po meszowaniu (c) 66
Jan Kosmol, Paweł Lis 3. WARUNKI OBCIĄŻENIA MODELU I WARUNKI BRZEGOWE Definiując warunki brzegowe modelu ES, odebrano stopnie swobody tylko w kierunku prostopadłym do powierzchni (rys. 3a). Takie założenie jest bliskie stanowi rzeczywistemu w odniesieniu do płaszczyzn czołowych łożyska (rys. 3a) ale nie w odniesieniu do powierzchni walcowych pierścienia zewnętrznego i wewnętrznego. Ciasne pasowanie pierścienia zewnętrznego c) łożyska w gnieździe łożyskowym (rys. 3b) i pierścienia wewnętrznego na czopie wałka (rys. 3b) powoduje powstanie sił tarcia, które znacząco ograniczają ewentualne przemieszczenia osiowe obu pierścieni. Odebranie stopni swobody tym pierścieniom tylko w kierunku normalnym do tych powierzchni jest dużym uproszczeniem modelu ES. W płaszczyznach wynikających z symetrii odebrano stopnie swobody w kierunku normalnym do nich (płaszczyzna C na rys. 3c). Rys. 3. Warunki brzegowe dla potrzeb MES: a) dla płaszczyzny czołowej (płaszczyzna B), b) dla powierzchni walcowej, c) dla płaszczyzny symetrii podziału łożyska (płaszczyzna C) Warunki obciążenia modelu łożyska dobrano stosownie do celu badań, tj. do oceny wpływu napięcia wstępnego oraz wpływu prędkości obrotowej na siły kontaktowe. W modelu ES napięcie wstępne zamodelowano w postaci ciśnienia działającego na płaszczyznę czołową pierścienia zewnętrznego (rys. 4a). Ruch obrotowy pierścienia wewnętrznego, a tym samym wirowania kulek wokół osi łożyska i ruch obrotowy kulek wokół własnej osi wywołuje powstanie dwóch sił: odśrodkowej i żyroskopowej. Obie te siły znacząco wpływają na siły w strefach kontaktowych. Na rys. 4a pokazano przykładowe usytuowanie wektora siły w strefie kontaktu kulki i pierścienia zewnętrznego. Rys. 4. Sposób modelowania obciążeń: a) napięcia wstępnego, b) siły działającej na kulkę w strefie kontaktu kulki z bieżnią pierścienia zewnętrznego W systemie Ansys, dla zamodelowania sił odśrodkowych lub żyroskopowych, trzeba zdefiniować prędkość obrotową i położenie osi obrotu. Prędkość wirowania kulek nm obliczono następująco: 1 D = k cos α D + + k cos α nm ni 1 no 1 2 d m d m (1) Natomiast dla obliczenia prędkości obrotowej kulek wokół własnej osi skorzystano z formuły [1]: gdzie: n d D ( ) k cosα Dk cosα n n 1 1 = m k o i 2Dk dm dm + (2) nm - prędkość wirowania kulek wokół osi łożyska, ni, no - prędkości obrotowe pierścienia wewnętrznego i zewnętrznego łożyska, Dk - średnica kulki, dm - średnia średnica łożyska, α - nominalny kąt działania łożyska, nk - prędkość obrotowa kulki wokół własnej osi. 67
MODELOWANIE ZJAWISK KONTAKTOWYCH W ŁOŻYSKU SKOŚNYM 4. MODEL KONTAKTOWY Ponieważ celem badań jest wyznaczenie sił występujących pomiędzy kulką a bieżniami łożyska, to przyjęcie określonego modelu kontaktu tych elementów jest zagadnieniem pierwszoplanowym. Przyjęto nieliniowy, sprężysty model Hertza, w którym związek pomiędzy odkształceniami kontaktowymi a siłami normalnymi można przedstawić następująco: 3 Q 2 i = Ki δi 3 Q 2 o = Ko δo (3) gdzie: Qi, Qo - siły w strefie kontaktu kulki z bieżnią wewnętrzna i zewnętrzną, δi, δo - odkształcenia kontaktowe, Ki, Ko - sztywność kontaktowa. Do modelowania strefy kontaktowej metodą numeryczną przyjęto dostępny w systemie Ansys model kontaktu Frictional, który umożliwia uwzględnienie zarówno tarcia jak i poślizgu kulki w kierunku stycznym względem bieżni łożyskowych. W modelu tym należy zadeklarować wartość współczynnika tarcia oraz tzw. współczynnika sztywności zamiast wartości sztywności. Jego wartość dostrojono tak, aby uzyskać jak najlepszą zgodność wyników z badaniami eksperymentalnymi. Ponadto należało dokonać wyboru algorytmu obliczeniowego. Przyjęto algorytm AugmentedLagrange. Ważnym parametrem modelu kontaktowego jest obszar, w którym program (Ansys) szuka kontaktu pomiędzy zdefiniowanymi powierzchniami. W Ansysie jest to Pinball Region. Przyjęto jego wartość na poziomie 0,3, co oznacza poszukiwanie najbliższego kontaktu w obszarze kuli o promieniu 0,3 mm. 5. WYNIKI SYMULACJI 5.1. WPŁYW NAPIĘCIA WSTĘPNEGO Na rys. 5a przedstawiono przykładowy rozkład naprężeń redukowanych Misesa dla napięcia wstępnego 1000N a na rys. 5b zależność pomiędzy maksymalnymi wartościami naprężeń a napięciem wstępnym łożyska w osiach X, Y i Z. Rys. 5. Przykładowy rozkład naprężeń: a)graficzna prezentacja dla napięcia wstępnego 1000N, b) zależność maksymalnych wartości od napięcia wstępnego modelu łożyska Naprężenia koncentrują się w skrajnych obszarach kontaktu kulki z bieżniami, natomiast zależność między maksymalnymi wartościami naprężeń a napięciem wstępnym jest zbliżona do liniowej. Naprężenia w osi Z są o ok. 60-70% większe niż w osiach X i Y. Z punktu widzenia celu badań najistotniejszy jest wpływ napięcia wstępnego na wielkość oddziaływań (sił) w strefach kontaktu. Dlatego na rys. 6 pokazano zależność wielkości tych sił w obszarze kontaktu kulki z bieżnią zewnętrzną (Qo) i wewnętrzną (Qi) od napięcia wstępnego. Praktycznie siły kontaktowe na obu bieżniach są takie same, co jest zgodne z teorią i są proporcjonalne do napięcia wstępnego. Dla rozpatrywanego przykładu łożyska skośnego można przyjąć, że 1N napięcia wstępnego wywołuje 0,0487 N siły kontaktowej. Taką relację pomiędzy napięciem wstępnym a siłami kontaktowymi można wziąć do obliczeń oporów ruchu łożyska, spowodowanych napięciem wstępnym łożyska skośnego. Rys. 6. Zależność sił kontaktowych od napięcia wstępnego modelu łożyska: Qo, Qi - siły kontaktowe pomiędzy kulką a pierścieniem zewnętrznym i wewnętrznym 68
Jan Kosmol, Paweł Lis 5.2. WPŁYW PRĘDKOŚCI OBROTOWEJ Prędkość obrotowa łożyska (pierścienia wewnętrznego) i kulki wywołuje pojawienie się siły odśrodkowej i siły żyroskopowej. Na rys. 7a pokazano wpływ siły odśrodkowej (prędkości obrotowej) oraz napięcia wstępnego na maksymalne naprężenia redukowane, a na rys. 7b na przemieszczenie całkowite w strefach kontaktu. Rys. 7. Wpływ prędkości obrotowej (siły odśrodkowej) na: a) maksymalne naprężenia redukowane, b) całkowite przemieszczenia w strefach kontaktu Wartości liczbowe naprężeń przewyższają te, które spowodowane zostały napięciem wstępnym, ale dla prędkości powyżej 12000 obr/min. Poniżej tej prędkości naprężenia nie ulegają znaczącym zmianom. Przemieszczenia całkowite maleją wraz ze wzrostem prędkości (do ok. 8000-14000 obr/min), a następnie rosną. Wartości liczbowe przemieszczeń dla przykładowego łożyska wynoszą 4-6 µm. Na rys. 8 pokazano wpływ prędkości obrotowej (siły odśrodkowej) na siły w strefach kontaktowych zewnętrznej (a) i wewnętrznej (b). Rys. 8. Wpływ prędkości obrotowej (siły odśrodkowej) na siły kontaktowe pierścieni: a)zewnętrznego, b) wewnętrznego Na podstawie rys. 8 można stwierdzić, że prędkość obrotowa znacząco wpływa na siły kontaktowe w strefie pierścienia zewnętrznego, natomiast praktycznie nie wpływa na siły kontaktowe w strefie pierścienia we- wnętrznego. Tak wyznaczone siły kontaktowe mogą być podstawą do obliczenia momentu oporów ruchu w funkcji prędkości obrotowej i napięcia wstępnego. Rys. 9. Wpływ prędkości obrotowej (sił żyroskopowych) na: a) maksymalne naprężenia redukowane, b) całkowite przemieszczenia w strefach kontaktu 69
MODELOWANIE ZJAWISK KONTAKTOWYCH W ŁOŻYSKU SKOŚNYM Podobny sposób postępowania zastosowano do oceny wpływu sił żyroskopowych na siły kontaktowe. Na rys. 9 przedstawiono wpływ prędkości obrotowej (sił żyroskopowych) na naprężenia redukowane i na całkowite przemieszczenia w strefach kontaktowych. Przebiegi na rys. 9a są bardzo podobne do rys. 7a. Podobny wniosek można sformułować pod adresem przemieszczeń (porównaj rys. 9b i rys 7b). Na rys. 10 przedstawiono wpływ prędkości obrotowej (siły żyroskopowej ) na siły w strefach kontaktowych. Rys. 10a przedstawia siły kontaktowe w strefie pierścienia zewnętrznego, a rys. 10b, w strefie pierścienia wewnętrznego. W przeciwieństwie do wpływu siły odśrodkowej siła żyroskopowa przyczynia sie do wzrostu sił kontaktowych w obu strefach kontaktowych. Przyrost tych sił ma jednak miejsce dopiero przy wysokich prędkościach obrotowych. Dla prędkości mniejszych można wstępnie założyć, że prędkość obrotowa (siły żyroskopowe) nie wpływa znacząco na siły kontaktowe w obu strefach kontaktowych. Rys. 10. Wpływ prędkości obrotowej (siły żyroskopowej) na siły kontaktowe pierścieni: a) zewnętrznego, b) wewnętrznego 6. PODSUMOWANIE W artykule przedstawiono wyniki badań symulacyjnych zjawisk kontaktowych, jakie zachodzą podczas współpracy kulki z bieżniami łożysk skośnych. Analiza była przeprowadzona metodą elementów skończonych. Przeprowadzone badania potwierdzają możliwość wyznaczania sił (oddziaływań), jakie powstają w strefach kontaktowych kulki z bieżniami łożysk. To stwarza możliwość oceny oporów ruchu łożyska, wywołanych siłami tarcia tocznego po przyjęciu współczynnika tarcia. Możliwa jest ocena ilościowa wpływu napięcia wstępnego łożyska oraz prędkości obrotowej łożyska (pierścienia wewnętrznego) i prędkości obrotowej kulek wokół własnej osi na siły kontaktowe. Stwierdzono, że wpływ prędkości obrotowej na siły kontaktowe jest znaczny, ale dopiero przy wysokich prędkościach obrotowych (w badanym łożysku powyżej 12000 obr/min). Dla prędkości niższych, przy wstępnym oszacowaniu oporów ruchu łożyska, wpływ ten można pominąć. Ten wniosek może potwierdzać zasadność powszechnego stosowania formuły Palmgrena [1] dla obliczania oporów ruchu łożysk tocznych, w której nie występuje parametr prędkości obrotowej. Jednakże dla wrzecion szybkobieżnych, w obrabiarkach HSC, prędkości obrotowe nierzadko przekraczają kilkanaście, a i kilkadziesiąt tysięcy obr/min, i wówczas formuła Palmgrena prowadzi do zbyt dużych błędów. Co ważne, opory ruchu są wówczas zaniżone. Literatura 1. Harris T., Kotzalas M.: Rolling bearing analysis.5th ed. Essential Concepts of Bearing Technology. Taylor&Francis Group, London, 2013, p.371. 2. Kosmol J., Chwieduk P.: Doświadczalne wyznaczanie oporów ruchu łożyska skośnego. Modelowanie Inżynierskie 2014, nr 51, t. 20, s.42-47. 3. Lis P.: Badania modelowe łożyska skośnego metodą elementów skończonych. Praca dyplomowa. Gliwice: Pol. Śl., 2014. 4. Liao N.T., Lin J.F.: Ball bearing skidding under radial and axial loads. Mechanism and Machine Theory 2002, 37, p. 91-113. 5. Antoine F., Abba G., Molinari A.: A new proposal for explicit angle calculation in angular contact ball bearing. Journal of Mechanical Design 2005, Vol. 128 (2), p. 468-478 70