METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Projekt Prowadzący: prof. nadzw. Tomasz Stręk Wykonali: 1. Kornelia Matusiak 2. Paweł Łuszczewski Grupa: KMiU Semestr: VII Rok akademicki 2013/2014
Spis treści I. Przewodzenie ciepła....3 1. Wstęp....3 2. Przeprowadzone badania....4 3. Teoretycznie wyznaczona wartość wydzielonego ciepła Q w....5 4. Analiza zagadnienia przy użyciu programu COMSOL Multiphysics....6 5. Wnioski.... 10 II. Naprężenia i odkształcenia.... 11 1. Wstęp.... 11 2. Analiza zagadnienia przy użyciu programu COMSOL Multiphysics.... 14 3. Wyniki symulacji.... 20 4. Wnioski.... 22 III. Dynamika płynów... 23 1. Wstęp.... 23 2. Przeprowadzone badania... 23 3. Teoretycznie wyznaczona wartość liczby Reynoldsa dla danej prędkości.... 24 4. Analiza zagadnienia przy użyciu programu COMSOL Multiphysics.... 25 5. Wnioski.... 30 2
I. Przewodzenie ciepła 1. Wstęp Przewodzenie ciepła to proces wymiany ciepła między ciałami o różnej temperaturze pozostającymi ze sobą w bezpośrednim kontakcie. Polega on na przekazywaniu energii kinetycznej bezładnego ruchu cząsteczek w wyniku ich zderzeń. Proces prowadzi do wyrównania temperatury między ciałami. Przewodnictwem cieplnym nie jest przekazywanie energii w wyniku uporządkowanego(makroskopowego) ruchu cząstek. Ciepło płynie tylko wtedy, gdy występuje różnica temperatur, w kierunku od temperatury wyższej do temperatury niższej. Z dobrym przybliżeniem dla większości substancji ilość energii przekazanej przez jednostkę powierzchni w jednostce czasu jest proporcjonalna do różnicy temperatur, co opisuje równanie różniczkowe Fouriera: Q t = k S T ds Wzór ten dla jednorodnego przewodzenia ciepła przez cienką ściankę prostopadle do jej powierzchni w kierunku x przyjmuje postać: Q = A dt dx gdzie: - Q - natężenie przepływu ciepła (ilość ciepła wymieniona w jednostce czasu) - λ współczynnik przewodzenia ciepła - A - powierzchnia wymiany ciepła - T temperatura. Przewodność cieplna, inaczej współczynnik przewodnictwa ciepła λ, określa zdolność substancji do przewodzenia ciepła. W tych samych warunkach więcej ciepła przepłynie przez substancję o większym współczynniku przewodności cieplnej. gdzie: Równanie, które służy do obliczania przewodnictwa cieplnego: - t,a - współczynnik czasowego skalowania, T δ t,a ρc p k T = Q t 3
- - gęstość, - Cp pojemność cieplna. - k tensor przewodności cieplnej, - Q źródło ciepła. 2. Przeprowadzone badania W celu przeprowadzenia analizy przepływu ciepła, jako model przyjęliśmy grzałkę elektryczną nurkową do ogrzewania cieczy. Dane charakterystyczne grzałki zostały przedstawione w tabeli 1. Tabela 1. Dane charakterystyczne grzałki. Dane charakterystyczne grzałki Moc znamionowa 1000W Napięcie zasilania 220V Materiał drutu Stal nierdzewna AISI 304 Średnica drutu 5mm Średnica spirali grzałki 50mm Całkowita długość drutu 693mm Kształt grzałki został zaprojektowany w oparciu o grzałkę firmy GWARANT (Rys. 1). Rysunek 1. Grzałka do wody firmy GWARANT. Badanie polegało na dobraniu takiej wartości źródła ciepła Q, aby grzałka w ciągu 120 sekund nagrzała się powyżej temperatury 100 C, analizie rozkładu temperatury na drucie grzałki orazna wyznaczeniu zgodnie z prawem Joul a teoretycznej wartości wydzielonego ciepłaq w i porównaniu otrzymanych wartości. 4
3. Teoretycznie wyznaczona wartość wydzielonego ciepła Q w. Prawo Joule'a, zwane również prawem Joule'a-Lenza, pozwala wyznaczyć ilość ciepła, które wydziela się podczas przepływu prądu elektrycznego przez przewodnik elektryczny. Ilość ciepła wydzielanego w czasie przepływu prądu elektrycznego przez przewodnik elektryczny jest wprost proporcjonalna do iloczynu oporu elektrycznego przewodnika, kwadratu natężenia prądu i czasu jego przepływu. gdzie: Zależność tą można wyznaczyć wzorem: - R- opór elektryczny przewodnika, - I natężenie prądu elektrycznego, - t czas przepływu prądu. Dane wejściowe: P = 1000W U = 220 V t= 120 s Q w = RI 2 t I = 1000 220 I = P U = 4,55 [A] Q w = RI 2 t = Pt = 1000 120 = 120000 [J] Ilość wydzielonego ciepła przez przewodnik wynosi 1,2*10 5 J. 5
4. Analiza zagadnienia przy użyciu programu COMSOL Multiphysics Analiza została przeprowadzona w programie COMSOL Multiphhysics w module Heat Transfer ConductionTransient Analysis. Rysunek 2. Model CAD 3D grzałki (widok I). Rysunek 3. Model CAD 3D grzałki (widok II). Założeniem, przy przeprowadzaniu doświadczenia, było nagrzanie materiału drutu grzałki do temperatury pozwalającej zagotować wodę (powyżej 100 C) w czasie t=120s. Dane podstawowe dotyczące badania przedstawione zostały przedstawione poniżej (Tabela 2). 6
Tabela 2. Dane podstawowe. Informacje podstawowe Rodzaj analizy Heat Transfer Convection and Conduction Ilośćwymiarów 3D (analizatrójwymiarowa) Liczbaelementów w siatce 31850 Zależnoścczasowa 0:10:120 Temperaturapoczątkowa 293 K (20 C) Rysunek 4. Model z wygenerowaną siatką. Rysunek 5. Definiowanie parametrów równania (cz. 1). 7
Rysunek 6.Definiowania parametrów równania (cz. 2). Rysunek 7. Definiowanie parametrów równania (cz. 3). 8
Rysunek 8. Definiowania warunków brzegowych. Wydzielanie ciepła (źródło ciepła) było sukcesywnie zwiększane aż do osiągnięcia zamierzanej wartości temperatury grzałki. Wymaganą temperaturę udało się osiągnąć przy prędkości generowania ciepła Q=0.3*10 7 W/m 3. Pozwoliło to na osiągnięcie temperatury T=388K (115 C) drutu grzałki (Rys. 8). Rysunek 9. Rozkład temperatury na drucie grzałki w chwili t=120s. 9
Rysunek 10. Rozkład temperatury na drucie grzałki w chwili t=60s. 5. Wnioski. Analizując otrzymane zmiany rozkładu temperatury na drucie grzałki, można zauważyć, że drut nagrzewa się równomiernie. Wynika to z faktu, iż przepływający przez przewodnik prąd powoduje równomierne generowanie ciepła w drucie grzałki. 10
II. Naprężenia i odkształcenia 1. Wstęp Przedmiotem badania była korba rowerowa wykonana ze stopu aluminium PA9. Jest to typowy stop wykorzystywana przy produkcji tego typu części roweru. Szczegółowe dane materiałowe zostały zamieszczone poniżej (Tabela 3 i 4).Stop aluminium PA9 (7075) charakteryzuje się wysokimi właściwościami wytrzymałościowymi, bardzo dobrą przewodnością cieplną i średnią odpornością na korozję, jak również bardzo dobrą skrawalnością i polerowalnością. Analiza wykonywana była przy użyciu programu COMSOL Multiphysics (podstawowe dane dotyczące analizy zostay zamieszczone w tabeli 5). Tabela 3. Skład chemiczny stopu aluminium PA6. Si Fe Cu Mn Mg Cr Zn Ti Inne 1.20 2.10 0.18 5.10 0.40 0.50 0.30 0.20-2.00 2.90 0.28 6.10 Tabela 4. Właściwości stopu aluminium PA6. Wytrzymałość na rozciąganie [MPa] 480-540 Granica plastyczności R p0,2 [MPa] 390-470 Twardość [HB] 104-157 Wydłużenie A5 [%] 6-8 Przewodność cieplna [W/mK] 130-160 Gęstość [g/cm3] 2,80 Tabela 5. Dane podstawowe analizy naprężeń i odkształceń korby rowerowej. Informacje podstawowe Rodzaj analizy Ilośćwymiarów Structural Mechanics Solid, Stress-Strain 3D (analizatrójwymiarowa) Liczbaelementów w siatce 160134 Temperaturapoczątkowa 293 K (20 C) 11
Koba była analizowana w położeniu granicznym, czyli podczas rozpoczynania jazdy na rowerze (oś symetrii korby jest równoległa do osi kół zębatych przekładni łańcuchowej). Miało to na celu, w sposób najbardziej przybliżony, odwzorowanie rzeczywistej pracy korby roweru. Rysunek 11. Korba roweru (widok I). Rysunek 12. Korba roweru (widok II). 12
Rysunek 13. Korba roweru (widok III). Rysunek 14. Korba roweru (widok IV). 13
2. Analiza zagadnienia przy użyciu programu COMSOL Multiphysics Dla uproszczenia, jako powierzchnię na której została przyłożona siła została przyjęta część pedała na której oparta jest stopa użytkownika roweru. Ze względu na układ współrzędnych związanych z zaimportowanym modelem CAD 3D siła nacisku na powierzchnię została odpowiednio rozłożona na dwie składowe w osi Y i Z. W tabeli 4 zamieszczone zostały podstawowe dane wykorzystywane podczas przeprowadzania symulacji. Tabela 6. Dane podstawowe wykorzystywane w symulacji. Masa osoby korzystającej z roweru Wartość siły oddziaływującej na korbę Składowa siły w osi Y Składowa siły w osi Z Pole powierzchni na które została przyłożona siła 120 kg 1177,2 N 848.53 N 848,53 N 2,946*10-3 m 2 Obciążenie oś Y 288027 N/m 2 Obciążenie oś Z 288027 N/m 2 Rysunek 15. Definiowanie parametrów równania (cz. 1). 14
Rysunek 16. Definiowanie parametrów równania (cz. 2). Rysunek 17. Definiowanie parametrów równania (cz. 3). 15
Rysunek 18. Definiowanie parametrów równania (cz. 4). Rysunek 19. Definiowanie parametrów równania (cz. 5). 16
Rysunek 20. Definiowanie parametrów równania (cz. 6). Na odpowiednich ścianach modelu zostało zdefiniowane stałe zamocowanie, które odwzorowuje zamontowanie korby na tarczy przekładni łańcuchowej roweru (Rys. 21). Rysunek 21. Definiowanie warunków brzegowych ściany utwierdzone (cz. 1). 17
Rysunek 22. Definiowanie warunków brzegowych - ściany utwierdzone (cz. 2). Rysunek 23. Definiowanie warunków brzegowych - ściany swobodne (cz. 1). 18
Rysunek 24. Definiowanie warunków brzegowych - ściany swobodne (cz.2). Rysunek 25. Definiowanie warunków brzegowych - ściany obciążone (cz. 1). 19
3. Wyniki symulacji. Rysunek 26. Definiowanie warunków brzegowych - ściany obciążone (cz. 2). Rysunek 27. Wyniki symulacji - rozkład naprężeń von Mises'a (cz.1). 20
Rysunek 28. Wyniki symulacji rozkład naprężeń von Mises a (cz. 2). Na podstawie przeprowadzonej symulacji można zauważyć, że największe naprężenia (153,5 MPa) pojawiły się w miejscu połączenia wysięgnika korby z elementem mocującym korbę do tarczy przekładni łańcuchowej roweru. Rysunek 29. Całkowite odkształcenie elementu (widok 1). 21
Rysunek 30. Całkowite odkształcenie elementu (widok 2). Największe odkształcenie pojawiło się na najbardziej odsuniętej, od miejsca zamocowania korby, części elementu końcówka pedała i wynosi 0,00327 m (3,27mm). 4. Wnioski. W miejscu wystąpienia największych naprężeń nie została przekroczona granica wytrzymałości materiału na rozciąganie, element nie zostanie zniszczony pod wpływem zadanego obciążenia, został zaprojektowany prawidłowo, materiał również odpowiednio spełnia wszystkie wymagania. 22
III. Dynamika płynów 1. Wstęp Dynamika płynów to dział mechaniki płynów zajmujący się badaniem ruchu płynów, a w szczególności siłami powodującymi ten ruch. Podstawową zależnością opisującą wpływ sił na ruch płynu newtonowskiego jest Równanie Naviera-Stokesa. Jest to zestaw równań w postaci równań ciągłości, opisujący zasadę zachowania masy i pędu dla poruszającego się płynu. Według nich zmiany pędu elementu płynu zależą jedynie od zewnętrznego ciśnienia i wewnętrznych sił lepkości w płynie. Obliczenia wykonane w programie Comsol 3.4 w module Fluid Dynamics zostały oparte o następujące równanie: ρ gęstość płynu [kg/m 3 ] η współczynnik lepkości dynamicznej [Pa s] u pole prędkości [m/s] p ciśnienie [Pa] F siła objętościowa [N/m 3 ] T Temperatura [K] 2. Przeprowadzone badania Jako obiekt badań wykorzystano zarys okrętu podwodnego, zanurzonego w analizowanym ośrodku wodzie. Celem badań było sprawdzenie zachowania się ośrodka opływającego ten obiekt, uzyskanie warunków charakterystycznych dla możliwie największej liczby Reynoldsa, oraz wyznaczenie prędkości ośrodka dla danej liczby Reynoldsa. Analizę przeprowadzono bezwymiarowo: ρ = 1, η = 1/Re, u 0 =1. Badanie przeprowadzono z wykorzystaniem modelu okrętu podwodnego wzorowanego na amerykańskim okręcie atomowym USS Benjamin Franklin. 23
Rysunek 30. Model okrętu podwodnego wykorzystany do określenia zarysu do badania. Badanie polegało na zaimportowaniu szkicu, dobraniu odpowiednich parametrów dla wlotu i wylotu cieczy, a także takim manipulowaniu zagęszczeniem sitaki oraz krokiem i granicznymi wartościami z jakimi zmieniała się liczba Reynoldsa, by wyniki uzyskać dla jak największej jej wartości. 3. Teoretycznie wyznaczona wartość liczby Reynoldsa dla danej prędkości Obliczenia w ComsolMultiphysics pozwalają na przeprowadzenie analizy dla małej liczby Reynoldsa. W rzeczywistości okręty podwodne tego typu poruszały się z prędkością około 20 węzłów. Dla takiej prędkości musielibyśmy w naszej analizie przyjąć następującą liczbę Reynoldsa. u prędkość charakterystyczna płynu [m/s] ρ gęstość płynu [kg/m 3 ] Re = ρ u L η η współczynnik lepkości dynamicznej [Pa s] L wymiar charakterystyczny zagadnienia [m] u = 20 w. = 20 0,514444 = 10,3 [m/s] ρ = 1000 [kg/m 3 ] η = 1,79 10 3 [Pa s] L = 15 [m] Po podstawieniu dla prędkości 20 węzłów liczba Reynoldsa wynosi: Re = 86 312 849,6 24
4. Analiza zagadnienia przy użyciu programu COMSOL Multiphysics Analiza została przeprowadzona w programie COMSOL Multiphhysics w module Fluid Dynamics IncompressibleNavier Stokes, Steady stateanalysis. Rysunek 31. Zarys okrętu podwodnego w programie AutoCAD Mechanical Rysunek 312. Zarys okrętu podwodnego zaimportowany do programu Comsol Założeniem, przy przeprowadzaniu doświadczenia, było wykorzystanie wielkości bezwymiarowych i uzyskanie jak największej wartości liczby Reynoldsa, pozwalającej na obliczenie odpowiadającej jej prędkości. Dane podstawowe dotyczące badania przedstawione zostały przedstawione poniżej (Tabela 1). Tabela 7. Dane podstawowe. Informacje podstawowe Rodzaj analizy Fluid Dynamics Incompressible Navier Stokes, Steady state analysis Ilośćwymiarów 2D (analizadwuwymiarowa) Liczbaelementów w siatce 264 192 Zależnoścparametru Re 0 10 100:100:3500 25
Rysunek 33. Model z wygenerowaną siatką. Rysunek 34. Definiowanie parametrów równania 26
Rysunek 35. Definiowania warunków brzegowych. Rysunek 36. Definiowania parametru Re 27
Rysunek 37. Rozkład prędkości przepływu płynu - wody Rysunek 38. Rozkład ciśnienia przepływającej cieczy 28
Rysunek 39. Przebieg wirów wytworzonych podczas przepływu cieczy Rysunek 40. Rozkład prędkości przepływu płynu wody dla Re = 2300 29
Rysunek 41. Rozkład prędkości przepływu płynu wody dla Re = 1000 5. Wnioski. Po niemal 4,5 godzinnych obliczeniach wykonywanych przez komputer otrzymano wyniki zilustrowane na powyższych rysunkach. Maksymalna liczba Reynoldsa dla jakiej udało się wyznaczyć prędkość przepływu cieczy to 3000. Podstawiając tą liczbę do wzoru na Re możemy otrzymać teoretyczną prędkość okrętu: u prędkość charakterystyczna płynu [m/s] ρ gęstość płynu [kg/m 3 ] u = Re η ρ L η współczynnik lepkości dynamicznej [Pa s] L wymiar charakterystyczny zagadnienia [m] ρ = 1000 [kg/m 3 ] η = 1,79 10 3 [Pa s] L = 15 [m] Re = 3000 u = 3,58 10 4 [m/s] 30
Widoczne jest zatem, że nie jest to zbyt wygórowana prędkość, dlatego nie jest możliwe w pełni przeanalizowanie zjawisk występujących podczas użytkowania okrętu w normalnych warunkach. Graniczna liczba Re=3000, po przekroczeniu, której przepływ staje się turbulentny sprawia, że obliczenia bardzo się komplikują. Na rys. 37 przedstawiono rozkład prędkości przepływu płynu dla Re=3000, widoczne jest, że pole prędkości różni się od obliczonych wartości. Jest to spowodowane sposobem wykonywanej przez nas komputerowej analizy. Na rys 38 pokazano rozkład ciśnienia opływającej okręt cieczy, widoczne jest, że ciśnienie pod okrętem jest mniejsze, niż ciśnienie nad okrętem, co pozwala na pozostanie okrętu pod powierzchnia zbiornika wodnego. Na rys 39 zobrazowano przebieg wirów i zawirowań przepływającej cieczy dla liczby Re=3000. Zawirowania szczególnie uwidaczniają się za nieregularnościami zarysu takimi jak ster, wieża czy śruba. Na rysunkach 40 i 41 zobrazowano rozkład prędkości przepływu cieczy dla przepływu laminarnego i początkowej fazy przepływu przejściowego celem szerszego oglądu zagadnienia. Program Comsol pozwolił na przeanalizowanie postawionego problemu, jednakże aby w pełni to zagadnienie zweryfikować należałoby mieć możliwość wykonywania obliczeń dla większych wartości liczby Re. 31