Elementy Wykonawcze Automatyki Politechnika Poznańska Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Ćwiczenie 3 Identyfikacja modeli zbiorników cieczy 1 Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z procesem napełniania zbiorników cieczy za pomocą pomp elektrycznych oraz ich zamodelowanie w oparciu o zdjęte charakterystyki czasowe. Wynikiem ćwiczenia jest transmitancja operatorowa obiektu o wejściu w postaci natężenia przepływu i wyjściu w postaci poziomu cieczy w zbiorniku. Wykonując ćwiczenie, rozpatrywane będą takie pojęcia jak: przekaźnik, układ z samopodtrzymaniem, element całkujący, charakterystyka czasowa. 1 Wiadomości teoretyczne Zbiorniki cieczy występują w procesach przemysłowych i technologicznych niezwykle często. Wszędzie tam, gdzie stężenie roztworu ma znaczenie podstawowe dla uzyskania wysokiej jakości produktu, regulacja poziomu danej substancji w zbiorniku ma charakter kluczowy. Napełnianie lub opróżnianie zbiornika cieczy często wykonuje się za pomocą pomp elektrycznych, które podczas pracy dają w przybliżeniu liniowe charakterystyki natężenia przeływu. Umiejętność zamodelowania procesu napełniania zbiorników ma szczególne znaczenie w przypadku ewentualnego sterowania w torze otwartym. 1.1 Model matematyczny pompy Przyjmując za sygnał wejściowy pompy elektrycznej pewien sygnał sterujący u (np. napięcie DC na uzwojeniach w przypadku silników prądu stałego), a za sygnał wyjściowy natężenie przepływu (wydajność pompy) q [m 3 /s] mierzone tuż przy lustrze cieczy w zbiorniku, model matematyczny pompy można przybliżyć za pomocą elementu inercyjnego I-go rzędu z opóźnieniem: G p (s) = Q(s) U(s) = k p st p + 1 e stp0, (1) gdzie wzmocnienie statyczne k p [m 3 /(V s)] oznacza wartość natężenia przepływu dla danego sygnału sterującego w stanie ustalonym, stała czasowa T p [s] wynika z bezwładności wirnika, natomiast opóźnienie T p0 [s] ma swoje źródło w czasie, jaki ciecz potrzebuje aby dotrzeć do docelowego zbiornika (stąd często wykorzystywana nazwa opóźnienie transportowe). Przykładowy przebieg elementu o transmitancji (1) przedstawia rysunek 1. Należy mieć świadomość, że zwykle wykorzystywane systemy pompujące są systemami jednokierunkowymi o ograniczonym przepływie maksymalnym. Wynika z tego, że zastosowane założenie o liniowości ma sens jedynie dla ograniczonego zakresu sygnałów wejściowych. W przypadku zastosowanych w ćwiczeniu pomp elektrycznych, inercja wirnika jest pomijalnie mała, dlatego dostatecznie dobre przybliżenie obiektu stanowi element wzacniający z opóźnieniem. 1 Opracował: mgr inż. Mateusz Przybyła 1
Elementy Wykonawcze Automatyki 3 2 k p 3 Przepływ [m /s] T p0 Czas [s] Rysunek 1: Odpowiedź skokowa przykładowej pompy elektrycznej. 1.2 Model matematyczny zbiornika Zbiornik rozważać można jako obiekt o wejściu w postaci natężenia przepływu cieczy oraz wyjściu postaci wysokości poziomu cieczy, przy założeniu, że zaburzenia jej powierzchni są pomijalnie małe. Model matematyczny zbiornika zależy od jego geometrii. W przypadku gdy przekrój poprzeczny zbiornika zmienia się wraz z wysokością, mamy do czynienia z obiektem nieliniowym. Przykładowo, poziom cieczy w kadzi o krzywoliniowych ściankach będzie miał różne tempo przyrostu w zależności od aktualnego punktu pracy (aktualnego poziomu). W przypadku gdy ścianki zbiornika są ułożone równolegle w całym zakresie, przybliżenie liniowe znajduje swoje zastosowanie. Przykładowy przebieg odpowiedzi skokowej zbiornika przedstawiony został na rysunku 2. Poziom cieczy [m] h 0 Czas [s] Rysunek 2: Odpowiedź skokowa przykładowego zbiornika cieczy. Ze względu na możliwie różne zdefiniowanie poziomu zerowego h 0 [m], możemy rozpatrywać zarówno ujemne jak i dodatnie wartości poziomu cieczy h [m]. Ze względu na ograniczone wymiary zbiornika, poziom cieczy jest również wartością ograniczoną. Zbiorniki wykorzystywane w ćwiczeniu są naczyniami prostopadłościennymi, podobnymi do tego z Rysunku 3. Objętość cieczy znajdującej się w zbiorniku wyraża się wzorem: V (t) = T 0 q(t) dt + V (0), (2) gdzie V (0) [m 3 ] oznacza początkową objętość cieczy w zbiorniku. Przyjmując ponadto, że powierzchnia cieczy jest równoległa do dna zbiornika, możemy zapisać, że: V (t) = h(t)s + V (0), (3)
Elementy Wykonawcze Automatyki 3 3 Rysunek 3: Prostopadłościenny zbiornik cieczy. Zaznaczone na rysunku parametry q [m 3 /s], l [m], w [m], h [m] to odpowiednio: natężenie przepływu cieczy, długość zbiornika, jego szerokość oraz wysokość poziomu cieczy. gdzie S [m 2 ] oznacza pole podstawy zbiornika. Przyrównując równania (2) oraz (3) uzyskujemy następujący wzór na poziom cieczy w zbiorniku względem czasu: h(t) = 1 S Przechodząc do postaci operatorowej uzyskujemy: T 0 H(s) = 1 s skąd w prosty sposób odnajdujemy transmitancję obiektu o postaci: q(t) dt. (4) Q(s) S, (5) G z (s) = H(s) Q(s) = k z s, (6) gdzie k z = 1 S jest wzmocnieniem statycznym obiektu. 1.1 Za pomocą miary zmierzyć długość i szerokość wnętrz obu zbiorników. Obliczyć pole podstawy obu zbiorników w [mm 2 ]. 1.2 Zastanowić się jaki wpływ na na rozpatrywany obiekt mają: umiejscowienie pomp i innych elementów w zbiornikach, wysokość poziomu cieczy w zbiorniku, z którego ciecz jest pobierana, gęstość cieczy. 2 Stanowisko laboratoryjne Stanowisko laboratoryjne (rysunek 4) składa się ze szklanego zbiornika z wodą oraz konsoli operatora. Zbiornik podzielony jest na dwie komory o różnych objętościach. W każdej z nich znajduje się pompa elektryczna, której wylot ma ujście w komorze przeciwnej. Konsola składa się m.in. ze źródła zasilania napięciem V AC = 230 V, źródła zasilania napięciem V DC = 24 V, dwóch sygnalizatorów świetlnych, dwóch przycisków monostabilnych (jeden normalnie zwarty, jeden normalnie otwarty) oraz sześciu przekaźników.
Elementy Wykonawcze Automatyki 3 4 Rysunek 4: Stanowisko laboratoryjne. Konsolę uruchamia się za pomocą dźwigni w lewym górnym rogu. Po załączeniu zasilania powinny świecić się wyświetlacze siedmiosegmentowe w lewej części konsoli. Źródło napięcia zmiennego VAC = 230 V znajduje się pod czerwoną lampką w lewej części konsoli. Źródło napięcia stałego VDC = 24 V znajduje się w lewym dolnym rogu prawej części konsoli. Wyprowadzenia styków roboczych oraz styków cewek poszczególnych przekaźników znajdują się ponad źródłem napięcia stałego. UWAGA! Praca układów zasilanych elektrycznie w obecności cieczy jest niebezpieczna ze względu na możliwość zalania i doprowadzenia do zwarcia elementów elektrycznych. W konsekwencji, ososby znajdujące się bezpośrednio przy stanowisku zagrożone są utratą zdrowia! W trakcie wykonywania ćwiczenia należy być szczególnie ostrożnym podczas korzystania z napięcia 230 V AC. Wszelkie zmiany w układzie elektrycznym należy wykonywać przy rozłączonym zasilaniu głównym układu. Nie należy także dopuszczać do pracy pompy w tzw. suchobiegu. Przyciski, sygnalizatory świetlne oraz styki cewek przekaźników przystosowane są do napięcia stałego VDC = 24 V. Podłączenie do nich napięcia zmiennego VAC = 230 V spowoduje ich uszkodzenie! 2.1 Uruchomić konsolę operatora. 2.2 Za pomocą multimetru sprawdzić poprawność działania źródeł napięcia zmiennego i stałego oraz przycisków monostabilnych. 2.3 Złożyć prosty układ zapalający sygnalizator świetlny po wciśnięciu przycisku. 3 Zasilanie pompy wodnej Pompy znajdujące się na dnie obu zbiorników wymagają zasilania napięciem zmiennym VAC = 230 V. Ponieważ wszelki kontakt człowieka z takim napięciem stanowi zagrożenia dla życia i zdrowia, należy ograniczyć go do minimum. W tym celu należy zbudować układ pozwalający na dogodne załączanie i wyłączanie pomp przy pomocy przycisków znajdujących się na konsoli.
Elementy Wykonawcze Automatyki 3 5 3.1 Układ z samopodtrzymaniem Ponieważ przyciski znajdujące się na konsoli są monostabilne, należy w pierwszej kolejności złożyć tzw. układ z samopodtrzymaniem (rysunek 5), który zapewni, że jednorazowe wciśnięcie przycisku spowoduje trwałe przełączenie stanu napięcia na dowolnym z przekaźników. Przekaźnik działa na zasadzie przełącznika sterowanego elektrycznie. Podanie odpowiedniego napięcia na styki cewki przekaźnika powoduje wyindukowanie strumienia magnetycznego, który w sposób pośredni przyciąga do siebie styki robocze przekaźnika. + 24 V DC W1 Przycisk normalnie otwarty Cewka przekaźnika W2 k1 K1 Przycisk normalnie zwarty Styki robocze przekaźnika GND (24 V DC) Rysunek 5: Układ z samopodtrzymaniem. Doprowadzenie napięcia do cewki przekaźnika K1 poprzez przycisk W2 spowoduje zwarcie styków roboczych tego samego przekaźnika. Po zwolnieniu przycisku W2, napięcie na stykach cewki przekaźnika zostanie utrzymane dopóty, dopóki nie nastąpi rozwarcie układu przyciskiem W1. 3.2 Podłączenie pompy wodnej Mając połączony układ z samopodtrzymaniem, można wykorzystać pozostałe styki robocze przekaźnika jako element sterujący zasilaniem pompy. W tym celu należy zbudować obwód przedstawiony schematycznie na rysunku 6. Zastosowanie dwóch par styków, zarówno po stronie zasilania V AC = 230 V jak i zera roboczego pompy ma na celu zwiększenie bezpieczeństwa użytkownika poprzez odseparowanie obwodu w przypadku przebicia napięcia na obudowę pompy 2. UWAGA! Wszelkie zmiany układu elektrycznego należy wykonywać przy rozłączonym zasilaniu głównym konsoli. Przed załączeniem układu z wykorzystaniem wysokiego napięcia należy poprosić osobę prowadzącą o zgodę. 3.1 Połączyć układ z samopodtrzymaniem zgodnie ze schematem z rysunku 5. Zweryfikować skuteczność działania układu multimeterm lub podłączając odpowiednio sygnalizator świetlny. 3.2 Przy rozłączonym zasilaniu głównym konsoli, połączyć układ zgodny ze schematem z rysunku 6. Wybrać pompę w zbiorniku o większej ilości wody. Przed podłączeniem napięcia 230 V poprosić prowadzącego o weryfikację układu. 2 Zasilanie i zero robocze w przewodach prądu zmiennego mogą zamienić się miejscami w zależności od sposobu wetknięcia wtyczki do gniazdka. Warto zabezpieczyć się przed tym poprzez obustronne rozłączenie zasilania.
Elementy Wykonawcze Automatyki 3 6 ~ 230 V AC k1 Px M M Silnik pompy elektrycznej k1 N (230 V AC) Rysunek 6: Schemat podłączenia elektrycznego pompy wodnej. 4 Zadania do wykonania Podczas wykonywania poniższych ćwiczeń należy zapewnić odpowiednią ilość wody w zbiornikach. Nie należy dopuszczać do przelewania się cieczy między zbiornikami oraz pracy pompy w suchobiegu. Jeżeli w danym zbiorniku zabraknie wody do wykonania pomiaru, należy przełączyć pompę i wykonać odpowiedni pomiar dla drugiego zbiornika. Po przelaniu odpowiedniej ilości wody, należy powrócić do wykonywania pierwotnego pomiaru. 4.1 Za pomocą stopera wykonać szereg dziesięciu pomiarów opóźnienia pompy wodnej, tj. czasu od momentu załączenia do momentu zetknięcia się płynącej wody z poziomem cieczy w zbiorniku. Obliczyć średnie opóźnienie T p0 pompy. 4.2 Zmierzyć aktualny poziom cieczy w zbiorniku. Uruchomić proces napełniania zbiornika wodą. Zmierzyć przyrost poziomu wody po upływie czasu t = 100 s. Obliczyć średnią wartość natężenia przepływu q w [mm 3 /s]. 4.3 Wykorzystując wartość S obliczyć wartość wzmocnienia statycznego k z zgodnie ze wzorem (6). Zapisać model zbiornika w postaci transmitancji operatorowej. 4.4 Zmierzyć i zanotować aktualny poziom cieczy. Uruchomić proces napełniania zbiornika wodą. Za pomocą stopera i zamontowanej wcześniej miary, wykonać serię ośmiu pomiarów poziomu cieczy z krokiem co t = 20 s. 4.5 Wprowadzić zebrane pomiary do środowiska Matlab i wyświetlić je na wykresie. Dokonać regresji liniowej zebranych pomiarów (funkcja: regression) i wyświetlić otrzymaną prostą wraz z pomiarami na wspólnym wykresie. Porównać charakterystykę czasową modelu utworzonego w kroku 4.3 z zebranymi pomiarami poprzez wyświetlenie na wspólnym wykresie. Czy widnieją pomiędzy nimi duże odstępstwa? 4.6 Wykonać punkty 4.1-4.5 dla drugiego zbiornika.
Elementy Wykonawcze Automatyki 3 7 5 Pytania kontrolne Po realizacji ćwiczenia studenci wchodzący w skład grupy laboratoryjnej powinni potrafić odpowiedzieć na następujące pytania: Jakie równanie opisywałoby proces napełniania zbiornika w kształcie stożka o promieniu podstawy R [m] i wysokości L [m], zakładając, że wejściem obiektu jest natężenie przepływu, zaś wyjściem wysokość poziomu cieczy? Czy przepływ cieczy zależy od wysokości poziomu cieczy w zbiorniku pierwotnym? Dlaczego? Dlaczego model pompy przedstawiony w opracowaniu ćwiczenia posiada opóźnienie transportowe i inercję? Czy opóźnienie transportowe opisane w modelu pompy zależy od poziomu cieczy w zbiorniku wtórnym? Dlaczego? Jaka jest zasada działania układu z samopodtrzymaniem? Jak zrealizować zabezpieczenie przed przelaniem, gdy dostępny jest górny wyłącznik krańcowy, który w stanie niskim (niski poziom cieczy) stanowi przerwę w obwodzie, natomiast w stanie wysokim jego zwarcie? Z czego mogą wynikać odchylenia uzyskanego modelu od modelu idealnego, w przypadku zbiorników laboratoryjnych? Jaki problem w regulacji poziomu cieczy w zbiorniku pojawiłby się, gdyby ciecz była wtłaczana od spodu? Jakie jest niebezpieczeństwo uruchomienia pompy w tzw. suchobiegu?