Cechy podzielności liczb Autor: Szymon Stolarczyk
Podzielnośd liczb Podzielnośd przez 2 Podzielnośd przez 3 Podzielnośd przez 4 Podzielnośd przez 5 Podzielnośd przez 9 Podzielnośd przez 10 Podzielnośd przez 25 Podsumowanie Spis treści
Podzielnośd liczb Podzielnośd liczb oznacza, iż jeśli dla dwóch liczb naturalnych a, b istnieje taka liczba naturalna c, dla której a=b*c to a jest podzielne przez b.
Podzielnośd przez 2 Liczba naturalna a jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8. Przykłady Liczba 3413 nie jest podzielna przez 2, gdyż jej ostatnia cyfra to 3. 3413=1706*2+1 Liczba 4152 jest podzielna przez 2, gdyż jej ostatnia cyfra to 2. 4152=2076*2
Podzielnośd przez 3 Liczba naturalna a jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest też podzielna przez 3. Przykłady Liczba 1564 nie jest podzielna przez 3, gdyż jej suma cyfr wynosi 1+5+6+4=16, a ta liczba nie jest podzielna przez 3. 1564=521*3+1 Liczba 1857 jest podzielna przez 3, gdyż jej suma cyfr wynosi 1+8+5+7=21, a ta liczba jest podzielna przez 3. 1857=619*3
Podzielnośd przez 4 Liczba naturalna a jest podzielna przez 4, gdy liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4 lub gdy są to dwa zera. Przykłady Liczba 3550 nie jest podzielna przez 4, gdyż jej ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę niepodzielną przez 4. 3550=887*4+2 Liczba 3824 jest podzielna przez 4, gdyż jej jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. 3824=956*4
Podzielnośd przez 5 Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. Przykłady Liczba 6721 nie jest podzielna przez 5, gdyż jej ostatnia cyfra to 1. 6721=1344*5+1 Liczba 2855 jest podzielna przez 5, gdyż jej ostatnia cyfra to 5. 2855=571*5
Podzielnośd przez 9 Liczba jest podzielna przez 9, gdy jej suma cyfr jest podzielna przez 9. Przykłady Liczba 6845 nie jest podzielna przez 9, gdyż jej suma cyfr wynosi 6+8+4+5=23, a ta liczba nie jest podzielna przez 9. 6845=760*9+5 Liczba 4257 jest podzielna przez 9, gdyż jej suma cyfr wynosi 4+2+5+7=18, a ta liczba jest podzielna przez 9. 4257=473*9
Podzielnośd przez 9 ciekawostka Jeżeli wybierzemy dowolną liczbę, obliczymy różnicę jej i sumy jej cyfr i wykreślimy z wyniku dowolną cyfrę nie będącą zerem, możemy ją odgadnąd na podstawie pozostałych cyfr. Dzieje się tak dlatego, iż dana liczba oraz jej suma cyfr dają taką samą resztę z dzielenia przez 9, więc ich różnica jest podzielna przez 9. Wykreślona cyfra to różnica 9 i reszty z dzielenia przez 9 liczby utworzonej z pozostałych cyfr.
Podzielnośd przez 10 Liczba jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0. Przykłady Liczba 3778 nie jest podzielna przez 10, gdyż jej ostatnia cyfra to 8. 3778=377*10+8 Liczba 6870 jest podzielna przez 10, gdyż jej ostatnia cyfra to 0. 6870=687*10
Podzielnośd przez 25 Liczba jest podzielna przez 25, gdy liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr też jest podzielna przez 25 lub gdy są to dwa zera. Liczba 3134 nie jest podzielna przez 25, gdyż liczba 34 nie jest podzielna przez 25. 3134=125*25+9 Liczba 8875 jest podzielna przez 3, gdyż liczba 75 jest podzielna przez 25. 8875=355
Zadanie I Wiadomo, iż pewna liczba naturalna a przy dzieleniu przez 2, 3, 4 i 5 daje resztę 1. Poza tym 10<a<100. Ile wynosi a?
Zadanie I - rozwiązanie Skoro liczba a przy dzieleniu przez 2, 3, 4, 5 daje resztę 1, to liczba a-1 jest podzielna przez 2, 3, 4 i 5. Skoro liczba jest podzielna przez 2 i 5, musi kooczyd się cyfrą 0, czyli byd podzielna przez 10. Skoro liczba jest podzielna przez 4, to jej połowa musi byd parzysta. W przypadku liczby podzielnej przez 10 tę zasadę spełniają tylko liczby podzielne przez 20, jej pierwsza cyfra to 2, 4, 6 lub 8. Nasza liczba musi byd też podzielna przez 3. Ponieważ jest dwucyfrowa, a jedną z jej cyfr jest 0, druga cyfra musi wynosid 3, 6 lub 9. W takim razie cyfrą tą jest 6. W takim razie a=61.
Podsumowanie Liczba jest podzielna przez 2, gdy kooczy się na 2, 4, 6, 8, 0. Liczba jest podzielna przez 3, gdy jej suma cyfr jest też podzielna przez 3. Liczba jest podzielna przez 4, gdy liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4. Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnia cyfra to 0, lub 5. Liczba jest podzielna przez 9, gdy jej suma cyfr jest podzielna przez 9. Liczba jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0. Liczba jest podzielna przez 25, gdy liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 25.