Jan Rusinek 50 zadań ze statystyki matematycznej dla studentów ZARZĄDZANIA z rozwiązaniami UWAGA! Ten tekst jest w trakcie przygotowania i sprawdzania. Może zawierać błędy. Jest sukcesywnie poprawiany i umieszczany pod aktualną datą! Autor będzie wdzięczny za uwagi: j-rusinek@o2.pl Obecna data 29.2.2016
2
3 Wstęp Zbiorek ten zawiera zadania ze statystyki matematycznej wybrane z zadań przerabianych na zajęciach, zadań domowych i egzaminacyjnych na studiach drugiego stopnia kierunku zarządzanie w Wyższej Szkole Menedżerskiej w Warszawie. Część rachunków jest wykonana przy pomocy darmowego programu calc z pakietu OpenOffice. W zadaniach, w których trzeba samodzielnie obliczać wartości średnie i wariancje, próbki są bardzo niewielkiej liczności. Oczywiście w praktyce używa się znacznie większych próbek. Chodzi jednak o to, aby poznać metody, nie tracąc czasu na żmudne (nawet jeśli używamy komputera, to samo wpisanie danych z dużej próbki zajmuje sporo czasu) obliczenia. Mam nadzieję, że zbiorek ten pomoże studentom w opanowaniu tego przedmiotu i w przygotowaniu się do egzaminu.
4 WZORY I OZNACZENIA µ wartość średnia σ odchylenie standardowe n liczba prób k liczba sukcesów w n próbach x = 1 n n i=1 x i średnia z próby s 2 = 1 n n 1 i=1 (x i x) 2 wariancja z próby s = s 2 odchylenie standardowe z próby s n błąd standardowy u(p) p-ty kwantyl rozkładu normalnego N(0, 1) t(p, j) p-ty kwantyl rozkładu Studenta o j stopniach swobody χ 2 (p, j) p-ty kwantyl rozkładu χ 2 o j stopniach swobody F(p, i, j) p-ty kwantyl rozkładu Snedecora o i, j stopniach swobody D nobl statystyka testowa dla rozkładu Kołmogorowa d n(p) p-ty kwantyl statystyki D n Kołmogorowa k(p, i, j) wartość krytyczna rozkładu liczby serii Wzór na dystrybuantę rozkładu jednostajnego na przedziale [a; b]. { 0 dla x < a, x a F (x) = dla a x b, b a 1 dla x > b.
5 A) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ Model A1. Rozkład normalny, znane σ. P = [x l; x + l], l = u(1 α 2 ) σ n. Model A2. Rozkład normalny, nieznane σ. P = [x l; x + l], l = t(1 α 2, n 1) s n. Model A3. Rozkład dowolny, nieznane σ, n 30. P = [x l; x + l], l = u(1 α 2 ) s n.
6 B) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA FRAKCJI ELEMENTÓW WYRÓŻNIONYCH Model B1. Raczej duża próba (n 30). [ k P = n l; k ] ( ) k n + l, l = u 1 α n 2 ( ) 1 k n. n UWAGA. Można też stosować nieco dokładniejszy, ale bardziej skomplikowany wzór P = [ u(1 α 2 )2 + 2k 2(n + u(1 α 2 )2 ) l; u(1 α 2 )2 + 2k 2(n + u(1 α 2 )2 ) + l ], l = u u(1 α 2 )2 4 + k(n k) n n + u(1 α 2 )2.
7 C) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ODCHYLENIA STANDARDOWEGO Model C1. Rozkład normalny. [ ] n 1 n 1 P = s χ 2 (1 α 2, n 1) ; s χ 2 ( α 2, n 1). Model C2. Rozkład normalny, duża próba (n 30). P = [ ] s 2(n 1) 2n 3 + u(1 α 2 ) ; s 2(n 1) 2n 3 u(1 α 2 ).
8 MINIMALNA LICZNOŚĆ PRÓBY Model M1. Przy wyznaczaniu przedziału ufności [x l; x + l] dla wartości średniej, rozkład normalny, znane σ. ( ( ) u 1 α 2 σ n l ) 2. Model M2. (Procedura Steina) Przy wyznaczaniu przedziału ufności [x l; x + l] dla wartości średniej, rozkład normalny nieznane σ. gdzie n 0 liczność wstępnej próby, ( ( ) ) n t 1 α 2, n s 2 0 n 0 1 0 1 + 1, l n 0 n 0 x 0 = 1 n 0 i=1 x i, s 2 0 = 1 n 0 1 n 0 (x i x 0 ) 2. Po dodaniu ( n n 0 prób ) przedział ufności liczymy z wzoru: P = [x l; x+l], gdzie l = t 1 α 2, n s 0 1 n 0. Model M3. Przy wyznaczaniu przedziału ufności [ k n l; k n + l] dla frakcji elementów wyróżnionych. i=1 n u(1 α 2 )2 4l 2.
9 TESTY ZGODNOŚCI Test χ 2 (wartość zaobserwowana wartość spodziewana) χ 2 2 obl =. wartość spodziewana Hipotezę odrzucamy, jeśli χ 2 obl > χ2 (1 α, k 1), k liczba składników w sumie. Test Kołmogorowa Sprawdzamy, czy próbki pochodzą z rozkładu o dystrybuancie F (x). Ustawiamy próbki w ciąg niemalejący: x 1,... x n. Statystyka testowa gdzie Hipotezę odrzucamy, jeśli D nobl = sup S n(x) F (x), x IR { 0 dla x < x1, i S n(x) = dla x n i x < x i+1, 1 dla x x n. D nobl > d n(1 α). Test serii Sprawdzamy, czy dwie próbki pochodzą z takego samego rozkładu. α - poziom istotności, i liczebność pierwszej, a j liczebność drugiej próbki. Dwie próbki ustawiamy we wspólny ciąg rosnący. Serią nazywamy podciąg kolejnych elementów z tej samej próbki. K oznacza liczbę serii. Hipotezę odrzucamy, jeśli K k(α, i, j).
10 PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI DLA ŚREDNIEJ Hipoteza µ = µ 0, W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g W Model D1. Rozkład normalny o znanym σ. g = u obl = x µ 0 n. σ W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ 0 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej µ > µ 0 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ µ 0. Model D2. Rozkład normalny o nieznanym σ, mała próba. g = t obl = x µ 0 n. s W = ( ; t(1 α, n 1)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ 0 ; W = [t(1 α, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej µ > µ 0 ; W = ( ; t(1 α 2, n 1)] [t(1 α 2, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej µ µ 0. Model D3. Rozkład dowolny o nieznanym σ. Duża próba. W jak w modelu D1. g = u obl = x µ 0 n. s
11 PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI DLA WARIANCJI Hipoteza σ = σ 0, W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g W. Model E1. Rozkład normalny o nieznanych µ i σ, n 50. Mając do dyspozycji komputer można ten model stosować i do dużych n. g = χ 2 obl (n 1)s2 = σ0 2. W = (0; χ 2 (α, n 1)] dla hipotezy przeciwnej σ < σ 0 ; W = [χ 2 (1 α, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej σ > σ 0 ; W = (0; χ 2 ( α 2, n 1)] [χ2 (1 α 2, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej σ σ 0; Model E2. - Rozkład normalny o nieznanych µ i σ (n 50). g = u obl = 2(n 1)s 2 σ 2 0 2n 3. W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ 0 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej µ > µ 0 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ µ 0.
12 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI FRAKCJI ELEMENTÓW WYRÓŻNIONYCH Hipoteza p = p 0. Hipotezę odrzucamy, gdy g W. Model F1. Próba powinna być raczej duża. g = u obl = k np 0. np 0 (1 p 0 ) W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej p < p 0 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej p > p 0 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej p p 0.
13 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WARIANCJI W DWÓCH POPULACJACH Model G1. Hipoteza σ 1 = σ 2. Hipotezę odrzucamy, gdy g W. Gdy hipotezą przeciwną jest σ 1 > σ 2, to g = F obl = s2 1 s 2. 2 W = [F (1 α, n 1 1, n 2 1); ). Gdy hipotezą przeciwną jest σ 1 < σ 2, to zamieniamy kolejność próbek. Gdy hipotezą przeciwną jest σ 1 σ 2, to g = F obl = max(s2 1, s2 2 ) min(s 2 1, s2 2 ). W = [F(1 α 2, n l 1, n m 1); ), gdzie n l liczność probki o większej wariancji, a n m o mniejszej.
14 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W DWÓCH POPULACJACH Hipoteza µ 1 = µ 2, W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g W Model H1 rozkłady normalne znane σ 1 i σ 2. g = u obl = x 1 x 2. σ 1 2 + σ2 2 n 1 n 2 W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej µ 1 < µ 2 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 > µ 2 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 µ 2. Model H2. rozkłady normalne, nieznane, ale równe σ 1 i σ 2. g = t obl = x 1 x 2. (n 1 1)s 2 1 +(n 2 1)s 2 2 n1+n 2 n 1 +n 2 2 n 1 n 2 W = ( ; t(1 α, n 1)] dla hipotezy przeciwnej µ 1 < µ 2 ; W = [t(1 α, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 > µ 2 ; W = ( ; t(1 α 2, n 1)] [t(1 α 2, n 1); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 µ 2. Model H3. rozkłady normalne, nieznane σ 1 i σ 2, nieduża próbka. Stosujemy statystykę (tzw. statystyka Cochrana i Coxa) g = C obl = x 1 x 2. s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 Przybliżoną wartość kwantyla c(p, n 1, n 2 ) znajdujemy z wzoru c(p, n 1, n 2 ) s 2 1 t(p, n n 1 1) + s2 2 t(p, n 1 n 2 1) 2. s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 Zbiór krytyczny: W = ( ; c(1 α, n 1, n 2 )] dla hipotezy przeciwnej µ 1 < µ 2 ; W = [c(1 α, n 1, n 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 > µ 2 ; W = ( ; c(1 α 2, n 1, n 2 )] [c(1 α 2, n 1, n 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 µ 2 ; Model H4 rozkłady dowolne, nieznane σ 1 i σ 2 duża próba, n 1, n 2 50. g = u obl = x 1 x 2. s 2 1 + s2 2 n 1 n 2
W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej µ 1 < µ 2 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 > µ 2 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej µ 1 µ 2. 15
16 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI FRAKCJI ELEMENTÓW WYRÓŻNIONYCH W DWÓCH POPULACJACH Model I1 raczej duża próbka (n 1, n 2 50) Stawiamy hipotezę p 1 = p 2. Stosujemy statystykę g = u obl = k 1 k 2 n 1 n 2 k 1 +k 2 ( ). n 1 n 1 k 1 +k 2 2 n 1 +n 2 Gdy liczność próby nie jest dostatecznie duża stosujemy statystykę: u obl = ( 2 arc sin ) k 1 k 2 n1 n 2 2 arc sin. n 1 n 2 n 1 + n 2 Zbiór krytyczny: W = ( ; u(1 α)] dla hipotezy przeciwnej p 1 < p 2 ; W = [u(1 α); ) dla hipotezy przeciwnej p 1 > p 2 ; W = ( ; u(1 α 2 )] [u(1 α 2 ); ) dla hipotezy przeciwnej p 1 p 2 ; gdzie n 1 i n 2 liczności pierwszej i drugiej próbki, k 1 i k 2 liczby sukcesów w pierwszej i drugiej próbce.
17 TEST χ 2 NIEZALEŻNOŚCI (wartość zaobserwowana wartość spodziewana) χ 2 2 obl =. wartość spodziewana Test odrzucamy, jeśli χ 2 obl > χ2 (1 α, (r 1)(s 1)), gdzie r liczba wartości pierwszej cechy, a s liczba wartości drugiej cechy. Współczynnik Cramera gdzie m = min(r, s) Współczynnik C Pearsona χ 2 obl V = n(m 1), χ 2 obl C = χ 2 obl + n. n liczba wszystkich danych w macierzy r s.
18 Jak używać programu calc? Będziemy posługiwać się tym programem do obliczanie wartości średniej, wariancji, odchylenia standardowego oraz wynikających z tego dalszych rezultatów. Pokażemy to na przykładzie. Zakładamy, że mamy dane empiryczne x 1 = 7, x 2 = 1, x 3 = 5, x 4 = 3, x 5 = 5 oraz liczbę µ 0 = 3. Mamy policzyć kolejno x = 1 n s 2 = 1 n 1 a następnie wstawić to do wzoru: n x k, k=1 n (x i x) 2, k=1 s = s 2, x µ 0 n. s Uruchamiamy program calc i wpisujemy dane np. w komórkach A1 A5. Daną µ 0 możemy wpisać np w kolejnej komórce B1, a liczbę prób (5) np. w komórce B2. Warto wpisywać te dane w komórkach, a nie w ostatecznym wzorze, bo wtedy przy rozwiązywaniu następnego zadania opartego na tym samym modelu, wystarczy zmienić dane bez konieczności zmiany wzoru. Wybieramy jakąć inną komórkę np. C1 i wpisujemy w niej wzór: =ŚREDNIA(A1:A5) Po zaakceptowaniu ukazuje się w tej komórce wynik 4.2. Wybieramy następną komórkę powiedzmy C2 i wpisujemy w niej wzór
19 =WARIANCJA(A1:A5) Po zatwierdzeniu ukazuje się w tej komórce wynik 5.2. Wybieramy kolejną komórkę np. C3 i wpisujemy w niej wzór =pierwiastek(c2) Po zatwierdzeniu ukazuje się w tej komórce wynik 2.28 (w zależności od tego jaką dokładność wybierzemy). Wybieramy następną komórkę (np. C4) i wstawiamy w niej wzór (patrz rysunek) =(C1-B1)*pierwiastek(B2)/C3 Zauważmy, że możemy wpisywać wzory zarówno małymi jak i dużymi literami. Po zaakceptowaniu otrzymamy już ostateczny wynik 1.1767. Program calc zamiast tablic statystycznych Większość danych potrzebnych do rozwiązywania zamieszczonych tu zadań zamiast z tablic, możemy wygenerować przy pomocy
20 programu calc. Niektóre są nieco inaczej zdefiniowane niż w tablicach statystycznych, dlatego podajemy dokładnie co trzeba zrobić, aby otrzymać dane zgodne z tablicami. Ia) Dystrybuanta rozkładu normalnego Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie N(0, 1), a dana x jest umieszczona np. w komórce A1 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.normalny.s(a1) Ib) Kwantyle rozkładu normalnego Aby wyznaczyć kwantyl u(p) rozkładu normalnego N(0, 1) np. dla danej p umieszczonej w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.normalny.s.odw(b1) IIa) Dystrybuanta rozkładu t Studenta Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie t Studenta z n stopniami swobody, a dana x jest umieszczona np. w komórce A1, a dana n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =1-rozkład.t(a1;b1;1) Program akceptuje tylko x-y dodatnie. Aby wyznaczyć P (X < x) dla x ujemnych wystarczy skorzystać z wzoru P (X < x) = P (X > x) = 1 P (X < x). IIb) Kwantyle rozkładu t Studenta Aby wyznaczyć kwantyl t(p, n) rozkładu t Studenta dla danej p umieszczonej w komórce A1, danej n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.t.odw(2*(1-a1);b1) IIIa) Dystrybuanta rozkładu χ 2
21 Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie χ 2 z n stopniami swobody, a dana x jest umieszczona np. w komórce A1, a dana n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =1-rozkład.chi(a1;b1) Gęstość rozkładu χ 2 (t) jest różna od zera tylko dla t dodatnich dlatego wzór działa tylko dla x 0. IIIb) Kwantyle rozkładu χ 2 Aby wyznaczyć kwantyl χ 2 (p, n) rozkładu χ 2 dla danej p umieszczonej w komórce A1, danej n w komórce A2 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.chi.odw(1-a1;a2) IVa) Dystrybuanta rozkładu F Snedecora Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie F Snedecora z n, k stopniami swobody, dana x jest umieszczona np. w komórce A1, a dana n w komórce B1, dana k w komórce C1 wpisujemy w komórce wyniku =1-rozkład.f(a1;b1;c1) IVb) Kwantyle rozkładu F Snedecora Aby wyznaczyć kwantyl F(p, n, k) rozkładu F dla danej p umieszczonej w komórce B1, danej n w komórce B2 i danej k w komórce B3 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.f.odw(1-b1;b2;b3) Korzystanie programu zamiast z tablic ma dodatkową zaletę, że możemy znajdować wartości kwantyli dla nietypowych α, których nie ma w tablicach np. 0.03, 0.17 itp. W tablicach zwykle nie ma też dystrybuant innych rozkładów niż normalny. Możemy też włączyć te wzory do danego modelu otrzymując rozwiązanie w całości przy pomocy komputera. Odpowiedni przykład opiszemy przy rozwiązywaniu konkretnego zadania.
22 Zadania
23 ZADANIE 1. Dla zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym na przedziale [ 1; 3] znajdź a) P (X < 0), b) P (X > 2), c) takie c, że P (X < c) = 0.95 = p, czyli p-ty kwantyl rozkładu jednostajnego na przedziale [ 1; 3]. Dystrybuanta rozkładu jednostajnego na przedziale [ 1; 3] jest równa 0 dla x < 1, x+1 F (x) = 4 dla 1 x 3, 1 dla x > 3. Zatem a) P (X < 0) = F (0) = 1 4., b) P (X > 2) = 1 P (X < 2) = 1 F (2) = 1 3 4 = 1 4. c) Trzeba rozwiązać równanie P (X < c) = 0.95, czyli c+1 4 = 0.95. Stąd c = 2.8.
24 ZADANIE 2. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X o rozkładzie normalnym standardowym N(0, 1) i α = 0.02: a) P (X > 2.3), b) P (X < 1.2), c) u(α), d) u(1 α), e) u(1 α 2 ). a) i b) znajdujemy w tablicy 1 otrzymując: a) 1 0.9893 = 0.0107; b) 0.115 c), d) i e) można rozwiązać zarówno komputerem jak i przy pomocy tablic. Otrzymamy c) u(0.02) = 2.05, d) u(0.98) = 2.05, e) u(0.99) = 2.33.
25 ZADANIE 3. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X rozkładzie t Studenta z n = 9 oraz α = 0.05: a) P (X > 1.3), b) P (X < 1.4), c) t(1 α, n), d) t(1 α 2, n), a) i b) najlepiej rozwiązać programem calc otrzymując: a) 1 0.8870 = 0.1129; b) Musimy skorzystać z faktu, że t( p, n) = 1 t(p, n). Otrzymamy wynik 0.0.0975. c) t(0.95, 9) = 1.83, d) t(0.975, 9) = 2.26.
26 ZADANIE 4. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X o rozkładzie χ 2 z n = 20 i α = 0.05: a) P (X < 20), b) P (X > 10), c) χ 2 (α, n), d) χ 2 (1 α, n) e) χ 2 (1 α 2, n). Dla a) i b) skorzystamy z programu calc. Otrzymamy dla a) wartość 0.542, a dla b) 1 0.0318 = 0.9682. Dla c) - e) można też skorzystać z tablic mamy: c) χ 2 (0.05, 20) = 10.851, d) χ 2 (0.95, 20) = 31.41, e) χ 2 (0.975, 20) = 34.17.
27 ZADANIE 5. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X o rozkładzie F z n = 8, k = 4, oraz dla α = 0.05: a) P (X > 3), b) P (X < 4), c) F(1 α, n, k), d) F(1 α 2, n, k). Dla a) i b) skorzystamy z programu calc otrzymując dla a) wartość 0.8489, a dla b) wartość 1 0.9025 = 0.0975. c) F(0.95, 9, 4) = 6.04, d) F(0.975, 9, 4) = 8.98.
28 ZADANIE 6. Przy pomocy programu calc znajdź dla próbki x 1 = 1.31, x 2 = 2.45, x 3 = 3.45, x 4 = 2.71: a) x, b) s 2, c) s, d) błąd standardowy. a) x = 1.125, b) s 2 = 7.3009, c) s = 2.702, d) s n = 1.351.
29 ZADANIE 7. Zaobserwowano, że waga noworodków w pewnym szpitalu ma rozkład normalny z wartością średnią 3.6 kg i odchyleniem standardowym 0.26 kg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dziecko urodzone w tym szpitalu waży: a) więcej niż 4 kg?; b) mniej niż 3 kg? a) a = 4, b =. Stąd c = 4 3.6 0.26, d =. Zatem P (4 < X) = 1 Φ(c) = 0.40. b) a =, b = 3, Stąd c =, d = 3 3.6 0.26 = 2.31. Zatem P (X > 3) = Φ( 2.31) = 1 Φ(2.31) = 1 0.989 = 0.0.11.
30 ZADANIE 8. Czas pracy żarówek produkowanych w pewnym zakładzie ma rozkład normalny z wartością średnią 700 godzin i odchyleniem standardowym 220 godzin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żarówka zepsuje się przed upływem 500 godzin pracy? Mamy µ = 700, σ = 220, a =, b = 500. Stąd c =, d = 500 700 220 = 0.91. Zatem P (X < 500) = Φ( 0.91) = 1 Φ(0.91) = 1 0.82 = 0.18.
31 ZADANIE 9. Plony zboża w gospodarstwach rolnych mają rozkład normalny z wartością średnią 45 kwintali/ha i odchyleniem standardowym 14 kwintali/ha. Jaki procent gospodarstw ma wydajność większą niż 50 kwintali z hektara? Dane: µ = 45, σ = 14, a = 50, b =. Stąd c = 50 45 14 = 0.36, d =. Zatem Odp. 36%. P (50 < X) = 1 Φ(.36) = 1 0.64 = 0.36.
32 ZADANIE 10. Wzrost żołnierzy ma rozkład normalny ze średnią 177 cm i odchyleniem standardowym 13 cm. W jednostce wojskowej służy 1050 żołnierzy. Do kompanii honorowej zostanie wybranych 90 najwyższych. Ile trzeba mieć wzrostu, aby zostać wybranym? 90 1050 W tym zadaniu mamy dane prawdopodobieństwo P (X > a) = = 0.086, a musimy wyznaczyć a. Mamy 0.086 = P (X > a) = 1 Φ(c), gdzie c = a 177 13. Stąd Φ(c) = 0.914. W tablicach rozkładu normalnego znajdujemy, że c = 1.35. Stąd mamy równanie skąd a = 194.5. 1.35 = a 177, 13 Odp. Trzeba mieć co najmniej 194 cm wzrostu.
33 ZADANIE 11. Wiadomo, że maszyna do paczkowania cukru pakuje wg rozkładu normalnego z odchyleniem standardowym σ = 2dkg. Nastawiono ją na 1 kg i przebadano losowo 10 torebek otrzymując rezultaty w dkg: 103, 96, 99, 97, 99, 100, 101, 95, 97, 99. Oszacuj punktowo i przedziałowo średnią wagę torebki na poziomie ufności 1 α = 0.95. a) Oszacowanie punktowe: Mamy x = 98.60, s = 2.41. Zatem błąd standardowy jest równy s n = 0.76. Ponieważ odchylenie standardowe jest znane stosujemy model A1, gdzie l = u(1 α 2 ) σ n. W naszym przypadku l = 1.24 i P = [97.36; 99.84].
34 ZADANIE 12. Rozwiąż poprzednie zadanie przy założeniu, że odchylenie standardowe nie jest znane. Tym razem stosujemy model A2, w którym P = [x l; x + l], l = t(1 α 2, n 1) s n. W naszym przypadku n = 10, 1 α 2 = 0.975, t(0.975) = 2.26. Stąd l = 1.72, skąd P = [96.88; 100.32].
35 ZADANIE 13. Pewien algorytm sortowania przetestowano na 9 bazach danych losowo wymieszanych i uzyskano czasy sortowania w sekundach: 9, 13, 21, 7, 21, 14, 12, 21, 11. Oszacuj wartość średnią punktowo i przedziałowo przyjmując, że rozkład jest normalny oraz współczynnik ufności 1 α = 0.95. a) Oszacowanie punktowe: Obliczamy wartość średnią i wariancję. Otrzymujemy Błąd standardowy jest równy x = 14.33, s = 5.41. b) Oszacowanie przedziałowe: s 9 = 1.8. Ponieważ próba jest mała i odchylenie standardowe nie jest znane i rozkład jest normalny, stosujemy model A2. l = t(1 α 2, n 1) s n. W naszym przypadku znajdujemy t(0.975, 8) = 2.306. Stąd l = 2.306 5.41 3 = 4.16. Zatem przedział ufności jest równy [10.18; 18.49].
36 ZADANIE 14. Pewna duża firma komputerowa chce ustalić średnią wielkość sprzedaży w ciągu dnia. Na podstawie danych z 3 miesięcy (78 dni) obliczono wartość x równą 2953 tys. zł. i odchylenie standardowe empiryczne s = 1034 tys. zł. Oszacuj średnią wielkość dziennej sprzedaży przy współczynniku ufności 1 α = 0.95. Ponieważ próbka jest duża, skorzystamy z modelu A3. Mamy α = 0.05, skąd 1 α 2 = 0.975. Znajdujemy w tablicach u(1 α 2 ) = 1.96. Stąd l = 1.96 1034 78 = 229.5 Ostatecznie Znajdujemy P = [2723.5; 3182.5].
37 ZADANIE 15. Trzysta wylosowanych rodzin z danej miejscowości zapytano, czy posiadają w domu komputer. 121 rodzin odpowiedziało, że tak, w tym 91 rodzin ma komputer stacjonarny, a 42 rodziny laptop. Wyznacz przedziały ufności z 95%-ową wiarygodnością dla procentu rodzin: a) posiadających komputer; b) posiadających komputer stacjonarny; c) posiadających laptop; d) posiadających i komputer stacjonarny i laptop. Stosujemy model B1, czyli wzór [ k P = n l; k ] n + l, gdzie l = u(1 α 2 ) k n(1 k n) n. Mamy n = 300. Znajdujemy w tablicach u(1 α 2 ) = 1.96. W punkcie a) mamy k = 121, skąd k/n = 0.403 oraz l = 0.056. Zatem P = [0.348; 0.459] = [34.8%; 45.9%]. W punkcie b) mamy k = 91, skąd k/n = 0.303 oraz l = 0.052. Zatem P = [0.251; 0.355] = [25.1%; 35.5%]. W punkcie c) mamy k = 42, k/n = 0.14, l = 0.039. Stąd P = [0.101; 0.179] = [10.1%; 17.9%]. W punkcie d) mamy k = 12 (dlaczego?), skąd k/n = 0.04 oraz l = 0.022. Zatem P = [0.018; 0.062] = [1.8%; 6.2%].
38 ZADANIE 16. Pewna firma cukiernicza zakupiła automat do produkcji i porcjowania lodów. Nastawiono automat na 5 dkg i sprawdzono na bardzo dokładnej wadze 9 losowo wybranych porcji otrzymując wyniki w dkg: 5.07, 5.08, 4.91, 4.95, 5.00, 5.09. 4.98, 4.95, 4.96. Zakładając, że rozkład jest normalny wyznacz przedziały ufności dla odchylenia standardowego na poziomie ufności 1 α = 0.99. Stosujemy model C1. W tablicach rozkładu χ 2 znajdujemy χ 2 (1 α 2, n 1) = χ2 (0.995, 8) = 21.96, χ 2 ( α 2, n 1) = χ2 (0.005, 8) = 1.34. Natępnie mamy s = 0.065659. Stąd [ ] n 1 P = s χ 2 (1 α 2, n 1); s n 1 χ 2 ( α 2, n 1) = [0.0396; 0.1602]. Opiszemy krok po kroku jak można rozwiązać to zadanie całkowicie przy użyciu pakietu calc Wpisujemy w komórkach A1-A9 dane. Wpisujemy w komórce B2 liczbę 0.99. Wpisujemy w komórce B3 liczbę 9. Wpisujemy w komórce C1 Wpisujemy w komórce C2 Wpisujemy w komórce C3 Wpisujemy w komórce C4 Wpisujemy w komórce C5 =średnia(a1:a9) =pierwiastek(wariancja(a1:a9)) =rozkład.chi.odw(b1/2;8) =rozkład.chi.odw(1-b1/2;8) =c2*pierwiastek((b3-1)/c3)
39 To będzie lewy koniec przedziału. Wpisujemy w komórce D5 =c2*pierwiastek((b3-1)/c4) To będzie prawy koniec przedziału.
40 ZADANIE 17. W celu sprawdzenia, czy automat do pakowania mąki porcjuje precyzyjnie firma młynarska przed ewentualnym zakupem zważyła 200 kilogramowych torebek mąki i otrzymała wyniki w kg: x = 0.99 i odchylenie standardowe z próbki s = 0.077 dkg. Wyznacz przedział ufności dla odchylenia standardowego przy współczynniku ufności 1 α = 0.95. Dla dużej próby stosujemy nodel C2. Mamy u(1 α 2 ) = 1.96. Stąd [ 0.077 398 0.077 ] 398 P = ; = [0.072; 0.083]. 397 + 1.96 397 1.96
41 ZADANIE 18. Mamy zważyć sztabkę złota. Chcemy, na poziomie ufności 0.95 otrzymać przedział ufności [x l; x + l] z l = 0.01 mg. Elektroniczna waga ma rozkład błędów normalny z odchyleniem standardowym 0.02 mg. Ile niezależnych pomiarów trzeba wykonać? Ponieważ odchylenie standardowe jest znane, stosujemy wzór M1. Z tablic kwantyli rozkładu normalnego znajdujemy u(1 α 2 ) = 1.96. A więc ( ) 2 1.96 0.02 n > = 15.37. 0.01 Trzeba wykonać 16 pomiarów.
42 ZADANIE 19. Pewien program sortujący dane został przetestowany na 7 losowo wybranych różnego rodzaju plikach długości 1000000 rekordów, i otrzymano czas sortowania w sek. 111, 22, 33, 42, 199, 77, 138. Ile jeszcze należy dodatkowo dokonać testów, aby otrzymać na poziomie ufności 1 α = 0.95 przedział ufności nie dłuższy niż 80 sek?. Zakładamy, że cecha ma rozkład normalny. Zastosujemy procedurę Steina (model M2). Mamy x 0 = 88.86, s 0 = 64.5, l = 80 2 = 40, n 0 = 7, t(0.975, 6) = 2.447. Wstawiając to wszystko do wzoru M2 otrzymujemy n > ( 2.447 64.5 ) 2 6 40 7 + 1 = 14.35. Trzeba jeszcze dodać 15 7 = 8 dodatkowych pomiarów.
43 ZADANIE 20. Pewien informatyk skonstruował program rozpoznający linie papilarne. Ile prób należy przeprowadzić, aby na poziomie ufności 1 α = 0.95 otrzymać przedział ufności długości 10%? Zastosujemy wzór M3. Mamy u(1 α 0.10 2 ) = 1.96, l = 2 = 0.05. Zatem n 1.962 4 0.05 2 = 384.2. Trzeba wykonać 385 prób.
44 ZADANIE 21. Pewien sklep chce przeprowadzić badanie, jaki procent klientów po raz drugi dokonuje zakupów w tym sklepie. Ilu klientów powinien uwzględnić w badaniu aby na poziomie ufności 1 α = 0.9 otrzymać przedział ufności długości 6%? Ponownie skorzystamy z wzoru M3. Mamy u(1 α 2 ) = 1.64. l = 0.03. n 1.642 4 0.03 2 = 747.11. Powinien w badaniu uwzględnić 748 klientów. 1 1 Liczba 1.64 jako wartość kwantyla u(0.95) jest w tablicach podana w przybliżeniu. Dlatego, jeśli użyjemy do obliczeń programu calc to użyta zostanie jako u(0.95) dokładniejsza liczba 1.64485 i otrzymamy w tym zadaniu wynik 751.
45 ZADANIE 22. Rzucamy 20 razy kostką. Otrzymaliśmy wyniki otrzymane w tabelce: liczba oczek 1 2 3 4 5 6 liczba rzutów 0 2 7 5 3 3 Zweryfikuj hipotezę, że kość jest uczciwa, przyjmując α = 0.05. to 20 6 Zastosujemy test χ 2. Wartość spodziewana dla każdej liczby oczek = 3.33. W takim razie wartość statystyki testowej wynosi χ 2 obl = (0 3.33)2 3.33 (5 3.33) 2 + 3.33 + (3 3.33)2 3.33 (2 3.33)2 3.33 + + (3 3.33)2 3.33 (7 3.33)2 + 3.33 = 8.8. W tablicach kwantyli rozkładu χ 2 lub przy pomocy komputera znajdujemy χ 2 (0.95, 5) = 11.071. Nie ma powodu odrzucania hipotezy, bo 8.8 < 11.071.
46 ZADANIE 23. Ruletka ma 4 równe pola: dwa czerwone, jedno białe i jedno czarne. Uruchomiono ją 100 razy; 60 razy wypadło pole czerwone, 29 razy białe i 11 razy czarne. Zweryfikuj hipotezę, że ruletka jest uczciwa przyjmując: a) α = 0.05 i b) α = 0.005. Ponownie zastosujemy test χ 2. Przy 100 losowaniach wartości spodziewane to: 50 razy pole czerwone i po 25 razy pole białe i pole czarne. Zatem statystyka testowa wynosi χ 2 obl = (60 50)2 50 + (29 25)2 25 + (11 25)2 25 = 10.48. W tablicach rozkładu χ 2 lub przy pomocy komputera znajdujemy χ 2 (0.95, 2) = 5.991 oraz χ 2 (0.995, 2) = 10.597 Hipotezę odrzucamy w punkcie a), a punkcie b) nie.
47 ZADANIE 24. Łucznik strzelał z łuku do tarczy o promieniu 10 cm. W 10 próbach otrzymał następujące odległości od środka tarczy (z dokładnością 1cm): 4, 7, 8, 8, 0, 3, 2, 5, 7, 6. Zweryfikuj na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że rozkład odległości trafień od środka tarczy jest jednostajny na przedziale [0; 10]. Stosujemy test Kołmogorowa. Rozkład jednostajny na przedziale [0; 10] ma dystrybuantę 0 dla x < 0, x F (x) = 10 dla 0 x 10, 1 dla x > 10. Tworzymy tabelę x i F (x i ) i 1 i i 1 9 9 9 F (x i) i 9 F (x i) 0 0 0 0,1 0 0,1 2 0,2 0,1 0,2 0,1 0,0 3 0,3 0,2 0,3 0,1 0,0 4 0,4 0,3 0,4 0,1 0,0 5 0,5 0,4 0,5 0,1 0,0 6 0,6 0,5 0,6 0,1 0,0 7 0,7 0,6 0,7 0,1 0,0 7 0,7 0,7 0,8 0,0 0,1 8 0,8 0,8 0,9 0,0 0,1 8 0,8 0,9 1,0 0,1 0,2 max 0,1 0,2 Stąd maksimum=0.2. W tablicach rozkładu Kołmogorowa znajdujemy d 10 (0.95) = 0.409. Wartość statystyki testowej jest mniejsza. Hipotezy nie odrzucamy.
48 ZADANIE 25. Zważono losowo 9 paczek wysyłanych w pewnym urzędzie pocztowym i uzyskano wyniki w kg. 6.0, 1.5, 0.7, 2.5, 6.3, 1.1, 2.2, 2.8, 1.1. Postaw hipotezę, że rozkład jest typu N(x, s) 2 i zweryfikuj ją na poziomie istotności α = 0.05. Obliczając przy pomocy komputera mamy x = 1.52, s = 0, 70. stawiamy hipotezę, że próbka pochodzi z rozkładu N(1.52, 0.70). Stosujemy test Kołmogorowa. Tworzymy tabelkę: x i F (x i ) i 1 i i 1 9 9 9 F (x i) i 9 F (x i) 0.7 0,17 0 0,11 0,17 0,06 1.1 0,22 0,11 0,22 0,11 0,00 1.1 0,22 0,22 0,33 0,00 0,11 1.5 0,28 0,33 0,44 0,05 0,16 2.2 0,41 0,44 0,56 0,04 0,15 2.5 0,46 0,56 0,67 0,09 0,20 2.8 0,52 0,67 0,78 0,14 0,26 6.0 0,94 0,78 0,89 0,16 0,06 6.3 0,96 0,89 1,00 0,07 0,06 max 0,17 0,26 D nobl = 0.26. Znajdujemy w tablicach d 9 (0.95) = 0.43. Hipotezy nie odrzucamy. 2 W zasadzie test Kołmogorowa powinno stosować się wtedy, gdy parametry rozkładu, z którym porównujemy próbkę są z góry dane.
49 ZADANIE 26. Próbka dała następujące wyniki 0, 0, 0, 0, 0, 6. Pokaż przy pomocy testu Kołmogorowa, że na poziomie istotności α = 0.10 należy odrzucić hipotezę, że rozkład jest typu N(x, s). Mamy x = 1, s = 2.45. Tworzymy tabelkę dla testu Kołmogorowa. Stawiamy hipotezę, że próbka pochodzi od rozkładu N(1, 0.245). x i F (x i ) i 1 i i 1 6 6 6 F (x i) i 6 F (x i) 0 0.33 0 0.17 0.34 0.17 0 0.33 0.17 0.33 0.17 0.01 0 0.33 0.33 0.50 0.01 0.16 0 0.33 0.50 0.67 0.16 0.32 0 0.33 0.67 0.83 0.33 0.49 6 0.96 0.83 1 0.15 0.02 max 0.34 0.49 D nobl jest równe 0.49. Natomiast d 6 (0.90) = 0.468. Zatem hipotezę odrzucamy.
50 ZADANIE 27. Rozważ próbę z poprzedniego zadania. Pokaż, że przy innym wyborze µ na tym samym poziomie istotności nie odrzucimy hipotezy, że rozkład jest typu N(µ, s). Jeśli ustalimy średnią na przykład na 0.5, to test Kołmogorowa da rezultat x i F (x i ) i 1 i i 1 6 6 6 F (x i) i 6 F (x i) 0 0.42 0 0.17 0.42 0.25 0 0.42 0.17 0.33 0.25 0.09 0 0.42 0.33 0.50 0.09 0.08 0 0.42 0.50 0.67 0.08 0.25 0 0.42 0.67 0.83 0.24 0.41 6 0.99 0.83 1 0.15 0.01 max 0.42 0.41 D nobl = 0.42. Natomiast d 6 (0.90) = 0.468. Zatem hipotezy nie odrzucamy.
51 ZADANIE 28. Jeszcze raz rozważ próbkę z poprzedniego zadania. Pokaż, że nie odrzucimy hipotezy na tym samym poziomie istotności, że rozkład jest jednostajny na przedziale [a; b] przy pewnym wyborze a i b. Wybierzmy np. a = 6, b = 8. Wtedy 0 dla x < 6 x+6 F (x) = 14 dla x [ 6; 8] 1 dla x > 8. Zatem tabela do testu Kołmogorowa wygląda następująco: x i F (x i ) i 1 i i 1 6 6 6 F (x i) i 6 F (x i) 0 0.43 0 0.17 0.43 0.26 0 0.43 0.17 0.33 0.26 0.10 0 0.43 0.33 0.50 0.10 0.07 0 0.43 0.50 0.67 0.07 0.24 0 0.43 0.67 0.83 0.24 0.40 6 0.86 0.83 1 0.02 0.14 max 0.43 0.40 Maksimum jest równe 0.43. Natomiast d 6 (0.90) = 0.468. Zatem hipotezy nie odrzucamy.
52 ZADANIE 29. Pewien sklep sprowadził jabłka tej samej odmiany od dwóch dostawców. Wybrał losowo po 7 jabłek z każdej dostawy i zważył je. Otrzymał rezultaty w gramach: u pierwszego dostawcy 123, 111, 134, 144, 122, 133, 145. U drugiego dostawcy 122, 133, 117, 129, 137, 159, 161. Czy na poziomie istotności α = 0.05 można stwierdzić, że obaj dostawcy dają analogiczną ofertę? Zastosujemy test serii. Ustawimy wszystkie wartości w ciąg rosnący. Oznaczmy pierwszego dostawcę przez x, drugiego przez y. Otrzymamy tabelkę: 111 117 122 122 123 129 133 133 134 137 144 145 159 161 x y x(y) y(x) x y x(y) y(x) x y x x y y W dwóch przypadkach mamy te same wartości w obu próbkach, zatem serii może być najmniej 8, a najwięcej 10, w zależności od tego jak ustawimy próbki o tej samej wartości. Znajdujemy w tablicy 8 k(0.05, 7, 7) = 4. Widzimy, że niezależnie od ustawienia kolejności takich samych wartości, mamy K > 4. Uznajemy, że obaj dostawcy mają podobną ofertę.
53 ZADANIE 30. Producent wag twierdzi, że jego wagi działają z odchyleniem standardowym 0.1 dkg. Aby sprawdzić, czy dostarczone nam z hurtowni torebki cukru są kilogramowe, zważyliśmy 100 losowo wybranych torebek i otrzymaliśmy wartość średnią 0.995 kg. Czy na poziomie istotności α = 0.05 możemy mieć do hurtownika zastrzeżenia? Należy zastosować model D1. Stawiamy hipotezę µ = 100 przeciwko hipotezie µ < 100. Wartość statystyki testowej jest równa (po przeliczeniu wszystkich danych na dekagramy) u obl = 99.5 100 0.1 Zbiorem krytycznym jest przedział 10 = 5. ( ; u(0.95)] = ( ; 1.64]. Wartość statystyki testowej należy do zbioru krytycznego (i to wyraźnie!). Powinniśmy mieć poważne zastrzeżenia.
54 ZADANIE 31. Twórca programu obliczeniowego twierdzi, że jego program rozwiązuje pewne równania różniczkowe na danym procesorze w czasie około 2 sek. z odchyleniem standardowym 1 sek. Przetestowano go na 10 zadaniach z różnymi danymi początkowymi i uzyskano czasy w sekundach: 0.8, 1.9, 2.3, 2.4, 2.4, 0.9, 3.5, 4.2, 2.4, 2.9. Sprawdź na poziomie istotności α = 0.1 czy autor programu się nie przechwala. Sposób I. Zastosujemy test Kołmogorowa, aby się przekonać, że możemy rozkład uważać za normalny z parametrami zadeklarowanymi przez twórcę programu, czyli typu N(2, 1). Tworzymy tabelę. Przypominamy, że F (x) = Φ ( x µ σ x i F (x i ) i 1 i i 1 10 10 10 F (x i) i 10 F (x i) 0.8 0.12 0 0.0 0.12 0.02 0.9 0.14 0.1 0.2 0.04 0.06 1.9 0.46 0.2 0.3 0.26 0.16 2.3 0.62 0.3 0.4 0.32 0.22 2.4 0.66 0.4 0.5 0.26 0.16 2.4 0.66 0.5 0.6 0.16 0.06 2.4 0.66 0.6 0.7 0.06 0.04 2.9 0.82 0.7 0.8 0.12 0.02 3.5 0.93 0.8 0.9 0.13 0.03 4.2 0.99 0.9 1.0 0.09 0.01 max 0.32 0.22 ) ( = Φ x 2 ) 1. Zatem D nobl = 0.32, a d 10 (0.1) = 0.381. Ponieważ 0.32 < 0.381, hipotezy nie odrzucamy. Sposób II. Przyjmujemy, że rozkład jest normalny i stawiamy hipotezę µ = 2 wobec hipotezy przeciwnej µ > 2. Stoujemy model D2. Wyliczamy x = 2.37, s = 1.04. Statystyka testowa wynosi t obl = 2.37 2 1.041 10 = 1.12.
55 Zbiór krytyczny jest równy W = [t(0.9, 9); ) = [1.38; ). Ponieważ t obl W hipotezy nie odrzucamy.
56 ZADANIE 32. Producent baterii twierdzi, że czas pracy baterii wynosi co najmniej 30 godzin. Przebadano 100 baterii i uzyskano średni czas pracy 28 godzin i 20 minut i odchylenie standardowe 7 godzin 25 minut. Na poziomie istotności α = 0.05 sprawdź czy producent ma rację. Ponieważ próba jest duża stosujemy model D3. Po przeliczaniu danych na minuty mamy x = 1700, s = 445, µ 0 = 1800. Stawiamy hipotezę µ = 1800 wobec hipotezy przeciwnej µ < 1800. Wartość statystyki testowej wynosi u obl = Zbiór krytyczny jest równy 1700 1800 445 100 = 2.25. W = ( ; u(0.95)] = ( ; 1.64]. Ponieważ u obl W hipotezę odrzucamy. Producent nie ma racji.
57 ZADANIE 33. Jaki jest graniczny poziom istotności, przy którym odrzucimy hipotezę w poprzednim zadaniu? Wartość statystyki testowej wynosi 2.25. Trzeba znaleźć takie 1 α, że u(1 α) = 2.25, czyli obliczyć wartość dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego w punkcie 2.25. Korzystając z tablic lub komputera otrzymujemy. 1 α = Φ(2.25) = 0.9877. Zatem granicznym poziomem istotności jest α = 0.01222.
58 ZADANIE 34. Aby oszacować dokładność pomiarów wykonywanych elektroniczną wagą sześciokrotnie zważono ten sam obiekt i otrzymano wyniki (w gramach): 11.11, 11, 20, 11.10, 11.13, 11.12, 11.21. Zakładając, że próbka pochodzi z rozkładu normalnego, na poziomie istotności 0.05 zweryfikuj hipotezę σ = 0.04 g. przeciwko hipotezie σ > 0.04 g. Obliczamy x = 11, 145, s = 0, 04764. Ponieważ rozkład cechy jest normalny, stosujemy model E1. Statystka testowa wynosi χ 2 obl = (n 1)s2 σ 2 0 = 7.09, a zbiór krytyczny W = [11.07; ). Wartość statystyki testowej nie należy do W. Hipotezy nie odrzucamy.
59 ZADANIE 35. Dla danych z poprzedniego zadania wyznacz graniczny poziom istotności α, przy którym odrzucimy hipotezę. Wartość statystyki testowej jest równa 7.09. Trzeba wyznaczyć takie α, że χ 2 (1 α, 5) = 7.09, czyli wyznaczyć wartość dystrybuanty F rozkładu χ 2 z 5 stopniami swobody w punkcie 7.09. Użyjemy programu calc i otrzymamy 1 α = 0.79, skąd α = 0.21.
60 ZADANIE 36. Aby zbadać dokładność pracy mikrometra zmierzono 60 razy grubość drutu i uzyskano empiryczne odchylenie standardowe 0.05 mm. Przy założeniu, że rozkład błędów pomiaru jest normalny zbadać na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że mikrometr mierzy z dokładnością 0.04 mm. Rozwiąż zadanie przy pomocy modeli E1 i E2. Stawiamy hipotezę σ = 0.04 przeciwko hipotezie σ > 0.04. Stosujemy model E1. Statystka testowa wynosi χ 2 obl = (n 1)s2 σ 2 0 = 92.19, a zbiór krytyczny W = [χ 2 (0.95, 59); ). Wartość χ 2 (0.95, 59) obliczamy przy pomocy programu calc otrzymując wartość 77.93. Zatem W = [77.93; ). Jak widać wartość statystyki testowej należy do zbioru krytycznego, a zatem hipotezę odrzucamy. Stosujemy model E2. Statystyka testowa wynosi 118 0.05 2 u obl = 0.04 2 117 = 2.76, a zbiór krytyczny W = [1.64; ). I przy tej metodzie hipotezę odrzucamy. Przy obu metodach wyraźnie!
61 ZADANIE 37. Rzucamy 300 razy monetą. Orzeł wypadł 165 razy. Na poziomie istotności α = 0.05 sprawdź hipotezę, że moneta jest symetryczna. Stosujemy model F1. Mamy p 0 = 0.5, n = 300, k = 165. Stawiamy hipotezę p = 0.5 wobec hipotezy przeciwnej p 0.5. Wartość statystyki testowej jest równa u obl = k np 0 np0 (1 p 0 ) = 1.73. Natomiast zbiór krytyczny jest równy ( ; 1.96] [1.96; ). u obl W, zatem hipotezy nie odrzucamy.
62 ZADANIE 38. Wyznacz graniczny poziom istotności α, przy którym odrzucimy hipotezę z poprzedniego zadania. Trzeba znaleźć takie α, że u(1 α 2 ) = 1.73, czyli obliczyć wartość dystrybuanty Φ w punkcie 1.73. Otrzymujemy skąd α = 0.0836. 1 α 2 = 0.9582,
63 ZADANIE 39. Rozwiąż poprzednie dwa zadania przy pomocy testu zgodności χ 2. Orłów wypadło 165, a reszek 135, w obu wypadkach wartość spodziewana to 150. Zatem wartość statystyki testowej jest równa χ 2 obl = (165 150)2 150 + (135 150)2 150 Liczba wyników n jest równa 2, zatem liczymy = 3. χ 2 (0.95, 2 1) = 3.841. Ponieważ 3 < 3.841, hipotezy nie odrzucamy. Aby wyznaczyć graniczny poziom istotności musimy policzyć wartość dystrybuanty rozkładu χ 2 o jednym stopniu swobody w punkcie 3. Najlepiej posłużyć się komputerem (np. programem calc, bo w tablicach tego nie mamy). Otrzymujemy wartość 0.9167. Stąd α = 0.0833. Zauważmy, jak bardzo bliskie są wyniki przy obu metodach!
64 ZADANIE 40. Policzono pewnego dnia klientów internetowego sklepu i okazało się, że na 155 klientów, którzy wzięli udział w ankiecie podając płeć, 31 było kobietami. Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikuj hipotezę, że procent klientów kobiet w tym sklepie wynosi 25%. Stosujemy model F1. Mamy p 0 = 0.25, n = 155, k = 31. Stawiamy hipotezę p = 0.25 wobec hipotezy przeciwnej p 0.25. Wartość statystyki testowej wynosi u obl = k np 0 np0 (1 p 0 ) = 1.44. Zbiór krytyczny: W = ( ; 1.96] [1.96; ). Wartość 1.44 nie należy do zbioru krytycznego. Nie odrzucamy hipotezy.
65 ZADANIE 41. Pewien sklep z odzieżą chce sprawdzić, czy również na terenie jego działalności potwierdzą się dane, że co najmniej 90% klientów stanowią panie. Przez tydzień skrupulatnie liczono klientów i okazało się, że na 527 osób, pań było 450. Czy dane te przeczą ogólnej statystyce na poziomie istotności α = 0.05? Ponownie trzeba zastosować model F1. Mamy p 0 = 0.9, n = 527, k = 450. Stawiamy hipotezę p = 0.9 wobec hipotezy przeciwnej p < 0.9 (dlaczego?). Wartość statystyki testowej wynosi u obl = k np 0 np0 (1 p 0 ) = 3.53. Zbiór krytyczny: W = ( ; 1.64]. Wartość 3.53 należy do zbioru krytycznego. Odrzucamy hipotezę.
66 ZADANIE 42. Dwa narzędzia pomiarowe przebadano mierząc nimi po 20 razy pewien obiekt. Uzyskano następujące rezultaty: s 1 = 0.13, s 2 = 0.20. Czy na poziomie istotności α = 0.05 można zakładać, że oba urządzenia mierzą jednakowo dokładnie? σ 2. Przyjmujemy hipotezę σ 1 = σ 2 wobec hipotezy przeciwnej σ 1 Stosujemy model G1. Ponieważ większa jest wariancja w drugiej próbce, przyjmujemy statystykę Zbiór krytyczny F obl = s2 2 s 2 = 2.37. 1 W = F(1 α 2, 19, 19); ) = [2.53; ). 2.37 W, hipotezy nie odrzucamy.
67 ZADANIE 43. Właściciel sklepu zauważył, że jego waga nie waży dokładnie. Zważył 50 razy tę samą paczkę kilogramową cukru i otrzymał odchylenie standardowe 2 dkg. Oddał wagę do remontu, i po naprawie zważył ponownie 50 razy kilogram cukru otrzymując odchylenie standardowe 0.5 dkg. Czy może na poziomie istotności α = 0.05 uznać naprawę za dobrą? Zastosujemy model G1. Stawiamy hipotezę σ 1 = σ 2 wobec hipotezy przeciwnej σ 1 > σ 2. Statystyka testowa jest równa F obl = s2 1 s 2 = 16. 2 Natomiast zbiór krytyczny jest równy W = F(1 α, 49, 49); ) = [1.61; ). Wartość statystyki testowej wyraźnie należy do zbioru krytycznego. Hipotezę o równości wariancji odrzucamy. Możemy stąd wywnioskować, że waga została porządnie naprawiona!
68 ZADANIE 44. W pewnej fabryce zmierzono średnice śrub na dwóch przyrządach pomiarowych od dwóch różnych dostawców uzyskując wyniki w cm: 0.99, 0.97, 0.97, 1.00, 0.98, 0.99, oraz odpowiednio 1.06, 1.07, 1.03, 1.01, 1.08. Wiadomo, że pierwszy przyrząd pomiarowy działa z dokładnością σ 1 = 0.01 cm, a drugi przyrząd z dokładnością σ 2 = 0.02 cm. Zakładamy, że rozpatrywana cecha długości śrub ma rozkład normalny. Zweryfikuj na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że długości śrub u obu dostawców są takie same. Nasze dane n 1 = 6, n 2 = 5. Ponieważ znane są odchylenia standardowe możemy zastosować model H1. Stawiamy hipotezę µ 1 = µ 2 wobec hipotezy przeciwnej µ 1 µ 2. Obliczamy x 1 = 0.9833, x 2 = 1.050. (odchyleń standardowych w tym modelu nie trzeba obliczać). Statystyka testowa jest równa Zbiór krytyczny u obl = x 1 x 2 Hipotezę wyraźnie odrzucamy. σ1 2 + σ2 n 2 2 1 n 2 2 = 6.78. W = ( ; 1.96] [1.96; ).
69 ZADANIE 45. Jaki jest graniczny poziom istotności, przy którym odrzucimy hipotezę w poprzednim zadaniu? Wartość statystyki testowej jest równa 6.78. Musimy zatem znaleźć takie α, aby u(1 α 2 ) = 6.78. Trzeba policzyć dystrybuantę Φ(6.78). Jest ona praktyczne równa 1 (największy argument w tablicach jest zwykle 3.5). Wartość ta policzona programem calc jest równa 0.999999996. Stąd α = 0.000000007. Możemy zatem uznać, że hipotezę odrzucimy na każdym sensownym poziomie istotności.
70 ZADANIE 46. Rozwiąż zadanie 40 bez informacji o odchyleniach standardowych. Zadanie rozwiążemy w dwóch etapach. W pierwszym etapie sprawdzimy, czy możemy przyjąć, że obie próby mają podobne odchylenie standardowe. Dodatkowo obliczamy s 1 = 0.01211, s 2 = 0.02915. Stosujemy model G1. Statystyka testowa jest równa Zbiór krytyczny F obl = s2 2 s 2 = 5.8. 1 W = [F(0.975, 5 1, 6 1); ) = [7.39; ). Możemy uznać, że odchylenia standardowe są równe. Zatem w drugim, głównym etapie stosujemy model H2. t obl = x 1 x 2. (n1 1)s 2 1 +(n2 1)s2 2 n 1+n 2 2 n1+n2 n 1n 2 Wstawiając nasze dane otrzymujemy wartość 5.14. Zbiór krytyczny jest postaci czyli W = ( ; t(0.975, 9)] [t(0.975, 9); ), W = ( ; 2.26] [2.26; ). I w tym wypadku hipotezę wyraźnie odrzucamy.
71 ZADANIE 47. Zbadano płace 5 kobiet i 5 mężczyzn pracujących w pewnej firmie. Otrzymano dla kobiet dane (w złotych) 1700, 1300, 1900, 1900, 3500, a dla mężczyzn 1600, 1700, 1800, 2700, 4500. Sprawdzić na poziomie istotności α = 0.05, czy można stwierdzić, że płace kobiet są niższe w tej firmie niż mężczyzn. Zakładamy, że płace mają rozkłady normalne. Najpierw obliczamy x 1 = 2060, s 1 = 841.43, x 2 = 2460, s 2 = 1221.88. Test przeprowadzimy w dwóch etapach. W etapie pierwszym sprawdzimy, czy oba odchylenia standardowe możemy uznać za jednakowe. W zależności od tego do właściwego testu wybierzemy model H2 lub H3. ETAP 1. Stawiamy hipotezę σ 1 = σ 2 wobec hipotezy przeciwnej σ 1 σ 2. Stosujemy model G1. Druga próbka ma większą wariancję, zatem nasza statystyka testowa jest równa F obl = s2 2 s 2 = 2.11. 1 Natomiast zbiór krytyczny jest równy W = [F(1 α 2, 5 1, 5 1); ) = [9.6; ). Nie odrzucamy hipotezy o równość odchyleń standardowych. Zatem w trzecim etapie zastosujemy model H2. ETAP 2. Stawiamy hipotezę µ 1 = µ 2 wobec hipotezy przeciwnej µ 1 < µ 2. Statystyka testowa jest równa x 1 x 2 t obl =. (n1 1)s 2 1 +(n2 1)s2 2 n 1+n 2 2 n1+n2 n 1n 2 Dla naszych danych otrzymujemy wynik 0.6. Zbiór krytyczny W = ( ; 2.31] [2.31; ). Hipotezy nie odrzucamy. Przyjmujemy, że płace są podobne.
72 ZADANIE 48. W zakładzie z poprzedniego zadania odeszła z pracy kobieta zarabiająca 3500 złotych i do próby losowej wybrano tylko poprzednie 4 kobiety. Rozwiąż poprzednie zadanie przy nowych danych. Teraz mamy n 1 = 4, x 1 = 1700, s 1 = 282.84. Pozostałe dane bez zmian. Test równości wariancji wypada teraz negatywnie, bo wartość statystyki testowej jest równa 18.66, natomiast zbiór krytyczny jest równy W = [15.1; ). Zatem w drugim etapie stosujemy model H3. Wartość statystyki C obl = 1.35, natomiast zbiór krytyczny W = ( ; 2.8] [2.8; ). Widzimy, że C obl W, zatem hipotezy nie odrzucamy.
73 ZADANIE 49. Policja przeprowadziła badania prędkości samochodów w pewnym niebezpiecznym miejscu na próbach liczności 200 dla samochodów osobowych i ciężarowych i uzyskała wyniki: dla osobowych 101 km/h przy odchyleniu standardowym 7.8 km/h, a dla ciężarowych 88 km/h przy odchyleniu standardowym 10.9 km/h. Zweryfikuj na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że samochody osobowe w tym miejscu jeżdżą nie prędzej niż samochody ciężarowe. Próbki są duże, stosujemy więc model H4. Mamy x 1 = 101, s 1 = 7.8, x 2 = 88, s 2 = 10.9, n 1 = n 2 = 200. Stawiamy hipotezę µ 1 = µ 2 wobec hipotezy µ 1 > µ 2. Statystyka testowa dana jest wzorem W naszym wypadku a zbiór krytyczny ma postać u obl = x 1 x 2. s 2 1 n 1 + s2 2 n 2 u obl = 13.72, W = [1.64; ). Hipotezę bardzo zdecydowanie odrzucamy.
74 ZADANIE 50. Do sklepu pewnego dnia przyszło: 180 kobiet, spośród których 88 dokonało zakupu, oraz 122 mężczyzn, spośród nich 101 dokonało zakupu. Czy słuszna jest hipoteza, że procent osób dokonujących zakupu po wejściu do sklepu nie zależy od płci? Przyjmij α = 0.05. Trzeba zastosować model I1. Mamy n 1 = 180, k 1 = 88, n 2 = 122, k 2 = 101. Stawiamy hipotezę p 1 = p 2 wobec hipotezy przeciwnej p 1 p 2. Stosujemy statystykę u obl = k 1 n 1 k2 n 2 ( ). k 1+k 2 n 1n 2 1 k1+k2 n 1+n 2 Podstawiając nasze dane otrzymujemy natomiast zbiór krytyczny u obl = 5.97, W = ( ; 1.96] [1.96; ). u obl należy do zbioru krytycznego, hipotezę odrzucamy.
75 ZADANIE 51. Pewna firma niezadowolona z wielkości sprzedaży postanowiła zatrudnić agencję reklamową. Tabelka pokazuje średnią tygodniową sprzedaż wybranych asortymentów (w tys. zł.) po zatrudnieniu tej agencji. Czy słuszna jest hipoteza, że zatrudnienie agencji nie zmieniło wielkości sprzedaży. Zakładamy, że wszystkie próbki pochodzą z rozkładu normalnego i przyjmujemy α = 0.05 wielkość sprzedaży przed 9 11 17 4 7 9 wielkość sprzedaży po 21 21 18 5 9 19 Tworzymy nową zmienną Y = X 2 X 1. Mamy y 1 = 12, y 2 = 10, y 3 = 1, y 4 = 1, y 5 = 2, y 6 = 10. Mamy y = 6.00, s = 5.18. Testujemy hipotezę µ = 0 wobec hipotezy µ > 0. Ponieważ próbka jest nieliczna, stosujemy model E2. Wartość statystyki wynosi 1.89, a zbiór krytyczny W = [2.02; ). Hipotezy nie odrzucamy. Wynika z tego, że zatrudnienie agencji tylko nieznacznie poprawiło sprzedaż.
76 ZADANIE 52. W pewnym niebezpiecznym miejscu doszło w pewnym miesiącu do 32 kolizji drogowych. Policja ustawiła tam ostrzegawczy oświetlony znak. Po ustawieniu tego znaku w najbliższym miesiącu doszło do 19 kolizji. Czy można uznać, że sytuacja się poprawiła? Przyjmij α = 0.05. Problem ten można próbować rozwiązać kilkoma sposobami. Po pierwsze możemy zastosować model I1, ale nie będzie on w stu procentach dobry, bo próby nie są niezależne. Można liczbę wypadków potraktować jako liczbę sukcesów w rozkładzie dwupunktowym np. obliczając liczbę godzin w miesiącu (744) i przyjąć, że każdy wypadek zdarzył się w innej godzinie. Następnie rozważać zmienną k = k 1 k 2 = 13 przyjąć hipotezę p = p 0 = 0, wobec hipotezy p > 0 i zastosować model F1. Ale we wzorze na statystykę testową p 0 musi być większe od zera. Możemy rozumowanie poprawić tak. Możemy przyjąć, że minimalna liczba kolizji zawsze będzie: np. 1 na 1000 godzin. I jako hipotezę zerową przyjąć p = 0.001 wobec hipotezy przeciwnej p > 0.001. Jeśli te dane: n = 744, k = 13, p 0 = 0.0001 wstawimy do modelu F1, to wartość statystyki testowej wyjdzie 14.22, a zbiór krytyczny będzie równy W = [1.64; ). Hipotezę zdecydowanie odrzucamy. To oznacza, że sytuacja się wyraźnie poprawiła.
77 ZADANIE 53. Wyniki egzaminu ze statystyki studentów chodzących na wykłady (C) i niechodzących (N) w pewnej grupie wg rezultatów (zaliczony - ZAL i niezaliczony - NZAL) podane są w tabelce ZAL NZAL N 2 102 C 28 36 Zbadaj, czy hipoteza zaliczenie egzaminu jest niezależne od tego czy student chodzi na zajęcia jest słuszna. Przyjmij α = 0.05. Dodając dane w kolumnach i wierszach zapiszmy naszą tabelkę następująco ZAL NZAL razem N 2 102 104 C 28 36 64 razem 30 138 168 Zastosujemy test χ 2. Obliczamy χ 2 obl = ( ) 2 30 104 2 168 30 104 + 168 ( ) 28 30 64 2 168 30 64 + 168 ( ) 102 138 104 2 168 138 104 168 ( ) 36 138 64 2 168 138 64 47. 168 Natomiast χ 2 (0.95, (2 1) (2 1)) = 3.84. Hipotezę zdecydowanie odrzucamy. +
78 ZADANIE 54. Wyznacz współczynniki Cramera i C Pearsona dla poprzedniego zadania. Mamy n = 168, m = 2. χ 2 obl V = n(m 1) 0.53. χ 2 obl C = χ 2 obl + n 0.47.
Tablice 79 Tablice Tablica 1. Wartości Φ(u) rozkładu normalnego N(0, 1) u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1,5398,5438,5478,5517,5557,5596,5636,5675,5714,5753 0,2,5793,5832,5871,5910,5948,5987,6026,6064,6103,6141 0,3,6179,6217,6255,6293,6331,6368,6406,6443,6480,6517 0,4,6554,6591,6628,6664,6700,6736,6772,6808,6844,6879 0,5,6915,6950,6985,7019,7054,7088,7123,7157,7190,7224 0,6,7257,7290,7324,7357,7389,7422,7454,7486,7517,7549 0,7,7580,7611,7642,7673,7704,7734,7764,7794,7823,7852 0,8,7881,7910,7939,7967,7995,8023,8051,8078,8106,8133 0,9,8159,8186,8212,8238,8264,8289,8315,8340,8365,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1,8643,8665,8686,8708,8729,8749,8770,8790,8810,8830 1,2,8849,8869,8888,8907,8925,8944,8962,8980,8997,9015 1,3,9032,9049,9066,9082,9099,9115,9131,9147,9162,9177 1,4,9192,9207,9222,9236,9251,9265,9279,9292,9306,9319 1,5,9332,9345,9357,9370,9382,9394,9406,9418,9429,9441 1,6,9452,9463,9474,9484,9495,9505,9515,9525,9535,9545 1,7,9554,9564,9573,9582,9591,9599,9608,9616,9625,9633 1,8,9641,9649,9656,9664,9671,9678,9686,9693,9699,9706 1,9,9713,9719,9726,9732,9738,9744,9750,9756,9761,9767 2,0 0,9772 0,9779 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1,9821,9826,9830,9834,9838,9842,9846,9850,9854,9857 2,2,9861,9864,9868,9871,9875,9878,9881,9884,9887,9890 2,3,9893,9896,9898,9901,9904,9906,9909,9911,9913,9916 2,4,9918,9920,9922,9925,9927,9929,9931,9932,9934,9936 2,5,9938,9940,9941,9943,9945,9946,9948,9949,9951,9952 2,6,9953,9955,9956,9957,9959,9960,9961,9962,9963,9964 2,7,9965,9966,9967,9968,9969,9970,9971,9972,9973,9974 2,8,9974,9975,9976,9977,9977,9978,9979,9979,9980,9981 2,9,9981,9982,9982,9983,9984,9984,9985,9985,9986,9986 3,0,9987,9987,9987,9988,9988,9989,9989,9989,9990,9990 3,1,9990,9991,9991,9991,9992,9992,9992,9992,9993,9993 3,2,9993,9993,9994,9994,9994,9994,9994,9995,9995,9995 3,3,9995,9995,9995,9996,9996,9996,9996,9996,9996,9997 3,4,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9998
80 Tablica 2. Kwantyle rozkładu normalnego N(0, 1), u(p) = Φ 1 (p) p Φ 1 (p) 0.50 0.0000 0.51 0.0251 0.52 0.0502 0.53 0.0753 0.54 0.1005 0.55 0.1257 0.56 0.1510 0.57 0.1764 0.58 0.2019 0.59 0.2276 0.60 0.2534 0.61 0.2794 0.62 0.3055 0.63 0.3319 0.64 0.3585 0.65 0.3854 0.66 0.4125 0.67 0.4400 0.68 0.4677 0.69 0.4959 0.70 0.5244 0.71 0.5534 0.72 0.5829 0.73 0.6129 0.74 0.6434 p Φ 1 (p) 0.75 0.6745 0.76 0.7063 0.77 0.7389 0.78 0.7722 0.79 0.8065 0.80 0.8417 0.81 0.8779 0.82 0.9154 0.83 0.9542 0.84 0.9945 0.85 1.0365 0.86 1.0804 0.87 1.1264 0.88 1.1750 0.89 1.2266 0.90 1.2816 0.91 1.3408 0.92 1.4051 0.93 1.4758 0.94 1.5548 0.95 1.6449 0.96 1.7507 0.97 1.8808 0.98 2.0537 0.99 2.3263 Tablica 2.5 Uproszczone kwantyle u(p) rozkładu normalnego N(0, 1) p 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 u(p) 1,28 1,64 1,96 2,33 2,58
Tablice 81 Tablica 3. Kwantyle t(p, k) rzędu p rozkładu Studenta o k stopniach swobody p k 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 3,638,353 3,182 4,541 5,841 4,533,132 2,776 3,747 4,604 5,476,015,571,365,032 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 7,415,895,365 2,998,499 8,397,859,306,897,355 9,383,833,262,821,250 10,372,812,228,764,169 11 1,363 1,795 2,201 2,718 3,106 12,356,782,179,681,054 13,350,771,160,650,012 14,345,761,145,624 2,977 15,341,753,131,602,947 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 17,333,740,110,567,898 18,330,734,101,552,878 19,328,729,093,539,861 20,325,725,086,528,845 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 22,321,717,074,508,819 23,319,714,069,500,807 24,318,711,064,492,797 25,316,708,060,485,787 26 1,315 1,706 2,055 2.479 2,779 27,314,703,052,473,771 28,312,701,048,467,763 29,311,699,045,462,756 30,310,697,042,457,750