POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu kart kontrolnych Shewharta. Prowadzący: Dr inż. Cezary Wiśniewski Płock, r. ak. 2013/2014
Wstęp Dane pomiarowe, czyli np. wartości uzyskane podczas pomiarów określonej wielkości (cechy) wyrobu w celu oceny jego jakości, zawsze charakteryzują się jakimś rozkładem. Rozkład ten zależy od bardzo wielu czynników, w tym między innymi od tego, wartości jakiej cechy są mierzone, jaki charakter ma proces wytwórczy wyrobu, jakie czynniki (np. zakłócenia) i w jakim stopniu wpływają na proces itp. Najczęściej rzeczywisty rozkład wartości w populacji generalnej nie jest znany i staramy się go ustalić (np. oszacować parametry rozkładu) na podstawie badania prób losowych. Bardzo istotną czynnością jest też weryfikacja postaci rozkładu teoretycznego, którym można opisać rozkład danych pomiarowych (empirycznych) oraz wybór takiego rozkładu teoretycznego, który najlepiej opisuje rozkład wartości uzyskanych podczas pomiarów. W celu weryfikacji postaci rozkładu, którym można opisać rozkład danych empirycznych stosuje się dwa rodzaje narzędzi: różnego rodzaju testy statystyczne (tzw. testy nieparametryczne), metody graficzne. Metody obliczeniowe (testy statystyczne) są dość precyzyjne i wiarygodne, ale wykorzystanie ich w praktyce (np. przedsiębiorstw) związane jest ze skomplikowanymi obliczeniami i uwarunkowane jest posiadaniem odpowiednio wykształconej kadry i odpowiednich narzędzi analitycznych. Metody graficzne są o wiele prostsze w zastosowaniu, ale nieco mniej dokładne i obarczone subiektywizmem przy ocenie. 1. Rozkład normalny Rozkład normalny jest rozkładem najczęściej spotykanym w praktyce i wiele metod stosowanych w badaniach jakości opiera się na założeniu, że uzyskane podczas pomiarów wartości danych mają rozkład normalny. Większość danych pomiarowych charakteryzujących parametry procesów i cechy wyrobów podlega rozkładowi normalnemu lub zbliżonemu do normalnego. Rozkład normalny charakteryzuje się dwiema ważnymi cechami: symetrią względem wartości średniej, jest jedno-modalny, czyli ma jedną wartość najczęściej występującą (dominującą). 90 Histogram Oczekiw ana normalna 80 70 60 Liczba obs. 50 40 30 20 10 0 79,980 79,985 79,990 79,995 80,000 80,005 80,010 X <= Granica klasy Rys. 1. Histogram liczności Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X o rozkładzie normalnym wyrażona jest zależnością: 2
1 2 natomiast dystrybuanta zależnością: 1 2 dla, µ wartość oczekiwana zmiennej losowej X, σ - odchylenie standardowe. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach µ i σ to fakt ten zapisuje się jako N(µ,σ). Parametr µ jest marą położenia i jego wartość wskazuje jaka jest najbardziej prawdopodobna wartość zmiennej losowej. Parametr σ jest miarą zmienności i określa jak szeroko są rozproszone wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej., µ 1 µ 2 Rys. 2. Wykresy funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładów normalnych o różnych wartościach µ i σ Parametry rozkładu normalnego zmiennej losowej są najczęściej nieznane, a ich dokładne wyznaczenie wymagałoby przebadania całej populacji generalnej (zebrania danych dotyczących wszystkich wartości zmiennej losowej). Dlatego wartości tych parametrów szacuje się na podstawie prób losowych z populacji i wyraża się je za pomocą wartości tzw. estymatorów. Najczęściej stosowanym estymatorem wartości oczekiwanej µ jest średnia arytmetyczna z wartości uzyskanych w próbie, natomiast estymatorem σ jest odchylenie standardowe s z wartości w próbie. Estymatory te definiowane są następująco:! "! 1 " # $ $% 3
&' 1! "1 # $ $% $ wartość i-tego pomiaru, n liczba pomiarów w próbie. Jeśli liczba danych w próbie jest duża (n>30) to można przyjmować, że wartość odchylenia standardowego z próby jest w przybliżeniu równa wartości odchylenia standardowego z populacji (pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji), tzn.: & ) ' 1 " # $ 2. Badanie normalności rozkładu - testy W badaniu i sterowaniu jakością stosuje się wiele metod, w których zakłada się, że zbierane dane o jakości (np. dotyczące mierzonych średnic, długości, ciężaru, objętości itp.) mają rozkład normalny. Niespełnienie tego warunku może prowadzić do błędnego wnioskowania o jakości i powodować działania związane z niewłaściwym sterowaniem procesem lub sugerować zaniechanie działań korygujących proces. Dlatego bardzo ważnym etapem przy wdrażaniu metod sterowania jakością jest sprawdzenie, czy założenia dotyczące normalności rozkładu danych są spełnione. 2.1. Test χ 2 Pearsona Test χ 2 Pearsona jest jedną z analitycznych metod testowania hipotezy, że rozkład prawdopodobieństwa zbioru danych empirycznych (np. wyników pomiarów) może być opisany rozkładem normalnym. Procedura postępowania: 1. Pobrać próbę o dużej liczności (n 100). 2. Policzyć wartości i s dla próby. 3. Podzielić wartości w próbie na k równych klas (zakwalifikować wartości do k przedziałów klasowych) stosując zasadę, że liczba przedziałów klasowych powinna wynosić około ". W przypadku, gdy liczność którejś klasy jest mniejsza niż 5, można połączyć klasy o małej liczności. 4. Obliczyć wartość statystyki χ2. Hipotezę o normalności rozkładu weryfikuje się za pomocą statystyki:, χ # " $"+ $, "+ $ $% k liczba klas (przedziałów klasowych), n i liczność i-tej klasy (liczba wartości zakwalifikowanych do i-tej klasy), n liczność próby (liczba wszystkich wartości w próbie), p i prawdopodobieństwo tego, że wartość zmiennej losowej zawiera się w i-tym przedziale klasowym, np i hipotetyczna liczność i-tego przedziału klasowego.! $% 4
Dla każdego i-tego przedziału klasowego, ograniczonego wartościami x i1 i x i2, oblicza się prawdopodobieństwo p i korzystając ze wzoru: + $ - $ $ -. $ & & $ /0 & $ 0 $, 0 $ $, 0 & $ $ & Wartości funkcji F(u i ) można odczytać z tablicy wartości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub obliczyć w arkuszu kalkulacyjnym Excel wykorzystując funkcję postaci: =ROZKŁAD.NORMALNY.S(u i ). 1,2 1 F(u) 0,8 0,6 0,4 0,2 0-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 u Rys. 3. Wykresy funkcji dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego Policzone dla wszystkich przedziałów klasowych wartości p i oraz określone przy dzieleniu danych na klasy wartości n i należy podstawić do wzoru na wartość statystyki χ 2. 5. Odczytać z tablicy (Tabela 1) rozkładu χ 2 wartość krytyczną χ 1 przy założonym poziomie istotności α i odpowiedniej liczbie stopni swobody ν. Liczbę stopni swobody oblicza się ze wzoru: ν = k-m-1, k liczba klas (przedziałów klasowych), m liczba nieznanych parametrów rozkładu, które szacowane są na podstawie danych z próby, tzn. : gdy znane są σ i µ to m=0, czyli ν = k-1, gdy znane są σ lub µ to m=1, czyli ν = k-2, gdy nie znane są σ i µ to m=2, czyli ν = k-3. Poziom istotności α jest to prawdopodobieństwo odrzucenia testowanej hipotezy statystycznej (np. dotyczącej normalności rozkładu), gdy w rzeczywistości jest ona prawdziwa, ale w teście została ona zweryfikowana negatywnie (popełnienie błędu I rodzaju). Wartość α jest przyjmowana a priori, najczęściej z przedziału od 0,01 do 0,1. 5
Tabela 1. Wartości χ 1 dla ν stopni swobody i poziomu ufności 1-α ν 1-α 0,90 0,95 0,975 0,99 0,999 ν 1-α 0,90 0,95 0,975 0,99 0,999 1 0,016 0,004 0,001 0,0002 0,000 2 0,211 0,103 0,051 0,020 0,002 3 0,584 0,352 0,216 0,115 0,024 4 1,064 0,711 0,484 0,297 0,091 5 1,610 1,145 0,831 0,554 0,210 6 2,204 1,635 1,237 0,872 0,381 7 2,833 2,167 1,690 1,239 0,598 8 3,490 2,733 2,180 1,646 0,857 9 4,168 3,325 2,700 2,088 1,152 10 4,865 3,940 3,247 2,558 1,479 11 5,578 4,575 3,816 3,053 1,834 12 6,304 5,226 4,404 3,571 2,214 13 7,042 5,892 5,009 4,107 2,617 14 7,790 6,571 5,629 4,660 3,041 15 8,547 7,261 6,262 5,229 3,483 16 9,312 7,962 6,908 5,812 3,942 17 10,085 8,672 7,564 6,408 4,416 18 10,865 9,390 8,231 7,015 4,905 19 11,651 10,117 8,907 7,633 5,407 20 12,443 10,851 9,591 8,260 5,921 21 13,240 11,591 10,283 8,897 6,447 22 14,041 12,338 10,982 9,542 6,983 23 14,848 13,091 11,689 10,196 7,529 24 15,659 13,848 12,401 10,856 8,085 25 16,473 14,611 13,120 11,524 8,649 26 17,292 15,379 13,844 12,198 9,222 27 18,114 16,151 14,573 12,879 9,803 28 18,939 16,928 15,308 13,565 10,391 29 19,768 17,708 16,047 14,256 10,986 30 20,599 18,493 16,791 14,953 11,588 31 21,434 19,281 17,539 15,655 12,196 32 22,271 20,072 18,291 16,362 12,811 33 23,110 20,867 19,047 17,074 13,431 34 23,952 21,664 19,806 17,789 14,057 35 24,797 22,465 20,569 18,509 14,688 36 25,643 23,269 21,336 19,233 15,324 37 26,492 24,075 22,106 19,960 15,965 38 27,343 24,884 22,878 20,691 16,611 39 28,196 25,695 23,654 21,426 17,262 40 29,051 26,509 24,433 22,164 17,916 41 29,907 27,326 25,215 22,906 18,575 42 30,765 28,144 25,999 23,650 19,239 43 31,625 28,965 26,785 24,398 19,906 44 32,487 29,787 27,575 25,148 20,576 45 33,350 30,612 28,366 25,901 21,251 46 34,215 31,439 29,160 26,657 21,929 47 35,081 32,268 29,956 27,416 22,610 48 35,949 33,098 30,755 28,177 23,295 49 36,818 33,930 31,555 28,941 23,983 50 37,689 34,764 32,357 29,707 24,674 51 38,560 35,600 33,162 30,475 25,368 52 39,433 36,437 33,968 31,246 26,065 53 40,308 37,276 34,776 32,018 26,765 54 41,183 38,116 35,586 32,793 27,468 55 42,060 38,958 36,398 33,570 28,173 56 42,937 39,801 37,212 34,350 28,881 57 43,816 40,646 38,027 35,131 29,592 58 44,696 41,492 38,844 35,913 30,305 59 45,577 42,339 39,662 36,698 31,020 60 46,459 43,188 40,482 37,485 31,738 61 47,342 44,038 41,303 38,273 32,459 62 48,226 44,889 42,126 39,063 33,181 63 49,111 45,741 42,950 39,855 33,906 64 49,996 46,595 43,776 40,649 34,633 65 50,883 47,450 44,603 41,444 35,362 66 51,770 48,305 45,431 42,240 36,093 67 52,659 49,162 46,261 43,038 36,826 68 53,548 50,020 47,092 43,838 37,561 69 54,438 50,879 47,924 44,639 38,298 70 55,329 51,739 48,758 45,442 39,036 71 56,221 52,600 49,592 46,246 39,777 72 57,113 53,462 50,428 47,051 40,519 73 58,006 54,325 51,265 47,858 41,264 74 58,900 55,189 52,103 48,666 42,010 75 59,795 56,054 52,942 49,475 42,757 76 60,690 56,920 53,782 50,286 43,507 77 61,586 57,786 54,623 51,097 44,258 78 62,483 58,654 55,466 51,910 45,010 79 63,380 59,522 56,309 52,725 45,764 80 64,278 60,391 57,153 53,540 46,520 81 65,176 61,261 57,998 54,357 47,277 82 66,076 62,132 58,845 55,174 48,036 83 66,976 63,004 59,692 55,993 48,796 84 67,876 63,876 60,540 56,813 49,557 85 68,777 64,749 61,389 57,634 50,320 86 69,679 65,623 62,239 58,456 51,085 87 70,581 66,498 63,089 59,279 51,850 88 71,484 67,373 63,941 60,103 52,617 89 72,387 68,249 64,793 60,928 53,386 90 73,291 69,126 65,647 61,754 54,155 91 74,196 70,003 66,501 62,581 54,926 92 75,100 70,882 67,356 63,409 55,698 93 76,006 71,760 68,211 64,238 56,472 94 76,912 72,640 69,068 65,068 57,246 95 77,818 73,520 69,925 65,898 58,022 96 78,725 74,401 70,783 66,730 58,799 97 79,633 75,282 71,642 67,562 59,577 98 80,541 76,164 72,501 68,396 60,356 99 81,449 77,046 73,361 69,230 61,137 100 82,358 77,929 74,222 70,065 61,918 6. Ocenić, czy rozkład danych może być opisany za pomocą rozkładu normalnego. Przy ocenie wyniku testu χ 2 przyjmuje się następujące kryterium: Jeśli χ 2 <χ 1 to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że badany rozkład danych jest rozkładem normalnym. W przeciwnym przypadku należy odrzucić hipotezę o normalności rozkładu, popełniając błąd z prawdopodobieństwem nie większym niż α. 6
2.2. Test zgodności λ Kołmogorowa Test Kołmogorowa oparty jest na statystyce λ: λ "2! 2! max 556 8!, n liczność próby (liczba wszystkich wartości w próbie), 8! - dystrybuanta empiryczna rozkładu wartości w próbie, F(x) dystrybuanta. Procedura postępowania: 1. Pobrać próbę o dużej liczności (n 100). 2. Policzyć wartości i s dla próby. 3. Podzielić wartości w próbie na k równych, możliwie małych klas stosując zasadę, że liczba przedziałów klasowych powinna wynosić około ". 4. Zaliczyć dane do przedziałów klasowych, otrzymując liczności klas n 1, n 2,..., n k. 5. Dla każdego z k przedziałów klasowych obliczyć: a) Dystrybuantę empiryczną 8 $ $ : 8 $ $ " 9$ " n si liczność skumulowana i-tej klasy obliczana ze wzoru: " 9$ " 9$ " $, przy czym n s1 =n 1, a n i oznacza liczność i-tego przedziału klasowego. b) Dystrybuantę teoretyczną F(u i ) standaryzowanego rozkładu normalnego, przyjmując do obliczeń końce przedziałów klasowych. Wartości funkcji F(u i ) można odczytać z tablicy wartości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub obliczyć w arkuszu kalkulacyjnym Excel wykorzystując funkcję postaci: =ROZKŁAD.NORMALNY.S(u i ). Dla każdego przedziału klasowego odczytuje się lub liczy wartość F(u i2 ) dla wartości: 0 $ $ & c) Wartości bezwzględne różnic 8 $ $ 0 $ 6. Znaleźć maksymalną różnicę D n pomiędzy wartościami empirycznymi i teoretycznymi dystrybuant. 7. Obliczyć wartość statystyki λ 8. Z tablicy rozkładu λ Kołmogorowa (Tabela 2.) odczytać wartość krytyczną λ α.dla przyjętego poziomu istotności α. Tabela 2. Rozkład λ Kołmogorowa Wartości krytyczne rozkładu λ Kołmogorowa dla podanych poziomów istotności α α 0,001 0,03 0,05 0,10 0,15 λ α 1,627 1,449 1,358 1,224 1,138 9. Porównać obliczoną wartość λ z odczytaną wartością λ α. Jeśli λ<λ α to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności rozkładu danych. W przeciwnym przypadku należy odrzucić hipotezę o normalności rozkładu, popełniając błąd z prawdopodobieństwem nie większym niż α. 7
2.3. Test normalności rozkładu Shapiro-Wilka Test W Shapiro-Wilka służy do badania normalności rozkładu. Jeżeli wartość statystyki W jest istotna, to hipotezę o zgodności z rozkładem normalnym należy odrzucić. Test Shapiro-Wilka jest preferowanym testem normalności ze względu na jego dużą moc w porównaniu z innymi testami. Procedura postępowania: 1. Pobrać próbę o dużej liczności (n 100). 2. Policzyć wartości i s dla próby. 3. Uporządkować wartości danych niemalejąco, otrzymując w ten sposób ciąg wartości: x 1, x 2,..., x n, gdzie dla każdego i x i x i+1. 4. Obliczyć wartość statystyki: >!? : ; =!$6!$6 $ $% $! $% [n/2] część całkowita liczby n/2, a n-i+1 współczynniki Shapiro-Wilka (Tabela 3), 5. Z tablicy (Tabela 4) wartości krytycznych dla testu Shapiro-Wilka, dla przyjętego poziomu istotności α, odczytać wartość krytyczną W *. 6. Porównać obliczoną wartość W z odczytaną wartością W *. Jeśli W W * to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności rozkładu danych. W przeciwnym przypadku należy odrzucić hipotezę o normalności rozkładu, popełniając błąd z prawdopodobieństwem nie większym niż α. A, 3. Badanie normalności rozkładu metoda graficzna Wykres prawdopodobieństwa rozkładu normalnego jest graficzną metodą subiektywnej, wizualnej oceny dopasowania rozkładu danych do założonego hipotetycznego rozkładu normalnego. Procedura weryfikacyjna jest bardzo prosta i może być przeprowadzona szybko. W przypadku rozkładu normalnego, metoda ta wymaga dysponowania wykreśloną, specjalną siatką rozkładu normalnego Laplaco-regularną (Rys. 5), na której nanosi się punkty odpowiadające danym pomiarowym. Jeżeli zaznaczone punkty układają się (w przybliżeniu) w linii prostej, to można uznać, że rozkład danych jest normalny. Procedura postępowania: 1. Uporządkować n wartości danych niemalejąco, otrzymując w ten sposób ciąg wartości: x 1, x 2,..., x j,..., x n, gdzie j jest numerem wartości danej w uporządkowanym ciągu. 2. Dla każdej wartości x j obliczyć częstość skumulowaną korzystając ze wzoru: ΦBC D E F0,5 " oraz odczytać z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego wartości standaryzowane z j dla odpowiednich wartości ΦBC D E. Wartości z j można też obliczyć w arkuszu kalkulacyjnym Excel wykorzystując funkcję: =ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(ΦBC D E). 8
3. Nanieść na siatkę rozkładu normalnego Laplaco-regularną (Rys. 5) punkty o współrzędnych (x j, ΦBC D E) lub sporządzić dla danych wykres punktowy w układzie współrzędnych z j na osi pionowej i x j na osi poziomej. 4. Pomiędzy punktami na siatce rozkładu normalnego lub na wykresie punktowym wartości standaryzowanych poprowadzić linię prostą i wyciągnąć wniosek dotyczący tego, czy układ punktów można w przybliżeniu uznać za liniowy. Jeżeli zaznaczone punkty układają się (w przybliżeniu) w linii prostej, to można uznać, że rozkład danych jest normalny. Przykład 1 Podczas badania jakości paliwa na 10 stacjach benzynowych zarejestrowano następujące wartości liczby oktanowej paliwa: 88,9; 87,0; 90,0; 88,2; 87,2; 87,4; 87,8; 89,7; 86,0; 89,6. Korzystając z metody graficznej potwierdzić hipotezę, że dane dotyczące liczby oktanowej paliwa mają rozkład normalny. Rozwiązanie Zadanie można rozwiązać z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego Excel. Dane należy wprowadzić do zakresu komórek (B2:B11) i uporządkować je w kolejności rosnącej. W komórkach w kolumnie C trzeba obliczyć wartości (j-0,5)/10, przy czym wartości j występują w komórkach kolumny A. W kolumnie D oblicza się wartości z j wykorzystując funkcję arkusza: ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW, przy czym argumentami tej funkcji są wartości z kolumny C. Widok fragmentu arkusza kalkulacyjnego oraz wykres służący weryfikacji normalności rozkładu danych przedstawiono na rysunku 4. 2,000 1,500 1,000 0,500 z j 0,000-0,500-1,000-1,500-2,000 85 86 87 88 89 90 91 x j Rys. 4. Tabela obliczeniowa i wykres normalności rozkładu danych 1 Przykład zaczerpnięto z: Montgomery D.C.: Introduction to Statistical Quality Control, John Wiley & Sons, Inc., 2005 9
Tabela 3. Współczynniki {a n-i+1 } dla testu normalności Shapiro-Wilka n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 i 1 0,7071 0,7071 0,6872 0,6646 0,6431 0,6233 0,6052 0,5888 0,5739 0,5601 0,5475 0,5359 0,5251 0,5150 0,5056 0,4968 0,4886 0,4808 0,4734 0,4643 0,4590 0,4542 0,4493 0,4450 0,4407 2 0,0000 0,1677 0,2413 0,2806 0,3031 0,3164 0,3244 0,3291 0,3315 0,3325 0,3325 0,3318 0,3306 0,3290 0,3273 0,3253 0,3232 0,3211 0,3185 0,3156 0,3126 0,3098 0,3069 0,3043 3 0,0000 0,0875 0,1401 0,1743 0,1976 0,2141 0,2260 0,2347 0,2412 0,2460 0,2495 0,2521 0,2540 0,2553 0,2561 0,2565 0,2578 0,2571 0,2563 0,2554 0,2543 0,2533 4 0,0000 0,0564 0,0947 0,1224 0,1429 0,1586 0,1707 0,1802 0,1878 0,1939 0,1988 0,2027 0,2059 0,2085 0,2199 0,2131 0,2139 0,2145 0,2148 0,2151 5 0,0000 0,0399 0,0695 0,0922 0,1099 0,1240 0,1353 0,1447 0,1524 0,1587 0,1641 0,1686 0,1736 0,1764 0,1787 0,1807 0,1822 0,1836 6 0,0000 0,0303 0,0539 0,0727 0,0880 0,1005 0,1109 0,1197 0,1271 0,1334 0,1399 0,1443 0,1480 0,1512 0,1539 0,1563 7 0,0000 0,0240 0,0433 0,0593 0,0725 0,0837 0,0932 0,1013 0,1092 0,1150 0,1201 0,1245 0,1283 0,1316 8 0,0000 0,0196 0,0359 0,0496 0,6120 0,0711 0,0804 0,0878 0,0941 0,0997 0,1046 0,1089 9 0,0000 0,0130 0,0303 0,0422 0,0530 0,0618 0,0696 0,0764 0,0823 0,0876 10 0,0000 0,0140 0,0263 0,0368 0,0459 0,0539 0,0610 0,0672 11 0,0000 0,0122 0,0228 0,0321 0,0403 0,0476 12 0,0000 0,0107 0,0200 0,0284 13 0,0094 n 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 55 i 1 0,4366 0,4328 0,4291 0,4254 0,4220 0,4188 0,4156 0,4127 0,4096 0,4068 0,4040 0,4015 0,3989 0,3964 0,3940 0,3917 0,3894 0,3872 0,3850 0,3830 0,3008 0,3789 0,3770 0,3751 0,3664 2 0,3018 0,2992 0,2968 0,2944 0,2921 0,2898 0,2876 0,2854 0,2834 0,2813 0,2794 0,2774 0,2755 0,2737 0,2719 0,2701 0,2684 0,2667 0,2651 0,2635 0,2620 0,2604 0,2589 0,2574 0,2505 3 0,2522 0,2510 0,2499 0,2487 0,2475 0,2463 0,2451 0,2439 0,2427 0,2415 0,2403 0,2391 0,2380 0,2368 0,2357 0,2345 0,2334 0,2323 0,2313 0,2302 0,2291 0,2281 0,2271 0,2260 0,2212 4 0,2152 0,2151 0,2150 0,2148 0,2145 0,2141 0,2137 0,2132 0,2127 0,2121 0,2116 0,2110 0,2104 0,2098 0,2091 0,2085 0,2078 0,2072 0,2065 0,2058 0,2052 0,2045 0,2038 0,2032 0,1998 5 0,1848 0,1857 0,1864 0,1870 0,1874 0,1878 0,1880 0,1882 0,1883 0,1883 0,1883 0,1881 0,1880 0,1878 0,1876 0,1874 0,1871 0,1868 0,1865 0,1862 0,1859 0,1855 0,1851 0,1847 0,1827 6 0,1584 0,1601 0,1616 0,1630 0,1641 0,1651 0,1660 0,1667 0,1673 0,1678 0,1683 0,1686 0,1689 0,1691 0,1693 0,1694 0,1695 0,1695 0,1695 0,1695 0,1695 0,1693 0,1692 0,1691 0,1682 7 0,1346 0,1372 0,1395 0,1415 0,1433 0,1449 0,1463 0,1475 0,1487 0,1496 0,1505 0,1513 0,1520 0,1526 0,1531 0,1535 0,1539 0,1542 0,1545 0,1548 0,1550 0,1551 0,1553 0,1554 0,1555 8 0,1128 0,1162 0,1192 0,1219 0,1243 0,1265 0,1284 0,1301 0,1317 0,1331 0,1344 0,1356 0,1366 0,1376 0,1384 0,1392 0,1398 0,1405 0,1410 0,1415 0,1420 0,1423 0,1427 0,1430 0,1441 9 0,0923 0,0965 0,1002 0,1036 0,1066 0,1093 0,1118 0,1140 0,1160 0,1179 0,1196 0,1211 0,1225 0,1237 0,1249 0,1259 0,1269 0,1278 0,1286 0,1293 0,1300 0,1306 0,1312 0,1317 0,1336 10 0,0728 0,0778 0,0822 0,0862 0,0899 0,0931 0,0961 0,0988 0,1013 0,1036 0,1056 0,1075 0,1092 0,1108 0,1123 0,1136 0,1149 0,1160 0,1170 0,1180 0,1189 0,1197 0,1205 0,1212 0,1240 11 0,0540 0,0598 0,0650 0,0697 0,0739 0,0777 0,0812 0,0844 0,0873 0,0900 0,0924 0,0947 0,0967 0,0986 0,1004 0,1020 0,1035 0,1049 0,1062 0,1073 0,1085 0,1095 0,1105 0,1113 0,1149 12 0,0358 0,0424 0,0483 0,0537 0,0585 0,0629 0,0669 0,0706 0,0739 0,0770 0,0798 0,0824 0,0848 0,0870 0,0891 0,0909 0,0927 0,0943 0,0959 0,0972 0,0986 0,0998 0,1010 0,1020 0,1064 13 0,0178 0,0253 0,0320 0,0381 0,0435 0,0485 0,0530 0,0572 0,0610 0,0645 0,0677 0,0706 0,0733 0,0759 0,0782 0,0804 0,0824 0,0842 0,0860 0,0876 0,0892 0,0906 0,0919 0,0932 0,0983 14 0,0000 0,0084 0,0159 0,0227 0,0289 0,0344 0,0395 0,0441 0,0484 0,0523 0,0559 0,0592 0,0622 0,0651 0,0677 0,0701 0,0724 0,0745 0,0765 0,0783 0,0801 0,0817 0,0832 0,0846 0,0906 15 0,0000 0,0076 0,0144 0,0206 0,0262 0,0314 0,0361 0,0404 0,0444 0,0481 0,0515 0,0546 0,0575 0,0602 0,0628 0,0651 0,0673 0,0694 0,0713 0,0731 0,0748 0,0764 0,0831 16 0,0000 0,0068 0,0131 0,0187 0,0239 0,0287 0,0331 0,0372 0,0409 0,0444 0,0476 0,0506 0,0534 0,0560 0,0584 0,0607 0,0628 0,0648 0,0667 0,0685 0,0759 17 0,0062 0,0119 0,0172 0,0220 0,0264 0,0305 0,0343 0,0379 0,0411 0,0442 0,0471 0,0497 0,0522 0,0546 0,0568 0,0588 0,0608 0,0690 18 0,0000 0,0057 0,0110 0,0158 0,0203 0,0244 0,0283 0,0318 0,0352 0,0383 0,0412 0,0439 0,0465 0,0489 0,0511 0,0532 0,0622 19 0,0000 0,0053 0,0101 0,0146 0,0188 0,0227 0,0263 0,0296 0,0328 0,0357 0,0385 0,0411 0,0436 0,0459 0,0556 20 0,0000 0,0049 0,0094 0,0136 0,0175 0,0211 0,0245 0,0277 0,0307 0,0335 0,0361 0,0386 0,0491 21 0,0000 0,0045 0,0087 0,0126 0,0163 0,0197 0,0229 0,0259 0,0288 0,0314 0,0427 22 0,0000 0,0042 0,0081 0,0118 0,0153 0,0185 0,0215 0,0244 0,0364 23 0,0000 0,0039 0,0076 0,0111 0,0143 0,0174 0,0302 24 0,0000 0,0037 0,0071 0,0104 0,0241 25 0,0000 0,0035 0,0180 26 0,0120 27 0,0600
Tabela 3. Współczynniki {a n-i+1 } dla testu normalności Shapiro-Wilka (cd.) Tabela 4. Wartości krytyczne dla testu Shapiro-Wilka n 60 65 70 75 80 85 90 95 100 i 1 0,3580 0,3515 0,3451 0,3392 0,3338 0,3289 0,3242 0,3199 0,3158 α α 2 0,2343 0,2386 0,2333 0,2285 0,2240 0,2198 0,2159 0,2123 0,2089 n 0,01 0,02 0,05 0,1 n 0,01 0,02 0,05 0,1 3 0,2166 0,2124 0,2085 0,2048 0,2013 0,1980 0,1949 0,1920 0,1892 3 0,753 0,756 0,767 0,789 51 0,934 0,941 0,949 0,956 4 0,1966 0,1935 0,1905 0,1876 0,1849 0,1823 0,1798 0,1774 0,1752 4 0,687 0,707 0,748 0,792 52 0,935 0,941 0,950 0,956 5 0,1805 0,1783 0,1762 0,1740 0,1719 0,1698 0,1678 0,1659 0,1640 5 0,686 0,715 0,762 0,806 53 0,936 0,942 0,950 0,957 6 0,1670 0,1656 0,1641 0,1625 0,1609 0,1593 0,1578 0,1562 0,1547 6 0,713 0,743 0,788 0,826 54 0,937 0,943 0,951 0,957 7 0,1551 0,1541 0,1535 0,1525 0,1514 0,1502 0,1490 0,1478 0,1466 7 0,730 0,760 0,803 0,838 55 0,938 0,943 0,951 0,958 8 0,1445 0,1444 0,1441 0,1436 0,1429 0,1421 0,1413 0,1404 0,1394 8 0,749 0,778 0,818 0,851 56 0,938 0,944 0,952 0,958 9 0,1348 0,1354 0,1356 0,1355 0,1352 0,1348 0,1342 0,1336 0,1329 9 0,764 0,791 0,829 0,859 57 0,939 0,945 0,952 0,958 10 0,1258 0,1270 0,1277 0,1280 0,1281 0,1280 0,1278 0,1274 0,1270 10 0,781 0,806 0,842 0,869 58 0,940 0,945 0,953 0,959 11 0,1174 0,1192 0,1204 0,1211 0,1216 0,1218 0,1218 0,1217 0,1215 11 0,792 0,817 0,850 0,876 59 0,940 0,946 0,953 0,959 12 0,1096 0,1118 0,1135 0,1146 0,1154 0,1159 0,1162 0,1163 0,1163 12 0,805 0,828 0,859 0,883 60 0,941 0,946 0,954 0,960 13 0,1021 0,1049 0,1070 0,1085 0,1096 0,1104 0,1109 0,1113 0,1115 13 0,814 0,837 0,866 0,889 61 0,942 0,947 0,954 0,960 14 0,0950 0,0983 0,1008 0,1027 0,1041 0,1032 0,1060 0,1065 0,1069 14 0,825 0,846 0,874 0,895 62 0,942 0,947 0,955 0,960 15 0,0881 0,0919 0,0948 0,0971 0,0988 0,1002 0,1012 0,1020 0,1026 15 0,835 0,855 0,881 0,901 63 0,943 0,948 0,955 0,961 16 0,0815 0,0858 0,0892 0,0918 0,0938 0,0954 0,0967 0,0977 0,0984 16 0,844 0,863 0,887 0,906 64 0,943 0,948 0,955 0,961 17 0,0752 0,0799 0,0837 0,0866 0,0890 0,0908 0,0923 0,0935 0,0944 17 0,851 0,869 0,892 0,910 65 0,944 0,949 0,956 0,961 18 0,0690 0,0742 0,0784 0,0817 0,0843 0,0864 0,0881 0,0895 0,0906 18 0,858 0,874 0,897 0,914 66 0,945 0,949 0,956 0,961 19 0,0629 0,0687 0,0732 0,0768 0,0798 0,0821 0,0842 0,0856 0,0869 19 0,863 0,879 0,901 0,917 67 0,945 0,950 0,956 0,962 20 0,0571 0,0633 0,0682 0,0722 0,0754 0,0780 0,0801 0,0819 0,0834 20 0,868 0,884 0,905 0,920 68 0,946 0,950 0,957 0,962 21 0,0513 0,0580 0,0633 0,0676 0,0711 0,0740 0,0763 0,0783 0,0834 21 0,873 0,888 0,908 0,923 69 0,946 0,951 0,957 0,963 22 0,0456 0,0528 0,0586 0,0632 0,0669 0,0700 0,0726 0,0747 0,0765 22 0,878 0,892 0,911 0,926 70 0,946 0,951 0,957 0,963 23 0,0401 0,0478 0,0539 0,0588 0,0629 0,0662 0,0690 0,0713 0,0733 23 0,881 0,895 0,914 0,928 71 0,947 0,951 0,958 0,963 24 0,0346 0,0428 0,0493 0,0546 0,0589 0,0625 0,0655 0,0680 0,0701 24 0,884 0,898 0,916 0,930 72 0,947 0,952 0,958 0,963 25 0,0292 0,0379 0,0448 0,0504 0,0550 0,0588 0,0620 0,0647 0,0670 25 0,888 0,901 0,918 0,931 73 0,948 0,952 0,958 0,963 26 0,0238 0,0330 0,0403 0,0463 0,0512 0,0552 0,0586 0,0615 0,0639 26 0,891 0,904 0,920 0,933 74 0,948 0,953 0,959 0,964 27 0,0185 0,0282 0,0359 0,0422 0,0474 0,0517 0,0553 0,0583 0,0609 27 0,894 0,906 0,923 0,935 75 0,949 0,953 0,959 0,964 28 0,0132 0,0234 0,0316 0,0382 0,0437 0,0482 0,0520 0,0552 0,0580 28 0,896 0,908 0,924 0,936 76 0,949 0,953 0,959 0,964 29 0,0079 0,0187 0,0273 0,0343 0,0400 0,0448 0,0488 0,0522 0,0551 29 0,898 0,910 0,926 0,937 77 0,949 0,954 0,959 0,964 30 0,0026 0,0140 0,0230 0,0304 0,0364 0,0414 0,0458 0,0492 0,0523 30 0,900 0,912 0,927 0,939 78 0,950 0,954 0,959 0,964 31 0,0093 0,0188 0,0265 0,0328 0,0381 0,0425 0,0463 0,0495 31 0,902 0,914 0,929 0,940 79 0,950 0,955 0,960 0,965 32 0,0047 0,0146 0,0227 0,0293 0,0348 0,0394 0,0434 0,0467 32 0,904 0,915 0,930 0,941 80 0,950 0,955 0,960 0,965 33 0,0104 0,0188 0,0258 0,0315 0,0364 0,0405 0,0440 33 0,906 0,917 0,931 0,942 81 0,951 0,955 0,960 0,965 34 0,0063 0,0150 0,0223 0,0283 0,0333 0,0347 0,0413 34 0,908 0,919 0,933 0,943 82 0,951 0,955 0,961 0,965 35 0,0021 0,0113 0,0188 0,0251 0,0304 0,0338 0,0387 35 0,910 0,920 0,934 0,944 83 0,951 0,955 0,961 0,965 36 0,0075 0,0154 0,0219 0,0274 0,0321 0,0361 36 0,912 0,922 0,935 0,945 84 0,952 0,955 0,961 0,966 37 0,0038 0,0119 0,0187 0,0245 0,0293 0,0335 37 0,914 0,924 0,936 0,946 85 0,952 0,956 0,961 0,966 38 0,0085 0,0156 0,0215 0,0266 0,0309 38 0,916 0,925 0,938 0,947 86 0,952 0,956 0,962 0,966 39 0,0051 0,0125 0,0186 0,0239 0,0284 39 0,917 0,927 0,939 0,948 87 0,953 0,956 0,962 0,966 40 0,0017 0,0093 0,0157 0,0212 0,0258 40 0,919 0,928 0,940 0,949 88 0,953 0,957 0,962 0,966 41 0,0062 0,0129 0,0185 0,0233 41 0,920 0,929 0,941 0,950 89 0,953 0,957 0,962 0,966 42 0,0031 0,0100 0,0158 0,0208 42 0,922 0,930 0,942 0,951 90 0,954 0,957 0,962 0,967 43 0,0071 0,0132 0,0183 43 0,923 0,932 0,943 0,951 91 0,954 0,957 0,963 0,967 44 0,0043 0,0105 0,0159 44 0,924 0,933 0,944 0,952 92 0,954 0,957 0,963 0,967 45 0,0014 0,0079 0,0134 45 0,926 0,934 0,945 0,953 93 0,954 0,958 0,963 0,967 46 0,0053 0,0110 46 0,927 0,935 0,945 0,953 94 0,955 0,958 0,963 0,967 47 0,0026 0,0083 47 0,928 0,936 0,946 0,954 95 0,955 0,958 0,963 0,967 48 0,0061 48 0,929 0,937 0,947 0,954 96 0,955 0,958 0,963 0,967 49 0,0037 49 0,929 0,937 0,947 0,955 97 0,955 0,959 0,964 0,967 50 0,0012 50 0,930 0,938 0,947 0,955 98 0,956 0,959 0,964 0,968 11
0,999 0,995 0,990 0,985 0,980 0,970 0,960 0,950 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,050 0,010 0,005 0,001 Rys. 5. Siatka rozkładu normalnego Laplaco-regularna 12
Zadanie 1 Podczas produkcji sworzni prowadzi się statystyczną kontrolę jakości. Istotnym, ze względu na jakość produkcji jest wymiar średnicy sworznia Ø10,40 ± 0,05. Podczas kontroli produkcji pobrano 150 szt. sworzni. Dane o wymiarach średnic sworzni podane są w tabeli Z1. Zweryfikuj, czy dane te mają rozkład normalny. Tabela Z1. Wymiary [mm] 10,4 10,38 10,39 10,43 10,42 10,4 10,37 10,37 10,42 10,36 10,42 10,42 10,39 10,44 10,43 10,43 10,43 10,33 10,41 10,45 10,32 10,37 10,42 10,42 10,42 10,37 10,42 10,41 10,37 10,35 10,37 10,45 10,47 10,37 10,35 10,44 10,42 10,42 10,43 10,4 10,37 10,4 10,42 10,4 10,44 10,36 10,46 10,48 10,38 10,36 10,45 10,43 10,45 10,4 10,39 10,43 10,37 10,47 10,37 10,42 10,35 10,43 10,39 10,4 10,42 10,41 10,41 10,43 10,35 10,37 10,44 10,38 10,38 10,37 10,41 10,36 10,42 10,43 10,41 10,42 10,42 10,39 10,4 10,34 10,38 10,38 10,4 10,36 10,4 10,4 10,44 10,47 10,37 10,42 10,37 10,44 10,46 10,45 10,47 10,45 10,37 10,37 10,42 10,37 10,44 10,43 10,37 10,45 10,47 10,45 10,4 10,43 10,42 10,43 10,41 10,47 10,46 10,42 10,45 10,42 10,36 10,42 10,37 10,4 10,4 10,38 10,4 10,39 10,42 10,37 10,4 10,45 10,4 10,42 10,42 10,37 10,38 10,38 10,4 10,32 10,43 10,39 10,37 10,41 10,41 10,45 10,45 10,43 10,44 10,47 Zadanie 2 Podczas produkcji tulejek kontroli poddawano średnicę wewnętrzną. Zarejestrowane wymiary zawiera tabela Z2. Sprawdź, czy dane te mają rozkład normalny. Tabela Z2. Wymiary [mm] 7,98 7,98 7,98 7,98 7,975 7,975 7,975 7,97 7,97 7,98 7,975 7,97 7,97 7,98 7,975 7,98 7,975 7,97 7,97 7,975 7,975 7,975 7,98 7,98 7,97 7,965 7,962 7,965 7,962 7,963 7,975 7,975 7,97 7,97 7,975 7,958 7,958 7,962 7,955 7,962 7,97 7,98 7,97 7,98 7,975 7,965 7,97 7,962 7,963 7,965 7,975 7,98 7,97 7,97 7,97 7,965 7,955 7,965 7,964 7,964 7,975 7,98 7,974 7,98 7,98 7,98 7,968 7,968 7,965 7,967 7,975 7,98 7,98 7,98 7,97 7,974 7,976 7,974 7,98 7,978 7,98 7,975 7,975 7,98 7,98 7,98 7,975 7,974 7,975 7,97 7,97 7,98 7,98 7,98 7,975 7,975 7,982 7,982 7,98 7,98 7,98 7,975 7,98 7,97 7,97 7,98 7,978 7,98 7,98 7,98 7,97 7,98 7,97 7,98 7,98 7,974 7,975 7,974 7,975 7,975 Zadanie 3 Pewien produkt spożywczy pakuje się w opakowania. których ciężar netto powinien wynosić 100±2 g. Wynik procesu pakowania bada się przez pobranie i ważenie próbek opakowań. Wynik tych badań przedstawiono w tabeli Z3 (pomiary w g). Sprawdź, czy dane te mają rozkład normalny. Tabela Z3. 104 90 90 95 102 98 96 104 101 93 98 97 96 102 92 95 101 94 93 103 103 97 98 101 106 101 103 92 98 100 89 98 93 91 96 106 106 108 109 107 102 104 106 101 95 95 97 105 95 100 99 99 105 104 102 103 100 99 102 104 102 95 100 97 104 89 99 92 97 102 97 100 98 95 101 93 97 102 94 101 98 96 99 95 103 96 102 97 98 104 97 94 93 97 96 98 101 102 100 103 13