7. ELEMENTY DEALNE W OBWODACH PRĄD ZMENNEGO Podstawową rolę w analizach obwodów elektrycznych odgrywają schematy zastępcze. Tworzone są one z elementów idealnych - obiektów abstrakcyjnych utworzonych na drodze idealizacji elementów rzeczywistych. Znanymi nam już z teorii obwodów prądu stałego elementami idealnymi są rezystor idealny, idealne źródło napięciowe i idealne źródło prądowe. Obecnie poznamy inne jeszcze elementy idealne, takie, które nie występowały w obwodach prądu stałego. Przeanalizujemy jak takie elementy zachowują się w obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego i w jaki sposób można to zachowanie opisywać i analizować. 7.. Rezystor idealny Rezystor idealny jest elementem, w którym zachodzi tylko jedno zjawisko fizyczne - zjawisko cieplnego rozpraszania energii elektrycznej, tj. zamiana energii elektrycznej na energię cieplną. W rezystorze rzeczywistym występują także inne zjawiska wywołane polami elektrycznymi i magnetycznymi oraz towarzyszącymi im przemianami energetycznymi związanymi z przepływem prądu. Rezystor idealny jest jedynie pierwszym przybliżeniem matematycznego opisu rezystora rzeczywistego. Jednak w przypadku wielu rzeczywistych obiektów, takich jak opornik radiotechniczny, żarówka, piec elektryczny itp., jest to Rys. 7.. Rezystor idealny opis wystarczająco dokładny dla przeprowadzania praktycznych obliczeń. Rezystor idealny opisują prawa Ohma i Joule a. Prawo Ohma: u R ( t ) = R i( t ) (inna postać: i( t ) = G ur( t ) ); Prawo Joule'a: p( t ) = ur( t ) i( t ) = R i ( t ). Gdy prąd płynący przez rezystor jest sinusoidalnie zmienny - i( t ) = sin( ω t +ψ ) (7.a) to również napięcie jest sinusoidalnie zmienne ur( t ) = R sin( ω t + ψ ) (7.b) Wykorzystując prawo Ohma możemy wyznaczyć przebieg czasowy tego napięcia na podstawie znajomości przebiegu prądu: ur( t ) = R i( t ) = R sin( ω t + ψ ) (7.c) Stąd, porównując wzory na przebieg napięcia rezystora - ogólny (7.b) i wyznaczony na podstawie przebiegu prądu i prawa Ohma (7.c), otrzymuje się zależności: R = R (7.a) ψ = ψ z których wynikają zależności: = R = G R R (7.b) ψ = ψ Są to dwie dualne postacie zależności zwanej prawem Ohma dla rezystora poddanego wymuszeniu sinusoidalnie zmiennemu. Powyższe zależności można zapisać prościej stosując metodę symboliczną. W metodzie symbolicznej zamiast przebiegów wartości chwilowych występują odwzorowujące je wartości skuteczne zespolone (por. wzór 6.7 z rozdz. 6., a także rys. 7.). - 9 -
i( t ) = m sin( ω t + ψ ) m jψ jψ = e = e ur( t ) = Rm sin( ω t + ψ ) Rm jψ jψ R = e = R e R = R jψ Z zależności wynika: e jψ R e R ψ ψ = R = = = R Jest zatem: R = R (7.3a) a po przekształceniu: = R = G R R (7.3b) Są to dwie dualne postacie zależności zwanej prawem Ohma w postaci symbolicznej dla rezystora poddanego wymuszeniu sinusoidalnie zmiennemu. Odpowiadający powyższym zależnościom wykres wskazowy napięcia i prądu rezystora pokazano na rys. 7.3. Rys. 7.. Rezystor - schemat zastępczy do metody symbolicznej Rys. 7.3. Wykres wskazowy napięcia i prądu rezystora idealnego mpedancja, admitancja i kąt przesunięcia fazowego odbiornika złożonego z idealnego rezystora wynoszą: R Z R G R = = = R, Y R R = = G, ϕ = Ψ Ψ = Ψ Ψ = R Stąd impedancja i admitancja zespolone: R Z R R = = = R, Y R = = = G Z R R Z prawa Ohma wynika, że wartości chwilowe prądu i napięcia na rezystorze są do siebie wprost proporcjonalne w każdej chwili czasowej, a więc mają przebiegi czasowe równokształtne. Wykorzystuje się to przy pomiarze prądu, a zwłaszcza przy jego wizualizacji za pomocą oscyloskopu elektronicznego. Przebiegiem okresowym jest także przebieg czasowy wartości chwilowych mocy z jaką rezystor zamienia energię elektryczną na energię cieplną. Rys. 7.4. Przebiegi czasowe napięcia i prądu rezystora Wartości chwilowe mocy rezystora są równe iloczynowi wartości chwilowych napięcia i prądu - pr( t ) = ur( t ) i( t ). Po podstawieniu do tego wzoru wyrażeń na przebiegi chwilowe prądu i napięcia otrzymuje się: pr( t ) = R sin( ωt + ψ ) sin( ωt + ψ ) = = sin R ( ωt + ψ ) = R [ cos ( ωt + ψ )] - -
Ostatecznie wzór na przebieg wartości chwilowych mocy rezystora idealnego ma więc postać: pr( t ) = R [ cos( ω t + ψ )] (7.4) Z zależności (7.4) wynika, że wartości chwilowe mocy rezystora oscylują sinusoidalnie wokół wartości R (widać to na wykresie z rys. 7.5.) Pulsacja przebiegu, a więc i jego częstotliwość, są dwukrotnie większe od pulsacji i częstotliwości przebiegów czasowych prądu i napięcia. Wartości chwilowe mocy przybierają wartości z przedziału, R - są zatem w każdej chwili czasowej dodatnie lub równe zeru. Rezystor w sposób ciągły (poza punktami czasowymi gdy moc jest równa zero) pobiera energię elektryczną (i zamienia ją na ciepło). Wyznaczmy teraz wartość średnią mocy za okres, a więc moc czynną (por. pkt 6.3 w rozdz. 6.). PR = pr = [ R R cos( ωt + ψ )]dωt = = R + + = + dωt R cos( ωt ψ )dωt R Moc czynna rezystora jest więc równa: P R R = R = (7.5) (Przy wyznaczaniu wartości średniej przebiegu czasowego mocy, za zmienną niezależną przyjęto tu oznaczony dwuliterowo kąt ωt, odpowiadający czasowi t pomnożonemu przez pulsację ω. Stąd całkowanie przeprowadzone jest w granicach okresu funkcji sinus - kąta. Za zmienną niezależną można też przyjmować bezpośrednio czas t. Wtedy całkowanie byłoby przeprowadzone dla okresu T - czasu, po którym przebieg zaczyna się powtarzać.) P Współczynnik mocy idealnego rezystora jest równy jedności: λ = R = R R =. Należy SR R to rozumieć w ten sposób, że w rezystorze nie zachodzą żadne zjawiska energetyczne, które utrudniałyby przepływ energii (por. pkt. 6.3. rozdz. 6.). Jeżeli przez rezystor płynie prąd sinusoidalnie zmienny jego moc czynna jest większa od zera. Mówimy, że rezystor pobiera moc czynną. Jest to określenie nieścisłe, przecież moc to szybkość przepływu energii zatem nie może być ona pobierana, jest jednak powszechnie stosowane. Poprawne (i logiczne) byłoby sformułowanie: rezystor pobiera energię ze średnią mocą różną od zera. Energia ta, zwana niekiedy energią czynną, albo energią aktywną, jest rozpraszana tj. w całości i bezpowrotnie zamieniana na ciepło. Z tego powodu rezystor idealny klasyfikowany jest jako element dyssypatywny (rozpraszający). Przebieg czasowy wartości chwilowych tej rozpraszanej energii można wyznaczyć z zależności - - Rys. 7.5. Przebieg czasowy mocy rezystora na tle przebiegów czasowych prądu i napięcia Rys. 7.6. Przebieg czasowy energii pobranej przez rezystor na tle przebiegu czasowego jego mocy
t t wr( t ) = pr( τ ) dτ = R [ cos ( ωτ + ψ )]dτ = = R t ( sin[ ( ωt + Ψ )] sin Ψ ) ω Przebieg ten (dla Ψ = ), na tle przebiegu wartości chwilowych mocy rezystora, pokazano na rys. 7.6. 7.. nduktor idealny (idealna cewka indukcyjna) Przepływ prądu elektrycznego powoduje powstawanie pola magnetycznego. Wartości chwilowe wielkości fizycznych opisujących właściwości tego pola (natężenie pola, indukcja magnetyczna, strumień magnetyczny) są zależne od wartości chwilowych natężenia prądu (w środowiskach nieferromagnetycznych są do nich proporcjonalne). Jeżeli natężenie prądu jest zmienne w czasie również one są funkcjami czasu. Jedną z tych wielkości - całkowity strumień magnetyczny Φ ( t ), można uznać za parametr, który globalnie charakteryzuje całe pole magnetyczne wytwarzane przez prąd płynący w danym odcinku przewodnika. Na ogół wartość tego strumienia nie jest łatwa do wyznaczenia. Stosunkowo prosto oblicza się ją dla tzw. cewki indukcyjnej (zwanej też zwojnicą lub solenoidem). Obliczanie strumienia wytwarzanego przez cewkę ułatwia to, że przechodzi on w całości przez jej wnętrze. Właśnie dlatego przy analizowaniu zjawisk związanych ze wzajemnym oddziaływaniem prądu i wytwarzanego przezeń pola magnetycznego rozważa się właśnie cewkę indukcyjną. Trzeba jednak zdawać sobie sprawę z tego, że jest to pewien skrót myślowy - zjawiska te występują w dowolnych układach przewodników wiodących prąd elektryczny, także dla przypadku odosobnionego przewodnika prostoliniowego. Strumień magnetyczny pola wytwarzanego przez prąd płynący w cewce przechodzi przez każdy zwój cewki (jest z każdym zwojem sprzężony ). Jeżeli jakieś zjawisko spowodowane przez istnienie pola magnetycznego występuje w każdym zwoju, to Rys. 7.7. Pole magnetyczne cewki dla cewki występuje ono z razy (gdzie z to liczba zwojów). Jest z-zwielokrotnione. Tak jak gdyby z cewką jednozwojową sprzężony był strumień z-krotnie większy. Taki umyślony z-krotnie większy strumień nosi nazwę strumienia sprzężonego: Ψ ( t ) = z Φ( t ) (7.6) W środowisku nieferromagnetycznym strumień magnetyczny Φ pola wytworzonego przez dany prąd ma, w każdej chwili czasowej, wartość proporcjonalną do natężenia tego prądu. Proporcjonalny do prądu jest więc także strumień sprzężony Ψ (por. rys. 7.8.). Wielkość fizyczna definiowana jako współczynnik proporcjonalności pomiędzy strumieniem sprzężonym wytwarzanym przez prąd płynący w przewodniku (przykładowo w cewce) i natężeniem tego prądu nosi nazwę indukcyjności tego przewodnika: Ψ z Φ L = = tgα = (7.7) i i ndukcyjność jest zatem wielkością fizyczną charakteryzującą zdolność danego przewodnika (przykładowo cewki) do wytwarzania pola magnetycznego. Właśnie dlatego opisywana przez swoją indukcyjność cewka nazywana jest cewką indukcyjną albo induktorem. - - Rys. 7.8. Zależność strumienia sprzężonego od prądu
Znając indukcyjność przewodnika można wyznaczyć wartość strumienia pola magnetycznego wytwarzanego przez płynący w nim prąd o danym natężeniu. Jednostką indukcyjności jest henr (H): [ ] [ Ψ ] Wb V s L = H = = = = Ω s [] i A A Zmiana wartości strumienia magnetycznego sprzężonego z cewką powoduje indukowanie się w niej siły elektromotorycznej o wartości proporcjonalnej do szybkości tej zmiany. Zjawisko to nazywane jest zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej. Jest ono pokrewne występującemu w mechanice zjawisku bezwładności. W obydwu przypadkach energia związana z ruchem podtrzymuje ten ruch. W pierwszym przypadku jest to ruch ciał obdarzonych masą, w drugim - ruch ciał obdarzonych ładunkiem elektrycznym. Podtrzymywanie ruchu przejawia się jako występowanie siły, w przypadku mechanicznym - siły mechanicznej, w przypadku elektrycznym - siły elektromotorycznej. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej odkrył XX-wieczny angielski fizyk Michał Faraday. Stąd sformułowane przez niego prawo, opisujące to zjawisko, nosi nazwę Rys. 7.9. ndukcja elektromagnetyczna w cewce prawa Faraday a. Zgodnie z tym prawem wielkość siły elektromotorycznej indukującej się w przewodniku skutkiem zmian sprzężonego z nim pola magnetycznego określa zależność: dφ dψ e = z = (7.8) dt dt Szczególną odmianą zjawiska indukcji elektromagnetycznej jest zjawisko samoindukcji. Siłę elektromotoryczną w danym przewodniku indukuje tu pole magnetyczne wytwarzane przez zmieniający się w czasie prąd elektryczny płynący w tym samym przewodniku. W odosobnionym (albo ekranowanym) przewodniku występuje tylko ta odmiana zjawiska indukcji. Dla zjawiska samoindukcji, zależność na prawo Faraday a można, uwzględniając wzór (7.6), zapisać jako: dψ ( t ) d( L i ) di( t ) e = = = L dt dt dt Cewka indukcyjna jest odpowiednio ukształtowanym odcinkiem przewodnika. Zgodnie z prawem Joule a w każdym przewodniku (za wyjątkiem przewodników wykonanych z materiałów nadprzewodzących) zachodzi zjawisko zamiany energii elektrycznej na energię cieplną. Poprawny opis cewki rzeczywistej powinien je uwzględniać. Abstrahując od tego definiuje się wyidealizowany obiekt - induktor idealny (zwany także idealną (7.8a) Rys. 7.. dealna cewka indukcyjna (induktor idealny) cewką indukcyjną), w którym występuje jedno tylko zjawisko fizyczne - zjawisko samoindukcji. Takich cewek w rzeczywistości fizycznej nie ma. Taka idealna cewka może istnieć tylko jako obiekt abstrakcyjny - matematyczna idealizacja cewki rzeczywistej. Jako taka służy do konstruowania schematów zastępczych rzeczywistych obiektów i obwodów elektrycznych. Cewka indukcyjna jest odbiornikiem energii elektrycznej. Obowiązuje dla niej zatem strzałkowanie odbiornikowe, nie źródłowe (por. rys. 7..). Stąd wynika opis matematyczny idealnej cewki indukcyjnej, tj. zależność pomiędzy występującym na niej napięciem, a płynącym w niej prądem: di u L = e = L (7.8b) dt Zbadajmy teraz zależności jakie występują gdy idealna cewka indukcyjna (induktor idealny) jest odbiornikiem w obwodzie prądu sinusoidalnie zmiennego. - 3 -
Jeżeli prąd płynący w induktorze jest sinusoidalnie zmienny - i = sin( ω t +ψ ) to sinusoidalnie zmienne jest również napięcie induktora - ul = L sin( ω t + ψ ). Napięcie to daje się wyliczyć z równania (7.8b) jako: di( t ) ul = L = L ω cos( ωt + ψ ) = ωl sin( ωt + ψ + ) dt Stąd, porównując wzory na przebieg napięcia induktora - ogólny i wyznaczony na podstawie przebiegu prądu i równania cewki, otrzymuje się zależności: L = ωl = X L (7.9a) ψ = ψ + z których wynikają zależności: = L = BL ωl (7.9b) ψ = ψ Są to dwie dualne postacie tzw. prawa Ohma dla idealnej cewki indukcyjnej poddanej wymuszeniu sinusoidalnie zmiennemu. Odpowiadający powyższym zależnościom wykres wskazowy napięcia i prądu rezystora pokazano na rys. 7.. Występującym we wzorach (7.9a) i (7.9b) współczynnikom proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi prądu i napięcia nadano status wielkości fizycznych. Charakteryzują one właściwości cewki w obwodach prądu sinusoidalnego. Są nimi: - reaktancja indukcyjna: X L ωl = fl - susceptancja indukcyjna: B L = ωl fl Rys. 7.. Wykres wskazowy napięcia i prądu induktora idealnego = (7.a) = (7.b) Terminy reaktancja i susceptancja pochodzą od łacińskich słów re + ago - przeciw + działać oraz suscipio - podtrzymywać. Reaktancja indukcyjna nazywana jest też induktancją. Jednostkami reaktancji indukcyjnej i susceptancji indukcyjnej są om i simens: [ u ] V [ i ] A [ X L ] = = = Ω [ BL ] = = = S [i ] A [ u ] V mpedancja i admitancja odbiornika oraz kąt przesunięcia fazowego wprowadzany przez odbiornik będący idealną cewką indukcyjną są zależne od indukcyjności cewki i pulsacji przebiegów (por. pkt. 6.7. rozdz. 6. oraz wzory 7.9a i 7.9b): Z L L = = X L = ωl, YL = = BL =, L ωl ϕ = Ψ Ψ = Stąd impedancja i admitancja zespolone: - 4 -
Z L L = = jx L = jωl (7.a) Y L = = jbl = j L ωl (7.b) Niekiedy można zetknąć się z nazywaniem impedancji zespolonej cewki reaktancją indukcyjną zespoloną. Jest ona wtedy oznaczana X L. Jest zatem X L Z L = jωl. Jednak lepiej takiego nazewnictwa unikać gdyż może być potraktowane jako błąd terminologiczny. Prawo Ohma dla idealnego induktora analizowanego z zastosowaniem metody symbolicznej występuje w dwu dualnych postaciach: Rys. 7.. nduktor idealny - schemat zastępczy do metody symbolicznej j( Ψ ) j j + Ψ j L = Le = ωl e = ωl e Ψ e = jωl = jx L Stąd wynika wzór na wartość skuteczną zespoloną prądu: = j L = j L = jbl L = e jωl ωl ωl L Słuszne są zatem zależności: L = jx L (7.a) oraz: jbl (7.b) Przebieg czasowy mocy induktora idealnego można wyznaczyć jako iloczyn wartości chwilowych jego prądu i napięcia - pl( t ) = ul( t ) i( t ) Po podstawieniu wyrażeń na przebiegi prądu i napięcia otrzymuje się: pl( t ) = L cos( ωt + ψ ) sin( ωt + ψ ) = = L cos( ωt + ψ ) sin( ωt + ψ ) = L sin ( ωt + ψ ) Zatem wzory na przebieg czasowy mocy induktora idealnego: pl( t ) = L sin( ωt + ψ ) (7.3a) pl( t ) = L sin( ωt + ψ ) (7.3b) Wzór (7.3b) otrzymuje się podstawiając do wzoru (7.3a) Ψ = Ψ +. Przebieg czasowy mocy induktora idealnego na tle przebiegów napięcia i prądu pokazano na rys. 7.3. Wartości chwilowe mocy induktora oscylują sinusoidalnie z amplitudą. W pierwszej Rys. 7.3. Przebieg czasowy mocy induktora idealnego na tle przebiegów napięcia i prądu L ćwiartce czasowego przebiegu prądu wartości chwilowe mocy są dodatnie. Natężenie prądu rośnie wtedy od zera do wartości maksymalnej. Narasta więc też i pole magnetyczne. Dopływa do niego energia elektryczna. Ta energia jest zamieniana na energię pola magnetycznego. Jej ilość jest proporcjonalna do pola powierzchni figury utworzonej przez wykres mocy i oś odciętych (oś iksów ). W ćwiartce drugiej czasowego przebiegu prądu jego natężenie maleje od wartości maksymalnej do zera. Wraz z nim maleje pole magnetyczne. Zawarta w nim energia odpływa. Wartości chwilowe mocy są ujemne, a pole powierzchni figury utworzonej przez - 5 -
wykres mocy i oś odciętych (oś iksów ) jest równe podobnemu polu z ćwiartki pierwszej. Tym razem jest ono proporcjonalne do ilości energii jaka z cewki odpłynęła. Całą energię, którą cewka pobrała w pierwszej ćwiartce okresu w drugiej ćwiartcei oddaje. W ćwiartkach trzeciej i czwartej okresu te procesy energetyczne powtarzają się (z odwrotnym zwrotem prądu i pola magnetycznego). Zatem idealna cewka indukcyjna średnio nie pobiera żadnej energii. Obliczana za okres wartość średnia jej mocy, a więc moc czynna jest równa zeru: P p L = L = L sin( t + )d t = ω ψ ω Cewka nie pobiera takiej energii, która przepływ byłby jednokierunkowy, która zamieniana byłaby bezpowrotnie na energię nieelektryczną. Zjawiska energetyczne jakie w niej zachodzą polegają wyłącznie na oscylacyjnym przepływie energii pomiędzy odbiornikiem i źródłem. Występowanie takich oscylacji interpretowane są w elektrotechnice jako występowanie mocy biernej (por. pkt. 6.3. rozdz.6.). W przypadku cewki moc ta nosi nazwę mocy biernej indukcyjnej - Q L. Definiuje się ją jako iloczyn wartości skutecznych prądu i napięcia cewki: QL = L (7.4) Jak widać z wzoru (7.3) jest to jednocześnie amplituda oscylacji mocy cewki, co bywa traktowane jako fizyczna interpretacja mocy biernej indukcyjnej. Podstawiając do wzoru (7.4) wzór (7.9a) otrzymujemy jeszcze inny wzór na obliczanie mocy biernej indukcyjnej. Q X L = L (7.4a) Jednostką mocy biernej indukcyjnej nie jest wat jak dla zwykłej, prawdziwej mocy. Aby podkreślić, że to nie jest ta prawdziwa moc, wprowadzono tu nową jednostkę - var (czyt.: war). Jest to skrót od Volt-Amper-reaktancyjny. [ QL ] = [u ] [ i ] = V A = var Niekiedy stosuje się zapis: var ind. P Współczynnik mocy cewki indukcyjnej jest równy zeru ( λ = L L == = ). SL L Cewka indukcyjna klasyfikowana jest jako element zachowawczy - energia magazynowana (zachowywana) jest w jej polu magnetycznym i może być z powrotem zamieniona na energię elektryczną. nna nazwa elementu zachowawczego to element reaktancyjny (taki, który charakteryzowany jest przez reaktancję). Przebieg czasowy wartości energii zgromadzonej w danej chwili czasowej w polu magnetycznym induktora określa zależność: WL( t ) = Li ( t ) = L m sin ( ω t + Ψ ) Przebieg ten, na tle przebiegu czasowego Rys. 7.4. Przebieg czasowy energii induktora idealnego prądu pokazano na rys. 7.4. 7.3. Kondensator idealny Kondensator to układ dwu przewodników przedzielonych materiałem nieprzewodzącym (dielektrykiem, także próżnią). Taki układ może być zbudowany celowo, może też powstać w - 6 -
sposób niezamierzony - mogą go, przykładowo, stanowić przewód elektryczny, jego izolacja i stalowa ściana (szot) statku, do której ten przewód jest mocowany. Przewodniki tworzące kondensator nazywane są okładzinami. Jeżeli do jednej okładziny kondensatora doprowadzi się ładunek Q to, skutkiem działania sił kulombowskich, na drugiej okładzinie zaindukuje się ładunek o takiej samej wartości, lecz o przeciwnym znaku: Q + = Q = Q. W przestrzeni pomiędzy okładzinami zaistnieje pole elektryczne. Każdy punkt tego pola charakteryzowany jest wartością potencjału elektrycznego. Różnica potencjałów okładzin to napięcie występujące na kondensatorze. Napięcie to ma wartość proporcjonalną do wartości ładunku Q zgromadzonego na okładzinach kondensatora (por. rys. 7.5.). Współczynnik proporcjonalności C pomiędzy wartością ładunku kondensatora i wartością napięcia występującego pomiędzy okładzinami kondensatora nosi nazwę pojemności elektrycznej: Q C = = tgα (7.5) Jednostką pojemności jest farad: [ ] [ Q] C A s s C = F = = = = S s = [ ] V V Ω Pojemność elektryczna charakteryzuje nie tylko celowo wykonane kondensatory, ale każdy układ przewodników, w którym mogą gromadzić się ładunki tworząc pole elektryczne. Aby ładunki znalazły się na okładzinie kondensatora muszą tam dopłynąć. Taki dq uporządkowany przepływ ładunków to prąd elektryczny. Opisuje go zależność i =. W czasie dt dt do kondensatora dopływa ładunek dq = i dt. Dla kondensatora o pojemności C słuszny jest też wzór dq = C du. Łącząc te wzory otrzymuje się zależność C du = i dt. Stąd wynika równanie opisujące zależność napięcia kondensatora od natężenia prądu płynącego w gałęzi z kondensatorem: du( t ) i( t ) = C (7.6) dt Zależność odwrotna (a więc zależność napięcia od prądu) jest całką: t uc ( t ) = i( )d + uc( ) C τ τ (7.6a) Kondensator idealny to taki element obwodu elektrycznego, w którym zachodzi wyłącznie jedno zjawisko - zjawisko gromadzenia ładunków i powstawania pola elektrycznego. Opisywane jest ono zależnością pomiędzy napięciem charakteryzującym to pole elektryczne i natężeniem prądu, związanego z przepływem tych ładunków. W realnym, fizycznym świecie takich kondensatorów nie ma - podobnie jak inne elementy idealne, mogą one istnieć wyłącznie jako przedmioty abstrakcyjne. Jednak w przypadku wielu rzeczywistych kondensatorów, taka idealizacja jest opisem wystarczająco dokładnym dla przeprowadzania praktycznych obliczeń. Rys. 7.6. Kondensator idealny W stanie ustalonym w obwodach prądu stałego przez kondensatoy prąd nie płynie. naczej jest z obwodami prądu przemiennego. Także tutaj - 7 - Rys. 7.5. Zależność napięcia od ładunku kondensatora
bezpośrednio przez kondensator prąd nie może płynąć - stanowi on przerwę w obwodzie, jednak w gałęzi płyną prądy ładowania się i rozładowywania kondensatora. Gdy napięcie gałęzi z kondensatorem idealnym jest sinusoidalnie zmienne uc ( t ) = C sin( ω t + ψ ) również prąd jest sinusoidalnie zmienny i( t ) = sin( ω t +ψ ). Prąd ten daje się wyliczyć z równania kondensatora jako: du ( t ) i( t ) C C = = ω C C cos( ωt + ψ ) = ωc C sin( ωt + ψ + ) dt Stąd, porównując wzory na przebieg prądu kondensatora - ogólny i wyznaczony na podstawie przebiegu napięcia kondensatora i równania (7.6), otrzymuje się zależności: = ωc C (7.7a) ψ = ψ + z czego wynika: C = ωc (7.7b) ψ = ψ Jest to tzw. prawo Ohma dla kondensatora idealnego poddanego wymuszeniu sinusoidalnie zmiennemu. Podobnie jak dla induktora wprowadza się wielkości fizyczne charakteryzujące właściwości kondensatora w obwodach prądu sinusoidalnego: - reaktancja pojemnościowa: X C = = (7.8a) ωc fc - susceptancja pojemnościowa: B C = ωc = fc (7.8b) Reaktancja pojemnościowa bywa nazywana kapacytancją (od łacińskiego - capacitas - pojemność). Jednostki są takie same jak w przypadku reaktancji i susceptancji indukcyjnych: [ u ] [i ] [ X C ] = = Ω [ BC ] = = S [ i ] [ u ] mpedancja, admitancja i kąt przesunięcia fazowego odbiornika złożonego z idealnego kondensatora wynoszą: Z C C = = X C =, YC = = BC = ωc, ϕ = Ψ Ψ = ωc C Sformułujmy teraz prawo Ohma dla kondensatora w obwodzie prądu sinusoidalnie zmiennego z zastosowaniem metody symbolicznej: j( Ψ ) j + Ψ = e = ωc C e j j = ωc e Ψ C e = jωc C = jbc C j C = = j = jx C = e jωc ωc ωc Jest zatem: C = jx C (7.9a) oraz: - 8 -
= jb C C (7.9b) Stąd impedancja i admitancja zespolone: j Z C C = = e = j (7.a) ωc ωc Y C = = jbc = jωc (7.b) C Rys. 7.7. Wykres wskazowy napięcia i prądu kondensatora idealnego Rys. 7.8. Kondensator idealny - schemat zastępczy do metody symbolicznej W każdej chwili czasowej kondensator idealny pobiera energię z mocą o przebiegu czasowym wartości chwilowych pc ( t ) = uc ( t ) i( t ). Jeżeli do tego wyrażenia podstawić wzory na sinusoidalne przebiegi prądu i napięcia, z uwzględnieniem tego, że prąd wyprzeda napięcie o ćwierć okresu (kąt ) otrzymuje się zależność: pc ( t ) = C sin( ωt + ψ ) cos( ωt + ψ ) = = C cos( ωt + ψ ) sin( ωt + ψ ) = C sin( ωt + ψ ) Stąd wynikają zależności na przebieg czasowy mocy kondensatora: pc ( t ) = C sin( ωt + ψ ) (7.a) pc ( t ) = C sin( ωt + ψ ) (7.b) Tę drugą postać otrzymuje się podstawiając Ψ = Ψ : Wartości chwilowe mocy kondensatora oscylują sinusoidalnie z amplitudą C (por. rys. 7.9). W jednych przedziałach okresu zmienności są one dodatnie, w innych ujemne. Gdy moc jest dodatnia, kondensator pobiera energię - energia gromadzona jest w jego polu elektrycznym. jemna wartość mocy oznacza, że kondensator staje się źródłem energii - energia Rys. 7.9. Przebieg czasowy mocy kondensatora idealnego na tle przebiegów napięcia i prądu pola elektrycznego zwracana jest do źródła. Wartość średnia mocy za okres, a więc moc czynna kondensatora jest równa zeru: PC p = C = C sin( t + )d t = ω ψ ω Współczynnik mocy kondensatora idealnego jest także równy zeru P ( λ = C C == = ). SC C - 9 -
Kondensator nie pobiera takiej energii, która zamieniana jest bezpowrotnie na energię nieelektryczną. Występuje w nim natomiast zjawisko oscylacyjnego przepływu energii pomiędzy kondensatorem a źródłem. Wielkością charakteryzującą to zjawisko jest moc bierna pojemnościowa Q C. Definiuje się ją jako iloczyn wartości skutecznych prądu i napięcia kondensatora: QC = C (7.) Jest to jednocześnie amplituda oscylacji mocy kondensatora, co bywa traktowane jako fizyczna interpretacja mocy biernej pojemnościowej. Podstawiając do wzoru (7.) wzór (7.7b) otrzymujemy jeszcze inny wzór na obliczanie mocy biernej pojemnościowej. Q X C = C (7.a) Jednostką mocy biernej pojemnościowej jest var - tak jak dla mocy biernej indukcyjnej. Niekiedy stosuje się zapis: var poj albo varcap (od łacińskiego - capacitas ). Kondensator idealny, podobnie jak induktor idealny, klasyfikowany jest jako element zachowawczy albo reaktancyjny. Przebieg wartości chwilowych energii kondensatora opisuje wyrażenie: WC( t ) = C C( t ) = C Cm sin ( ω t + Ψ ) Wykres tego przebiegu, na tle przebiegu napięcia, pokazano na rys. 7.. 7.4. Źródła idealne Rys. 7.. Przebieg czasowy energii kondensatora Podobnie jak w teorii obwodów prądu stałego, również w teorii obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego występują dwa rodzaje źródeł idealnych - idealne źródło napięciowe i idealne źródło prądowe. Rys. 7.. dealne źródło napięeciowe dealne źródło napięciowe charakteryzuje się tym, że napięcie na jego zaciskach jest stałe, niezależne od natężenia pobieranego ze źródła prądu. Może się ono jednak zmieniać w czasie: u ( t,i( t )) = e( t ) = const (7.3) i( t ) e ( t ) to przebieg wartości chwilowych siły elektromotorycznej (sem) źródła. W szczególności może być ona sinusoidalnie zmienna. Wtedy słuszna jest zależność: u( t,i( t )) = e( t ) = E sin( ω t +Ψ E ) W metodzie symbolicznej sem reprezentowana jest przez wartość skuteczną zespoloną jψ E = E e E. Zatem równanie źródła idealnego napięciowego przyjmuje postać: E = E = const (7.3a) Podobnie jest z idealnym źródłem prądowym. Jego siła prądomotoryczna (spm) zmienia się w czasie lecz nie jest funkcją występującego na źródle napięcia: - 3 - Rys. 7.. dealne źródło prądowe
i ( t,u( t )) = j( t ) = const (7.4) u( t ) Gdy spm jest sinusoidalnie zmienna prowadzi to do zależności: i( t,u( t )) = j( t ) = J sin( ω t +Ψ J ) W metodzie symbolicznej spm reprezentowana jest przez wartość skuteczną zespoloną jψ J = J e J. Zatem równanie źródła idealnego prądowego przyjmuje postać: = J = const (7.4a) 7.5. Prawa Kirchhoffa W każdym z poznanych przez nas w tym rozdziale elementów idealnych występuje tylko jedno, pojedyncze zjawisko fizyczne. Za pomocą takich elementów idealnych mogą być modelowane rzeczywiste obiekty i obwody. Służą do tego schematy zastępcze. Są one schematami umyślonych obwodów elektrycznych, zbudowanych z tak dobranych elementów idealnych i połączonych w taką strukturę, że występują w nich takie same zależności pomiędzy napięciami i prądami, jak w rzeczywistych obiektach i obwodach. Zależności te opisują dwa prawa Kirchhoffa. Pierwsze prawo Kirchhoffa to prawo równowagi prądów. Mówi ono, że suma prądów dopływających do danego węzła jest w każdej chwili czasowej równa sumie prądów z węzła wypływających. Dla dowolnych obwodów z prądami o dowolnych przebiegach prawo to można zapisać następująco: λ k ik ( t ) = (7.5) k gdzie: λ k = - gdy prąd i k ( t ) w chwili t wpływa do węzła; - gdy prąd i k ( t ) z węzła w chwili t wypływa; Dla obwodów z przebiegami sinusoidalnymi analizowanymi z zastosowanie metody symbolicznej można to zapisać jako: λ k = (7.5) k ( λ k - ma taki sam sens jak wyżej) Drugie prawo Kirchhoffa to prawo równowagi napięć. Mówi ono, że suma napięć w dowolnym wyodrębnionym w rozważanym obwodzie konturze zamkniętym jest w każdej chwili czasowej równa zeru. Dla dowolnych przebiegów i dowolnych obwodów prawo to można zapisać jako : λ k uk ( t ) = (7.6) k gdzie: e - wartość chwilowa k-tej siły elektromotorycznej; k ( t ) - wartość napięcia na k-tej sile prądomotorycznej u jk ( t ) R - wartość napięcia na k-tym rezystorze (z prawa k ik ( t ) Ohma) u = di k ( t ) k( t ) L k dt - wartość napięcia na k-tym induktorze (z prawa t Faradaya) + ik ( τ )dτ Ck ( ) - wartość chwilowa napięcia k-tego kondensatora C k - 3 -
gdzie: λ k = - gdy napięcie k ma zwrot zgodny ze zwrotem obchodzenia obwodu; - gdy napięcie k ma zwrot przeciwny do zwrotu obchodzenia. Dla przebiegów sinusoidalnych (z zastosowaniem metody symbolicznej) otrzymujemy: λ k k = (7.7) k gdzie: E - wartość skuteczna zespolona k-tej siły elektromotorycznej k - wartość skuteczna zespolona napięcia na k-tej sile k = Jk prądomotorycznej Z k k - wartość skuteczna zespolona napięcia na k-tym elemencie pasywnym (opisywanym przez impedancję zespoloną) ( λ k - ma taki sam sens jak wyżej) Podobnie jak dla obwodów prądu stałego, podstawową metodą analizy obwodów sinusoidalnych jest układanie stosownej liczby odpowiednich równań z praw Kirchhoffa. Równania te dla obwodów analizowanych z zastosowaniem metody symbolicznej mają postać identyczną z równaniami ułożonymi z praw Kirchhoffa dla obwodów prądu stałego. Stosowane są tu jedynie inne oznaczenia, a występujące wielkości przyjmują wartości zespolone. - 3 -