Zadanie 1 Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy ulokować w banku B, aby po 2 latach stan kont był taki sam? 1
Zadanie 2 Dyskonto handlowe weksla Pan Scott zdyskontował weksel handlowo w banku po stopie 16% na 1 miesiąc przed datą zapadalności weksla. Suma wekslowa wynosiła 5000 PLN. Ile otrzymał? W o = W n *(1 r d *d/360) W o wartość początkowa, r d stopa dyskonta, d- czas pozostały do zapadalności W n wartość końcowa (suma wekslowa), 2
Zadanie 3 Wartość pieniądza w czasie dyskontowanie Inwestor ma czteroletnią obligację o wartości nominalnej 1000 zł, oprocentowaną 8% rocznie, przy czym odsetki wypłacane są raz na koniec roku. Stopa zwrotu w okresie do wykupu (YTM) dla tej obligacji wynosi 9%. Oblicz cenę obligacji. YTM stopa zwrotu w terminie do wykupu, którą uzyska inwestor z inwestycji w obligację, którą kupił po cenie P o do momentu zapadalności, reinwestując otrzymane z niej odsetki wg. tej samej stopy zwrotu. P o = n t=1 C t /(1+YTM)t +M/(1+YTM) n YTM =[C+(M- P o )/n]/[(m+ P o )/2] P 0 cena obligacji w chwili t=0, C t strumień pieniężny generowany przez obligację w chwili t 3
Zadanie 4 Realna efektywna stopa procentowa Oblicz realną efektywną roczną stopę procentową dla poszczególnych ofert kredytów banków: 1/ stopa nominalna 8%, kapitalizacja kwartalna, 2/ stopa nominalna 9%, kapitalizacja półroczna. Który z banków ma korzystniejszą ofertę? 4
Zadanie 4a Zamiana stopy procentowej A. Inwestor chce zainwestować 1000 zł i uzyskać roczną stopę zwrotu minimum 10%. Jaka musi być nominalna stopa inwestycji przy kapitalizacji: a/ półrocznej, b/ ciągłej. r1 stopa ciągła r2 stopa składana B. Roczna stopa pożyczki (1000 zł) przy kapitalizacji ciągłej została ustalona w wysokości 8%. Jednak dokonano zmiany na kwartalne naliczanie odsetek. Ile wynosi równoważna (generująca ten sam koszt odsetkowy) stopa procentowa przy kapitalizacji kwartalnej? Ile będzie wynosił kwartalny koszt pożyczki? 5
Zadanie 5 Rachunek rentowy Należy wyznaczyć przyszłą wartość renty po 3 latach i przy rocznej kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 5%, jeżeli rata wynosi 600 zł, a płatności są wpłacane: 1/ pod koniec każdego roku, 2/ na początku każdego roku. 6
Zadanie 6 Rachunek rentowy Proszę wyznaczyć wartość renty z dołu i z góry, po dwóch latach, przy kwartalnych wpłatach i kwartalnej kapitalizacji odsetek oraz stopie nominalnej 5%. Stała rata renty wynosi 400 zł. 7
Spłata kredytu według stałej płatności tzw. annuita (stała płatność kredytu=zmienna rata +zmieniające się odsetki) Ko kwota zaciągniętego kredytu, i nominalna stopa procentowa w skali roku, n -ilość rat spłaty, a - wysokość stałej płatności wyliczona wg rachunku rentowego, Kwota kredytu na Rata Odsetki płatne Stała kwota Kwota kredytu na Stopa Lata początek okresu kapitałowa raz w roku płatności koniec okresu procen 1 20 000,00 3 947,50 3 200,00 7 147,50 16 052,50 0,16 2 16 052,50 4 579,10 2 568,40 7 147,50 11 473,40 3 11 473,40 5 311,76 1 835,74 7 147,50 6 161,64 4 6 161,64 6 161,64 985,86 7 147,50 - Razem x 20 000,00 8 590,01 28 590,01 x 8
Krzywa rentowności Z podanych danych proszę stworzyć polską skarbową krzywą rentowności: O/N - 3,5% Obligacja PKN Orlen 2Y - 5% Obligacja skarbowa polska 2Y 5,25% Lokata 3M WIBID 4,0% Lokata 6M WIBID 4,5% Obligacja skarbowa grecka 5Y 10% Obligacja skarbowa polska 7Y 5,5% Bon skarbowy polski 28 tyg. 4,63% 9
Krzywa rentowności z obligacji zerokuponowych (bootstraping method) Kolejne Nominał Okres do Roczny Cena obligacje na rynku wykupu (w latach) kupon * obligacji 1 100 0,25 0 97,5 2 100 0,50 0 94,9 3 100 1,00 0 90,0 4 100 1,50 8 96,0 5 100 2,00 12 101,6 *Połowa podanego kuponu wypłacana jest co pół roku 1. Dochód 2,5 z inwestycji 97,5 w 3 miesiące. Trzymiesięczna stopa zwrotu przy kapitalizacji kwartalnej =2,5/97,5=2,56%. Przy kapitalizacji ciągłej 3M stopa natychmiastowa (w skali rocznej) wyniesie: 4 ln (1+ 2,5/97,5) = 10,12%. 2. 6M stopa natychmiastowa : 2 ln (1+ 5,1/94,9) =10,47% 3. 1Y stopa natychmiastowa : ln (1+ 10/90) =10,54% 10
Krzywa rentowności z obligacji zerokuponowych (bootstraping method) cd. Nominał Okres do wykupu Roczny kupon Cena obligacji (w latach) 100 0,25 0 97,5 100 0,50 0 94,9 100 1,00 0 90,0 100 1,50 8 96,0 100 2,00 12 101,6 1: 3M=10,12%, 2: 6M =10,47%, 3: 1Y=10,54% 4. Płatności kuponowe dla 1,5 rocznej obligacji: po 6 miesiącach: 4 PLN po 1 rok: 4 PLN po 1,5 roku: 104 PLN Bieżąca cena obligacji 96 powinna być równa przyszłym płatnością: Czyli 1,5 roczna stopa natychmiastowa = 10,68% 11
Krzywa rentowności z obligacji zerokuponowych (bootstraping method) cd. Nominał Okres do wykupu Roczny kupon Cena obligacji (w latach) 100 0,25 0 97,5 100 0,50 0 94,9 100 1,00 0 90,0 100 1,50 8 96,0 100 2,00 12 101,6 1: 3M=10,12%, 2: 6M =10,47%, 3: 1Y=10,54%, 4: 1,5Y= 10,68% 5: Płatności kuponowe dla 2 letniej obligacji: 6 miesięcy: 6 PLN; 1 rok: 6 PLN; 1,5 roku: 6 PLN; 2 lata: 106 PLN Bieżąca cena obligacji 101,6 powinna być równa przyszłym płatnością: Czyli 2 -letnia stopa natychmiastowa = 10,81%. Aby otrzymać więcej węzłów należy interpolować np. dla 1,25 roku: 0,5*10,54 + 0,5*10,68 = 10,61% 12
Zadanie 7 Rozkład normalny Prawdopodobieństwa wystąpienia oraz spodziewane stopy zwrotu w przypadku danej spółki giełdowej są zaprezentowane w tabeli. 1/ Oblicz oczekiwaną wartości stopy zwrotu. 2/ Oblicz wariancję i odchylenie standardowe. 3/ Określ parametry rozkładu stopy zwrotu i przedstaw je graficznie. 4/ Zinterpretuj wyniki. Lp. 1 2 3 4 5 6 R stopa zwrotu -1% -2% 0,50% 1,50% 2% 4% P- prawdopodobie ństwo 0,05 0,1 0,2 0,4 0,2 0,05 13
Zadanie 8 Rozkład normalny Na podstawie danych stóp zwrotu i prawdopodobieństwa oblicz oczekiwana stopę zwrotu i odchylenie standardowe? Przedstaw graficznie w rozkład stóp zwrotu Prognoza Prawdopodobieństwo Stopa zwrotu % Oczekiwana stopa zwrotu Wariancja 1 0,1 12,00 2 0,1 10,00 3 0,5 5,00 4 0,2 0,00 5 0,1-10,00 14
Zadanie 9 Rozkład normalny Analiza wskaźnika P/E (cena do zysku na 1 akcję) wykazała, że: A/ średnia wartość P/E dla wszystkich spółek giełdowych wynosi 5,8 a odchylenie standardowe 2,1. B/ średnia wartość P/E dla spółek giełdowych z branży ubezpieczeniowej wynosi 2,9, a odchylenie standardowe 1,8. Rozkład tego zjawiska zbliżony jest do rozkładu normalnego. Pewna spółka ubezpieczeniowa ma wartość P/E =1,6. 1/ Porównaj wartość wskaźnika P/E tej spółki ze wskaźnikiem P/E dla całej giełdy i dla branży ubezpieczeniowej? Z i =abs(r i - E(R))/S R i stopa zwrotu z inwestycji Korzystając z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego. 15
Odpowiedź: Zadanie 9 Z=(1,6-5,8)/2,1=-2,00, co oznacza, że P/E tej spółki odchyla się od średniej wartości wskaźnika dla wszystkich spółek giełdowych o 2 S na lewo. Stosując regułę 3 sigm można powiedzieć, że jedynie ok. 2% spółek ma P/E niższe od tego ubezpieczyciela. Potwierdza to również rozkład wartości dystrybuanty rozkładu normalnego (sprawdź wartośc 2,00). Dla P(X<1,6)=P(Z<-2,00)=1-0,97725=0,0228=2% Rozkład wskaźnika P/E dla wszystkich spółek 16
Odpowiedź: Zadanie 9 cd Z=(1,6-2,9)/1,8=-0,72 - co oznacza, że P/E tej spółki odchyla się od średniej wartości wskaźnika dla spółek ubezpieczeniowych o mniej niż 1 S na lewo od średniej. Stosując regułę 3 sigm można powiedzieć, że jest to w miarę typowa spółka dla tego sektora, ma P/E niewiele niższe od pozostałych. Potwierdza to również rozkład wartości dystrybuanty rozkładu normalnego. Dla P(X<1,6)=P(Z<-0,72)=1-0,7642=0,2358=23,5% Interpretacja: Około 23% spółek sektora ubezpieczeniowego ma wartość wskaźnika P/E niższą niż 1,6 (odchyloną o więcej niż 0,72 odchylenia standardowego na lewo od średniej). Rozkład wskaźnika P/E dla spółek ubezpieczeniowych -0,72σ 17
Rozkład normalny zadanie 10, 11 są w Excel Wykorzystanie funkcji EXCEL: NORMALIZUJ, ROZKŁAD NORMALNY, ROZKŁAD NORMALNY ODW 18
Rozkład normalny dla portfela Inwestor posiada portfel złożony z 2 aktywów (zainwestowane -1$ mln w aktywo A, 3$ mln w B). Rozkład rocznych stóp zwrotu z każdego z aktywów jest normalny, korelacja stóp zwrotu pomiędzy aktywami wynosi 0,5. Oczekiwana stopa zwrotu i odchylenie standardowe dla A ~ N(24%, 20%), a dla B ~ N(16%, 10%). i) Jaki jest rozkład rocznych stóp zwrotu dla portfela? ii) iii) Jakie jest prawdopodobieństwo, że inwestor poniesie stratę? Jeśli założymy stopę zwrotu 20%, jakie jest prawdopodobieństwo, że portfel osiągnie i przekroczy ten poziom? 19
Rozkład normalny dla portfela Inwestor posiada portfel złożony z 2 aktywów (zainwestowane -1$ mln w aktywo A, 3$ mln w B). Rozkład rocznych stóp zwrotu z każdego z aktywów jest normalny, korelacja stóp zwrotu pomiędzy aktywami wynosi 0,5. Oczekiwana stopa zwrotu i odchylenie standardowe dla A ~ N(24%, 20%), a dla B ~ N(16%, 10%). Ad i) Liczymy μ, σ 2 dla portfela 2 składnikowego: E(0,25A + 0,75B)=0,25*0,24+0,75*0,16=0,18 V(0,25A + 0,75B)=0,25 2 * 0,2 2 + 0,75 2 * 0,1 2 +2*0,25*0,75*0,5*0,2*0,1=0,011 σ = 10,9% 20
Rozkład normalny dla portfela cd Inwestor posiada portfel złożony z 2 aktywów (zainwestowane -1$ mln w aktywo A, 3$ mln w B). Rozkład rocznych stóp zwrotu z każdego z aktywów jest normalny, korelacja stóp zwrotu pomiędzy aktywami wynosi 0,5. Oczekiwana stopa zwrotu i odchylenie standardowe dla A ~ N(24%, 20%), a dla B ~ N(16%, 10%). i) Jaki jest rozkład rocznych stóp zwrotu dla portfela? ii) iii) Ad ii) Jakie jest prawdopodobieństwo, że inwestor poniesie stratę? Jeśli założymy stopę zwrotu 20%, jakie jest prawdopodobieństwo, że portfel osiągnie i przekroczy ten poziom? Ad iii) 21
Rozkład normalny dla funduszy Roczne stopy zwrotu dla funduszu F i jego benchmark FIX mają rozkład normalny, są skorelowane na poziomie - 0,75. Oczekiwana stopa zwrotu i odchylenie stand. dla funduszu F ~ N(10%, 25%), a dla FIX ~ N(8%, 15%). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyniki funduszu będą gorsze od benchamrku? Oznaczmy jako aktywną oczekiwaną stopę zwrotu różnicę między stopą funduszu i benchmarku (2%), oczekiwana stopa zwrotu. Wariancja aktywnej oczekiwanej stopy zwrotu: V(F-FIX)=V(F)+V(FIX) + 2 Cov(F, FIX)= 0,25 2 + 0,15 2 2 *0,75*0,25*0,15=0,028 Zmienność aktywnej stopy zwrotu wynosi 0,028^0,5=16,96%. Prawdopodobieństwo, że wyniki funduszu będą gorsze od benchamrku: 22
Zadanie 12 Kryteria oceny dobroci inwestycji Kryterium I spośród dwóch inwestycji o podobnym ryzyku lepszą jest ta, która maksymalizuje oczekiwaną stopę zwrotu. Dla przykładu: R A, śr =9%, S(R A )=4% R B, śr =6%, S(R B )=4% korzystniejszą będzie akcja A, ponieważ przy takim samym ryzyku daje wyższą stopę zwrotu. Rozkład akcji o tym samym ryzyku i różnych stopach zwrotu B A 23
Zadanie 12cd Kryteria oceny dobroci inwestycji Kryterium II spośród dwóch inwestycji o podobnej stopie zwrotu lepszą jest ta, która minimalizuje ryzyko. Dla przykładu: R A, śr =9%, S(R A )=6% R B, śr =9%, S(R B )=4% korzystniejszą będzie akcja B, ponieważ przy mniejszym ryzyku daje taką samą stopę zwrotu. Rozkład akcji o tych samych stopach zwrotu i różnym ryzyku B A 24
Zadanie 12cd Kryteria oceny dobroci inwestycji Kryterium III w przypadku porównywania inwestycji o różnych oczekiwanych stopach zwrotu i różnych odchyleniach standardowych, miarą oceny jest współczynnik zmienności. Miara ta określa, ile ryzyka przypada na 1 jednostkę średniego zysku. Lepszą inwestycją będzie zatem ta, która niższy współczynnik zmienności. Miara liczona dla R śr >0 V=S(R)/R śr *100, dla R śr <0 W=R śr /S(R) Dla przykładu: R A, śr =5%, S(R A )=7%, V=7/5=1,4 R B, śr =9%, S(R B )=11%, V=11/9=1,2 korzystniejszą będzie akcja B, ponieważ mimo wyższego ryzyka, jednostkę stopy zwrotu inwestor uzyska przy mniejszym ryzyku 1,2. Rozkład akcji o różnych stopach zwrotu i ryzyku A B 25
Zadanie 13 (zadania z indeksów) Na podstawie cen akcji wybranych 4 spółek indeksu WIG20 w roku 2008, proszę obliczyć dla każdej ze spółek: 1/ dzienne stopy zwrotu oraz ich średnią, 2/ odchylenie standardowe, 3/ współczynnik zmienności, oraz oceń, która ze spółek jest najbardziej, najmniej ryzykowna? 4/ jaki powinien być limit ceny zakupu akcji, dla którego prawdopodobieństwo straty byłoby niższe niż 50%? 26
Zadanie 14 (na danych z indeksów) Na podstawie stóp zwrotu indeksu WIG, BUX, PX, DAX i S&P w 2006 i 2008 roku, oblicz i porównaj następujące wielkości: 1/ średnią stopę zwrotu, 2/ zmienność, 3/ wykres gęstości i dystrybucji. 27
Rozkład dystrybuanty rozkładu normalnego 28
Rozkład dystrybuanty rozkładu normalnego 29