Kratownice Wieża Eiffel a

Kratownice Wieża Eiffel a

Kratownica jest to konstrukcja nośna, składająca się z prętów połączonch ze sobą w węzłach. Kratownica może bć: 1) płaska, gd wszstkie pręt leżą w jednej płaszczźnie, 2) przestrzenna, gd pręt nie leżą w jednej płaszczźnie. Rozwiązwanie kratownic polega na znalezieniu sił wewnętrznch w prętach dla danego obciążenia zewnętrznego kratownic. Prz rozwiązwaniu kratownic najczęściej zakładam: 1) sił są w równowadze, zarówno dla całej kratownic jak i dla poszczególnch węzłów, 2) sił przczepione są w węzłach kratownic, 3) pręt połączone są w węzłach przegubami idealnmi, tj. bez tarcia, 4) kratownica jest sztwna, tzn. prz założeniu prętów jako doskonale sztwnch i przegubów idealnch, dwa dowolne węzł nie mogą się przemieszczać względem siebie. 5) Krteria sztwności: dla kratownic płaskiej p = 2w 3, dla kratownic przestrzennej p = 3w 6, gdzie: p liczba prętów, w liczba węzłów. (2.52a) (2.52b) Gd p < 2w 3 dla kratownic płaskiej, lub p < 3w 6 dla przestrzennej, to kratownica jest niesztwna, natomiast gd p > 2w 3 dla kratownic płaskiej, lub p > 3w 6 dla przestrzennej, to kratownica jest przesztwniona.

a) a P b b P = P a+ b 1 P2 = a P a+ b b) ~ 10 % błąd c) kratownica sztwna 3 = 23 3 kratownica niesztwna (chwiejna) 4 < 24 3 Założenia stosowane prz rozwiązwaniu kratownic: a) redukcja sił do węzłów, b) idealizacja przegubów, c) warunek sztwności

Metoda analitczna. Prz rozwiązwaniu kratownic metodą analitczną należ: 1) sprawdzić warunek sztwności kratownic, 2) po naniesieniu sił zewnętrznch działającch na kratownicę, należ obliczć reakcje podpór, traktując kratownicę jako sztwną całość, 3) obliczć sił wewnętrzne w prętach, pisząc warunki równowagi dla poszczególnch węzłów kratownic. Przkładowo, dla kratownic przedstawionej na rsunku, obciążonej jak na rsunku, rozwiązanie przebiega następująco: II P 1 1 III P 2 h I 2 3 4 5 6 IV 7 V Przkładowa kratownica płaska złożona z 7 prętów oraz 5 węzłów a a ad 1) 7 = 2 5 3 a M = 2a P P h = 0, 2 W = P + =, ad 2) 1 2 skąd: P2 2 0 W = + P =, 1 0 3P1 h P1 h =, = P2, = + P2. 4 2 a 4 2 a

ad 3) na węzeł I działają sił warunki równowagi węzła: W = S6 + S2 cos + = 0, W = S2 sin + = 0, skąd wznaczm nieznane sił S 2 i S 6. na węzeł II działają sił warunki równowagi węzła: W = S + S cos S cos = 0, 1 3 2 W = P S sin S sin = 0, 1 2 3 skąd wznaczm nieznane sił S 1 i S 3. itd. dla pozostałch węzłów. a) S 2 b) P II 1 S 1 Sił działające w węzłach kratownic: a) nr I, b) nr II I S 6 S 2 S 3

Metoda przekroi Rittera. Metoda ta jest wgodna, gd nie interesują nas sił we wszstkich prętach kratownic. W metodzie tej: 1) przecinam mślowo kratownicę na dwie oddzielne części, prz czm: nie możem przeciąć więcej niż 3 pręt (dla kratownic płaskiej) wszstkie przecięte pręt nie mogą się schodzić w jednm węźle 2) odrzucam część kratownic, zaś do pozostałej w miejsca przecięć przkładam sił działające wzdłuż prętów l 2 pręt należ ciąć tu b) P 1 a) O 2 6 P 2 h 11 Przkładowa kratownica złożona z 11 prętów i 7 węzłów: a) schemat ogóln, b) mślowe przecięcie kratownic 3) sił przłożone do prętów dobieram tak, ab rozważana część kratownic pozostawała w równowadze: W = S S S cos + P = 0 2 11 6 2 W = + S6 sin = 0 l MO = S h = 2 11 0 skąd wznaczm nieznane sił wewnętrzne S 2, S 6 i S 11.

Uwagi: 1) można przeciąć więcej niż 3 pręt, ale pod warunkiem, że oprócz jednego pozostałe są równolegle, 1 2 3 4 2) prz złożonch kratownicach jeden przekrój może bć niewstarczając, np. P 1 1 2 6 P 2 I 3 4 5 II I M = f ( S, S, P, ), II 1 1 4 1 M = f ( S, S, P, ), 2 1 4 2 skąd obliczam sił S 1 i S 4.

Układ statcznie wznaczalne i inne Układ, w którm ogólna liczba nałożonch więzi w (niewiadomch sił reakcji) jest równa liczbie możliwch do napisania równań r nazwam układem statcznie wznaczalnm (izostatcznm, sztwn). W układzie takim liczba stopni swobod s=r-w jest zerowa (s=0). Oznaczono: s liczba stopni swobod r liczba równań do dspozcji w liczba nieznanch sił reakcji więzi Liczbę równań do dspozcji obliczam: r = 3 n - układ płaski r = 6 n - układ przestrzenn gdzie: n - liczba brł (ciał) R 2 R 3 R 1 Układ statcznie wznaczaln w = r, tj. s = 0

Jeżeli rozpatrwan układ ma więcej niewiadomch niż równań, to niewiadomch tch nie da się wznaczć metodami mechaniki ogólnej. Układ taki nazwać będziem układem statcznie niewznaczalnm (hiperstatcznm, przesztwnion). Niewiadome w takich układach mogą bć wznaczone tlko prz założeniu odkształcalności. Zagadnieniami tmi zajmuje się wtrzmałość materiałów. Układ statcznie niewznaczaln R 2 R 4 R 3 R 1 w > r, tj. s < 0 Jeżeli liczba niewiadomch w układzie jest mniejsza niż liczba równań, to układ taki nazwam układem chwiejnm (hipostatcznm, niedosztwnion). Układami chwiejnmi są wszelkiego rodzaju mechanizm. Takimi układami zajmuje się teoria maszn i mechanizmów. R 2 R 1 w < r, tj. s > 0 W mechanice ogólnej zajmować się będziem układami statcznie wznaczalnmi.

Określanie statcznej wznaczalności układu c = 4 liczba ciał ciało 1 ciało 2 ciało 3 p = 6 liczba w i liczba odebranch stopni swobod (reakcji więzów) w i-tm podparciu ciało 4 r c liczba stopni swobod ciała swobodnego dla układu płaskiego (r c =6 dla układu przestrzennego) podparcie 1 w 1 =3 podparcie 2 w 2 =2 podparcie 3 w 3 =1 podparcie 4 w 4 =2 podparcie 5 w 5 =2 podparcie 6 w 6 =1 r = c r c = 4 3 = 12 r > w układ chwiejn s= r - w = 12 11 = 1 w układzie pozostaje woln jeden stopień swobod Ponieważ s > 0, to układ jest chwiejn (mechanizm). w 6 = w i i= 1 = 3 + 2 + 1+ 2 + 2 + 1 = 11