PROCEDURY KONTROLNE (KARTY KONTROLNE) SHEWHARTA

WYKORZYSTANIE PARAMETRYCZNYCH TESTÓW ISTOTNOSCI DO MONITOROWANIA PROCESÓW PRODUKCYJNYCH PROCEDURY KONTROLNE (KARTY KONTROLNE) SHEWHARTA (18 III 1891 11 III 1967) dokor fizyki, obywael Saów Zjedoczoych

Waler Shewhar urodził się 18 marca 1891 roku w New Cao w saie Illiois. Sudiował fizykę a uiwersyecie saowym, a asępie a Uiwersyecie Califoria w 1917 roku uzyskał sopień dokora auk. Od 1918 związay z przedsiębiorswem Weser Elecric Compay wywarzającej sprzę elefoiczy dla Bell Telephoe. Od 1925 roku rozpoczął pracę w Bell Telephoe Laboraories i był z im związay aż do 1956 roku. Swoje pomysły i przemyśleia a ema możliwości sosowaia arzędzi saysyczych w zarządzaiu przedsiębiorswem publikował w serii gazeek Bell Sysem Techical Joural. Dla porzeb moiorowaia zmieości procesów W. Shewhar w 1924 roku sworzył specjale procedury korole azywae karami korolymi, karami serowaia jakości lub po prosu karami Shewhara. Podsawowym założeiem kar korolych jes, że ureguloway proces powiie urzymywać się w graicach oleracji. Graice e azywae są uaj liiami korolymi. W ujęciu graficzym kara jes wykresem (zbiorem wykresów), a kórym zazacza się puky będące warościami charakerysyk procesów obliczaych a podsawie okresowo pobieraych próbek. W okresie II wojy świaowej kocepcje Shewhara wykorzysywao w przemyśle zbrojeiowym. Kary korole sały się część składową orm Z1.1, Z1.2 (1941) oraz Z1.3 (1942). Shewhar był rówież wykładowcą uiwersyeów Illiois, Kaliforia, Harvard, Priceo, gdzie wykładał mi. serowaie jakością i saysykę. Był rówież redakorem aczelym publikacji Mahemaical Saisics Series. Do ajważiejszych jego dzieł ależy zaliczyć: książkę Ecoomic Corol of Qualiy Of Maufacured Produk (1931) oraz Saisical Meod of Qualiy Corol (1939). Za swoje osiągięcia zosał uhooroway wieloma ozaczeiami i yułami mi. orzymał hoorowe człokoswo Amerykańskiego Towarzyswa Jakości, kóre rówież od 1948 roku usaowiło medal Shewhara aday akim zakomiościom jak: W. Demig, K. Ishikawa, czy G. Taguchi. W. Shewar zmarł 11 marca 1967 roku w Troy Hills w saie New Jersey.

Surowce Eergia iformacje AGREGAT PRODUKCYJNY Srumień produku odbiorca regulacja OPERATOR AGREGATU PRODUKCYJNEGO BLOK POMIAROWY Sygał o rozregulowaiu procesu BLOK ANALIZUJĄCY Schema sysemu bieżącej koroli jakości

Sygał wejściowy 1 Wykryj sysemaycze (ielosowe) zakłóceie procesu 4 Sprawdź skueczość dokoaej koreky i wykorzysaj ją Sygał wyjściowy 2 Dokoaj ideyfikacji przyczy wykryego zakłóceia 3 Dokoaj koreky procesu Cykl Shewhara

Zależość pomiędzy posacią hipoezy zerowej i aleraywej a posacią graficzą diagramu przeglądowego Shewhara Z: D ma rozkład ormaly o warości oczekiwaej E(D) Q 0 H o : Q Qo H 1 : Q Qo f(d) α 2 1 α D d D g E(D) α 2 D D obszar kryyczy Góra liia korola obszar Liia cerala oleracji obszar kryyczy 1 2 3 4 5 6 Dola liia korola

Zależość pomiędzy posacią hipoezy zerowej i aleraywej a posacią graficzą diagramu przeglądowego Shewhara Z: D ma rozkład ormaly o warości oczekiwaej E(D) Q 0 f(d) H o : Q Qo H 1 : Q > Qo 1 α α D D g E(D) obszar kryyczy D Góra liia korola obszar Liia cerala oleracji 1 2 3 4 5 6

Zależość pomiędzy posacią hipoezy zerowej i aleraywej a posacią graficzą diagramu przeglądowego Shewhara f(d) Z: D ma rozkład ormaly o warości oczekiwaej E(D) Q 0 H o : Q Qo H 1 : Q < Qo α 1 α D d E(D) D D D obszar Liia cerala oleracji obszar kryyczy Dola liia korola 1 2 3 4 5 6

Typ zmieej yp ograiczeia przedziału oleracji omiaa jakości obusroe H o : Q Q o H 1 : Q Q o liie służące do rejesracji rozregulowaia GLK; DLK liie służące do rejesracji posępu echologiczego LC desymulaa jakości prawosroe H o : Q Q o H 1 : Q > Q o GLK DLK symulaa jakości lewosroe H o : Q Q o H 1 : Q < Q o DLK GLK DLK dola liia korola GLK góra liia korola LC liia cerala

Wybrae kary korole Shewhara

Kara korola Założeia: X ma rozkład ormaly lub zbliżoy do ormalego, o sałym i zaym odchyleiu sadardowym. Hipoezy: Charakerysyka z próby: Liie korole: H o : µ µ o H 1 : µ µ o H o : µ µ o H 1 : µ > µ o H o : µ µ o H 1 : µ < µ o i i 1 o o d o g LC u u µ σ µ σ µ ε α + o o d o g LC u u µ σ µ σ µ α α + 2 2 o o d o g LC u u µ σ µ σ µ α ε + NORMATYWNA METODA INSTALOWANIA KARTY KONTROLNEJ

Sabilizacyja meoda isalowaia kary korolej (meoda bez zaych warości ormaywych) Szacowaie średiego poziomu procesu oraz odchyleia sadardowego k k 1, ( ) k s k 1 2, gdzie k liczba pobraych próbek o sałej liczości Liie korole (dla dwusroego ograiczeia przedziału oleracji): d g s u s u 2 / 2 / α α + Jeżeli ie da się zagwaraować sałej liczości próby podczas badań wsępych o wówczas: k k 1 1, oraz ( ) 1 1 2 s i i, liie korole s u s u d g 2 / 2 / α α +

Kary korole średich ruchomych 1 1 1 1 1 1 ) (...... + + + + + + + + + r r r r d d d d d d η η η η r r r 1 1 ) (... + + + + η η η η r r r 1 1 ) (... + + + + r u r u g r d r /, / 2 / 0 ) ( 2 / 0 ) ( σ σ α α + Wykładiczo ważoa średia ruchoma (λ [0,2; 0,5]) * 1 * ) 1 ( + λ λ u u g d ) /(2, ) /(2 2 / 0 * 2 / 0 * λ λ λ λ α α +

Załóżmy, ze przedział oleracji zmieej diagosyczej X ma posać X [13.0; 14.0] a warość omiala o 13.5. Załóżmy rówież, że zmiea diagosycza X jes zmieą losową o ormalym rozkładzie prawdopodobieńswa o sałym i zaym odchyleiu sadardowym σ 0.20. Przyjmijmy, że isieje możliwość oddziaływaia a warość oczekiwaą zmieej X i usaleia jej a dowolym poziomie µ X o. W celu zmiimalizowaia wadliwości (p) ależy przyjąć µ o 13.5. Mamy więc X~N(13.5; 0.20).W odiesieiu do ajwiększej dopuszczalej wadliwości przyjmijmy, że p' 0.03 (3%). Na podsawie przyjęych założeń moża oceić wydolość procesu.

p P(X < 13.0) + P(X > 14.0) Φ[(13.0-13.5)/0.20] + Φ[(14.0-13.5)/0.20] Φ(-2.50) + 1 - Φ(2.50) 2 * 0.00621 0.01242 (1.242%) Poieważ p 0.01242 < p' o 0.03, przeo proces jes wysarczająco wydoly, by sprosać wymagaiom odbiorcy produku. Dla porzeb serowaia procesem ależy przyjąć, że p o 0.01242 (1.242%), albowiem pozwoli o wykorzysać wszyskie możliwości jakimi dyspouje proces. Owiera o eż pewe możliwości egocjacji ceowych w przyszłości, albowiem pozwala oczekiwać wyższej jakości iż a a, kórą zgodził się odbiorca. Wadliwość 1.242% uzyskuje się wówczas gdy µ o 13.5.

Hipoezy: H o : µ 13.5 H 1 : µ 13.5 Prawdopodobieńswo zbędej regulacji (α) usalimy a poziomie 0.01. Poieważ rozregulowaie procesu może się asąpić, albo przez przesuięcie µ ku warościom iższym od 13.5 albo ku warościom wyższym od 13.5, przeo mamy do czyieia z dwusroym schemaem korolym. Przy wyzaczaiu rówań liii korolych ależy więc wziąć pod uwagę warość u α/2 u 0.005. Warość ego kwayla zmieej losowej U odczyujemy z asępującego zesawieia: α 0.005 0.010 0.025 0.050 0.100 u α 2.576 2.326 1.960 1.645 1.282 W każdym kroku posępowaia korolego pobieraa jes do badaia pięcioelemeowa próbka ( 5). Rówaia liii korolych przedsawiają się asępująco: 0.20 13.5 + 2.576 5 g 13.73 0.20 g 13.5 2.576 13.27 5 Wyiki badaia kolejych próbek przedsawioo w poiższej ablicy

i 1 2 3 4 5.i 1 2 3 4 5 6 7 1 13.5 13.4 13.5 13.0 13.4 13.36 2 13.0 13.4 13.0 13.5 13.5 13.28 3 13.5 13.9 13.5 13.5 13.6 13.60 4 13.6 13.8 13.8 13.5 13.7 13.68 5 13.7 13.8 13.9 14.0 13.9 13.86 6 13.9 13.8 14.0 13.9 14.0 13.92 7 13.8 13.6 13.5 13.5 13.8 13.70 8 13.5 13.6 13.5 13.4 13.3 13.46 9 13.6 13.5 13.5 13.4 13.4 13.48 10 13.4 13.0 13.4 13.2 13.4 13.28 : : : : : : :

KARTA X - średie 14 13,9 średie 13,8 13,7 13,6 13,5 GLK LC 13,4 13,3 DLK 13,2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

średia z 3 połączoych próbek 1 13,36 * 2 13,28 * 3 13,6 13,41 4 13,68 13,52 5 13,86 13,71 6 13,92 13,82 7 13,7 13,81 8 13,46 13,68 9 13,48 13,53 10 13,28 13,41

KARTA X średie i kara średich ruchomych 14 13,9 13,8 13,7 13,6 GLK GLK ** 13,5 13,4 13,3 13,2 13,1 13 12,9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 LC DLK** DLK Serie1 Serie2

Wioski: Jak ławo zauważyć w rezulacie badaia próbki o umerze 5 uzyskao średią arymeyczą przekraczającą górą graicę regulacji. Mamy miaowicie 5 13.87 > g 13.73. Podjęe czyości regulacyje ie przyiosły spodziewaego rezulau i w kolejej próbce ( 6) uzyskao 6 13.86 > g 13. 73. Podjęe działaia usuęły przyczyę rozregulowaia. Na uwagę zasługuje o, że w próbkach, kóre doprowadziły do emisji sygałów o rozregulowaiu procesu wszyskie warości,i mieściły się w przedziale oleracji. Zdolość do reagowaia a małe zmiay w obserwowaym procesie jes bardzo ceą właściwością kary korolej i iych kar sosowaych w przypadku liczbowej ocey właściwości. Liczbowa ocea właściwości pozwala a zaczie lepsze wykorzysaie iformacji o produkcie i procesie, zawarych w rezulaach badaia próbki, iż aleraywa ocea właściwości.

S i Kary korole (kary dwuorowe) Założeia: X ma rozkład ormaly lub zbliżoy do ormalego, o zmieym i iezaym odchyleiu sadardowym. Hipoezy: Obok hipoez doyczących warości oczekiwaej µ kosruuje się hipoezy doyczące odchyleia sadardowego σ, kóre ajczęściej przedsawiają się asępująco: H o : σ σ o H 1 : σ > σ o Do weryfikacji powyższych hipoez, wykorzysuje się albo odchyleie sadardowe z próbki (przy karcie s ) r s ( i 1 i 1 albo rozsęp z próbki (przy karcie r ) r.ma.mi ) 2

Liie korole dla oru korolego S: Jeżeli ( 30) Jeżeli ( < 30) s s u + σ σ u 1 0 α + 2 σ 0 σ 0 uε σ u 1 0 ε 2 σ 0 2 0 α g 2 d sg sd σ 0 χ 2 1; α ( 1) 2 σ ( 1) 0 χ 1;1 ε gdzie χ 2 1; α i χ 2 1;1 ε są akimi warościami zmieej losowej chi-kwadra o (-1) sopiach swobody, że: P P ( ) χ > χ α 2 2 1 1; α ( χ > χ 2 ) 1 ε 2 1 1;1 ε

Liie korole dla oru korolego R: Liia cerala d r 0 0. σ ) 0 ( 0 0. g f u d f u d r α α σ σ σ + + ) 0 ( 0 0. d f u d f u d r ε ε σ σ σ Warości współczyików d i f są sablicowae.

Usalaie warości maksymalego dopuszczalego odchyleia sadardowego σ 0 Przykład Przedział oleracji zmieej diagosyczej X ma posać: X + [13,0; 15,0], a warość omiala (docelowa) zosała usaloa a poziomie 0 14,0. Zmiea X ma rozkład zbliżoy do ormalego. Posiadae urządzeia echologicze pozwalają a akie zorgaizowaie procesu produkcji, by warość oczekiwaa (µ) zmieej X pokrywała się z warością omialą ( 0 µ 14). Odchyleie sadardowe σ zmieej losowej X pozosaje iezae. Na jakim ajwyższym poziomie σ 0 może kszałować się o odchyleie sadardowe, jeżeli żądamy, by poprodukcyja wadliwość produku (p) ie przekroczyła p 0 0,03?

Przedział oleracji zmieej diagosyczej X ma posać: X + [13,0; 15,0], a warość omiala (docelowa) zosała usaloa a poziomie 0 13,7. Warość a ie pokrywa się ze środkiem przedziału 14. Odchyleie sadardowe σ zmieej losowej X pozosaje iezae. Na jakim ajwyższym poziomie σ 0 może kszałować się o odchyleie sadardowe, jeżeli żądamy, by poprodukcyja wadliwość produku (p) ie przekroczyła p 0 0,03?

W procesie bieżącej koroli jakości moiorowao czas przejazdu pociągów pomiędzy dwoma miejscowościami. Załóżmy, że uważa się, że podróż odbywa się bez zakłóceń, jeżeli przecięy czas porzeby a pokoaie badaego odcika wyosi µ 35 mi., przy odchyleiu sadardowym σ 3,5 mi. Przysąpioo do moiorowaia czasu przejazdu. Wyiki uzyskaa w począkowych 10 okresach badaia przedsawia poiższa ablica. i 1 2 3 4 5. i s r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 30 33 31 45 38 35,4 6,19 15 2 32 30 39 31 31 32,6 3,65 9 3 34 38 31 38 37 35,6 3,05 7 4 42 30 44 37 33 37,2 5,89 14 5 33 32 41 36 44 37,2 5,17 12 6 33 39 37 41 33 36,6 3,58 8 7 30 33 37 35 43 35,6 4,88 13 8 36 32 35 38 30 34,2 3,19 8 9 36 33 40 43 31 36,6 4,93 12 10 31 34 33 43 41 36,4 5,27 12 w kolumie 7 zesawioo średie arymeycze obliczoe z czasów przejazdów 5 losowo wybraych pociągów, w kolumie 8 odchyleia sadardowe, a w kolumie 9 rozsęp z próby. Podczas wyzaczaia liii korolych założoo prawdopodobieńswo zbędej regulacji procesu a poziomie α 0,05. Na akim samym poziomie usaloo prawdopodobieńswo fałszywej emisji sygału o korzysych zmiaach w badaym procesie.

Graice oleracji a orze korolym, wyzaczoo korzysając z rówań: σ 3,5 g µ o + uα 35 + 1,96 38,06789 2 5 σ 3,5 d µ o uα 35 1,96 31,93211 2 5 LC µ o 35 Wszyskie uzyskae średie czasy mieszczą się w obszarze oleracji. Nie ma więc podsaw do odrzuceia hipoezy zerowej H 0 : µ µ 0 35, a korzyść hipoezy aleraywej H 1 : µ µ 0 35. Nie ma podsaw do emisji sygału o rozregulowaiu procesu ze względu a jego przecięy poziom. Przeprowadźmy zaem aalizę procesu po względem jego zmieości. Poddajmy weryfikacji asępującą hipoezę zerową: H 0 : σ σ 0 3,5 mi wobec hipoezy aleraywej H 1 : σ > σ 0 3,5. Góra liia korola a orze korolym S będzie leżeć a poziomie s g σ 2 0 χ 1; α ( 1) 3,5 9,488/ 4 5,390455, aomis dolaa w oparciu o kórą śledzić będziemy sygały o korzysych zmiaach w porcesie zajdzie się a poziomie s d σ 2 χ ( 1) 35 0,711/4 1,475614 0 1;1 ε Porówując koleje warości odchyleń sadardowych z wyzaczoymi graicami korolymi, moża dojść do wiosku, że w pukach dla 1 oraz 4 warości obserwowaych odchyleń sadardowych przekroczyły górą liię korolą i ależy wygeerować sygał o rozregulowaiu badaego procesu i przyjąć jako prawdziwą hipoezę H 1 z prawdopodobieńswem błędu iewiększym iż α 0,05. Brak jes aomias powodów do emisji sygału o korzysych zmiaach w procesie, gdyż żada z warości s ie leży poiżej dolej liii korolej s d..

Hipoezy doyczące wariacji moża rówież zweryfikować wykorzysując or koroly R. Liie korole : r (. g σ 0d + u σ 0 f σ 0 d + u f) 3,5(2,32593+ 1,645 0,848) 13,023115 α α r. d σ 0d uεσ 0 f σ 0( d uε f ) 3,5(2,32593-1,645 0,848) 3,258395,. Podobie jak w przypadku oru korolego S ależy się spodziewać wygeerowaia sygału o rozregulowaiu procesu w pukach dla r 1 i r 6, gdyż e warości zajdą się powyżej górej liii korolej r g. Wykresy aalizowaych orów korolych przedsawiają poiższe rysuki

Tor - średie 40 -średie 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 GLK LC DLK 28 27 26 25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tor koroly S 7,00 ochyleie sadardowe 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 GLK LC DLK 1,00-0 2 4 6 8 10 12

Tor koroly R rozsęp 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12 GLK LC DLK

Kara korola z Założeia: X jes zero-jedykową zmieą losową posaci: X dla każdego 0, gdy jedoska produku spełia wymagaia jakościowe, 1, gdy jedoska produku {ie spełia wymagań jakościowych Hipoezy: H o : p p o H 1 : p > p o Charakerysyka z próby: z i i 1 Liie korole: zg po + zd po LC o u u α ε p p o o (1 (1 p p o o ) )

KARTA KONTRLNA w Charakerysyka z próby: w z i 1. i Położeie liii ceralej określa wzór z0 p w 0 0 p0 Rówaie górej liii korolej ma posać w g p0 + u α p0(1 p0 ) / Położeie dolej liii korolej (ie będącej graica regulacji) wyzacza rówaie p u p (1 p )/ wd 0 ε 0 0

Załóżmy, że w procesie bieżącej koroli jakości moiorowaa jes zmiea diagosycza X opisująca jakość śrub wykorzysywaych do moażu elemeów rakcji kolejowej. Zmiea a przyjmuje dwie warości 0 i 1, 0 jeżeli śruba ma poprawie wykoay gwi, a kóry z ławością daje się akręcić akrękę, oraz przyjmuje 1, gdy gwi jes źle wykoay i akręceie a śrubę akręki jes iemożliwe. Załóżmy, że proces produkcji śrub jes ureguloway, jeżeli frakcja śrub wadliwych p 0, 1 (10%), aomias proces produkcji zosaie uzay za rozreguloway, jeżeli p > 0,1 (10%). Należy oceić przebieg procesu produkcji śrub, jeżeli w rezulacie przeprowadzoych badań uzyskao asępujące wyiki: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 9 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 11 i 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 12 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 17 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 suma z 5 2 3 6 2 0 5 2 4 2 Podczas weryfikacji założyć, że α β 0,05

Rozwiązaie: 20, α ε 0,05, H 0 : p p 0 0,1 H 1 : p > p 0 0,1 zg po + uα zd po uε LC p 2 o p p o o (1 p (1 p o o ) 2 + 1,645 ) 2 1,645 2 0,9 3,719382 2 0,9 0,280618 Porówując orzymae warości z z liiami korolymi, ależy swierdzić, że sygał o rozregulowaiu zosaie wygeeroway (będą podsawy do przyjęcia H 1 ) w momeach 1, 4,7 i 9, gdyż wówczas warości obserwowaej saysyki z będą większe od warości z g. Sygały o posępie echologiczym pojawią się aomias dla 6, gdyż (z 6 < z d ).

Kara z (p) 7 6 5 4 z g z 3 2 LC 1 z d 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Zadaie 1 Pewie proces produkcyjy korolowao za pomocą kary -średie, przy czym σ 1, µ ο 10, 4 i α ε 0,05, a przedział oleracji ograiczoy jes prawosroie. Uzyskao asępujące wyiki: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9.8 10.2 10.3 9.9. 10.9 10.1 9.7 11.1 8.9 Skosruować diagram przeglądowy. Wskazać puky rozregulowaia procesu, oraz puky świadczące o posępie echologiczym. Zadaie 2 W kolejych chwilach obserwowao liczbę szuk wadliwych z w próbkach o sałej liczości 40. Orzymao asępujące wyiki: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 z 3 0 0 6 3 4 3 3 4 0 0 1 2 0 1 Skosruować odpowiedią karę korolą przyjmując prawdopodobieńswo zbędej regulacji α 0.05 oraz ajwyższą dopuszczalą wadliwość p o 0.1 (10%). Czy w powyższym ciągu obserwacji wysępują sygały o rozregulowaiu procesu, albo objawy posępu echologiczego?

KARTA KONTROLNA C Liczba iezgodości (wad) w jedosce produku jes zmieą losową (Y) o przeliczalym zbiorze warości Y o {0, 1, 2,...} Przyjmuje się zwykle, że a zbiorze ym rozpięy jes rozkład Poissoa, kórego szczegółowa posać określaa jes przez paramer λ. Przy rozwiązywaiu prakyczych problemów warość ego parameru, czyli przecięej liczby wad (iezgodości), musi być odiesioa do usaloej jedoski produku. Może o być jedoska elemeara lub agregaowa, przy czym każda z ich może być jedoską rzeczywisą lub umową. Obserwowaa charakerysyka z próby ma posać c ( ). i 1 y i Hipoezy: H o : λ (). λ ().0 Liie korole: H 1 : λ (). > λ ().0 c λ + u λ ( ). g ( ).0 α ( ).0 c λ u λ ( ). d ( ).0 ε ( ).0 LC λ ().0

Kara korola c Moiorowao proces świadczeia usług bakowych. W ym celu zliczao liczbę błędów popełiaych przy obsłudze klieów, zakładając, że błędem jes każde odsępswo od usaloej procedury. W rezulacie obserwacji poczyioych w dziesięciu diach badaia orzymao asępujące wyiki: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10... c 2 3 0 5 7 0 1 1 3 0... Kierowicwo baku usaliło, że proces obsługi klieów przebiega poprawie, jeśli przecięa liczba błędów w ciągu dia ie przekracza λ o 5. Skosruować odpowiedią karę korolą do aalizy ych daych i wykryć puky rozregulowaia procesu obsługi, a akże objawy mogące przemawiać za skueczością przeporwa- -dzaych szkoleń. Prawdopodobieńswo zbędej regulacji procesu, a akże prawdo- -podobieńswo fałszywego sygału o poprawie isiejącej syuacji, usaloo a poziomie α ε 0,05.

Rozwiązaie: H o : λ (). λ ().0 5 H 1 : λ (). > λ ().0 5 Liie korole: c( ). g ( ).0 + u λ( ).0 5 + 1,645 5 8,678332 λ α c( ). d λ( ).0 uε λ( ).0 5 1,645 5 1,321668 LC λ ().0 5 Nie ma powodów do odrzuceia H 0 i wygeerowaia sygału o rozregulowaiu procesu obsługi kliea. W momeach 3, 6, 7, 8, 10 mamy powody sądzić, że przeprowadzoe szkoleia przyiosły zamierzoy efek.

KARTA C 9 8 c g 7 6 5 LC c 4 3 2 1 c d 0 0 2 4 6 8 10 12

KARTA KONTROLNA u Kara u jes szczególie użyeczym arzędziem serowaia procesem wówczas, gdy ie moża zapewić sałej liczości próbek produku, kóre podlegają badaiu polegającemu a zliczaiu iezgodości lub wad. W akiej syuacji charakerysyka z próby przybiera posać u c( ). Hipoezy: H 0 : λ (1). λ (1).0 H 1 : λ (1). > λ (1).0 przy czym λ (1).0 λ ().0 /, λ (1). λ (). / gdzie c ( ). i 1 y i Charakerysyka z próby: u c (). / ug c( ). g / λ(1).0 + uα λ(1). 0 / Liie korole: ud c().d / λ(1).0 uε λ(1). 0 /

Jakość produku oceiao a podsawie przecięej liczby iezgodości. Największą przecięą liczbę iezgodości w elemearej jedosce produku usaloo a poziomie λ (1).0 1,00. Zasosowaa echika pobieraia próby ie pozwala a urzymaie jej liczości a sałym poziomie. W dziesięciu począkowych okresach badaia pobierao próby o różej liczości i zliczao liczbę iezgodości. Rezulay badaia prezeuje poiższa ablica: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 liczebość 11 10 8 13 9 14 12 10 11 9 próby liczba iezgodości 15 13 12 20 7 31 9 8 18 8 c Skosruować odpowiedią karę do aalizy ych daych, oraz wskazać momey czasu w kórych zosaą wygeerowae sygały świadczące o rozregulowaiu oraz sygały świadczące o posępie echologiczym. Podczas aalizy założyć, że prawdopodobieńswo zbędej regulacji procesu α 0,01, aomias prawdopodobieńswo fałszywego sygału o posępie echologiczym ε 0,05.

H 0 : λ (1). λ (1).0 1 H 1 : λ (1). > λ (1).0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 8 13 9 14 12 10 11 9 c 15 13 12 20 7 31 9 8 18 8 u 1,36 1,30 1,50 1,54 0,78 2,21 0,75 0,80 1,64 0,89 u g 1,70 1,74 1,82 1,65 1,78 1,62 1,67 1,74 1,70 1,78 u d 0,50 0,48 0,42 0,54 0,45 0,56 0,53 0,48 0,50 0,45 u u g. d. 1,00 + 2,326 1,00 1,645 1 1

Paramery rozkładu rozsępu 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d 1,12838 1,69257 2,05875 2,32593 2,53441 2,70436 2,84720 2,97003 3,07751 3,17287 3,25846 f 0,8525 0,8884 0,8798 0,8641 0,8480 0,8332 0,8198 0,8078 0,7971 0,7873 0,7785

Warości ϕ(u) dysrybuay rozkładu ormalego (0,l) u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1,5398,5438,5478,5517,5557,5596,5636,5675,5714,5753 0,2,5793,5832,5871.5910,5948,5987,6026,6064,6103,6141 0,3,6179,6217,6255,6293,6331,6368,6406,6443,6480,6517 0,4,6554,6591,6628,6664,6700,6736,6772,6808,6844,6879 0,5,6915,6950,6985,7019,7054,7088,7123,7157,7190,7224 0,6,7257,7290,7324,7357,7389,7422,7454,7486,7517,7549 0,7,7580,7611,7642,7673,7704,7734,7764,7794,7823,7852 0,8,7881,7910,7939,7967,7995,8023,8051,8078,8106,8133 0.9,8159,8186,8212,8238,8264,8289,8340,8340,8365.8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1,8643,8665,8686,8708,8729,8749,8770,8790,8810,8830 1,2,8849,8869,8888,8907,8925,8944,8962,8980,8997,9015 1,3,9032,9049,9066,9082,9099,9115,9131,9147,9162,9177 1,4,9192,9207,9222,9236,9251,9265,9279,9292,9306,9319 1,5,9332,9345,9357,9370,9382,9394,9406,9418,9429,9441 1,6,9452,9463,9474,9484,9495,9505,9515,9525,9535,9545 1,7,9554,9564,9573,9582,9591,9599,9608,9616,9625,9633 1,8,9641,9649,9656,9664,9671,9678,9686,9693,9699,9706 1,9,9713,9719,9726,9732,9738,9744,9750,9756,9761,9767 2,0 0,9772 0,9779 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1,9821,9826,9830,9834,9838,9842,9846,9850.9854,9857 2,2,9861,9864,9868,9871,9875,9878,9881,9884,9887,9890 2,3,9893,9896,9898,9901,9904,9906,9909,9911,9913,9916 2,4,9918,9920,9922,9925,9927,9929,9931,9932,9934,9936 2,5,9938,9940,9941,9943,9945,9946,9948,9949,9951,9952 2,6,9953,9955,9956,9957,9959,9960,9961,9962,9963,9964 2,7,9965,9966,9967,9968,9969,9970,9971,9972,9973,9974 2,8,9974,9975,9976,9977,9977,9978,9979,9779,9980,9981 2,9,9981,9982,9982,9983,9984,9984,9985,9985,9986,9986 Kwayle u(p) rzędu p rozkładu ormalego (0,l) p 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 u(p) 1,28 1,64 1,96 2,33 2,58

Kwayle χ 2 (p,v) rzędu p rozkładu χ 2 o v sopiach swobody p v 0,005 0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,99 0.995 1 - - 0,001 0,004 3,841 5,024 6,635 7,879 2 0,010 0,020 0,051 0,103 5,991 7,378 9,210 10,597 3 0,072 0,115 0,216 0,352 7,815 9,348 11,345 12,838 4 0,207 0,297 0,484 0,711 9,488 11,143 13,277 14,860 5 0,412 0,554 0,831 1,145 11,071 12,833 15,086 16,750 6 0,676 0,872 1,237 1,635 12,592 14,449 16,812 18,548 7 0,989 1,239 1,690 2,167 14,067 16,013 18,475 20,278 8 1,344 1,646 2,180 2,733 15.507 17,535 20,090 21,955 9 1,735 2,088 2,700 3,325 16,919 19,023 21,666 23,589 10 2,156 2,558 3,247 3,940 18,307 20,483 23,209 25,188 11 2,603 3,053 3,816 4,575 19,675 21,920 24,725 26,757 12 3,074 3,571 4.404 5,226 21,026 23,337 26,217 28,299 13 3,565 4,107 5,009 5,892 22,362 24,736 27,688 29,819 14 4,075 4,660 5,629 6,571 23,685 26,119 29,141 31,319 15 4,601 5,229 6,262 7,261 24,996 27,488 30,578 32,801 16 5,142 5,812 6,908 7,962 26,296 28,845 32,000 34,267 17 5,697 6,408 7,564 8,672 27,587 30,191 33,409 35,718 18 6,265 7,015 8,231 9,390 28,869 31,526 34,805 37,156 19 6,844 7,633 8,907 10,117 30,144 32,852 36,191 38,582 20 7,434 8,260 9,591 10,851 31,410 34,170 37,566 39,997 21 8,034 8,897 10,283 11,591 32,671 35,479 38,932 41,401 22 8,643 9,542 10,982 12,336 33,924 36,781 40,289 42,796 23 9,260 10,196 11,689 13,091 35,172 38,076 41,638 44,181 24 9,886 10,856 12,401 13,848 36,415 39,364 42,980 45,559 25 10,520 11,524 13,120 14,611 37,652 40,646 44,314 46,928 26 11,160 12,198 13,844 15,379 38,885 41,923 45,642 48,290 27 11,808 12,879 14,573 16,151 40,113 43,194 46,963 49,645 28 12,461 13,565 15,308 16,928 41,337 44,461 48,278 50,993 29 13,121 14,257 16,047 17,708 42,557 45,722 49,588 52,336 30 13,787 14,954 16,791 18,493 43,773 46,979 50,898 53,672

ĆWICZENIA KARTY KONTROLNE SHEWHARTA Proces produkcyjy moiorowao przy użyciu kary korolej. W rezulacie badań siedmiu kolejych próbek uzyskao asępujące rezulay: i 1 2 3 4 5 6 7 1 10,4 11,0 10,3 10,2 10,5 9,4 10,9 2 11,4 11,3 10,2 10,6 9,3 11,3 10,1 3 9,3 11,6 10,6 10,8 9,5 10,3 12,5 4 12,0 11,4 10,7 10,7 9,4 10,6 10,3 Warość docelowa wyosiła 10,5 wariacja była sała i wyosiła 0,36, zaś przedział oleracji ograiczoy był dwusroie. Zbudować odpowiedią karę korolą Shewhara i wykryć sygały świadczące o rozregulowaiu procesu. Prawdopodobieńswo zbędej regulacji procesu usaloo a poziomie 0,05.

Ćwiczeia (Kary korole Shewhara) Zadaie 18 Wsępe badaia pewej operacji echologiczej wykazały, że czas jej rwaia jes zmieą losową o rozkładzie zbliżoym do ormalego, o warości oczekiwaej µ 2,8 i odchyleiu sadardowym σ 0,6 mi. W celu bieżącej koroli procesu pobierao losowo próbki o liczości 9 i mierzoo czas rwaia operacji z kórych wyzaczao warości średie r. W rezulacie badaia kolejych 10 próbek uzyskao asępujące rezulay: próbka 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (r) średi czas rwaia operacji 2,52 3,18 2,54 2,56 4,12 4,34 2,52 2,61 2,65 2,38 Skosruować odpowiedią karę Shewhara do aalizy daych wykryć puky rozregulowaia procesu, a akże objawy mogące przemawiać za skueczością przeprowadzoych szkoleń mających a celu skróceie czasu rwaia badaej operacji echologiczej. Prawdopodobieńswo fałszywego sygału o rozregulowaiu procesu a akże prawdopodobieńswo fałszywego sygału o skróceiu ej operacji usaloo a poziomie α ε 0,05

Badao sężeie pewej subsacji zabezpieczającej przed zamarzaiem, kóra zajduje się w płyie do odmrażaia. Badaie polegało a pobieraiu ze srumieia produku, co dwie godziy czerech pojemików i ozaczaiu ich zawarości. W czasie jedej zmiay uzyskao asępujące wyiki zaprezeowae w abeli. Zaprojekować odpowiedią karę korolą umożliwiającą śledzeie zarówo sygałów świadczących o rozregulowaiu procesu produkcyjego jak rówież mogących świadczyć o korzysych zmiaach w jego przebiegu. Wiadomo, że precyzja procesu wyosi 1,1 aomias µ o 70. Należy przyjąć: α 0,01 ε 0,1 1 2 3 4 5 6 70,22 70,92 70,39 70,32 68,63 68,4

Proces wywarzaia wyłączików elekryczych moiorowao pobierając ze srumieia produku próbki o sałej liczości 100 szuk, a asępie klasyfikowao wyrób jako wykoay poprawie lub wykoay wadliwie. Orzymao asępujące liczby wadliwych wyłączików w kolejych dziesięciu próbach: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 8 1 3 0 2 4 0 1 10 6 Skosruuj odpowiedią karę korolą zakładając maksymalą dopuszczalą wadliwość p o 0.03, prawdopodobieńswo zbędej regulacji procesu α 0.01, prawdopodobieńswo błędego wykrycia sygału o korzysych zmiaach w procesie produkcyjym ε 0.1. Opisz wszyskie wysępujące sygały.

Produkcję żarówek moiorowao za pomocą kary korolej z. Liczość próby wyosiła 200 [sz], prawdopodobieńswo fałszywego sygału o rozregulowaiu α 0.05. Badao rówież korzyse zmiay w przebiegu procesu produkcyjego przyjmując prawdopodobieńswo błędego swierdzeia korzysych zmia w procesie produkcyjym ε 0,1. Maksymalą dopuszczalą wadliwość usaloo a poziomie p o 2%. Dla dziesięciu kolejych próbek orzymao asępujące ilości szuk iezgodych w próbie: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 2 3 5 0 0 4 2 1 6 1 Zajdź sygały świadczące o rozregulowaiu procesu i korzysych zmiaach w jego przebiegu.

Moiorowao proces księgowaia. W ym celu zliczao błędy księgowe popełiae w ciągu dia roboczego. W rezulacie obserwacji poczyioych w kolejych ośmiu diach badaia uzyskao asępujące dae: 1 2 3 4 5 6 7 8... c 2 3 1 7 0 4 2 8... Kierowicwo baku usaliło, że proces księgowaia przebiega poprawie, jeżeli przecięa liczba popełiaych błędów ie przekracza λ o 2,5. Skosruować odpowiedią karę korolą do aalizy powyższych daych, wskazać puky świadczące o rozregulowaiu procesu księgowaia a akże objawy mogące przemawiać za skueczością przeprowadzoych szkoleń. Prawdopodobieńswo zbędej regulacji procesu usaloo a poziomie α 0.05, a prawdopodobieńswo zbędego sygału o poprawie isiejącej syuacji ε 0.1.

Moiorowaie jakości usług magazyowych polegało a codzieym sprawdzaiu prawidłowości realizacji zamówień. Jeżeli przecięa liczba ieprawidłowo wykoaych zamówień ie przekraczała 3,5 o proces obsługi uzawao za przebiegający poprawie. W rakcie badaia jedeasu kolejych di uzyskao asępujące rezulay: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 c 1,0 2,0 1,0 4,0 3,0 6,0 8,0 7,0 3,0 2,0 1,0 Przyjmując α 0,02; ε 0,1 zbuduj odpowiedią karę korolą umożliwiającą śledzeie procesu usług magazyowych.

W procesie rozlewaia wody mieralej do buelek plasikowych prowadzoa jes korola szczelości zamkięcia opakowaia. Korola prowadzoa jes okresowo (co godzię) w sposób wyrywkowy, a losowo pobraych próbkach o zmieiającej się liczebości. W wyiku pomiarów orzymaych w 6 kolejych okresach orzymao asępujące wyiki: 1 2 3 4 5 6 liczebość próby 50 60 70 60 50 50 liczba wadliwie zamkięych buelek (z ) 2 6 14 0 4 1 Czy aalizoway proces moża uzać za ureguloway? Czy moża w badaym przypadku dosrzec zjawisko azywae posępem echologiczym? Podczas aalizy założyć ryzyko zbędej regulacji procesu oraz ryzyko fałszywego sygału o posępie echologiczym a poziomie αε0,01. Maksymala dopuszczala poprodukcyja wadliwość wyosi p 0 0,1.

Jakość pracy składaczy eksów w drukari oceiao a podsawie przecięej liczby błędów. Największą przecięą liczbę błędów w elemearej jedosce produku będącej 1 sroą maszyopisu usaloo a poziomie λ (1).0 1,00. Charaker badaego procesu ie pozwalał a o aby podczas moiorowaia procesu poddawać koroli jedakową liczbę losowo wybraych sro. W dziesięciu począkowych okresach badaia pobierao próby o różej liczbie losowo wybraych sro i zliczao liczbę popełioych błędów. Rezulay badaia prezeuje poiższa ablica: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 liczba 10 10 9 10 10 10 12 10 10 10 sro liczba błędów c 15 13 12 20 7 31 9 8 18 8 Skosruować odpowiedią karę do aalizy ych daych, oraz wskazać momey czasu w kórych zosaą wygeerowae sygały świadczące o rozregulowaiu oraz sygały świadczące o wzroście jakości pracy badaego persoelu. Podczas aalizy założyć, że prawdopodobieńswo zbędej regulacji procesu oraz prawdopodobieńswo fałszywego sygału o wzroście jakości pracy badaego persoelu wyosi 0,05.

W cemeowi prowadzi się w sposób wyrywkowy korolę ciężaru apełiaych worków. Nomialy ciężar każdego opakowaia po apełieiu powiie wyosić 0 25 kg. ± 1 kg. Załóżmy, że ciężar badaego produku jes zmieą losową o iezaych paramerach µ i σ. Posiadae urządzeia dozującopaczkujące pozwalają a usaleie hipoeyczej warości oczekiwaej µ a poziomie warości omialej (docelowej) 0. 1. Usalić a jakim ajwyższym dopuszczalym poziomie σ 0 może kszałować się odchyleie sadardowe, jeżeli chcemy, aby poprodukcyja wadliwość produku p ie przekroczyła p 0 3%. 2. Przyjmując wyzaczoą w pukcie 1 warość σ 0, skosruować odpowiedią karę korolą pozwalającą a oceę opisaego powyżej procesu paczkowaia. Podczas kosrukcji kary założyć, że αε0,05. 3. W oparciu o skosruowaą w pukcie 2 karę korolą oceić rezulay orzymae w kolejych 8 krokach badaia ego procesu. Na podsawie ych daych obliczoo warości średich arymeyczych, odchyleń sadardowych, oraz rozsępów. Warości ych charakerysyk zesawioe są w 3 osaich wierszach poiższej abeli: i 1 2 3 4 5 6 7 8 1 25,4 25,1 25 25,4 24,2 24 25 26 2 24,5 26,1 25,6 24,9 24,8 25,9 25,4 26 3 25,2 24,4 26,2 24,8 25,7 24,1 25,8 25 4 24,3 25,2 27,8 25,1 24,6 25,6 24,5 25 5 25,1 25,5 24,1 26 26 25 26 23 24,9 25,26 25,74 25,24 25,06 24,92 25,34 25 S 0,4743416 0,61887 1,388524 0,482701 0,760263 0,858487 0,60663 1,224745 R 1,1 1,7 3,7 1,2 1,8 1,9 1,5 3

Moiorowao czas realizacji wysawioych fakur. W ym celu a koiec każdego miesiąca wybierao losowo 4 fakury i badao czas, jaki upłyął od momeu wysawieia fakury do momeu wpływu ależości. Warukiem urzymaia płyości fiasowej jes o, aby średi czas realizacji wysawioej fakury ie przekroczył 7 di. Co moża powiedzieć o przebiegu procesu płaości, jeżeli w 6 począkowych miesiącach obserwowao asępujące warości: 1 2 3 4 5 6 i 1 6 10 2 1 12 1 2 8 11 3 2 11 2 3 9 6 4 6 2 2 4 4 7 1 8 3 4 Podczas aalizy powyższego procesu założyć że: αε0,01, czas realizacji fakury ma rozkład ormaly ze sałą wariacją wyoszącą 4.

Moiorowao jakość pracy przydrożych elekroiczych pogodowych ablic iformacyjych. Przedmioem badaia była liczba koieczych ierwecji aprawczych w okresie jedego ygodia pracy. Oceń proces fukcjoowaia ych urządzeń, jeśli w kolejych dziesięciu ygodiach orzymao asępujące wyiki: ydzień 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 liczba koieczych apraw 2 4 1 0 10 11 12 0 2 3 Podczas aalizy powyższego procesu założyć że: - przecięa liczba koieczych ygodiowych apraw ie powia przekroczyć 5, - αε0,01,

Jakość wywarzaych produków oceiaa była aleraywie. Zmieą diagosyczą była liczba wadliwie wyworzoych produków w losowej próbie o sałej liczości 49. Próbę pobierao w odsępach jedogodziych. Oceń przebieg procesu produkcyjego, jeżeli w 10 począkowych okresach czasu orzymao asępujące wyiki: godzia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 liczba 6 0 2 5 4 0 12 4 1 2 produków wadliwych Podczas aalizy założyć, że: αε 0,01, maksymala poprodukcyja wadliwość wyosi 4%.

Paramery rozkładu rozsępu 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d 1,12838 1,69257 2,05875 2,32593 2,53441 2,70436 2,84720 2,97003 3,07751 3,17287 3,25846 f 0,8525 0,8884 0,8798 0,8641 0,8480 0,8332 0,8198 0,8078 0,7971 0,7873 0,7785