rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MM 016 UZUPEŁNI ZJĄY KO PESEL dyskalkulia miejsce na naklejkę dysleksja EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI POZIOM POSTWOWY rozwiązania dzięki e-math.pl T: 5 maja 016 r. GOZIN ROZPOZĘI: 9:00 ZS PRY: 170 minut LIZ PUNKTÓW O UZYSKNI: 50 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 strony (zadania 1 34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym. 3. Odpowiedzi do zadań zamkniętych (1 5) zaznacz na karcie odpowiedzi, w części karty przeznaczonej dla zdającego. Zamaluj pola do tego przeznaczone. łędne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe. 4. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego (6 34) może spowodować, że za to rozwiązanie nie otrzymasz pełnej liczby punktów. 5. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem lub atramentem. 6. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl. 7. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane. 8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki, a także z kalkulatora prostego. 9. Na tej stronie oraz na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej naklejkę z kodem. 10. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora. MM-P1_1P-16 Układ graficzny KE 015 MM 016
rozwiązania dzięki e-math.pl W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0 1) la każdej dodatniej liczby a iloraz. a 3,9. a,6 a1,3 a jest równy. a 1,3. a1,3 Zadanie. (0 1) Liczba log jest równa ( ). 3.. 5. 3 Zadanie 3. (0 1) Liczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 3% liczby c. Wynika stąd, że. c = 1,5 a Zadanie 4. (0 1) ( Równość a. a = 3. c = 1, 6 a ). c = 0,8 a. c = 0,16 a = 17 1 jest prawdziwa dla. a =1. a =. a = 3 Zadanie 5. (0 1) Jedną z liczb, które spełniają nierówność x 5 + x 3 x <, jest. 1. 1.. Zadanie 6. (0 1) Proste o równaniach x 3 y = 4 i 5x 6 y = 7 przecinają się w punkcie P. Stąd wynika, że. P = (1, ). P = ( 1, ). P = ( 1, ) Zadanie 7. (0 1) Punkty leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta jest równa. 91. 7,5.. P = (1, ).? 7.. 18 S 118. 3 Strona z 4.. MM_1P
RUNOPIS (nie podlega ocenie) MM_1P Strona 3 z 4
rozwiązania dzięki e-math.pl Zadanie 8. (0 1) ana jest funkcja liniowa f ( x ) =. 8 3 x + 6. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba 4. 6. 6. 8 Zadanie 9. (0 1) Równanie wymierne.... 3x 1 = 3, gdzie x 5, x+5 nie ma rozwiązań rzeczywistych. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste. Informacja do zadań 10. i 11. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9 ). Liczby i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zadanie 10. (0 1) Zbiorem wartości funkcji f jest przedział. (,., 4. 4, + ). (,9 Zadanie 11. (0 1) Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale 1, jest równa.. 5. 8 Strona 4 z 4. 9 MM_1P
RUNOPIS (nie podlega ocenie) MM_1P Strona 5 z 4
rozwiązania dzięki e-math.pl Zadanie 1. (0 1) Funkcja f określona jest wzorem f ( x ) = ( ) x3 x6 + 1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy f 3 3 jest równa. 3 9. 3 5 3 5.. 3 3 Zadanie 13. (0 1) W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę, która utworzyła z promieniem S kąt o mierze 31 (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy jest liczbą z przedziału 9 11, 11 13., 13 19., 19 37.,. Zadanie 14. (0 1) 3 zternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy. 37. 37. 5. 5 Zadanie 15. (0 1) iąg ( x, x + 3, 4 x + 3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy. 4. 1. 1. 0 Zadanie 16. (0 1) Przedstawione na rysunku trójkąty i PQR są podobne. ok trójkąta ma długość 18. 8 Q 6 R. 8,5. 9,5 17 9. 10 70 70 48 x Strona 6 z 4 P MM_1P
RUNOPIS (nie podlega ocenie) MM_1P Strona 7 z 4
rozwiązania dzięki e-math.pl Zadanie 17. (0 1) Kąt α jest ostry i tgα =. sin α = 3 13 6. Wtedy 3. sin α = 13 13. sin α = 13 13. sin α = 3 13 13 Zadanie 18. (0 1) Z odcinków o długościach: 5, a + 1, a 1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że. a = 6. a=4. a = 3. a = Zadanie 19. (0 1) Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek). P O1 3 O 4 Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe. 14. 33. 4 33. 1 Zadanie 0. (0 1) Proste opisane równaniami y =. m =. 1 x + m oraz y = mx + są prostopadłe, gdy m +1 m 1 m= 1. m = Strona 8 z 4 1 3. m = MM_1P
RUNOPIS (nie podlega ocenie) MM_1P Strona 9 z 4
rozwiązania dzięki e-math.pl Zadanie 1. (0 1) W układzie współrzędnych dane są punkty = ( a, 6 ) oraz = ( 7, b ). Środkiem odcinka jest punkt M = ( 3, 4 ). Wynika stąd, że. a = 5 i b = 5. a = 1 i b =. a = 4 i b = 10. a = 4 i b = Zadanie. (0 1) Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy. 0 p < 0,. 0, p 0,35. 0,35 < p 0,5. 0,5 < p 1 Zadanie 3. (0 1) Kąt rozwarcia stożka ma miarę 10, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa. 36π. 18π. 4π. 8π Zadanie 4. (0 1) Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek). α Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze. 30. 45. 60. 75 Zadanie 5. (0 1) Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 5, 9, 7, x, jest równa x. Mediana tych liczb jest równa. 6. 7. 8 Strona 10 z 4. 9 MM_1P
RUNOPIS (nie podlega ocenie) MM_1P Strona 11 z 4
Zadanie 6. (0 ) W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat. kolejne lata 1 3 4 5 6 przyrost (w cm) 10 10 7 8 8 7 Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach. 4% Odpowiedź:.... Strona 1 z 4 MM_1P
Zadanie 7. (0 ) Rozwiąż nierówność x 4 x > 3x 6 x. x ε (0;) Odpowiedź:.... Nr zadania Wypełnia Maks. liczba pkt egzaminator Uzyskana liczba pkt MM_1P Strona 13 z 4 6. 7.
Zadanie 8. (0 ) Rozwiąż równanie ( 4 x ) x + x 15 = 0. ( ) x = 4 v x = 3 v x = -5 Odpowiedź:.... Strona 14 z 4 MM_1P
rozwiązania dzięki e-math.pl Zadanie 9. (0 ) any jest trójkąt prostokątny. Na przyprostokątnych i tego trójkąta obrano odpowiednio punkty i G. Na przeciwprostokątnej wyznaczono punkty E i F takie, że E = GF = 90 (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt E jest podobny do trójkąta FG. 90º-α E α F 90º-α α G Odp.: na podstawie cechy podobieństwa kkk Δ E ~ Δ FG Nr zadania Wypełnia Maks. liczba pkt egzaminator Uzyskana liczba pkt MM_1P Strona 15 z 4 8. 9.
rozwiązania dzięki e-math.pl Zadanie 30. (0 ) iąg ( an ) jest określony wzorem an = n + n dla n 1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej. Odp.: an = n + n an+1 = (n-1) + (n+1) = (n+n+1) + n + = n + 4n + + n + = n + 6n +4 T: an + an+1 = k k ε N an + an+1 = n + n + n + 6n + 4 = = 4n + 8n + 4 = (n+) = k dla k = n + c.n.d. Strona 16 z 4 MM_1P
rozwiązania dzięki e-math.pl Zadanie 31. (0 ) Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem R = log 4, gdzie oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, 0 = 10 cm 0 jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6, w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy mniejsza od 100 cm. Odpowiedź:.... Nr zadania Wypełnia Maks. liczba pkt egzaminator Uzyskana liczba pkt MM_1P Strona 17 z 4 30. 31.
rozwiązania dzięki e-math.pl Zadanie 3. (0 4) Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50. Oblicz kąty tego trójkąta. Odp.: α = 3γ β = γ + 50 3γ + γ + 50 + γ = 180 5γ = 130º γ = 6º β = 76º α = 78º Strona 18 z 4 MM_1P
Odpowiedź:.... Nr zadania Wypełnia Maks. liczba pkt egzaminator Uzyskana liczba pkt MM_1P Strona 19 z 4 3. 4
rozwiązania dzięki e-math.pl Zadanie 33. (0 5) Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego S jest trójkąt równoboczny. Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 7. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa S oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa. Strona 0 z 4 MM_1P
e-math.pl - niezawodnie uczy matematyki Odpowiedź:.... Nr zadania Wypełnia Maks. liczba pkt egzaminator Uzyskana liczba pkt MM_1P Strona 1 z 4 33. 5
rozwiązania dzięki e-math.pl Zadanie 34. (0 4) Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Strona z 4 MM_1P
Odpowiedź:.... Nr zadania Wypełnia Maks. liczba pkt egzaminator Uzyskana liczba pkt MM_1P Strona 3 z 4 34. 4
RUNOPIS (nie podlega ocenie) Strona 4 z 4 MM_1P
PESEL MM-P1_1P-16 WYPEŁNI ZJĄY Nr zad. miejsce na naklejkę Odpowiedzi 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 dyskalkulia WYPEŁNI EGZMINTOR Nr zad. Punkty 0 1 3 4 6 7 8 9 30 31 3 33 34 N SUM PUNKTÓW 0 1 3 4 5 6 7 8 9 J 0 1 3 4 5 6 7 8 9 5
KO EGZMINTOR zytelny podpis egzaminatora KO ZJĄEGO