EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ 00. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 strony (zadania ). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym. 3. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego może spowodować, że za to rozwiązanie nie będziesz mógł dostać pełnej liczby punktów. 4. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem lub atramentem. 5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl. 6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane. 7. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 8. Na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej naklejkę z kodem. 9. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora. Czas pracy: 80 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 MMA-R_P-0

Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż nierówność x+ 4 + x 6.

3 Wypełnia egzaminator Nr zadania. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt

4 Zadanie. (4 pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 0, π. cos x 5sinx 4= 0 należące do przedziału

6 Zadanie 3. (4 pkt) Bok kwadratu ABCD ma długość. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by CE = DF. Oblicz wartość x = DF, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze.

7 Wypełnia egzaminator Nr zadania 3. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt

8 Zadanie 4. (4 pkt) 3 Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W ( x) = x + ax + bx+ wiedząc, że W ( ) = 7 oraz, że reszta z dzielenia W ( x ) przez ( x 3) jest równa 0.

0 Zadanie 5. (5 pkt) O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg ( a, b, c ) jest arytmetyczny i a+ c= 0, zaś ciąg ( a+, b+ 4, c+ 9) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Wypełnia egzaminator Nr zadania 5. Maks. liczba pkt 5 Uzyskana liczba pkt

Zadanie 6. (5 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x + mx+ = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od m 3.

4 Zadanie 7. (6 pkt) Punkt A = (,5) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC = BC. Pole tego trójkąta jest równe 5. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu y = x+. Oblicz współrzędne wierzchołka C.

6 Zadanie 8. (5 pkt) Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji f( x) =. Przeprowadzono prostą x równoległą do osi Ox, która przecięła wykres tej funkcji w punktach A i B. Niech C = (3, ). Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe. 3 y -3 - - 0 3 4 x -

8 Zadanie 9. (4 pkt) Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH (zobacz rysunek). Udowodnij, że AC = FG. E F D C G A B H

0 Zadanie 0. (4 pkt) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.

Wypełnia egzaminator Nr zadania 0. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt

Zadanie. (5 pkt) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa α. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

4 BRUDNOPIS

PESEL MMA-R_P-0 WYPE NIA ZDAJ CY Miejsce na naklejkê z nr PESEL WYPE NIA EGZAMINATOR Nr zad. 3 4 5 6 7 8 9 0 Punkty 0 3 4 5 6 SUMA PUNKTÓW D J 0 0 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9

KOD EGZAMINATORA Czytelny podpis egzaminatora KOD ZDAJ CEGO

Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00

Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów. Zadanie. (0 4) Modelowanie matematyczne Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały:,,,,,. Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności. x, x,) x, x 4 x 6 3x 9 x 3 W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest 3 x x 4 x 6 x W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest x x 4 x 6 3x 3 x W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest x Łącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: 3 x lub zapisujemy odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest 3,. II sposób rozwiązania (zapisanie czterech przypadków) x 40 x 4 0 Zapisujemy cztery przypadki: x 0 x 0 x 4 0 x 0 x 40 x 0 x 40 x 0 x 40 x 0 x4x6 x x 3x 3 x x x x x 40 x 0 x 40 x 0 x4x6 x x x x, x 4 0 x 0 niemożliwe x 40 x 0 x 40 x 0 x 4 x 6 x x 3x 9 x x x 3 x 3, Łącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: 3 x lub zapisujemy odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest 3,.

Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony 3 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały,,,,,. albo x 4 0 x 4 0 x 4 0 x 40 zapisze cztery przypadki: x 0 x 0 x 0 x 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np. x, x4x6 I. II. III. x, x4 x 6 x, x4 x 6 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 3 pkt zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca albo zdający poprawnie rozwiąże nierówności tylko w dwóch przedziałach i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca albo zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, stwierdzi, że jeden jest niemożliwy, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca Rozwiązanie pełne... 4 pkt Zdający zapisze odpowiedź: x 3,. III sposób rozwiązania (graficznie) Rysujemy wykresy funkcji f x x4 x i prostą o równaniu y 6. Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały:,,,,,. Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np. 3x3 dla x, f xx5 dla x,) 3x3 dla x, Rysujemy wykres funkcji f i prostą o równaniu y 6

4 Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony 0 y 9 8 f x 7 6 y 6 5 4 3 7-6 -5-4 -3 - - 3 4 5 - Odczytujemy odcięte punktów przecięcia się wykresu funkcji f i prostej o równaniu y 6: x 3 i x. Podajemy argumenty, dla których f x 6 : x 3,. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający wyróżni przedziały:,,,,,. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np. x, f x 3x 3 I. II. III. x,) f x x 5 x, f x 3x 3 lub 3x3 dla x, f xx5 dla x,) 3x3 dla x, Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Zdający narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu y 6. Rozwiązanie pełne...4 pkt Zdający zapisze odpowiedź: x 3,.

Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony 5 Zadanie. (0 4) Modelowanie matematyczne Rozwiązanie równania trygonometrycznego Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna: sin x 5sin x 4 0 Porządkujemy to równanie i wprowadzamy niewiadomą pomocniczą: sin x5sin x 0, t sin x, gdzie t,. Równanie przyjmuje teraz postać: t 5t 0 Rozwiązujemy równanie kwadratowe ze zmienną t: 9 t t ale t, Zapisujemy rozwiązania równania sin x należące do przedziału 0, : 7 x i x. 6 6 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej, np. sin x5sin x 0 lub sin x 5sinx 0. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np. t sin x, zapisanie równania w postaci t 5t0 lub t 5t0. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Rozwiązanie równania kwadratowego ( t lub t ) i odrzucenie rozwiązania t. Uwaga Zdający może od razu rozwiązywać równanie kwadratowe (w którym niewiadomą jest sin x ) i zapisać rozwiązanie w postaci sin x lub sin x oraz zapisać, że równanie sin x jest sprzeczne. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Rozwiązanie równania w podanym przedziale: 7 x lub x 6 6 albo x 0 lub x 330

6 Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony Zadanie 3. (0 4) Użycie strategii do rozwiązywania problemów Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego Rozwiązanie D x F x C x E x A Długości odcinków BE i CF są następujące: Pole trójkąta AEF jest więc równe: P AEF P ABCD P ABE P ECF P FDA B BE x, CF x. P x x x dla x x x Pole trójkąta AEF jest funkcją zmiennej x: Ponieważ x w 0, 4 x x x 0,., a parabola o równaniu skierowane ku górze, więc dla x P x x x ma ramiona x pole trójkąta AEF jest najmniejsze. 4 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zapisanie, że PAEF PABCD PADF PCEF PABE lub PAEF PABCD PADF PCEF PABE. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt x Zapisanie pól trójkątów ADF, ABE i CEF: P ADF x, P ABE x x i P CEF x x. Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Zapisanie AEF w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej x: P x x x. Rozwiązanie pełne...4 pkt Wyznaczenie x, dla którego funkcja przyjmuje minimum: x. 4 P

Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony 7 II sposób rozwiązania (geometria analityczna) D x F x C x E x A B Przyjmujemy współrzędne punktów na płaszczyźnie: A 0,0, F x,, E, x. Wyznaczamy pole trójkąta AFE : P x0x000 xx xx x x P x x x Ponieważ x w 0, 4 skierowane ku górze, więc dla P x x x ma ramiona x pole trójkąta AEF jest najmniejsze. 4, a parabola o równaniu Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Wyznaczenie współrzędnych punktów na płaszczyźnie: A0,0, F x,, E,x. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Wyznaczenie pola trójkąta AFE : P x0x000 xx xx x x Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Zapisanie AEF w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej x: P x x x. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Wyznaczenie x, dla którego funkcja przyjmuje minimum: x. 4 P

8 Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony Zadanie 4. (0 4) Użycie strategii do rozwiązywania problemów Stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianów Rozwiązanie Korzystając z warunków zadania zapisujemy układ równań 8 4a b 7 7 9a 3b 0 Z układu równań obliczamy a i b 4a b 9a 3b 8 b a 9a 6a 3 8 a 5 b 9 Warunki zadania są spełnione dla a 5, b 9. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązania zadania... pkt Zapisanie jednego z równań: 8 4a b 7 albo 7 9a 3b 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania...pkt Zapisanie układu równań: 8 4a b 7 7 9a 3b 0 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)...3pkt. Rozwiązanie układu równań z błędem rachunkowym. Rozwiązanie pełne...4 pkt. Rozwiązanie układu równań: a 5, b 9. Zadanie 5. (0 5) Modelowanie matematyczne Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego I sposób rozwiązania Z własności ciągu arytmetycznego mamy: b a c. Stąd i z warunków zadania otrzymujemy, że : b 0 czyli b 5. b 4 a c 9. Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie: b 5 Zatem otrzymujemy układ równań, np. a c 0 b 4 a c 9 Z drugiego równania wyznaczamy a 0 c lub c0 a i wstawiamy do trzeciego równania.

Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony 9 Otrzymujemy równanie, np. 9 0cc 9 lub 9 a 0 a 9. Przekształcamy to równanie i otrzymujemy równanie z niewiadomą c lub a, np. c 8c 8 0 lub a 8a5 0. Rozwiązaniem równania są : c 8, c 6 lub a, a 6. Zatem szukanymi liczbami są: a, b5, c8 lub a 6, b5, c 6. Schemat oceniania do I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny do pełnego rozwiązania zadania... pkt Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego) i zapisanie odpowiedniego równania, np. bac albo b4 ac9 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Wykorzystanie własności obu ciągów (arytmetycznego i geometrycznego) i zapisanie układu równań umożliwiającego obliczenie liczb a, b, c, np. bac a c 0 b4 ac9 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Przekształcenie układu równań do równania kwadratowego z niewiadomą c lub a, np. c 8c 8 0 lub a 8a 5 0 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt poprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb albo przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np. błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste). Rozwiązanie pełne... 5 pkt Wyznaczenie szukanych liczb: a, b 5, c 8 lub a 6, b 5, c 6. II sposób rozwiązania Oznaczamy: przez a pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, a przez r różnicę tego ciągu. Wówczas bar, ca r. Z własności ciągu arytmetycznego i z warunków zadania mamy a r 0, stąd a r 5 Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie, np. ar4 aar9, ar 5 a następnie zapisujemy układ równań: ar4 aar9

0 Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony Z pierwszego równania wyznaczamy a 5 r i podstawiamy do drugiego równania. Otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą r: 5rr4 5r 5rr9 lub r 8 63 0. Rozwiązaniami tego równania są: Następnie obliczamy a, b, c. Warunki zadania spełniają liczby: r lub r. 3 a, b5, c8 lub a 6, b5, c 6. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Wprowadzenie oznaczeń: a pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, r różnica tego ciągu oraz wykorzystanie definicji ciągu arytmetycznego do zapisania odpowiedniego równania, np. ar 0 lub ar 5 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie układu równań, np. ar 5 ar4 aar9 Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Przekształcenie układu równań do równania z niewiadomą r, np. 5rr4 5r5rr9 lub r 8 63 0. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)...4 pkt poprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań, np. r 0 i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb albo przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np. błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste). Rozwiązanie pełne...5 pkt Wyznaczenie liczb spełniających warunki zadania: a, b5, c 8 lub a6, b5, c6. Zadanie 6. (0 5) Użycie i stosowanie strategii do rozwiązywania problemów Przeprowadzanie dyskusji trójmianu kwadratowego z parametrem I sposób rozwiązania (wzory Viète a) x mx 0 Zapisujemy układ warunków: 0 x x m 3 Rozwiązujemy pierwszą nierówność tego układu: m 8 0

Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony m 8 0, m, Aby rozwiązać drugą nierówność, najpierw przekształcimy lewą stronę nierówności, korzystając ze wzorów Viète a: x x x x xx m m 4 Rozwiązujemy zatem nierówność: m 4 m 3 m 9 0, więc m 3,3 Wyznaczamy wspólną część zbiorów rozwiązań układu nierówności:,, 3,3 m 3,,3. m i m, więc II sposób rozwiązania (wzory na pierwiastki trójmianu) Zapisujemy układ warunków: 0 x x m 3 Rozwiązujemy pierwszą nierówność: m 8 0 m 8 0 m,, Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego: m m 8 m m 8 x x Obliczamy sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego: m m 8 m m 8 x x m m m 8m 8 m m m 8m 8 4 4 m m 6 m 4 4 Rozwiązujemy drugą nierówność: m 4 m 3 m 9 0 m 3,3 Wyznaczamy wspólną część zbiorów rozwiązań układu nierówności:,, 3,3 m 3,,3. m i m, więc Schemat oceniania Rozwiązanie zadania składa się z trzech części. a) Pierwsza polega na rozwiązaniu nierówności 0, m,,. Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt.

Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony Uwaga Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część. b) Druga polega na rozwiązaniu nierówności x x m 3 m 3,3. Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 3 punkty. c) Trzecia polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z a) i b). Za poprawne rozwiązanie trzeciej części zdający otrzymuje punkt., W ramach drugiej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania...... pkt pisanie nierównoś ci za x x m 3 w postaci równoważnej m 4 m 3 albo wykorzystanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego i zapisanie nierówności m m 8 m m 8 m 3. Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania... pkt Doprowadzenie do postaci nierówności kwadratowej m 9 0. Rozwiązanie bezbłędne części b)...3 pkt Rozwiązanie nierówności: m 3,3. Rozwiązanie pełne... 5 pkt Wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności i podanie odpowiedzi: m 3,,3. Zadanie 7. (0 6) Użycie i stosowanie strategii do rozwiązywania problemów Stosowanie równań i nierówności do opisania zależności w prostokątnym układzie współrzędnych Rozwiązanie 8 7 Y y x A,5 6 5 4 3-4 -3 - - 3 4 5 6 7 - X - -3

Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony 3 5 Obliczamy odległość punktu A od prostej y x : d 3. Obliczona odległość d jest równa długości wysokości trójkąta ABC poprowadzonej do boku BC. Znamy pole trójkąta ABC, więc obliczamy długość boku BC. PABC 5 stąd 5 d BC, więc 30 BC 5 3 Punkt C x, y leży na prostej o równaniu y x, zatem C x, x. Z warunków zadania mamy AC BC, więc ze wzoru na długość odcinka zapisujemy równanie: x 5 5 x. Rozwiązujemy otrzymane równanie: x x 5 5 x 4x 4 x 8x 6 50 x x 5 0 64 x 5 x 3 Obliczamy rzędne punktów: y y 6 Warunki zadania spełniają dwa punkty: C 5, 6 C 3,. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Obliczenie odległości punktu A od prostej y x : d 3. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Obliczenie długości odcinków AC i BC: AC BC 5. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 4 pkt Ułożenie układu równań pozwalającego obliczyć współrzędne punktu C (odległość AC 5 oraz punkt C należy do prostej o równaniu y x ) y x x y 5 50 i sprowadzenie układu do równania kwadratowego: x x 5 0. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 5 pkt Rozwiązanie pełne... 6 pkt 5,6 C 3,. Wyznaczenie współrzędnych punktu C: C lub

4 Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony Zadanie 8. (0 5) Stosowanie rozumowania i argumentacji Przeprowadzenie dowodu algebraicznego Rozwiązanie Zapisujemy współrzędne dwóch punktów leżących na wykresie funkcji f x oraz x na prostej równoległej do osi Ox, np. A x, x, B x, x, gdzie x 0. Zapisujemy pole trójkąta, gdzie C 3, w zależności od jednej zmiennej: P ABC x x x. x ABC Wystarczy wobec tego udowodnić, (lub powołać się na znaną nierówność), że dla dowolnej liczby a 0 zachodzi nierówność a. Po pomnożeniu obu stron nierówności przez a a otrzymujemy nierówność równoważną a a, czyli a a 0, a więc nierówność a 0. Schemat oceniania Uwaga Zdający otrzymuje 0 punktów, jeżeli wybierze konkretne dwa punkty A oraz B i dla tych punktów obliczy pole trójkąta ABC. Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania... pkt Zapisanie współrzędnych dwóch punktów leżących na wykresie funkcji f x oraz x na prostej równoległej do osi Ox, np. A x, x, B x, x, gdzie x 0. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie długości odcinka AB ( AB x ) oraz wysokości h trójkąta ABC ( h ). x Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Zapisanie pola trójkąta ABC w zależności od jednej zmiennej: x x P ABC x x Uwaga Zdający może założyć, że x 0 i zapisać wzór na pole trójkąta w postaci: x x P ABC x x

Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony 5 Rozwiązanie pełne... 5pkt Uzasadnienie, że x x. Zdający może powołać się na (znane) twierdzenie o sumie liczby dodatniej i jej odwrotności. Zadanie 9. (0 4) Stosowanie rozumowania i argumentacji Przeprowadzenie dowodu geometrycznego Rozwiązanie Czworokąt ABCD jest równoległobokiem, czworokąt DCFE jest kwadratem, więc AB CD CF. W kwadracie CBHG odcinki BC i CG są równe. Niech oznacza kąt ABC danego równoległoboku. Wówczas BCD 80. W kwadratach CDEF oraz CBHG mamy DCF DCF 90, więc FCG 360 80 9090 ABC. W trójkątach ABC i FCG mamy zatem: AB CF, BC CG oraz FCG ABC, więc trójkąty ABC i FCG są przystające (cecha bkb ). Stąd wnioskujemy, że AC FG. Schemat oceniania: Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zaznaczenie na rysunku odcinków AC i FG oraz zapisanie równości AB CF i BC CG. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Stwierdzenie, że trójkąty ABC i FCG są przystające, na podstawie cechy (bkb), bez podania pełnego uzasadnienia równości kątów FCG ABC. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Stwierdzenie, że trójkąty ABC i FCG są przystające, wraz z podaniem pełnego uzasadnienia równości kątów FCG ABC. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Zapisanie wniosku, że AC FG.

6 Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony Zadanie 0. (0 4) Modelowanie matematyczne Obliczanie prawdopodobieństwa z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa Rozwiązanie Zdarzeniami elementarnymi są trzywyrazowe ciągi o wartościach w zbiorze 3 sześcioelementowym. Mamy model klasyczny. 6 6. Reszta z dzielenia kwadratu liczby całkowitej przez 3 może być równa 0 lub. Suma kwadratów trzech liczb będzie podzielna przez 3 wtedy, gdy każdy z nich będzie podzielny przez 3 albo gdy reszta z dzielenia każdego z nich przez 3 będzie równa. Kwadraty liczb 3 i 6 są liczbami podzielnymi przez 3. Kwadraty liczb,, 4 i 5 dają z dzielenia przez 3 resztę. A możemy obliczać następująco: I sposób 3 ciągi o wartościach ze zbioru {3,6} jest ich 8, 3 ciągi o wartościach ze zbioru {,,4,5} jest ich 4 64, 3 3 czyli A 4 7 II sposób ciągi stałe jest ich 6, ciągi, w których występują dwie liczby ze zbioru {3,6} jest ich 3 6, ciągi, w których występują dwie liczby ze zbioru {,,4,5} jest ich 433 36, ciągi różnowartościowe o wartościach ze zbioru {,,4,5} jest ich 43 4, czyli A 6 6 36 4 7, III sposób ciągi, w których występują liczby dające tę sama resztę przy dzieleniu przez 3 jest 3 ich 3 4, ciągi, w których występują dwie liczby dające przy dzieleniu przez 3 resztę i jedna liczba dająca przy dzieleniu przez 3 resztę jest ich 3 4, ciągi, w których występują dwie liczby dające przy dzieleniu przez 3 resztę i jedna liczba dająca przy dzieleniu przez 3 resztę jest ich 3 4, czyli A 4 4 4 7, 7 Zatem PA. 6 3 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązania zadania... pkt 3 Zdający zapisze, że 6 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Istotny postęp.... pkt Zdający zapisze, że suma kwadratów trzech liczb jest podzielna przez 3 tylko wtedy, gdy wszystkie liczby są podzielne przez 3 albo wszystkie są niepodzielne przez 3. Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Zdający poprawnie obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A: A 7 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie.

Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony 7 Rozwiązanie pełne... 4 pkt P A 3 Zadanie. (0 5) Użycie i stosowanie strategii do rozwiązywania problemów Obliczanie objętości wielościanu z wykorzystaniem trygonometrii Uwaga Strategię rozwiązania zadania można zrealizować na wiele sposobów. W każdym z nich wyróżniamy następujące etapy rozwiązania Poprawna interpretacja bryły i podanego kąta dwuściennego w tej bryle. Wyznaczenie m lub h w zależności od a i. Wyznaczenie jednej z wielkości: x, b, h b (w zależności od a i ), z której można już wyznaczyć H. Wyznaczenie H w zależności od a i. Wyznaczenie V w zależności od a i. Użyliśmy oznaczeń jak na rysunku S b b h b H. E. x h h m C A h p... O D a. F a B

8 Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony Rozwiązanie (wyznaczenie m, wyznaczenie x, wyznaczenie H z podobieństwa trójkątów OCS i ECF) S b b h H. E. x h m h C a 3 Wysokość podstawy ostrosłupa jest równa hp. Wyznaczamy wysokość FE trójkąta równoramiennego ABE a tg FB BE m, stąd a m. tg Wyznaczamy długość odcinka EC z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie FCE: x h m p a 3 a 3tg a 4s a tg 4tg sin x Z podobieństwa trójkątów OCS i ECF mamy OS EF H m, czyli. OC EC h x 3 p A h p... O D. a F a B in a 3 a a 3 m tg 3 cos Stąd 3 a H a 4sin a 4sin 3 4sin. sin sin Wyznaczamy objętość ostrosłupa: 3 a 3 a 3 a cos a cos V H 3 4 3 4 3 4sin 4sin. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny do pełnego rozwiązania zadania... pkt Wykonanie rysunku ostrosłupa i zaznaczenie na nim kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi.

Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony 9 Uwaga Nie wymagamy rysunku, jeżeli z dalszych obliczeń wynika, że zdający poprawnie interpretuje treść zadania. Rozwiązanie, w którym jest istotny... pkt a Wyznaczenie wysokości EF trójkąta ABE w zależności od a i : m. tg Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt a 4sin Wyznaczenie długości odcinka EC: x. sin Rozwiązanie prawie całkowite... 4 pkt Wyznaczenie wysokości ostrosłupa: H a cos. 34sin Rozwiązanie pełne... 5 pkt 3 a cos Wyznaczenie objętości ostrosłupa: V 4sin.